2008年數(shù)學(xué)周報(bào)試題及答案

1、中國(guó)教育學(xué)會(huì)中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)專(zhuān)業(yè)委員會(huì) “數(shù)學(xué)周報(bào)杯”2008年全國(guó)初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題參考答案 題 號(hào) F一 二 三 53總 分 5 1610 11 12 13 14 得 分 評(píng)卷人 復(fù)查人 答題時(shí)注意：1用圓珠筆或鋼筆作答. 2解答書(shū)寫(xiě)時(shí)不要超過(guò)裝訂線(xiàn). 3草稿紙不上交. 一、選擇題（共5小題，每小題6分，滿(mǎn)分30分. 以下每道小題均給出了代號(hào)為A，B，C，D的四個(gè)選項(xiàng)，其中有且只有一個(gè)選項(xiàng)是正確的. 請(qǐng)將正確選項(xiàng)的代號(hào)填入題后的括號(hào)里. 不填、多填或錯(cuò)填都得0分） 424424的值為（ 滿(mǎn)足 ），則 1已知實(shí)數(shù)y?3?y，y?3y，x 424xxx 1?137?13 （C） （D）5 （A）7

2、（B） 22 A）【答】（22y ，由已知條件得因?yàn)?解：0?x 13?3?1?3113?1?1?4412?4?42?y? ， ， 2284x24224227 所以 ?y6?3?3?y?y? 422xxx22?2(?)?(?)?3?022? 2222為根的一元二次方另解：由已知得：，以，顯然y,?y?xx? 22xx?22?3y?(y0)?222220?t?3t 程為 ，所以3?y?(?)?)?y?1,( 22xx42242222y? 故?2?(?(?1)2?(?3)?7)?yy?()? 422xxx2把一枚六個(gè)面編號(hào)分別為1，2，3，4，5，6的質(zhì)地均勻的正方體骰子先 2?mx?ny?x的圖

3、象與m后投擲2次，若兩個(gè)正面朝上的編號(hào)分別為，n，則二次函數(shù)x軸有兩個(gè)不同交點(diǎn)的概率是（ ） 54171 （A） （B） （C） （D） 923612 C）【答】（ . 由題意知，即可以得到36個(gè)二次函數(shù)解：基本事件總數(shù)有6×63622. 0，即4mn?4mn?17. 對(duì). 故17通過(guò)枚舉知，滿(mǎn)足條件的有?Pnm， 36個(gè)點(diǎn)6個(gè)不同的點(diǎn)，小圓周上有2個(gè)不同的點(diǎn)，則這3有兩個(gè)同心圓，大圓周上有4 )可以確定的不同直線(xiàn)最少有( 條）12 （D （C）10條 6 （A）條 （B） 8條 ）（B【答】 ，兩兩連線(xiàn)DC，個(gè)不同的點(diǎn)A，B，解：如圖，大圓周上有4中，至少有一FE，可以確定6條不同

4、的直線(xiàn)；小圓周上的兩個(gè)點(diǎn)，CB，BD的交點(diǎn)，則它與A，個(gè)不是四邊形ABCD的對(duì)角線(xiàn)AC與的兩兩連線(xiàn)從而這DC，A，B，D的連線(xiàn)中，至少有兩條不同于 條個(gè)點(diǎn)可以確定的直線(xiàn)不少于86 3題）（第 條直線(xiàn)個(gè)點(diǎn)如圖所示放置時(shí)，恰好可以確定8當(dāng)這6 8條所以，滿(mǎn)足條件的6個(gè)點(diǎn)可以確定的直線(xiàn)最少有內(nèi)作正以為一邊在圓4已知是半徑為1的圓的一條弦，且O?1OAB?aABAB，則的延長(zhǎng)線(xiàn)交圓于點(diǎn)A的一點(diǎn)，且，點(diǎn)為圓上不同于點(diǎn)ODCDB?ABABC?OaED ） 的長(zhǎng)為（AE 35a D）a1 （C（A） （ （B）22 （B）【答】? 設(shè)，則OA，OB 解：如圖，連接OE，?D? EAC?120?ECA? 4題

5、）（第11? 又因?yàn)椋?180?ABO?ABD?60?120 22 所以，于是1?AE?ACEOAABO AFAB為半徑，以點(diǎn)B為圓心，另解：如圖，作直徑EF，連結(jié)FO 上，則點(diǎn)BCBDA，C，D都在B ，因?yàn)樽鰾ABECD11?60?30?EDA?CBA?F由 22AB1?30?AE?EFsim?F2?sim 所以3，4，5這五個(gè)數(shù)字排成一排，最后一個(gè)數(shù)是奇數(shù)，且使得其中任意連續(xù)，將512 ） 三個(gè)數(shù)之和都能被這三個(gè)數(shù)中的第一個(gè)數(shù)整除，那么滿(mǎn)足要求的排法有（ 5種（D） 種 （C）4種 （A）2種 （B）3 D）【答】（ 5的一個(gè)滿(mǎn)足要求的排列，4，是1，2，3解：設(shè)aa，a，a，a5143

6、2，不能有連續(xù)的兩個(gè)都是偶數(shù)，否則，這兩個(gè)之后都是偶數(shù)，首先，對(duì)于a，a，a，a4123 與已知條件矛盾是奇數(shù)，這說(shuō)明一個(gè)偶數(shù)后面一定要是奇數(shù)，則3）是偶數(shù)，又如果（1iaaa2ii?1i? 接兩個(gè)或兩個(gè)以上的奇數(shù)，除非接的這個(gè)奇數(shù)是最后一個(gè)數(shù) 種情形滿(mǎn)足條件：所以只能是：偶，奇，奇，偶，奇，有如下5a，a，a，a，a54213 ； 1，4，3； 2，5，1，34，5； 2，3，5，41 2 ，1，3，25； 4，54，3，1，2， 30分）6二、填空題（共5小題，每小題分，滿(mǎn)分1的方程x*”為：若關(guān)于對(duì)于實(shí)數(shù)u，v，定義一種運(yùn)算“6?a?x)x?(vu?v?uv? 4 有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則

7、滿(mǎn)足條件的實(shí)數(shù)a的取值范圍是 【答】，或1a?0?a?112 ，解：由，得0?1)x?(a?1)x?(a?x?(a?x) 44，01?a? 依題意有 ?2，?0(?a?1)?(a?1)? ，或解得，1a?a?0分鐘從迎路公交車(chē)，每隔36分鐘從背后駛過(guò)一輛187小王沿街勻速行走，發(fā)現(xiàn)每隔路公交車(chē)總站每隔路公交車(chē)行駛速度相同，而且1818路公交車(chē)假設(shè)每輛18面駛來(lái)一輛 分鐘 固定時(shí)間發(fā)一輛車(chē)，那么發(fā)車(chē)間隔的時(shí)間是 【答】4yx分，同向行駛的相鄰兩車(chē)/路公交車(chē)的速度是米米/分，小王行走的速度是解：設(shè)18s 的間距為米 每隔6分鐘從背后開(kāi)過(guò)一輛18路公交車(chē)，則s6xy?6 分鐘從迎面駛來(lái)一輛18路公交

8、車(chē)，則 3每隔sy3x?3?s4? ，所以 由，可得 xs?4 x 分鐘418即路公交車(chē)總站發(fā)車(chē)間隔的時(shí)間是 題）8（第 BC的中點(diǎn)，點(diǎn)M是如圖，在中，AB=7，AC=118ABC FC的長(zhǎng)為 AD是BAC 的平分線(xiàn)，MFAD，則 9【答】 AB，則MN如圖，設(shè)點(diǎn)N是AC的中點(diǎn)，連接MN解： 又，所以 MFN?BAD?MF/AD?DAC?FMN，1 所以?FNAB?MN 2 8題答案）（第11 9因此?NC?AB?AC?FC?FNE 22 交BA的延長(zhǎng)線(xiàn)為E，延長(zhǎng)MF另解：如圖，過(guò)點(diǎn)C作AD的平行線(xiàn)交N. 于點(diǎn)AEN則ACE?DAC?E?BADA FCENF/CEAE?AC?11FN 是等腰梯

9、形，所以四邊形所以. 又11B 911)?BE?(7CF?EN?C即MD 22 ，分別與DEBC的內(nèi)切圓圓心CA9，過(guò)ABCI作9ABC中，AB7，BC8， ，則AB，AC相交于點(diǎn)D，EDE的長(zhǎng)為 16 【答】 3 r，b，c，內(nèi)切圓I的半徑為解：如圖，設(shè)ABC的三邊長(zhǎng)為a，h ，則BC邊上的高為a11 ，r?c)?ahS?(a?b ABCa22 （第9題答案）ar? 所以 cah?b?ar?hDEa? ，所以它們對(duì)應(yīng)線(xiàn)段成比例，因此因?yàn)锳DEABC BCharh?)?ca(bara)a?(?1?a?DE?(1a)? ， 所以 c?b?ahhc?b?aaa619?（7?）8?DE? 故 37?

10、9?8 12?4?3?5?125另解： cb?a?125 S25?122 ?p 5?r?ABC?35h 所以 （這里，） a2128a r?h25DE35?a ，得ADEABC， 由? 3BCha216 即?DE?BC 3322的所有正整數(shù)解為 關(guān)于x，y的方程 10)?y?208(xx?y x?48，x?160，?【答】 ?y?32，y?32.?解：因?yàn)?08是4的倍數(shù)，偶數(shù)的平方數(shù)除以4所得的余數(shù)為0，奇數(shù)的平方數(shù)除以4所得的余數(shù)為1，所以x，y都是偶數(shù) 設(shè)，則 b?2?2a,yx22， )?b?104(aa?b同上可知，a，b都是偶數(shù)設(shè)，則 d?22c,ba?22， )d?52(cc?d

11、所以，c，d都是偶數(shù)設(shè)，則 t2s,d?c?222?26(st?ts)?， 22213)?(s?13)t， 于是 132?其中s，t都是偶數(shù)所以 22222213)13?(s(?13)t?2? 11?1315?2?2 13?s13)?(t為337，329，進(jìn)而，313，289，257所以，故只能，可能為1，3，57，9s?6，s?20，?2s?1313)t?(7于是，從而289是 ?t?4；t?4，?，x?16，0x?48?因此 ?，y?32.y?32? 2222?104)21632,y?210421632?(?104)y104)x(?(? 則有因?yàn)榱斫猓河謞正整數(shù)，所以 43?y?122 令

12、21632by?104|,則a?a|x?104|,b?|9 5，6，因?yàn)槿魏瓮耆椒綌?shù)的個(gè)位數(shù)為：1，4，2222 6和6；的個(gè)位數(shù)只能是1和由1或知ba,21632a?b229 的個(gè)位數(shù)字可以為1當(dāng)或和的個(gè)位數(shù)是11時(shí)，則ba,ba,22 的十位數(shù)字為但個(gè)位數(shù)為1和9的數(shù)的平方數(shù)的十位數(shù)字為偶數(shù)，與3矛盾。ba?22 或6。的個(gè)位數(shù)是6和6時(shí)，則當(dāng)?shù)膫€(gè)位數(shù)字可以為4ba,ba,22代入，136，144，146134取106，114，116，124，126，由21632a?bb105?b?147160x?|?56x?48|x?104? 解得得，只有當(dāng)136時(shí)，=56，即ab,?32y?136y

13、?32|y?104|? 分）題，每題三、解答題（共415分，滿(mǎn)分60軸的正半軸分別軸、在直角坐標(biāo)系xOy中，一次函數(shù)的圖象與11yxb?y?kx）0（k? 3?OA?OB OAB，B兩點(diǎn)，且使得的面積值等于交于A ；用b表示k（1） 求OAB面積的最小值（2）b ；令，得解：（1）令，得0kx?0，0?b?0yy?b，0?x kb ，于是，OAB的面積為所以A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為)，b0)，B(0A（?， kb1 )?S?b(? k2b1b ，由題意，有 3?b?b?(?) k2k2b2b?k 分， 5解得 2b? )32(b?210b?2)(?3)b?2)?7(1bb(b?(?)S?b? ）

14、知 ）由（ （21 2b?2kb?2 1010 210?)?72(?7?b?2?2?b?107?2 ， 22b?b?10 102?7+210b?S?b?2 不等式中的等號(hào)成立，時(shí)，有即當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，1?k? 2?b7?210 分 15 面積的最小值為ABC所以， 2 有有理數(shù)根？q，使得關(guān)于x的一元二次方程 12 是否存在質(zhì)數(shù)p，0?qx?pxp?222 ，解：設(shè)方程有有理數(shù)根，則判別式為平方數(shù)令n4p?q?2 分 其中n是一個(gè)非負(fù)整數(shù)則 5p?4(q?n)(q?n) 與同奇偶，故同為偶數(shù)因此，有如下幾種可能情形：q+n，且1由于n?qq?nnq?，?4，q?nq?n?22，2q?nppq?n

15、?，?，?pq?n? ?22，4，2q?n?ppq?n?4.nq?n?p，?q?qn?2p，?22p5pp2?2 q?， q?2p， q?p?1，q?2?， q? 分消去n，解得 10 222（不4，從而q5；對(duì)于第2，5種情形，種情形，對(duì)于第1，3，從而q2p?p?2 種情形，q是合數(shù)（不合題意，舍去）合題意，舍去）；對(duì)于第412 它的根為，5時(shí)，方程為它們都是有理數(shù)，又當(dāng)q0?x?2x2?52x?，x?2?p 212 綜上所述，存在滿(mǎn)足題設(shè)的質(zhì)數(shù) 15分2x0b?x?2ax?xx，ba, 為正整數(shù)，關(guān)于，的方程12、已知的兩個(gè)實(shí)數(shù)根為2122008?xy?xyy，yy0?2ay?by. 且

16、滿(mǎn)足的兩個(gè)實(shí)數(shù)根為，關(guān)于的方程212121 b. 的最小值求b?,yy2?by?y?a,x?x?2axx ；：由韋達(dá)定理，得 另解21212211 )x?(?(?x)?x)yy?2a?(x?211221, 即?)x)(?b?(?xyy?2211 xy?y?x?2111或 解得：?xy?y?x?12222008?(?x)?y?2008x(?x)xxyy,xy? 的值分別代入 得把2122121112 2008?x)?x(x)?x( 或（不成立）1212 222008)?x?)(x?x(x2008?x?x 即，1221120x?0x?b?x?0,xaxx?2?0, 因?yàn)?所以221112 22?b

17、?502?1?a20084aa24?b?a502?2?251 于是有 即 251?2aa?505a?a?1?或或或 因?yàn)閍,b都是正整數(shù)，所以?2222224?bb?251a502b?a?b?1a?a?251?2a?502a?a?1a?或或或 分別解得：?22224251?2251b?502b?502?1b?b?1?251a?a?502?，. 符合題意經(jīng)檢驗(yàn)只有：?224251?1b?b?502?262997?251?4b 的最小值為：所以b最小值倍的213是否存在一個(gè)三邊長(zhǎng)恰是三個(gè)連續(xù)正整數(shù)，且其中一個(gè)內(nèi)角等于另一個(gè)內(nèi)角 ？證明你的結(jié)論ABC 存在滿(mǎn)足條件的三角形解：5?6ca4?b 分，時(shí)

18、， 當(dāng)ABC的三邊長(zhǎng)分別為 5，B?A?2?ACD為等腰三角連接CD，則如圖，當(dāng)時(shí)，延長(zhǎng)BA至點(diǎn)D，使bAC?AD?B2?A?ACDBAC? ，所以形因?yàn)榈囊粋€(gè)外角，所以由已知，為B2?D?BAC?BAC?2CBD 所以為等腰三角形D?B? CBDACDCBDACD 與為的一個(gè)公共角，有，于是又D?aADCDb ， ， 即 ? cab?CDBD?2 所以 cb?ba? （A）題答案）（第1325)6?4?(4? 而，所以此三角形滿(mǎn)足題設(shè)條件， 15分故存在滿(mǎn)足條件的三角形 滿(mǎn)足條件的三角形是唯一的說(shuō)明：?2cab?b? 有如下三種情形：若，可得B?A?2?n?nc1n?a?c?ba1?b?n

19、，時(shí)，設(shè)，（）當(dāng)（i為大于1，的正整數(shù)）?2?25c?a?64b?n?5cb?a?b 代入，得；，有，解得，12n?1?n1?nnna?bc?a?1?n?b1c?n? ，（）當(dāng)1（，的正整數(shù)）時(shí)，設(shè)為大于?223c?2b?1a?cb?ab?，此時(shí)不能構(gòu)成，有，解得 ，得代入，2?nn?n12n? 三角形；n1?a?na?b?cn?b1?n?c ，為大于，時(shí)，設(shè)1（，（）當(dāng)?shù)恼麛?shù)）?222c?b?ba0?n?n1?3 代入，即，得，此方程無(wú)整數(shù)解1n?1n?2?n倍的三角形2所以，三邊長(zhǎng)恰為三個(gè)連續(xù)的正整數(shù)，且其中一個(gè)內(nèi)角等于另一個(gè)內(nèi)角的 構(gòu)成的三角形滿(mǎn)足條件，6存在，而且只有三邊長(zhǎng)分別為4，

20、5b,cba,?bAC,?BCa?,ABc,a且都是整數(shù)，的三邊長(zhǎng)ABC如圖，、13?GIC?90?，求ABCABC的重心和內(nèi)心，且的最大公約數(shù)是2。點(diǎn)G和點(diǎn)I分別為的周長(zhǎng). 另解：如圖，連結(jié)GA，GB，過(guò)G，I作直線(xiàn)交BC、AC于點(diǎn)E、F，作ABC的內(nèi)切圓I，h,h AC，BC，邊上的高線(xiàn)長(zhǎng)為邊于點(diǎn)D。記ABC的半周長(zhǎng)為P，內(nèi)切圓半徑為r切BCba S?rp?p(p?a)(p?b)(p?c)A ABC? (p?a)(p?b)(p?c)?r? bpcI2rGDE?c?CD?pCIE?Rt 中，,在易知： rp?cBC(p?a)(p?b)EDaDE? 即 p(p?a)(p?b)ab?)?CE?C

21、D?DE?(p?c ppCI?EF,CI平分?ACB，所以CE又CF S?S?S?S?S 由C?ABC?A?ABGFGEG?BFE?Shh1ab1ab1abaABCb?2?)?S（a?)?r?（b? 得： ABC?32p32p32pS1p?b1p?aabABC?(?a?h)?(?b?h)?rpS即 ABCba?2323p23pp22)b(a?(2p?c)?P3ab?2p?cp?pab3p2?cp? ，即整理得6abm?2pm?為整數(shù)。，則 設(shè)ABC的周長(zhǎng)為 a?b12st(a,b)?2a?2s,b?2t,且(s,t)?1,s,t都是正整數(shù)m?，代入上式，得，設(shè) 由已知 ts?(s,s?t)?1,(t,s?t)?1s?ts?t1，2，3，4，6，12 是12的約數(shù)，