專題分式運(yùn)算中的常用技巧

1、初中數(shù)學(xué)專題：分式運(yùn)算中的常用技巧編稿老師徐文濤一校楊雪二校黃楠審核劉敏知識(shí)點(diǎn)考綱要求命題角度備注分式的性質(zhì)掌握利用分式的基本性質(zhì)進(jìn)行約分和通 分分式的運(yùn)算綜合運(yùn)用1. 利用設(shè)k 的方法進(jìn)行分式化簡(jiǎn)與計(jì)算2. 利用公式進(jìn)行分式化簡(jiǎn)與計(jì)算3. 利用整體通分的思想對(duì)分式進(jìn)行 化簡(jiǎn)與計(jì)算?？贾攸c(diǎn) ：1. 掌握設(shè)參數(shù)法進(jìn)行分式運(yùn)算；2. 利用公式變形進(jìn)行分式運(yùn)算；3. 掌握整體通分的思想方法。難點(diǎn) ：會(huì)選用恰當(dāng)?shù)姆椒ń鉀Q與分式有關(guān)的問題。微課程 1：設(shè) k求值【考點(diǎn)精講】運(yùn)用已知條件，求代數(shù)式的值是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要內(nèi)容之一。除了常規(guī)代入求值法， 還要根據(jù)題目的特點(diǎn)，靈活運(yùn)用恰當(dāng)?shù)姆椒ê图记?，才能達(dá)到預(yù)期

2、的目的。如果代數(shù)式字母較多，式子較繁，為了使求值簡(jiǎn)便，有時(shí)可增設(shè)一些參數(shù)，以便溝通數(shù)量關(guān)系，設(shè)k 求值，也叫做設(shè)參數(shù)法。通常是用含有字母的代數(shù)式來表示變量，這個(gè)代數(shù)式叫作參數(shù)式，其中的字母叫做參數(shù)。參數(shù)法，是許多解題技巧的源泉?！镜淅觥坷} 1 已知 a b c 0 ，求 3a 2b c 的值。3 4 5a 2b c思路導(dǎo)航：首先設(shè)k ，則可得a 3k， b 4k， c 5k，然后將其345代入 3a 2b c ，即可求得答案。a 2b c答案： 解：設(shè)k （ k0 ），則a 3k， b 4k， c 5k，3453a 2b c 3 3k 2 4k 5k 6k 3所以a 2b c 3k 2

3、4k 5k 10k5點(diǎn)評(píng)： 本題考查了運(yùn)用設(shè)k 值的方法求分式的值，用“設(shè) k 法”表示出 a、b、 c 可以使運(yùn)算更加簡(jiǎn)便。例題 2 已知a， b， c 均不為0，且a 2b 3b c 2c a ，求 c 2b 的值。537 2b 3a思路導(dǎo)航：仔細(xì)觀察c 2b2b 3a約去分式中的未知數(shù)。所以， 設(shè) a 2ba、 b、 c 用同一個(gè)未知數(shù)表示，就可以3b c32c a k， 用 k 來表示a、 b、 c，2c7a k，然后將其代入所求的分式即可。答案： 解：設(shè) a 2b 3b c則 a 2b 5k，3b c 3k，2c a 7k，由得，2b 2c 12k， b c 6k，由，得4b 9k，

4、 bk，分別代入、得，41ak，215ck，4c 2b 2b 3a159kk42例題 3 已知9k2 b3k3k 46ka思路導(dǎo)航：設(shè) b ca然后將三式相加即可求出答案： 解：設(shè) b c aababk 的值，代入即可求值。acbacac(ab)(b c)(c a)。abck，得bcak，acbk，abck；abk，得bcak，acbk，abck；把這 3 個(gè)式子相加得2（ a b c）（ca b c) k若abc0，abc，則k1若a b c0 ，則k 2(a b)(b c)(c a) ck ak bk 3kabcabc當(dāng)k1 時(shí)，原式1，當(dāng)k 2 時(shí)，原式8。點(diǎn)評(píng)： 用含 k 的代數(shù)式表示

5、出a， b， c 的值是解決本題的突破點(diǎn)。設(shè) k求值解題的基本步驟（ 1）設(shè)參數(shù)k，即選擇適當(dāng)?shù)膮?shù)k（參數(shù)的個(gè)數(shù)可取一個(gè)或多個(gè)）；（ 2）建立含有參數(shù)的方程或代數(shù)式；（ 3）消去參數(shù)，即通過運(yùn)算消去參數(shù)，使問題得到解決。例：已知x y z ，求 x y z的值。ab bc ca解： 設(shè) x y z k ， 于是有 x (a b)k, y (b c)k,z (c a)k ， ab bc ca所以 x y z (a b)k (b c)k (c a)k 0。微課程2：活用公式變形【考點(diǎn)精講】222完全平方公式的變形(a b) a 2ab b(a b)2 a2 2ab b2活用公式變形平方差公式的變

6、形(a b)(a b) a2 b2完全平方公式和平方差公式是數(shù)學(xué)中的兩個(gè)重要的乘法公式，也是同學(xué)們解題時(shí)常出錯(cuò)的難點(diǎn)。在進(jìn)行運(yùn)算時(shí)，若能根據(jù)公式的結(jié)構(gòu)特征，選擇適當(dāng)?shù)姆椒?，靈活應(yīng)用公式，可使問題化繁為簡(jiǎn)，收到事半功倍的效果，同時(shí)掌握其變形特點(diǎn)并靈活運(yùn)用，可以巧妙地解決很多問題?！镜淅觥坷} 1 已知a2 5a 1 0(a 0)，計(jì)算 a414 的值。a思路導(dǎo)航：讓等式兩邊同時(shí)除以a，得到a 1 5，然后對(duì)a414 進(jìn)行公式aa變形即可。1答案： 解：因?yàn)閍0 ，將a2 5a 1 0 兩邊都除以a整理得：a 1 5，4142112122112所以 a 4 a 2 a 24 2 (a 2 )2

7、 (a 2 a 2 2)aa aaaa2(a 1)2222(522)22527a點(diǎn)評(píng)： 本題既考查了對(duì)完全平方公式的變形，又考查了代數(shù)式求值的方法，同時(shí)還隱含了整體的數(shù)學(xué)思想和正確運(yùn)算的能力。解答本題的關(guān)鍵是將a 1 看a做一個(gè)整體代入。例題 2 計(jì)算248162例題 2 計(jì)算 (x )(x2 )(x4 )(x8 )(x16 ) (x 1)xx x x x思路導(dǎo)航：將原式乘以代數(shù)式(x 1) ，同時(shí)再除以代數(shù)式(x 1 )，即可連xx續(xù)利用平方差公式。答案： 解：原式1121418116121(x)(x)(x2)(x4)(x8)(x16)(x1) (x )xx x x x xx點(diǎn)評(píng)： 在本題中

8、，原式乘以同一代數(shù)式，之后再除以同一代數(shù)式還原，就可連續(xù)使用平方差公式，分式運(yùn)算中若恰當(dāng)使用乘法公式，可使計(jì)算簡(jiǎn)便。1例題 3 已知 a 1 a思路導(dǎo)航：本題將25，求 4 a 2 的值。 aa124 a 2 的分子、分母顛倒過來，即變?yōu)榍?aa142aa12aa2 112 的值，再利用公式變形求值就簡(jiǎn)單多了。a答案： 解：15，(a)2 25，即a2a1223，a42 aa2 a2 a2 a112412 23 1 24。 a點(diǎn)評(píng)： 利用 x 和 1 互為倒數(shù)的關(guān)系，溝通已知條件與所求未知式的關(guān)系，可x完全平方公式的常見變形：（1） a2b2（ab）22ab，（2） a2b2（ab）22ab，

9、（3） a b）2（ab）24ab，（4） a2b2c2（abc）2 2（abac bc）平方差公式的常見變形：（1）位置變化：（ab）（ba）（ b2a2）；（ 2）符號(hào)變化：（a b）（a b）（a2 b2）；（3）系數(shù)變化：（3a 2b）（3a 2b）9a24b2；（4）指數(shù)變化：（a3b2）（ a3b2）a6b4；（5）項(xiàng)數(shù)變化：（a2bc）（a 2bc） a2（2bc）2；（6）連用變化：（ab）（ab）（a2b2）（a2b2）（a2b2）a4b4。微課程3：整體通分分式的加減運(yùn)算過程中，一般要按照運(yùn)算法則同級(jí)運(yùn)算從左到右計(jì)算。異分母分式加減的運(yùn)算法則是“異分母的分式相加減， 先通分

10、變?yōu)橥帜傅姆质?，然后再加減。 ”但對(duì)于一些較為特殊的異分母分式加減運(yùn)用此規(guī)則顯得麻煩。 因而需根據(jù)題型，靈活運(yùn)用其法則及有關(guān)知識(shí)進(jìn)行解答。在分式計(jì)算題中，如果出現(xiàn)了部分整式，我們可以把整式看成一個(gè)整體進(jìn)行通分，從而最終達(dá)到解決整個(gè)問題的目的?！镜淅觥?例題 1 計(jì)算： xx2x 1x1思路導(dǎo)航：題目中既有分式又有整式，不相統(tǒng)一，我們可以尋求能作為整體的部分， 那么計(jì)算起來可以簡(jiǎn)便一些。對(duì)于本題可以將后面的部分看做一個(gè)整體進(jìn)行通分。利用完全平方公式即可解答。3答案： 解：原式xx1(x2 x 1)3xx1(x 1)(x2 x 1) x3 x3 1x1x1 x11。x1點(diǎn)評(píng)： 本題是求一個(gè)分

11、式與一個(gè)多項(xiàng)式的和，若把整個(gè)多項(xiàng)式看作分母為2001例題 2 計(jì)算：a667a667 a1334a1思路導(dǎo)航：將后三項(xiàng)看做分母是1，變?yōu)?001a667 a16671334aa1 ，整理后，答案： 解：原式2001a667a12001a (a667 (a2001 a667a6671)(a667 a1334 a1667 a20011)1334 a111)667a11667 a1點(diǎn)評(píng)： 本題考查分式的加減，在計(jì)算過程中要注意整體思想的運(yùn)用，運(yùn)用分式的通分必須注意整個(gè)分子和整個(gè)分母。注意到a667,a1334與a2001 之間的關(guān)系，利 用換元法，可以將問題轉(zhuǎn)化為我們熟悉的形式?！究偨Y(jié)提升】若題目為

12、整式和分式相加減運(yùn)算，可把整式看做一個(gè)整體進(jìn)行通分計(jì)算。解此類題可運(yùn)用整體思想，把整式看做分母是“1”的一個(gè)整體參與計(jì)算，可達(dá)到簡(jiǎn)化目的，使計(jì)算簡(jiǎn)便。例如： 計(jì)算分式a 24 時(shí)， 可將a2 看做一個(gè)整體，將其分母看做“ 1”2a進(jìn)行通分，可使運(yùn)算過程大大簡(jiǎn)化。（答題時(shí)間：60 分鐘）設(shè) k 求值1. 已知 x： 2 y： 3 z： 0.5，則x 3y z的值是(2x y zA. 1B. 7C. 3D. 173ab2. 若實(shí)數(shù)a、 b、 c、 d 滿足 a bbcd ，則ab bc cd da 的值是(aa2 b2 c2 d2A. 1 或 0x2 3x 1 0，則4x1012C. 10D. 1

13、2B. 1 或 0 C. 1 或 2D. 1 或 1x yzxyz4. 若0 ，則 。357x5. 若2a 3b 4c，且abc0 ，則 a b 的值是 。c 2ba 2a2 3ab 2b26. 若，求 22 的值。b 72a2 ab 3b27. 已知 x,y,z滿足 235 ，求 5x y 的值。x y z z x y 2z8. 已知 a b c a b c a b c，求 (a b)(a c)(b c)的值。 cbaabc活用公式變形1. 化簡(jiǎn)(aA. 42. 已知 ma?a)2a2B. 411 3，那么m4 a 2 的結(jié)果是（aC. 2a1m? 1 的結(jié)果是（ mD.2aA. 73. 設(shè)

14、 3x 2y xy39A.25B. 5C. 7D.2 ，則22 (3x 2y)2 (x 3y)2 (4xB.y)2 39 25(2x2y)2C. 39D.39204. 已知 x2 4x 1 0，求2 x42 xx1a15. 已知：a22 6( 0< a<1)，則33aaa6. 先化簡(jiǎn)，后求值：(aa2 1)4(aa 42) a2a2a aa 21，其中a204820487. 計(jì)算：已知x 12 ，求 x 2013 x 2013 2 的值。xxx整體通分a2 11. 當(dāng)a 3 時(shí)，則a 2a 1 的值為()a1A. 3B. 4C. 5D. 62. 已知 1 1 1 ，則 ab 的值是

15、()ab3 abA. 3 B. 1C. 3D. 13333. 計(jì)算 3 a 3的結(jié)果為()a122a2 2a 6a2 4a 2A.B.1aa12a 4a 4aC.D.a11a4. 若a ，則2a2(a 1)2(a11)2abbab 1a115. 已知 1 1ab1)3 x8. 先化簡(jiǎn)，再求值：x12m nmnnm (x2 x 1)m 2nnm2)2x 2x2x 12 (x 1)x 1x1(x y 4xy )(xxyy 4xy ) ，其中x 3， y2。xy設(shè) k 求值1. B 解析：設(shè)x：2y：3z： 0.5a，則可以得出：x2a，y3a，z0.5a，x 3yz中，得原式2a9a 0.5a10

16、.5a 7。2x yz4a3a 0.5a1.5a2. D 解析：設(shè)a b c d k，則b2ac，c2bd，d2acb2，a2bdbcdac2，由a k 得，abk，由 k 得，dakbk2，由c k 得，cdkbk3，bad k 得， k，即：k4 1， k ±1。當(dāng) k 1 時(shí)，原式1；當(dāng)k1cbk31。x21，k，3. A 解析：解：設(shè)4 x 2x4 3x2則 x 32 (x )kxx2Qx 3x 1 0，x 1 3，xx1232 1 10 ，k110故選 A3k 5k 7k5。3k4. 5 解析：由題意，設(shè)x 3k， y 5k， z 7k，原式5. 2 解析：設(shè)2a3b4c1

17、2k（k0），則a6k，b4k，c3k，所以，原式2。三、解答題6. 解：設(shè) a 2k ，則 b 7k原式 (a 2b)(a b)(2a 3b)(a b)1，k5k, y 6k,z 3k2357. 解：設(shè) 2 A 解析：解：Q 3x 2y 2，xy3x 2y 2x 2y ，x 4y，2222原式2222 2(16y y)2 (8y 2y)2(152 102)y2 125 25x yz zx則 x 2k,y z 3k,x z8. 解：設(shè)abc ab則aacbccb (k 1)c，(k 1)b，(k 1)a 。abck，axb c)0，(k 1)(a b c)，4.115解析：解：2Q x 4x

18、10,x 0 ，由有2(a所以 (a b c)(k 1)故有 k 1 或 a b c 0 。c) 2c 2b 2a8。abc當(dāng) k 1 時(shí)， (a b)(a c)(b abc當(dāng) a b c 0 時(shí)， (a b)(a c)(b c) ( c)( a)( b) 1。 abcabc活用公式變形1. A 解析：原式(a 2)(a 2)4。112112. D 解析：(m1 ) 2 (m )原式(12y 2y)2 (4y 3y)2(142 1)y2195 39 m (m1 )24945，mmmmm? 1 5 。m1111則4xx2 1x2 15. 2 解析：解：a4 1aa(x 1)2 142 1x(a2 1)(a2 1)a2a(a2 1) a。151a且由 0