35典型例題分析

1、35 典型例題分析 A AB、繃緊的肥皂薄膜有兩個(gè)平行的邊界，線例1 為了演示液體的表3-5-1)。將薄膜分隔成兩部分(如圖d 受到表面張力作AB面張力現(xiàn)象，刺破左邊的膜，線B 薄膜用被拉緊，試求此時(shí)線的張力。兩平行邊之間的距離3-5-1圖 肥皂液的表面張力d/2)d，線AB的長度為l(l，為? 系數(shù)為。兩側(cè)都解：刺破左邊的膜以后，線會(huì)在右邊膜的作用下形狀相應(yīng)發(fā)生變化(的情況下，線會(huì)形成長度為)，不難推測，在ld/2有膜時(shí)，線的形狀不確定T C A 1 ?)/x?(l?2d 2的半圓，d/2的兩條直線段和半徑為? ? 、兩處的拉力及各處都垂D3-5-2所示。線在C如圖B D T 直于該弧線的表

2、面張力的共同作用下處于平衡狀態(tài)，3-5-2圖 顯然?fT?2 i?f指各小段所受表面張力式中為在弧線上任取一小段所受的表面張力，i軸，與xr的合力，如圖3-5-2所示，在弧線上取對稱的兩小段，長度均為 ，顯然的夾角均為方?ff?2r 21，)軸方向分力的合力為零(他們垂直x軸方向，而這兩個(gè)力的合力必定沿x 這樣?2?ffrcos x21x 所以?d?42f?2rrcos i?dT? 因此 說明 對本題要注意薄膜有上下兩層表面層，都會(huì)受到表面張力的作用。、在水平放置的平玻璃板上倒一些水銀，由于重力和表面張力的影響，例2所示。，過圓盤軸線的豎直截面如圖3-5-3(水銀近似呈圓餅形狀側(cè)面向外凸出)o

3、計(jì)算，已知水銀密度為了計(jì)算方便，水銀和玻璃的接觸角可按18033?mN0.49a?m?13.6?kg10當(dāng)圓餅的半徑很大時(shí)，水銀的表面張力系數(shù)，。 ？取一位有效數(shù)字)試估算厚度h的數(shù)值大約是多少(的hx分析：取圓餅側(cè)面處寬度為，高為ff 4 1x? 所示。由于重力而產(chǎn)生的水，圖3-5-3面元S ? 但是作用使圓餅外凸。由F銀對側(cè)壓力SF，3-5-3圖 在水銀與空氣接觸的表面層中，由于表面張力fF h3 的作用使水銀表面有收縮到盡可能小的趨勢。 h f 2反F上下兩層表面張力的合力的水平分量必與f,f可認(rèn)S向，且大小相等。兩側(cè)表面張力43 為等值反向的。1 2?xS?Fp?gh 12解： ?F?

4、fcos?f 2112?x?cosgh)?1a?x( 2 ?)cos12a(?h?g 3?3m?103?mh410 有,o900由于，B后，如圖3-5-4例3、在連通器的兩端吹出兩個(gè)相同的球形肥皂泡A和KK兩泡相對平衡。則依舊打開，K，活栓兩泡內(nèi)的空氣經(jīng)管相通，和關(guān)閉活栓BA若B泡之間的平衡是穩(wěn)定的。B泡的形狀小于半球，試證明A泡和泡和(1)若A泡的形狀大于半球，泡和BAr 1 K 泡之間的平衡B試證明A泡和r kr泡泡和B(2)若A是不穩(wěn)定的。 K A1B Vrh 0 1 BA 的形狀大于半球，設(shè)兩管口的3-5-4圖 3-5-5圖 cm00?r2.B泡和，半徑均為A1cm50?2.r泡分別變

5、化成何種形狀時(shí)，兩泡能BA泡和泡的半徑均為。試問當(dāng)2 再次達(dá)到平衡，設(shè)空氣因壓縮或膨脹所引起的密度變化可以忽略。A若因擾動(dòng)使B泡均小于半球，泡半徑應(yīng)大于管半徑。分析：開始時(shí)，A泡泡內(nèi)氣體泡內(nèi)壓強(qiáng)變小，這時(shí)B泡縮小，則泡半徑增大，表面張力應(yīng)減小，A泡因擾動(dòng)稍增大，泡恢復(fù)擾動(dòng)前的形狀，重新達(dá)到平衡。對于A過來補(bǔ)充，使A B泡因擾動(dòng)稍增大或縮小的情形可作同樣分析?；蚺菘s小，則泡半徑變小，表A、B泡形狀相同，均大于半球。因擾動(dòng)使A若泡增BA泡縮小和泡內(nèi)壓強(qiáng)變大，使氣體從AA泡到B泡，面張力相應(yīng)增加，泡的形狀大于半球時(shí)，其間的平衡泡和B大后，擾動(dòng)將持續(xù)發(fā)展。總之，當(dāng)Ar?r泡半A泡縮小到半球形狀時(shí)，即當(dāng)

6、是不穩(wěn)定的。值得注意的是，當(dāng)A時(shí)，12AA泡半徑再度增大，根據(jù)上面的分析，徑最小。若再收縮使形狀小于半球時(shí)，泡大于半球，而兩者的半徑相同B泡內(nèi)的壓強(qiáng)將再度下降。當(dāng)A泡小于半球， 時(shí)，兩泡內(nèi)的壓強(qiáng)再次相同，這又是一個(gè)新的平衡狀態(tài)。 見上面的分析。(1)解：，圖3-5-5A泡小于半球，B泡大于半球，兩者半徑均為r，(2)新的平衡狀態(tài)為 有43?Vr?2 03 h222?rh?r?Vrh?(r?),且 122023 r=3.04cm 解得、在相互平行的石墨晶格上，原子排成正六角形柵格，即“蜂窩結(jié)構(gòu)”例4a 所示，平面上原子間距為如圖1-5-6(a) 10?101.42?，若石墨的密度為mh 3m22

7、70kg碳原(，求兩層平面間的距離。?a3-5-6 圖 ?b12) 子量為 把解：顯然應(yīng)根據(jù)晶格模型進(jìn)行研究，3-5-6(b)晶格平面適當(dāng)平移，使上下層原子正好對齊，這時(shí)原子系統(tǒng)可看成如圖3m1石墨中12/6=2那樣，每個(gè)原子屬于6個(gè)不同晶胞，因此一個(gè)晶胞中個(gè)原子，2923610?/12?1.1410N?6.02?2.27?10個(gè)。晶胞數(shù)是上述原子數(shù)的原子數(shù)是1 的一半，故一個(gè)晶胞的體積是1329?m?10V?1?.756 28105.7? 22?20m10239?a325.S?3 晶胞的底面積是 10?m35?10?h?VS3. 誤認(rèn)為初學(xué)者往往把晶胞所包含的原子數(shù)搞錯(cuò)，說明在晶格模型的計(jì)算

8、中，個(gè)原子。這里的關(guān)鍵是要分析其中每一個(gè)原子是哪幾個(gè)晶胞石墨晶胞包含了12 個(gè)原子。所共有，那么每個(gè)晶胞僅只能算其1/n，假定H，高度為R、用圓柱形的杯子做“覆杯”實(shí)驗(yàn)，杯子的半徑為5例開始時(shí)杯內(nèi)水未裝滿，蓋上不發(fā)生形變的硬板后翻轉(zhuǎn)放手，由于水的重力作用，硬板將略下降，在杯口和平板間形成凹的薄水層，如圖3-5-7所示。假定水對玻p?，大氣壓為mg璃和平板都是完全浸潤的，水的表面張力系數(shù)為，紙板重為0水的密度為，則為了保證“覆杯”實(shí)驗(yàn)成功，裝水時(shí)，杯內(nèi)所留的空氣體積不得超過多少？ ?f? R l? f2解F O l?f F ?ff ：如 d ?f f 圖3-5-8。其中虛線表示)表示板與杯口間水

9、層的大致形狀(為求清晰，圖中比例已被夸大 整體輪廓，實(shí)線則劃出其一小片分析其受力，圖3-5-9則是俯視平面圖。，由于完全浸潤，它就等于凹面的直徑，所取出的設(shè)內(nèi)凹的薄水層深度為d l，則它受力如下：水液面寬度為兩個(gè)，其大小為硬板)杯沿附著層水對凹面的表面張力，有上()下(f?l?f? l，方向垂直于水平向外。?f和劃出部分相連的凹面其他部分的水對該液面的作用力，方向沿圓周d?f? 2 ，兩力合力大小為切線方向，大小為?l?f2?sin?ff? R2 l?)p(?pd?F其中(液面內(nèi)外壓力差，其方向水平指向圓心，大小為F0p 。)為內(nèi)部水壓強(qiáng)p為大氣壓，0 在受力平衡的條件下應(yīng)有Sp ?l?l)d

10、?l?d?2(p?p 0R2 pS ?R4mg ?d ?R)?2(p?p 得 03-5-10圖 ，平衡時(shí)有如果以硬板為研究對象，受力如圖3-5-10mg?S?pSp 0mg?pp? 02?R 即 是水內(nèi)部的壓強(qiáng)，它應(yīng)等于杯內(nèi)氣體壓強(qiáng)加上由水重所引起的壓強(qiáng)，若杯p?p ，則，原來裝水后空氣層厚度為h內(nèi)氣體壓強(qiáng)為?)hg(p?pH? 這時(shí)杯內(nèi)氣體壓強(qiáng)就等于大氣壓即硬紙板是蓋住杯口的，進(jìn)行覆杯實(shí)驗(yàn)后，2pp?h?RV“覆杯”放手后，由于硬紙板受重力作用，板下移距，體積0112?)?dV?R(hp，使杯內(nèi)氣體體積變?yōu)椋瑝簭?qiáng)就變?yōu)?即前述水層厚度)離d2 由玻意耳定律得hp0?p dh? mg時(shí)，水層最大厚度把代入可求得板重為2?R4?d 2?R?2mg 由式可得mgmg?2?0?p?(Hd)?h?dghgH?g? 022?RR? 2?pmmH?dH?dm0dH?h? 222?g22RR22R? 將式代入即可得到極限情況下杯內(nèi)原來的空氣柱厚度，因式子過繁，就不將d值代入了。 說明 當(dāng)杯子倒轉(zhuǎn)放手后，如果杯內(nèi)裝滿水而無空氣，則大氣對平板的向上壓力將遠(yuǎn)大于杯內(nèi)水及平板重，因此平板緊壓杯口，但如果