2015年大學(xué)自主招生數(shù)學(xué)講義講義2015年競(jìng)賽與自主招生專題第十五講解析幾何一教師版

1、2016 年競(jìng)賽與自主招生專題第十五講 解析幾何一 從2015年開(kāi)始自主招生考試時(shí)間推后到高考后，政策剛出時(shí)，很多人認(rèn)為，是不是要在高考出分后再考自主招生，是否高考考完了，自主招生并不是失去其意義。自主招生考察了這么多年，使用的題目的難度其實(shí)已經(jīng)很穩(wěn)定，這個(gè) 題目只有出到高考以上，競(jìng)賽以下，才能在這么多省份間拉開(kāi)差距. 所以，筆試難度基本穩(wěn)定，維持原自主招生難度，原來(lái)自主招生的真題競(jìng) 賽真題等，具有參考價(jià)值。 在近年自主招生試題中，解析幾何是高中數(shù)學(xué)內(nèi)容的一個(gè)重要組成部分，也是高考與自主招生常見(jiàn)新穎題的板塊，各種解題方法在解析幾何這里得到了充分的展示，尤其是平面向量與解析幾何的融合，提高了綜合

2、性，形成了題目多變、解法靈活的特色。 一、知識(shí)精講 |Ax?By?C|00?dP(x,y),1.點(diǎn)到直線的距離 ：(點(diǎn)直線：). 0?By?C?Axl 00 22B?A 圓的四種方程2.222. （1）圓的標(biāo)準(zhǔn)方程r?(y?b?)a(x?)22220F?Ey?x?yDx?0). (）圓的一般方程（2 F4D?E?cosr?a?x?（3）圓的參數(shù)方程 . ?sinr?b?y?(x?x)(x?x)?(y?y)(y?y)?0 ）圓的直徑式方程（4 2112 A(x,y)B(x,y). (圓的直徑的端點(diǎn)是、21123.點(diǎn)與圓的位置關(guān)系 222)x,yP(rb)?(y?(xa的位置關(guān)系有點(diǎn)三種若與圓00

3、 22)?y)?(bd?(a?x，則 00點(diǎn)在圓外;點(diǎn)在圓上;點(diǎn)在圓內(nèi). ?r?d?dr?drPPP4.直線與圓的位置關(guān)系 222r)?(ax(?)?yb?: 的位置關(guān)系有三種與圓直線0?C?By?Ax; 0?d?r?相離; 0?d?r?相切. 0?d?r?相交Aa?Bb?C?d. 其中 22B?A?cosax?22?yx?1(a?b?0)的參數(shù)方程是. 5.橢圓? 22?basinby?6.雙曲線的方程與漸近線方程的關(guān)系 22yx?1?漸近線方曲若雙線方程為程：(1） 22ab22yxb?0?. x?y 22abaxyb?雙曲程為線可設(shè)為方(2)若漸近線0?x?y? aba22yx?. 22

4、ba2222yyxx?1?（若雙曲線與，有公共漸近線，可設(shè)為(3)0? 2222abab焦點(diǎn)在軸上， x0? 焦點(diǎn)在軸上）. y來(lái)源:ZXXK 22 )y?(?(x?x)yAB或 7.直線與圓錐曲線相交的弦長(zhǎng)公式2112 2222? t?|1?tanco|?y?y|)kAB?(1?)(xxx?|?x1221112A(x,y),B(x,y) （2112 1.三角形四心的坐標(biāo) 設(shè)三邊的長(zhǎng)度分別為a,b,c，三個(gè)頂點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)分別記為、),x(yABC?AA?yxAAG,、，O坐標(biāo)分別為、I、垂心H、外心則重心G、內(nèi)心),y)y(x(x? CCBB33?axay?AA?ayaxAyAsin2x

5、sin2 AcoscosAAAAAH,、。、 ,IO,? ? ?aaaaAsin2Asin2? cosAcosA?2.直線系 若直線與直線相交于P，則它們的線0?cl:ax?by?l:axby?c?021211221?，且不全為0）（性組合*（）表示過(guò)0c)?by?c)?x(a?by?a(xR,?211122?為一組確定的值時(shí)，（*）表示一條過(guò)P點(diǎn)的直線系。當(dāng)參數(shù)P點(diǎn)的直線。特,?0?cax?by時(shí)即，（*當(dāng)）式即為；別的，當(dāng)時(shí)，（*）式0?0?222ax?by?c?0。對(duì)于以外的直線，我們往往只在（*）式中保留一個(gè)參數(shù)，ll,11121而使另一個(gè)為1. 又若與平行，這時(shí)（*）式表示所有與平行

6、的直線。 lll1213.圓冪定理：過(guò)一定點(diǎn)作兩條直線與圓相交，則定點(diǎn)到每條直線與圓的交點(diǎn)的兩條線段的積相等，即它們的積為定值. ?備注：切線可以看作割線的特殊情形，切點(diǎn)看作是兩個(gè)重合的交點(diǎn).若定點(diǎn)到 22. ，則這個(gè)定值為圓心的距離為，圓半徑為rd?dr 22220?rd等于過(guò)定點(diǎn)的最小弦的一半的平方；， 當(dāng)定點(diǎn)在圓內(nèi)時(shí)，r?d22=0?dr； 當(dāng)定點(diǎn)在圓上時(shí)， 22220?rd等于從定點(diǎn)向圓所引切線長(zhǎng)的平方當(dāng)定點(diǎn)在圓外時(shí)，. rd?22r?d稱為定點(diǎn)對(duì)于圓的冪特別地，我們把. 4.兩圓的“根軸”：到兩圓等冪的點(diǎn)的軌跡是與此二圓的連心線垂直的一條直線；如果此二圓相交，那么該軌跡是此二圓的公共

7、弦所在直線這條直線稱為兩圓的“根軸” ?對(duì)于根軸我們有如下結(jié)論：三個(gè)圓兩兩的根軸如果不互相平行，那么它們交于一點(diǎn)，這一點(diǎn)稱為三圓的“根心”三個(gè)圓的根心對(duì)于三個(gè)圓等冪當(dāng)三個(gè)圓兩 所在直線交于一點(diǎn))就是兩兩的根軸(兩相交時(shí)，三條公共弦?PF? 各曲線的定義：5. ，l的距離F為定點(diǎn)， PH是PP到定直線=1， ?PH?：橢圓（1）? ；a2為定點(diǎn)，P FF，2、P?P2，為正常數(shù) 11212（2：）雙曲線? ；a為正常數(shù)，2a F?， F2，、為定點(diǎn)，P2P-P212112?PF?）拋物線：3 （ =1， F為定點(diǎn)， PH是PP到定直線l的距離，?PH?6.圓錐曲線的統(tǒng)一定義：平面上，到一個(gè)定點(diǎn)的

8、距離與到一條定直線的距離lF之比為一個(gè)常數(shù)的點(diǎn)的軌跡叫做圓錐曲線（橢圓、雙曲線、拋物線） e當(dāng)時(shí)，曲線是雙曲線；當(dāng)時(shí)，曲線是時(shí)，曲線是橢圓；當(dāng)e11e?1e0拋物線這個(gè)定點(diǎn)叫做曲線的焦點(diǎn)，定直線叫做曲線的準(zhǔn)線，定點(diǎn)到定直lFF線的距離叫做焦參數(shù) P:Z&xx&k.來(lái)源7.圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程： 2222xyxy?1(ab0)?1(ab0)； （1）橢圓：， 2222abab2222yyxx?1?1（）；）雙曲線：， （20ba0， 2222abab2222?2py?2py2pxy?2pxxxy?（）， （3）拋物線：0pce?e。叫圓錐曲線的離心率，其中比值 ?備注： a 三、典

9、例精講22yx22?11?(y?6)x?復(fù)旦）橢圓上的點(diǎn)的距離的最例1上的點(diǎn)到圓（2011 1625大值是（ ）。 ） （CD） A（）11 （B ）（5574922yx22?116)?xy?(?由平面幾何知識(shí)，橢圓上的點(diǎn)到圓分析與解答：上? 2516的點(diǎn)的距離最大值=橢圓上的動(dòng)點(diǎn)到圓心的最大距離+圓的半徑。設(shè)圓22?1y(?6)?x?是橢圓上的點(diǎn)，則圓心為，),4sin(5cosP'O 22222?61?36?25cos?16sin?9sin|PO'?(5cos?)48sin?(4sin48sin?6)? 2288?。故所求距時(shí)取等）（當(dāng)10?125?sin?125?9?1?

10、91?sin?33?離最大值為11. 22yx222與或者考慮的相交情況，用判別式法解決。 ?注：?1?k?6)x?(y 1625 2?2pxy，為拋物線的焦點(diǎn)，是例2（2012“卓越聯(lián)盟”）拋物線BA,0)?(pF拋物線上兩點(diǎn)，線段的中垂線交軸于，。 ,0)(aD0a?AB|BF|?|m?|AFx（1）證明：是的等差中項(xiàng)； am,p （2）若，為平行于軸的直線，其被以AD為直徑的圓所截得的弦長(zhǎng)為p?3mly 定值，求直線的方程。 l?分析與解答： A(x,y),B(x,y)物，線定拋義知由（1）設(shè)211pp?|x?xxBF?|?x?p|AF?|。 2121:來(lái)源22中垂線交軸又于，故,(aD

11、ABx 2222?y(?xy)?(a)?xa?x2)?x)?(xy(a?x 1122222112x?x?2a?2px?x?2a?2p，故，所以，因?yàn)?，x?x)x(p2?y?x?212111212 ?|?|BFm?|AF|m?p，是的等差中項(xiàng)。 ?p,ax?x?p?2a?amp, 212 22（2）因?yàn)?，。所以。設(shè)，。圓心A(2pt,2ptO'(p?pt),pt),0)(2pDpa?m?3p222為定值，這里由于弦長(zhǎng)為定值，故R為圓的半徑，。設(shè)直線的方程為d?Rnx?l d為圓心到的距離。 l'O 1222222222222222t?3?n)p?1)t?(?dp?(2pt?2p)

12、pt?(2)pt?(p?n)pt?p(Rt 4 22222)nnp)t?n?(2np?3p(2np?2?2npt。 9332222220?3p2np?pn?p?p3pdR?，故這樣的，即時(shí)，令為定值 2443p?x 。直線的方程為l 2 2ax?y，直線2006（復(fù)旦）已知拋物線都過(guò)點(diǎn)且互相垂直。若例3ll,2)?(1,21 l,l中至少有一條相交，求實(shí)數(shù)拋物線與直線的取值范圍。 a21?分析與解答： 2ax?y形內(nèi)，還是在在拋物線先看的情形，如圖13-8，顯然，無(wú)論2)?(1,0a?2axy?與始終至少有一條相交，故符合題意。 形外。ll,0a?212?axy?。若，過(guò)的切線，設(shè)這兩條切線的

13、張角為若作拋物線2)?(1,0?a20?不相，則我們總可以找出兩條互相垂直的直線，使這兩條直線與axy?90?20?相，則過(guò)交，（如圖13-9）；若的兩條直線中，必有一條與ax?y90?2)?(1, 13-10）。交（如圖 13-9 圖 圖 13-8 13-10 圖2ax?y的切線，這兩于是，原問(wèn)題轉(zhuǎn)化為如下一個(gè)問(wèn)題：過(guò)作拋物線2)?(1,090? 。條切線對(duì)拋物線的張角2?,y?ax知，程為，由的切設(shè)過(guò)線方2?k(x?1)?y)(12,?k2y?(x1)?20?2?kx?kax 。20?k,k0k?4ak?8a由韋達(dá)。設(shè)方程兩根為則令。，1?90k?k?21211?a 定理，。，故1?8?a

14、? 81?a?(?,0)0,a。綜上， 的取值范圍是? ?8? 2，定義運(yùn)算：，定義運(yùn)算“”x?R，常數(shù)例4設(shè)x、?0a?)?xx?(xx?212121 ，定義、；對(duì)于兩點(diǎn). “”： ?2)(x,(Ax,y)yByy?(AB)?d)x?(x?xx2121221121? 若；，求動(dòng)點(diǎn)的軌跡(1)0x?)?ax?a)?(xPx,(C1若兩點(diǎn)，(1)中軌跡交于、與(2)已知直線C1?:yx?l),yB(xA(x,y) 221112 a 的值；，試求51)?8(x?x)?(y?y2121STx，與并且中條件下，若直線不過(guò)原點(diǎn)且與軸交于點(diǎn)軸交于點(diǎn)，(2)(3)在ly2|d(ST)|d(ST)|Q、P的取

15、值范圍。 與(1)中軌跡交于不同兩點(diǎn) , 試求C? )|d(SQ(SP)|d y?(x?a)?(x?a) 設(shè)?分析與解答：(1)222)?aa)?(yx?(x?4)ax(x?a?(x?)a? 則 y?(x?a)?(x?a)0可得 又由 2C Px0)y?4axy()a?(x?(x?a)為頂點(diǎn)在()的軌跡方程為,，軌跡原點(diǎn)，焦點(diǎn)為的拋物線在軸上及第一象限的內(nèi)的部分 x,0)(a2?4axy?204?)x?x?(4?16a , 由已知可得整理得, (2) ?1y?x?1? ?2112a?0a?或a?016?(4?16a)? ，由 ,得0a? 22 x?x 222221)?(x?x)?y?(x?xy

16、?(y?)?(y)x(?x?( 21111222212 55 22?16?a16)815?xx)x?4x?(4?( , 2121y 223a?(舍) 解得或； 2a?2?aQQ 1 2 d(AB)?y?y?|y?y| (3)P1 2211P S O x T |d(ST)|d(ST)|ST|ST|? |d(SP)|d(SQ)|SP|SQ| PQPPy軸，、依題意,，則,分別過(guò)作設(shè)直線,),0(cT0c?0?mc?l:x?my12 |OT|OT|c|c|ST|STQyP?，則 軸，垂足分別為、?111 |xQQ|x|PP|SPSQ|11PQ2?8yx222y 得由消去0c?8m)xx?(2c?x?

17、my?c? 11ST|ST|1)?|(?|c2|c| |SP|SQ|x|x|xxQPQP 1 2|2c|?2c、x取不相等的正數(shù)，取等的條件不成立 xQP|d(ST)|d(ST)|的取值范圍是（2， +） ? |d(SP)|d(SQ)| 2x?4y弦的焦點(diǎn)為，拋物線例5（2011“華約”）FABx，于與物為過(guò)，原點(diǎn)，拋線準(zhǔn)線點(diǎn)軸交COF0135?OFA? ，求。ACB?tan 分析與解答：?)yx,y),B(A(x,軸的垂作x，分別過(guò)A、解法一：設(shè)B21121x?|AF|?，依拋物線定義知線，垂足分別為'A',B1|AA'|0?tan?'ACAx1)sin|?(

18、x?451,|CA'|?AA|' 所以，所以 11|CA'| 2o?sin?45 。 2 2 ?BCB'tan同理， ，所以。2tan?ACB2? 2 2，解法二：AB：，代入拋物線中，1x?y2?x3?222x?6x?x10,?3?21 所以 。所以又B?C,AC0?)，C(?1,2)?2(3B(3?22,2?22),A?22,2 ?12|CA|?|CB|? 1 ，所以。 ?cos?ACB2?2tan?ACB 3 22上的動(dòng)C是圓（2012“北約”）已知點(diǎn)，若點(diǎn)例60y?2xx?(0,2)?2,0),BA(點(diǎn)，求面積的最小值。 ABC? ?分析與解答： 22?

19、到AB：的距離為圓的方程d，則。設(shè) 1?y?(x?1)0)?2xcosC(1?,siny?sincos3|?sin?2|1?cos|?d?。 22? ?sin2,?2coscos2?。因?yàn)樗? 4? 2?3 ，所以以?d min2 2?13 點(diǎn)的。當(dāng)C2?3?(S)?22 min?ABC22 ?22值最小面積坐標(biāo)有取時(shí)，的,1?ABC? 22? 。23? 2y4?x 五校聯(lián)考）如圖，在上，2010例7.（DA、B、C、 作切線，切線，關(guān)于拋物線對(duì)稱軸對(duì)稱。過(guò)點(diǎn)/BC/D、AD dd, 距離分別為點(diǎn)到。，DACAB、|2d?|AD?d2121 是銳角、鈍角還是直角三角形？）試問(wèn)：（1ABC? 的

20、方程。240）若2的面積是，求的坐標(biāo)和（ABC?BCA 分析與解答：?11?22x,Dxy?x4，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義知求導(dǎo)，BC。設(shè)的斜（1）對(duì)xy'? 0042?1111?222xxBx,xA?x,x,C，。由題意知?jiǎng)t，率設(shè)xk? 2201010BC4442?1122x?x11 2144?(kx?x)?x 02BC1x?x42211?2)?x,(2xB2x?x。 。從而x?x?2xx?x?2x? 10011120204?122)?x(x1 014?k(x?x)?， 0AC1x?x4011122(3x?x)(x?x)(2x?x)?x1 110100044?k(x?x)， 10AB2x?x

21、?x3x?x410001 d?d?DAC?DABk?k?合知再結(jié) ，|AD2|d?d?2ACAB121045?DAB?DAC?，故是直角三角形。 ABC?12?(x?x)y?x。由D上方，的方程為AB（2）由（1），不妨設(shè)C在A 00 41?2y?x?(x?x),1? 0024)x?4,(Bx。 得到另一個(gè)交點(diǎn)4? 004?2yx4?2?,x4y?1?2?x?xy?x，由為AC方程得到另一個(gè)交點(diǎn)?1 0042y?x?x?x? 00?41?24)x?x?4,(C。 ? 004? ， 4|x?)|2|24)|AB?2|(x?(?x000 ， 4|2x?|(?x)|?2?|AC|2|x40001x?

22、8240?|?2x4|?|?x|?S224，故或。 ，解得所以8,16)A(8,16)(? 00?02 時(shí)，。BC的方程為，8x?12?xy?B(4,4),C(12,36)40 的方程為。時(shí)， ，BC8?x12?12,36),C(?4,4)4x?yB(0 。注：此題的關(guān)鍵是證明d?d21 :ZXXK來(lái)源 四、真題訓(xùn)練21)?4(yx? ）的準(zhǔn)線方程為（20011.（復(fù)旦）拋物線 ） （C）（D）（A （B4x?2x?1?x3x? )yxA(,)yB(x,，定義它們之間的一種“新2.對(duì)于直角坐標(biāo)平面內(nèi)任意兩點(diǎn)、1122 距離”： y?xy?AB?x? .給出下列三個(gè)命題：1212AB?BCAC?

23、 ； 若點(diǎn)在線段上. 則CAB22290C?ABCB?AC 則,中，若在；ABC? AB?CB?AC 中，在。ABC? ( ) 其中的真命題為 D. C. A. B. k?為常數(shù)）所表示的曲線是復(fù)旦）極坐標(biāo)方程3.（20120k?(? 2?1?2kcos?k 。（ ） （C）雙曲線或橢圓 （A）圓或直線 （B）拋物線或雙曲線 （D）拋物線或橢圓 x?a(t?sint),?4.（2010復(fù)旦）參數(shù)方程（ ）。 所表示的函數(shù)是0)a?()x(y?f? y?a(1?cost)?對(duì)稱 B）圖像關(guān)于直線（A）圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱 （?x?的周期函數(shù) D）周期為的周期函數(shù) （C）周期為2a2 5.在平面直角坐

24、標(biāo)系中，定義點(diǎn)之間的“直角距離”為),xyy),Q(P(x,2121。若到點(diǎn)的“直角距離”相等，|y?y)?|x?x|?d(P,Q)yC(x,),9B(6A(1,3),2112其中實(shí)數(shù)滿足，則所有滿足條件的點(diǎn)的軌跡的長(zhǎng)度之和Cy,x9y?x?10,3?0?_。 為 P(x,y)Q(x,y)兩點(diǎn)之間中，為坐標(biāo)原點(diǎn)。定義、6.在平面直角坐標(biāo)系OxOy2112 d(P,Q)?x?x?y?y。已知，點(diǎn)為的“直角距離”為直線(1,1)Bx?y?4?0M 2112上的動(dòng)點(diǎn)， 則的最小值為 。 ),Md(B 7.（2012“卓越聯(lián)盟”）如圖，是圓的直徑，于，且OAB?CDHAB ，是圓的切線，交于。 40,

25、CD?8,DE?1AB?GBFEFHD來(lái)源:（1）求； GH（2）連結(jié)，判斷與的關(guān)系。并加以證明。 ABFDFD AFOGHCED :來(lái)源22交點(diǎn)的直線方程。 2011“北約”）求過(guò)兩拋物線8.（3?21,?y?5x?y2xx?2x 2?2ax(ya?0)于9.（2010同濟(jì)）如圖，已知?jiǎng)又本€經(jīng)過(guò)點(diǎn)，交拋物線l(4,0)P兩點(diǎn)，坐標(biāo)原點(diǎn)是的中點(diǎn)，設(shè)直線的斜率分別為。 k,kPQBQAQ、OB、ABQAQ（1）證明：； 0k?k?BQAQ（2）當(dāng)時(shí)，是否存在垂直于x軸的直線，被以為直徑的圓截得的弦'l2a?AP長(zhǎng)為定值？若存在，請(qǐng)求出直線的方程，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。 'l :Z

26、.xx.k.來(lái)源 222上的點(diǎn)，求是圓與的最小10.（2009上海交大）xy?1?(y?x3)?QP、|PQ值。 五、真題訓(xùn)練答案 1.【答案】B x?1?x',?2?4x'y'，其準(zhǔn)線方程為，【分析與解答】：令則原拋物線方程為1?x'?y?y'?故原拋物線的準(zhǔn)線方程為。 21?x?x'?2.【答案】C 3.【答案】D 【分析與解答】：由知識(shí)拓展圓錐曲線的統(tǒng)一極坐標(biāo)方程知： k2kk 2k1?，。故為橢圓或拋物線（當(dāng)且?e0?1? k222?k?11kcos?k2?cos1? 2k1?僅當(dāng)時(shí)取拋物線）。 1?k 4.【答案】C ?a2)?ta(?

27、sint2a?xx?(t?t?sin(?2)?， 【分析與解答】：?tt?2?)?a(1?cos?cos(1?y?ay?t2t)?0 ，?t2?t? 為周期的周期函數(shù)。，故是以即)2a(x?y?f(x)?f)xf(a2:Z|xx|k.來(lái)源 5.【答案】：)5(2?16.【答案】：4 7.【分析與解答】：（1）連結(jié)AF、OF，則A、F、G、H四點(diǎn)共圓。且由EF是切線知，。所以 EFOF?，且（弦切角等于弦所對(duì)的圓周角） BAFEFG?BAF?FGE所以。 EGEF?FGE?EFG?222222222222?48?OH8?HEOH?HEOF?OF?EF5?OE?EF3?。 所以。 34?EG?8?EG?43,GH?EHEF（2）FD與AB不平行（即相交），用反證法。 如圖，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB所在直線為y軸建立一個(gè)平面直角坐標(biāo)系。 若，則D點(diǎn)的橫坐標(biāo)等于F點(diǎn)的橫坐標(biāo)，即4.從而。又(4,3)FABFD/?3?333339。而，所以EF的斜率為。?1?,kk?k?3)E(8,? OFOFEF428?4248這與是圓的切線矛盾！ EF 2?1,y?2x?2x? 111(x,y),(x,y)，則 【分析與解答】：設(shè)交點(diǎn)為8.?212123y?5x?2x? ?1217y?6x?1， ×2有×5+117y?6x?1(x,y),(x,y)都在直線。所以上，而過(guò)