第2課時(shí)指數(shù)與指數(shù)冪的運(yùn)算

1、綜上所述，我們得到正數(shù)的正分?jǐn)?shù)指數(shù)幕的意義，教師板書:第2課時(shí)指數(shù)與指數(shù)幕的運(yùn)算(2)導(dǎo)入新課思路1.碳14測(cè)年法.原來宇宙射線在大氣層中能夠產(chǎn)生放射性碳14,并與氧結(jié)合成二氧化碳后進(jìn)入所有活組織，先為植物吸收，再為動(dòng)物吸收，只要植物和動(dòng)物生存著，它們就會(huì)不斷地吸 收碳14在機(jī)體內(nèi)保持一定的水平.而當(dāng)有機(jī)體死亡后，即會(huì)停止吸收碳14,其組織內(nèi)的碳 1414的,變?yōu)樵瓉淼囊话?.引出本節(jié)課題：指數(shù)與指數(shù)便以約5 730年的半衰期開始衰變并消失.對(duì)于任何含碳物質(zhì)只要測(cè)定剩下的放射性碳 含量，便可推斷其年代(半衰期：經(jīng)過一定的時(shí)間 幕的運(yùn)算之分?jǐn)?shù)指數(shù)幕.推進(jìn)新課 新知探究 提出問題(1) 整數(shù)指數(shù)幕

2、的運(yùn)算性質(zhì)是什么？觀察以下式子，并總結(jié)出規(guī)律：a> 0, 10 丁a"=哥(a?)' =a2=a 結(jié)果表明方根的結(jié)果和分?jǐn)?shù)指數(shù)幕是相通的. mm ; 8 Ja8 = J(a4)2 =a4=a 2 12 Va12 =Q(a57m)(4)53的四次方根是5 4 ,75的三次方根是7 3 ,a7的五次方根是a 5 ,xm的n次方根是x n . =a3=a 4 , 10帀 2 10 2#/52 5 T Va = v(a ) =a =a .利用的規(guī)律，你能表示下列式子嗎?V5,V75,Van,即 a n = y a m(a>0,m,n N ,n>1).,Vxm (x&

3、gt;0,m,n N*，且 n>1).(4) 你能用方根的意義來解釋(3)的式子嗎？(5) 你能推廣到一般的情形嗎？ 討論結(jié)果：(1)整數(shù)指數(shù)幕的運(yùn)算性質(zhì)：an=a 1 , 丄 m n m+n , m.n mn , n、m mn , ,、n n, na a 0=1(aa?aO)0O無意義；-n a : (a 豐 0);aa =a ;(a ) =a ;(a ) =a ;(ab) =a b .aa2是a10的5次方根；a4是a8的2次方根；a3是a12的4次方根；a5是a10的2次_ 10 8 12 10=a,JOna2,#孑=3療=3三結(jié)果的a的指數(shù)是2,4,3,5方根實(shí)質(zhì)上Va2,10,

4、形式上變了 ,本質(zhì)沒變.45分別寫成了哩，一5 2根據(jù)4個(gè)式子的最后結(jié)果可以總結(jié)：當(dāng)根式的被開方數(shù)的指數(shù)能被根指數(shù)整除時(shí) 寫成分?jǐn)?shù)作為指數(shù)的形式(分?jǐn)?shù)指數(shù)幕形式).35 7利用的規(guī)律，3孑=5,V75 =73，爼a7 =a5，叭m，根式可以=x如果a>0,那么am的n次方根可表示為 Vam=a規(guī)定:正數(shù)的正分?jǐn)?shù)指數(shù)幕的意義是na m = 7a m（a>0，m，n N，n>1）.提出問題 負(fù)整數(shù)指數(shù)幕的意義是怎樣規(guī)定的？ 你能得出負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)幕的意義嗎？ 你認(rèn)為應(yīng)怎樣規(guī)定零的分?jǐn)?shù)指數(shù)幕的意義？ 綜合上述，如何規(guī)定分?jǐn)?shù)指數(shù)幕的意義？ 分?jǐn)?shù)指數(shù)幕的意義中，為什么規(guī)定a> 0,去

5、掉這個(gè)規(guī)定會(huì)產(chǎn)生什么樣的后果？ 既然指數(shù)的概念就從整數(shù)指數(shù)推廣到了有理數(shù)指數(shù)，那么整數(shù)指數(shù)幕的運(yùn)算性質(zhì)是否也適用于有理數(shù)指數(shù)幕呢？討論結(jié)果：負(fù)整數(shù)指數(shù)幕的意義是：a-n 既然負(fù)整數(shù)指數(shù)幕的意義是這樣規(guī)定的 數(shù)指數(shù)幕的意義.1 * (a 豐 0)掃 N .a，類比正數(shù)的正分?jǐn)?shù)指數(shù)幕的意義可得正數(shù)的負(fù)分n規(guī)定:正數(shù)的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)幕的意義是a帀-m1a =am若沒有a>0這個(gè)條件會(huì)怎樣呢？1 1 * = ；T(a>0，m，n N，n>1). a不Qa 規(guī)定：零的分?jǐn)?shù)指數(shù)幕的意義是：零的正分?jǐn)?shù)次幕等于零，零的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)幕沒有意義 教師板書分?jǐn)?shù)指數(shù)幕的意義.分?jǐn)?shù)指數(shù)幕的意義就是：n 正數(shù)

6、的正分?jǐn)?shù)指數(shù)幕的意義是am = Vam (a>0，m，n N*，n>1)，正數(shù)的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)幕的意義是訂碁(a>0,m,n N*,n>1),零的正分?jǐn)?shù)次幕等于零，零的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)幕沒有意義Vam1 2如(-1) 3=3-1=-1，(-1) 6 =6(-1)2=1具有同樣意義的兩個(gè)式子出現(xiàn)了截然不同的結(jié)果，這只說明分?jǐn)?shù)指數(shù)幕在底數(shù)小于零時(shí)是無意義的.因此在把根式化成分?jǐn)?shù)指數(shù)時(shí)，切記要使底數(shù)大于零2如無a>0的條件，比如式子3a2=|aF，同時(shí)負(fù)數(shù)開奇次方是有意義的，負(fù)數(shù)開奇次方時(shí) 應(yīng)把負(fù)號(hào)移到根式的外邊，然后再按規(guī)定化成分?jǐn)?shù)指數(shù)幕，也就是說，負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)幕在有意義的情況

7、下總表示正數(shù)，而不是負(fù)數(shù)，負(fù)數(shù)只是出現(xiàn)在指數(shù)上.規(guī)定了分?jǐn)?shù)指數(shù)幕的意義后，指數(shù)的概念就從整數(shù)指數(shù)推廣到了有理數(shù)指數(shù)有理數(shù)指數(shù)幕的運(yùn)算性質(zhì)：對(duì)任意的有理數(shù)r，s，均有下面的運(yùn)算性質(zhì)：(1) ar as=ar+s(a>0，r，s Q)，(2) (ar)s=ars(a>0，r，s Q)，(3) (a b) =ab (a>0，b>0，r Q).，來看下面的例題.我們利用分?jǐn)?shù)指數(shù)幕的意義和有理數(shù)指數(shù)幕的運(yùn)算性質(zhì)可以解決一些問題應(yīng)用示例思路12_11 16 2例1求值:83；25 2()-5;(一)42 81活動(dòng)：教師引導(dǎo)學(xué)生考慮解題的方法，利用幕的運(yùn)算性質(zhì)計(jì)算出數(shù)值或化成最簡(jiǎn)根式

8、，根據(jù)題1162目要求，把底數(shù)寫成幕的形式，8寫成23,25寫成53戸 2 I 28a a =a a =a =a,_11412VOVa =(a a3)2=(a3)2=a3.點(diǎn)評(píng)：利用分?jǐn)?shù)指數(shù)幕的意義和有理數(shù)指數(shù)幕的運(yùn)算性質(zhì)進(jìn)行根式運(yùn)算時(shí)，其順序是先把根式化為分?jǐn)?shù)指數(shù)幕，再由幕的運(yùn)算性質(zhì)來運(yùn)算.對(duì)于計(jì)算的結(jié)果，不強(qiáng)求統(tǒng)一用什么形式來表 示,沒有特別要求，就用分?jǐn)?shù)指數(shù)幕的形式來表示，但結(jié)果不能既有分?jǐn)?shù)指數(shù)又有根式，也不能既有分母又有負(fù)指數(shù).例3計(jì)算下列各式(式中字母都是正數(shù)) ：211115(1) (2a3b2)(-6a2b3)十3a 6 b 6)；1_3(2) (m4 n 8)8.活動(dòng)：先由學(xué)生

9、觀察以上兩個(gè)式子的特征，然后分析，四則運(yùn)算的順序是先算乘方 ，再算乘除,最后算加減，有括號(hào)的先算括號(hào)內(nèi)的，整數(shù)幕的運(yùn)算性質(zhì)及運(yùn)算規(guī)律擴(kuò)充到分?jǐn)?shù)指數(shù)幕后 運(yùn)算順序仍符合我們以前的四則運(yùn)算順序，再解答，把自己的答案用投影儀展示出來流，其中要注意到(1)小題是單項(xiàng)式的乘除運(yùn)算 ，可以用單項(xiàng)式的乘除法運(yùn)算順序進(jìn)行意符號(hào)，第(2)小題是乘方運(yùn)算，可先按積的乘方計(jì)算，再按幕的乘方進(jìn)行計(jì)算，熟悉后可以簡(jiǎn) 化步驟.，-寫成2-1，寫成(土 )4,利用有理數(shù)幕的2813運(yùn)算性質(zhì)可以解答，完成后，把自己的答案用投影儀展示出來.2232解:8 3=(23) 3 =2=22=4; 25=(52)=5-)=5-1 =

10、1;5(1)-5=(2-1)-5=2-1 X(-5)=32;23 316 2 4X_.)227() 4=(2) 4 =(2)-3=2781338點(diǎn)評(píng)：本例主要考查幕值運(yùn)算，要按規(guī)定來解.在進(jìn)行幕值運(yùn)算時(shí)，要首先考慮轉(zhuǎn)化為指數(shù)運(yùn)算2而不是首先轉(zhuǎn)化為熟悉的根式運(yùn)算，如8 =yj8 =64=4.例2用分?jǐn)?shù)指數(shù)幕的形式表示下列各式 .a3 a ;a2 -Va2 aVa (a>0).活動(dòng)：學(xué)生觀察、思考，根據(jù)解題的順序，把根式化為分?jǐn)?shù)指數(shù)幕，再由幕的運(yùn)算性質(zhì)來運(yùn)算 根式化為分?jǐn)?shù)指數(shù)幕時(shí)，要由里往外依次進(jìn)行，把握好運(yùn)算性質(zhì)和順序，學(xué)生討論交流自己的 解題步驟，教師評(píng)價(jià)學(xué)生的解題情況，鼓勵(lì)學(xué)生注意總結(jié)

11、.L13+17其J /、，相互交要注解：a3 - Ta =a3 a2 =a 2=a2;解：(1)原式=:2-6) t=3):2aa3 2 %2 3=4ab0=4a;1 3131(2) (m 4 n 8)8=(m 4 )8(n 8 )8=m 4An ?=m2n3=m；.n點(diǎn)評(píng)：分?jǐn)?shù)指數(shù)幕不表示相同因式的積，而是根式的另一種寫法 轉(zhuǎn)化成分?jǐn)?shù)指數(shù)幕的形式，用分?jǐn)?shù)指數(shù)幕的運(yùn)算法則進(jìn)行運(yùn)算了 本例主要是指數(shù)幕的運(yùn)算法則的綜合考查和應(yīng)用.變式訓(xùn)練求值:.有了分?jǐn)?shù)指數(shù)幕，就可把根式(1) 3 J3 逅V3；(2) 加解：(1)3 73 3 5=3 313 3 36 =3L1職£=32=9;6f 2

12、7m34,27m4 (2)VW =(奇)6=(4433m6 (33)6(m3)6 9m2 7-)=-5 n(53)64(n6)425n492丄=一 m n25例4計(jì)算下列各式：(1)(幼25 - Jl25) £/25 ;a2(2)= (a>0).，然后分析，化為同底.利用分?jǐn)?shù)指數(shù)幕計(jì)算，在第（1） ，這樣就 ，最后寫出解答.活動(dòng)：先由學(xué)生觀察以上兩個(gè)式子的特征小題中，只含有根式，且不是同次根式，比較難計(jì)算，但把根式先化為分?jǐn)?shù)指數(shù)幕再計(jì)算 簡(jiǎn)便多了，第（2）小題也是先把根式轉(zhuǎn)化為分?jǐn)?shù)指數(shù)幕后再由運(yùn)算法則計(jì)算1 11231解：（1）原式=（25 3-125 2） -25 4 =（5

13、 3 -5 2 ） -5 22 13 11=5 3 2-5 2 2 =5 6 -5=5-5;a22(2)5 L=石勺了 a2 .aa a思路2例1比較v5,Vii,6斤23的大小.活動(dòng)：學(xué)生努力思考，積極交流，教師引導(dǎo)學(xué)生解題的思路，由于根指數(shù)不同，應(yīng)化成統(tǒng)一的根指 數(shù)，才能進(jìn)行比較，又因?yàn)楦笖?shù)最大的是 6,所以我們應(yīng)化為六次根式，然后，只看被開方數(shù)的 大小就可以了 .解:因?yàn)?氐旬5 =妙125，新1 = 6斤21,而125> 123> 121,所以6斤25>妙五>妙121.所以 j5>V123>Vii.點(diǎn)評(píng)：把根指數(shù)統(tǒng)一是比較幾個(gè)根式大小的常用方法 例

14、2求下列各式的值：(1)¥81x&；(2)2 J3 xV15.活動(dòng)：學(xué)生觀察以上幾個(gè)式子的特征，既有分?jǐn)?shù)指數(shù)幕又有根式，應(yīng)把根式轉(zhuǎn)化為分?jǐn)?shù)指數(shù)幕 后再由運(yùn)算法則計(jì)算，如果根式中根指數(shù)不同，也應(yīng)化成分?jǐn)?shù)指數(shù)幕，然后分析解答，對(duì)(1)應(yīng)由里往外寸81X= £3'咒(33)2，對(duì)化為同底的分?jǐn)?shù)指數(shù)幕，及時(shí)對(duì)學(xué)生活動(dòng)進(jìn)行評(píng)價(jià).4, rr4 112127 L解：(1)Y81xV93 = : 34X3 3) 2 : 4 =(33 ) 4 =(3 3 ) 4 =3 6 = 36' ;1 23 X即12=2 x3211,1 ,11 ,1 ,13 32 61弋也 2*

15、怎x一)3 X3 x2) 6 =2 3 3 3 2 3 6 =2 X3=6.2例3計(jì)算下列各式的值：3(1) : (ab2)-111 +a 2(2)1 + Ja1(ab-3)2(b2)7:勺;a1(3) (Ja Jb2 )4 子 Jb J活動(dòng)：先由學(xué)生觀察以上三個(gè)式子的特征，然后交流解題的方法，把根式用分?jǐn)?shù)指數(shù)幕寫出利用指數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)去計(jì)算，教師引導(dǎo)學(xué)生，強(qiáng)化解題步驟，對(duì)(1)先進(jìn)行積的乘方，再進(jìn)行同底 數(shù)幕的乘法，最后再乘方，或先都乘方，再進(jìn)行同底數(shù)幕的乘法，對(duì)(2)把分?jǐn)?shù)指數(shù)化為根式 然后通分化簡(jiǎn)，對(duì)(3)把根式化為分?jǐn)?shù)指數(shù)，進(jìn)行積的乘方，再進(jìn)行同底數(shù)幕的運(yùn)算.31117121171J 2

16、1 衛(wèi)解: (1)原式=(a 2b2) 3 (ab-3)6 (b2)3=a2b 3a6b 2b6=a2 6b 3'2 22 6=a?b0=aE；31 _37 1另解：原式=(a2b-2a兀了 b2)3=(a2£b 七 £)3=(a2b0)3=a3;(2)原式導(dǎo)_旦=嚴(yán)+F =1+Ja aTJa(aT) va Ja(aT) vaa +1務(wù)1一)=S aT-24a(a-1) a(1 -a)'x -x =e +e . 2的值；(2)設(shè) f (x) f (y) =4,g (x)g (y) =8,求 g(x + y)的值. g(x-y)121313 1(3) 原式=(

17、a2b3 ) -3-(b-4a-1)2 =ab-24)-2a=ab-2+2=a-1=a1例4已知a> 0,對(duì)于OW r < 8N*,式子(掐產(chǎn)(/)能化為關(guān)于a的整數(shù)指數(shù)幕的情形有幾va種？活動(dòng)：學(xué)生審題，考慮與本節(jié)知識(shí)的聯(lián)系，教師引導(dǎo)解題思路，把根式轉(zhuǎn)化為分?jǐn)?shù)指數(shù)幕后再由 運(yùn)算法則計(jì)算，即先把根式轉(zhuǎn)化為分?jǐn)?shù)指數(shù)幕，再進(jìn)行幕的乘方，化為關(guān)于a的指數(shù)幕的情形， 再討論，及時(shí)評(píng)價(jià)學(xué)生的作法.8_tr8_t r16_3r解：(苗)8-.(占)r=a丁 aia兀aF Ja16-3r能被4整除才行，因此r=0，4,8時(shí)上式為關(guān)于a的整數(shù)指數(shù)幕.點(diǎn)評(píng)：本題中確定整數(shù)的指數(shù)幕時(shí)，可由范圍的從小到

18、大依次驗(yàn)證，決定取舍.利用分?jǐn)?shù)指數(shù)幕進(jìn)行根式運(yùn)算時(shí)，結(jié)果可以化為根式形式或保留分?jǐn)?shù)指數(shù)幕的形式.例 5 已知 f (x) =ex e-x,g (x)(1 )求f (x) 2 g (x) (y) = (ex e-x) (eye-y) =ex+y+e-(x+y) ex-y e-(x-y) =g (x+y ) g (x y) =4, g (x) g (y) =g (x+y) +g (x y) =8,得方程組g(x+y)-g(x-y)=4,解得lg(x +y) + g(x-y) =8，g (x+y ) =6,g (x y) =2.活動(dòng)：學(xué)生觀察題目的特點(diǎn)，說出解題的辦法，整體代入或利用公式，建立方程，

19、求解未知，如果 學(xué)生有難度，教師可以提示引導(dǎo)，對(duì)(1 )為平方差，利用公式因式分解可將代數(shù)式化簡(jiǎn) ，對(duì)(2)難 以發(fā)現(xiàn)已知和未知的關(guān)系，可寫出具體算式，予以探求.解：(1) f (X) 2 g (x) 2= f (x) +g (x) f (x) g (x)=(ex e-x+ex+e-x) (ex e-x ex e-x) =2ex ( 2e-x) = 4e0= 4;另解：(1) :f (x) 2 g (x兀 2=(ex-e-x)2-(ex+e-x)22x x -x -2 2x x -x -2=e -2e e +e x-e -2e e -e x=-4ex-x=-4e0=-4;(2)f (x)同理可

20、得(x+y)與g (x y)的方程組，從而使問題得以解決， ，方程法所體現(xiàn)的數(shù)學(xué)思想即方程思想，是數(shù)學(xué)中所以 g(x + y)=6=3. g(x-y) 2點(diǎn)評(píng)：將已知條件變形為關(guān)于所求量 g 這種處理問題的方法在數(shù)學(xué)上稱之為方程法 重要的數(shù)學(xué)思想.知能訓(xùn)練課本P54練習(xí) 1、2、3.補(bǔ)充練習(xí)，教師巡視，啟發(fā)，對(duì)做得好的同學(xué)給予表教師用實(shí)物投影儀把題目投射到屏幕上讓學(xué)生解答揚(yáng)鼓勵(lì).1. (1)下列運(yùn)算中，正確的是()八 236A. a a =a2 33 2B. (-a ) =(-a ) c.( ja-i)0=or / 2、36D.(-a ) =-a下列各式?。ǎ?，十J a ，7 a （各式的n

21、N ,a R ）中，有意義的是( )A.B.C.D.（3）（陌）1 2. 計(jì)算：(1)0.027 3 ( （Mvav 等于（A.aB.a23C.aD.a4（4）把根式2翠（a -b），改寫成分?jǐn)?shù)指數(shù)幕的形式為2B.-2(a-b)A.-2(a-b)2 2C.-2(a 5 -b "5)55D.-2(a 匕-b P )2 1化簡(jiǎn)（a3 b21 1)(-3a2b)A.6aB.-aC.-9aD.9a3-2+256 4 3-1+ (2 1) 0設(shè) 5x=4,5y=2,則 52x"y3.已知x+y=12,xy=91x2且XV y,求-7x2的值.答案:1.(1)D(2)B(3)B(4)A

22、(5)C2.(1)19(2)81 1X -2x2y2 + y1 1 x2-y2 1- 1 11 1x2 +y2 (x2 + y2)(x2 -y2)2 23.解:111(x2-y2)(x2 -y2)x-y因?yàn)?x+y=12,xy=9,所以(x-y) =(x+y) -4xy=144-36=108=4 27.又因?yàn)閤Vy所以x-y=-2 >33=-63.所以原式 -6433拓展提升1八竹 X-1x+1 x-x31.化簡(jiǎn)一1+-十一X3 +x3 +1 X3 +1 X3 -1，應(yīng)對(duì)原式進(jìn)行因式分活動(dòng)：學(xué)生觀察式子特點(diǎn)，考慮x的指數(shù)之間的關(guān)系可以得到解題思路 解,根據(jù)本題的特點(diǎn)，注意到：1 1 2

23、1x-1=(x 3)3-13=(X 3-1)(X 3 +x3 +1);1 1 2 1x+1=(x 3)3+13=(x 3+1) ( 3-x3+1);1 1 1 1 1 1x-x 3 =x 3 : (X 3)2-1: =x3(x3-1)(x 3+1).構(gòu)建解題思路教師適時(shí)啟發(fā)提示.解:X -121X3 +x3 +1+ x+11X3 +11 _x-x3 1X3 -11 1(x3)3-13 +(x3)3+11X3 +11x3x1X3 11-X31 2(x3 -1)(x3 +x2 1X3 +x2 +12 1+ 1) +(x3 + 1)(x3 -X3 +1)1X3 +11x3(x3 1)(x+1)1(X3 -1)1 2 1 2 1 1=x 3-1+x 3 -x3+1-x 3 -X 3 =-x 3點(diǎn)撥:解這類題目，要注意運(yùn)用以下公式，1111(a2-b2)(a2+b2)=a-b，1 1 1 1(a2 ±D2)2=a坐a2 b2+b，1 1 2 1 1 2(a3 ±33)(a a3b3+b 3 )=a ±.1 12.已知a2 +a 2 =3,探究下列各式的值的求法3 3_12 _2 a2 -a 2(1)a+a ;(2)a+a ;(3)二a? -a1 1a+a-1=7;解：(1)將a2 +a=3,兩邊平方，得a+a-1+2=9,