作業(yè)一高斯消元法和列主元消元法

1、用高斯消元法和列主元消去法求解線性代數(shù)方程組-11 1-283-2 13（X*是方程組的精確解）1高斯消去法1.1基本思想及計(jì)算過程高斯(Gauss)消去法是解線性方程組最常用的方法之一，它的基本思想是通過逐步消元，把方程組化為系數(shù)矩陣為三角形矩陣的同解方程組，然后用回代法解此三角形方程組得原方程組的解。為便于敘述，先以一個(gè)三階線性方程組為例來說明高斯消去法的基本思想。2x1 3x2 4x3 6()3x1 5x2 2x3 5()4x1 3x230x332 (III)17173-2程 方 把17上 17去，即可消去方程(II)、(III)中的X1,得同解方程組2x1 3x2 4x36()0.5x

2、2 4x34()3X2 22x3 20(III)將方程(II)乘(且)后加于方程(III),得同解方程組：0.52x1 3x2 4x36()0.5x2 4x34()2x34(III)由回代公式(3.5)得 x3 = 2, x2 = 8, x1 = -13。下面考察一般形式的線性方程組的解法，為敘述問題方便，將bi寫成ai, n+1, i = 1,2, n-o,allxlai2X2al3X3a/,n 1a2iXia22X2a23X3a2nXna2,n 1(1-1)aniXian2X2an3X3annXnan , n 1如果a110,將第一個(gè)方程中X1X1的系數(shù)化為1,得(1)a12 X2(1)a

3、1n Xna1(1na(0)其中 a1(j)j/(o), j = 1,- n, + 1 (記 a；°)aj , i = 1,2,- n； j = 1,2," + 1)an從其它n1個(gè)方程中消X1，使它變成如下形式(1)X1 a12 X2(1)a22 X2(1)a1n Xn(1)a2n Xna1(1na21)n(1-2)(1)an2 X2(1)ann Xnan1；其中aij1)(1)aijmi1aiji 2, ,na；,mi1anj 2,3, ,n 1X1八(1)a12 X2(2)X2 a23 X3(2)a33 X3(2)a3n Xna33n 1(1-3)由方程（1-1）到（

4、1-2）的過程中，元素 a11起著重要的作用，特別地，把a(bǔ)11稱為主元素。, 一（1）-（1） . 、如果（1-2）中a2；0 ,則以a；2）為主元素，又可以把方程組（1-2）化為:(1) (1)a1n Xn a1, n 1(2) (2)a2n Xn a2, n 1(2)(2)(2)an3 X3ann Xnan, n 1針對（1-3）繼續(xù)消元,重復(fù)同樣的手段,k步所要加工的方程組是:X1(1)(1)a12 X2* X3X2a23 X3(1)a1nXn(2)a2n Xna1(1n 1a22n 1Xk 1akk11)Xka(k akn1)Xn(k 1) ak 1,n 1_(k1)_(k1)/ 1)

5、akkXkannXnak,n 1(k ank1)Xka(k ann1)Xn(k 1) an, n 1設(shè)akk1） 。，第k步先使上述方程組中第k個(gè)方程中xk的系數(shù)化為1:(k)Xk ak,kXkakn)Xnakk) i然后再從其它（n - k）個(gè)方程中消Xk,消元公式為:akjk)(k 1) akjai(k)i(k kk(ki)i)(k 1) aikj k, kakjk)1, ,n 1(1-4)1,1,n 1按照上述步驟進(jìn)行 n次后,將原方程組加工成下列形式:(1) a12 X2(1) a 13 X3(1)a 1n X n a1,n 1X2(2)a23 X3(2)a2n Xna(2)a2,n

6、1Xn 1(n 1)annXn(n 1)a n 1,n 1Xn(n)a n,n 1Xi回代公式為:(n)Xn an,n(k)Xk ak,n(k)akj Xj11, ,1(1-5)綜上所述，高斯消去法分為消元過程與回代過程,消元過程將所給方程組加工成上三角形方程組，再經(jīng)回代過程求解。由于計(jì)算時(shí)不涉及 Xi, i = 1,2,n；所以在存貯時(shí)可將方程組AX = b，寫成增廣矩陣（A,b）存貯。卜面，我們統(tǒng)計(jì)一下高斯消去法的工作量；在（1-4）第一個(gè)式子中,每執(zhí)行一次需要n （n k）次除法，在（1-5）第二個(gè)式子中，每執(zhí)行一次需要n （k1) (n k)次除法。因此在消元過程中，共需要n(n kk

7、 1n(n kk 11) (n k) (n k 1)211)2 -n(n 1)(2n 1) 6次乘作法。此外，回代過程共有(n k) -(n 1)k 12次乘法。匯總在一起，高斯消去法的計(jì)算量為:n 2 (n 3n 1)3次乘除法。1.2 基于Matlab的程序代碼function x=gauss6(A,b)%x=gauss6(A,b)正消n=length(A);a=A,b;for k=1:n-1for i=k+1:nl(i,k)=a(i,k)/a(k,k);a(i,k+1:n+1)=a(i,k+1:n+1)-l(i,k).*a(k,k+1:n+1); endend%回代if a(n,n)=0

8、returnendx(n)=a(n,n+1)/a(n,n);for i=n-1:-1:1x(i)=(a(i,n+1)-sum(a(i,i+1:n).*x(i+1:n)/a(i,i);end1.3 運(yùn)行結(jié)果圖» b=l ：< A> b 1x 二C. 05090+ 10IB 0, OS32 0. 04712列主元消去法2.1 基本思想及計(jì)算過程所以又叫順序消前述的消去過程中，未知量是按其出現(xiàn)于方程組中的自然順序消去的,去法。實(shí)際上已經(jīng)發(fā)現(xiàn)順序消去法有很大的缺點(diǎn)。設(shè)用作除數(shù)的at。為主元素，首先，消元過程中可能出現(xiàn)akk"為零的情況，此時(shí)消元過程亦無法進(jìn)行下去；其次如

9、果主元素akk 1)很小，由于舍入誤差和有效位數(shù)消失等因素，其本身常常有較大的相對誤差，用其作除數(shù)， 會導(dǎo)致其它元素?cái)?shù)量級的嚴(yán)重增長和舍入誤差的擴(kuò)散，使得所求的解誤差過大，以致失真。在消元過程中適當(dāng)選取主元素是十分必要的。誤差分析的理論和計(jì)算實(shí)踐均表明：順序消元法在系數(shù)矩陣 A為對稱正定時(shí)，可以保證此過程對舍入誤差的數(shù)值穩(wěn)定性，對一般的 矩陣則必須引入選取主元素的技巧，方能得到滿意的結(jié)果。在列主元消去法中，未知數(shù)仍然是順序地消去的，但是把各方程中要消去的那個(gè)未知數(shù)的系數(shù)按絕對值最大值作為主元素，然后用順序消去法的公式求解。冽主元消去法流程圖2.2 基于Matlab的程序代碼function x

10、=lie(A,b)%x=lie(A,b) n=length(b); eps=10A-2; for k=1:n-1mainElement,index=max(abs(A(k:n,k);index=index+k-1;%index 在A(k:n,k)中的行號轉(zhuǎn)換為在 A中的行號 if abs(mainElement)<epsdisp('列元素太小！ ！)； break;elseif index>k%列主元所在行不是當(dāng)前行，將當(dāng)前行與列主元所在行交換temp=A(k,:);A(k,:)=A(index,:); A(index,:尸temp; end%消元for i=k+1:nm(i,k尸A(i,k)/A(k,k);%A(k,k)將 A(i,k)消為 0 所乘系數(shù)A(i,k:n尸A(i,k:n)-m(i,k)*A(k,k:n);%第 i 行消元處理b(i)=b(i)-m(i,k)*b(k);% 還有 b 也需要處理！ ！end end%回代b(n)=b(n)/