數(shù)列通項公式方法大全很經(jīng)典

1、1，數(shù)列通項公式的十種求法:(1) 公式法(構(gòu)造公式法) 例1已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項公式。解：兩邊除以，得，貝y,故數(shù)列是以為首項， 以為公差的等差數(shù)列， 由等差數(shù)列的通項公式, 得，所以數(shù)列的通項公式為。評注：本題解題的關(guān)鍵是把遞推關(guān)系式轉(zhuǎn)化為，說明數(shù)列是等差數(shù)列， 再直接利用等差數(shù)列的通項公式求出，進而求出數(shù)列的通項公式。(2) 累加法 例2已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項公式。解：由得則所以數(shù)列的通項公式為。評注：本題解題的關(guān)鍵是把遞推關(guān)系式轉(zhuǎn)化為，進而求出，即得數(shù)列的通項公式。變式：已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項公式。(3) 累乘法 例3已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項公式。解：因為，所以，則，故

2、 所以數(shù)列的通項公式為 評注：本題解題的關(guān)鍵是把遞推關(guān)系轉(zhuǎn)化為，進而求出，即得數(shù)列的通項公式。變式：已知數(shù)列滿足，求的通項公式。(4) 待定系數(shù)法 例4已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項公式。解：設(shè) 將代入式，得，等式兩邊消去，得，兩邊除以，得代入式得由及式得，則，則數(shù)列是以為首項，以2為公比的等比數(shù)列，則，故。評注：本題解題的關(guān)鍵是把遞推關(guān)系式轉(zhuǎn)化為，從而可知數(shù)列是等比數(shù)列，進而求出數(shù)列的通項公式，最后再求出數(shù)列的通項公式。變式: 已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項公式。已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項公式。(5) 對數(shù)變換法 例5已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項公式。解：因為，所以。在式兩邊取常用對數(shù)得將式代入式，得

3、，兩邊消去并整理，得，則 ，故 代入式，得 由及式, 得, 則,所以數(shù)列是以為首項，以5為公比的等比數(shù)列，則，因此 則。從而可知數(shù)列是等比數(shù)列，進評注：本題解題的關(guān)鍵是通過對數(shù)變換把遞推關(guān)系式轉(zhuǎn)化為, 而求出數(shù)列的通項公式，最后再求出數(shù)列的通項公式。(6) 數(shù)學(xué)歸納法 例6已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項公式。解：由及，得由此可猜測，往下用數(shù)學(xué)歸納法證明這個結(jié)論。(1)當(dāng)時，所以等式成立。(2)假設(shè)當(dāng)時等式成立，即，則當(dāng)時,由此可知，當(dāng)時等式也成立。根據(jù)(1)，( 2)可知，等式對任何都成立。n項，進而猜出數(shù)列的通項評注：本題解題的關(guān)鍵是通過首項和遞推關(guān)系式先求出數(shù)列的前 公式，最后再用數(shù)學(xué)歸納法加

4、以證明。(7) 換元法 例7已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項公式。解：令，則 故，代入得因為，故 則，即, 可化為, 所以是以為首項，以為公比的等比數(shù)列，因此，則，即，得評注：本題解題的關(guān)鍵是通過將的換元為，使得所給遞推關(guān)系式轉(zhuǎn)化形式，從而可知數(shù)列為等比數(shù)列，進而求出數(shù)列的通項公式，最后再求出數(shù)列的通項公式。(8 )不動點法 例8已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項公式。解：令，得，則是函數(shù)的兩個不動點。因為O所以數(shù)列是以為首項，以為公比的等比數(shù)列，故，則。評注：本題解題的關(guān)鍵是先求出函數(shù)的不動點，即方程的兩個根，進而可推出，從而可知數(shù)列為等比數(shù)列，再求出數(shù)列的通項公式，最后求出數(shù)列的通項公式。例9已知數(shù)列滿

5、足，求數(shù)列的通項公式。解：令，得，則是函數(shù)的不動點。因為，所以評注：本題解題的關(guān)鍵是通過將的換元為，使得所給遞推關(guān)系式轉(zhuǎn)化形式，從而可知數(shù)列為等比數(shù)列，進而求出數(shù)列的通項公式，最后再求出數(shù)列的通項公式。課后習(xí)題: 1數(shù)列的一個通項公式是(A、 B、 C、 D、2.已知等差數(shù)列的通項公式為A 、2,則它的公差為()C、3在等比數(shù)列中，則()A、B、 4.若等比數(shù)列的前項和為，且，則 5已知數(shù)列通項公式，則該數(shù)列的最小的一個數(shù)是6在數(shù)列an中，且，則數(shù)列的前 99項和等于7已知是等差數(shù)列，其中，公差。(1)求數(shù)列的通項公式；(2 )數(shù)列從哪一項開始小于0?(3 )求數(shù)列前項和的最大值，并求出對應(yīng)的

6、值.&已知數(shù)列的前項和為,(1 )求、的值;(2)求通項公式。9.等差數(shù)列中，前三項分別為，前項和為，且。(1 )、求和的值;(2)、求=；數(shù)列等差數(shù)列與等比數(shù)列的有關(guān)知識比較一覽表等差數(shù)列遞an 1ana2a1(n N )推*an 1and(n N )關(guān)系an 1ananan 1(n 2)等比數(shù)列乩an並an02ai(q 0, n N )32 亙an an 1(n 2, n N ) an a1 (n 1)d anpn q ( p,q為常數(shù),n N )2SnSnSnn(ai an)n(n 1)d2(n2An Bn ( A, B是常數(shù),n若 p+q=s+r, p、ap aq as對任意a

7、n 1若anan數(shù)列若bn數(shù)列.c>0,canbnq、s、ar .1, can1 2an,nr N*,則為等比數(shù)列.N ,n 2.bn分別為兩等差數(shù)列，則為等差數(shù)列.為等差數(shù)列.n為正項等差自然數(shù)列， 則abn Sn , S2nSn , SsnSzn ,為等差為等差數(shù)列. S Sn m Sm，n>2m，m、n N * . n n 2m Sm n Sm Sn mnd .n 1 an a1 qanp qn( p,q是常數(shù),q 0, p 0,n N*)求積公式n2aii 1n*(aian) (n N)g,q 1 ai(1 qn),q(n N )g,q 1A Aqn,q 1若 p+q=s+

8、r, p、對任意c>0,cq、1, an 1an若若若2an ,n(nN , A 0)s、r N*,則 apaqasar.若an恒大于0,則logcan為等差N ,n 2anbn為兩等比數(shù)列，則an恒大于0,則數(shù)列bn為正項等差自然數(shù)列，則 Sn , S2nJ aiV i 1ap 0, pSn , S3nS2n , Sm nSmanbn為等比數(shù)列.為等比數(shù)列.ab為等比數(shù)列.為等比數(shù)列.II n mn 2m aiT i m 1qmSnSn若 a1a2ama1a2n>2m ， m、 n NqnSm.an, m n,1 - an 1 =an + f (n)型累加法：an = ( an

9、an 1 ) + ( an 1 an 2 ) + + ( a2 al )方法：（1）an列的相關(guān)知識求1+亠P 1a n .=p(an再根據(jù)等比(2) anp(anan 1)若SmSn,mn,則 Sm n 0.m n則aii 11.若apq，aqp, p、q N ,且 pq,SmnSm(1mq2m(n 1)mqq )重要則apq 0.= Sn(1nq2n(m 1) n xqq ).性若Sp q,S；qP,且 p q ,則若|q|<1,則 limSnS a1 .質(zhì)n1 qSp q(p q),p、q N*.求數(shù)列an通項公式的方法+ a1=f( n 1)+ f( n 2)+ f(1) + a

10、1例 1.已知數(shù)列 an滿足 a1 =1, an 1 = an + 2n (ne n+).求an.解】an = an an 1 + an 1 an 2+ a2 a1 + a1zn 1 zn 2c1=2 + 2 + + 2+1an 1an(3 rr=r +P P例 3.已知 an 的首項 a1 =a( a為常數(shù)),an =2an 1 +1 (ne n + , n> 求an.解】設(shè)an 入=2 ( an 1 入)，貝U入=1- an+1=2 ( an 1+1)二 an 1為公比為2的等比數(shù)列.- an+1= (a+1) - 2n 1- an= (a+1) 2n 1 1，先用累加法求話再求an

11、.再用累加法求2n-11 2 an =2n -1 (ne N+)3.知ang(n)型a累乘法：an = dan 1an 1an 2竺 a1a1例2.已知數(shù)列 an滿足an 1n (ne N+)，a =1，求 an.an解anan 1=(n 1)anan 1 a2an 2 a1ai-(n 2)1 1= ( n 1)! an = ( n 1)!(ne N+)5. an 2 = pan 1 + qan 型( p、q為常數(shù)) 特征根法：X2(1)為 X2時,(2)為 X2時， 例5.數(shù)列 an中， e N+，n > 2)，求 an .解】an 1 =2 an an 1 - X2 2x 1px q

12、an = C1 X1 +C2 X2 an = ( C1 + C2 n) X1a1 =2，a2 =3，且 2an =an 1 + an 1 (nan = ( C1 + C2 n)X1X21 1n = C1 + C2 - nC1C1C222C23n 1(n NC11C214. an 1 = pan+f(n)型(p為常數(shù))f(n) +TT，P方法：變形得即1 =冷P P則冷可用累加法求出，由此求P例4.已知an滿足a1 =2，an 1an 1an解n+122an J為等差數(shù)列.2nan _ a142n 2- an=n 2an .=2an + 2n 1.求 a-.6. “已知Sn,求an”型方法：an

13、=Sn Sn 1 (注意a1是否符合)3例 6.設(shè) Sn 為 an的前 n 項和，Sn = ( an 1),求 an (n e n2當(dāng) n=1 時,an 1)(ne N+)- a1 =3當(dāng)nb 2時，an = Sn - Sn 13 /=-(an 1)2a n =3 an 13 /_( an 1 1)2an = 3n (n e N+)求數(shù)列an的前n項和的方法(1)倒序相加法(2)公式法此種方法主要針對類似等差數(shù)列中此種方法是針對于有公式可套的數(shù)列，如等差、等an a1an 1a2 L L，具有這樣特點的數(shù)列.比數(shù)列，關(guān)鍵是觀察數(shù)列的特點，找出對應(yīng)的公式.例：等差數(shù)列求和公式:Sna1a2 L

14、an等差數(shù)列:ai (ai d) L (n1)dSn(a1 an)nai把項的次序反過來，則:Snan(an d ) L an(n 1)dSmSmSn+得:6 42Sna14 4 4 44 7個 4 4an4 4 4 48(a1 an) L(a1 a.)SnSn mn等比數(shù)列:n 2man)nann(n 1)d2n(n 1)d2mnd2 m, m, n N )Snan)2(3)錯位相減法此種方法主要用于數(shù)列 anbn的求和，其中a1(1qn)Sn1 q； (q1)Sm nSnSmqn 1+2+3+ +n =n(n 1).;212 22丄n(n613 23(1 232 L1)(2n33 L1 2

15、 27n(n"n21)n3n)2(4)分組化歸法此方法主要用于無法整體求和的數(shù)列，可將其通項寫成等比、等差等我們熟悉的數(shù)列分別進行求和，再綜an為等差數(shù)列，bn是公比為q的等比數(shù)列,只需用Sn qSn便可轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列的求和， 但要注意討論q=1和qM 1兩種情況.例：試化簡下列和式:Sn 1 2x 3x2 Ln xn 1(x 0)解：若 x=1，貝y Sn=1+2+3+n = -n(n_合求出所有項的和.若X M 1,則Sn1 2x3x2 Ln 1nx1 1例：求數(shù)列1, 1 - , 1 -2 2+丄的和.2n11 11 -241(解：兩式相減得:(1 X)SnSn2x23x3nn

16、x- Sn1 nxnnxan1 (1(1(2 1)1 xn(1 x)2nnx1 x2n (11 -212)(1 : 1丄L 2412)12n 1)丄L4(5)奇偶求和法此種方法是針對于奇、偶數(shù)項，要考慮符號的數(shù)列，要求Sn,就必須分奇偶來討論， 最后進行綜合.(2(22n 2丄212* 1此方法主要針對a1a2a2a3數(shù)列.(2寸)L和1-歹)(6)裂項相消法這樣的求和，其中an是等差an 1an例:求和an為首項為ai,公差為d的等差數(shù)列，求Sn13 5 7L ( 1)n1(2 n 1)Sna1 a2an 1 an解:當(dāng) n = 2k (kN+)時,解:SnS2k(1 3)(5 7)(4 k

17、 3) (4 k 1)akak 1ak(akd)1 akdakdgak (akd)2kd akak d)£ (丄d akak1=)1當(dāng)n 2k1(kN )時,- Sn=(丄1d ai)=(丄a2d a2丄)a3SnS2kS2ka2k2k (4k 1)2k綜合得:Sn(1)n1nd(亠d a1i)(丄丄)a2a3(an 1fn)T(丄d a1ag (n 1)d(7)分類討論(8)歸納一猜想一證明此方法是針對數(shù)列 an的其中幾項符號與另外的項不冋，而求各項絕對值的和的問題，主要是要分段求.此種方法是針對無法求出通項或無法根 據(jù)通項求出各項之和的數(shù)列，先用不完全歸納法猜出Sn的表達式，然后用數(shù)學(xué)歸納法 證明之.1例：已知等比數(shù)列 an中，a1 =64, q=1，設(shè)2例：求和Sn=12 +32 + 52 + (2 n 1)2bn=log2an，求數(shù)列|bn|的前n項和Sn .解：Si1 , S210 , S335 ,解: an=a1qn1=27n二 bn = log2an = 7(1 )當(dāng) n < 7 時,此時，Sn =1 2 13 一 n + n2 2(2)當(dāng) n >7 時,bn