保險(xiǎn)精算學(xué)4-2作業(yè)

1、1、30歲的人購(gòu)買(mǎi)兩年期定期保險(xiǎn)，保險(xiǎn)金在被保險(xiǎn)人死亡的年末給付，保單年度t的保額為bt,已知條件為：q3o=O.1, b2=10- bi, q3i=0.6.i=0, Z表示給付現(xiàn)值隨機(jī)變量，則求使得Var(Z)最小的bi的值?！窘馕觥繀[山則、=1,故y h e J 町f* =札"I 卩 _ 1 "-如lrK(30) - 0三皿=總弭=卩rK (3(J>=皿=嗎風(fēng)】=(1 -0.lx0 6= 0/)4故 t'(2 ) = b, X )1 + (10-/1,)K0.54. 昇 xO.l + 10 =,)" J( 0.54.故 V瘦 f (Z) = &#

2、163;'(Z)-(£(Z )f = 0-44聽(tīng) 4為:-(rC4H/i,十 24.S-+=所以當(dāng),=6XJ41i/(2 X0.44M).8 忖，rr(2)最小口2、50歲的人投保保額為1的終身死亡保險(xiǎn)，設(shè)年利息力為常數(shù)0.06,死亡服從De Moivre假設(shè)，3=100,求保額在保單生效時(shí)的精算現(xiàn)值。t解析ItEOeMoNre假段卜一.仃r/J X. JtI1M X.ZJ J * 皿一工5(!5O + f)=l/50o所以保獺花保單生效時(shí)的精算現(xiàn)值為書(shū)3、已知：lx=100 X, 0« 100 i=0.06。求 A3010【解析J己知?jiǎng)t故IT±-tt*,

3、 JOD-J - Jk - lUG + jt + t + 11 o n - JK-y 宀OCJ -工匕7,36111I () - A-0.5584(90-jr) 7,3601k101)- A10血一_157.6_0,5SR4.r100 - Jt“57 6- 0 54x10故”軸麗=TO=0 5X44、已知：A 0.24,4 100.35, AX：100.5。求AX10。【解析】由已知，有故一罰二兒-,嚴(yán)九訥"5、(25)有一份終身壽險(xiǎn)，提供如下保障:(1)死亡保險(xiǎn)金在死亡發(fā)生的年末支付，并且在65歲之前為20000元，在其后為10000元;(2)若其在65歲時(shí)仍然活著，則退回躉繳純保

4、費(fèi)(不帶利息) (3) A25=0.10, A65=0.2, 4OP25=0.8, V4O=0.2。求該保險(xiǎn)的躉繳純保費(fèi)。t解析】設(shè)尸為g繳純保費(fèi)、込為死亡給付現(xiàn)偵隨機(jī)變童，則閩的荒繳純保費(fèi)可以看柞 一個(gè)蛤討2000()尤的終身壽險(xiǎn).減去一個(gè)給忖1000()尤的40佯延期終:壽險(xiǎn)”加上一個(gè)砧歲肘 的生存保險(xiǎn)，W尸=2M(KM鵡-儉+嚴(yán)嚴(yán)乂畑"7化服> =200啊碼一 mow如兀-200(1"工-1恥00嚴(yán)服九、+20000 X 0 1 - 0(JOOx 2 x () M x 0 21 - 0 2x0.8耕冉 t 八 M 200(1< X ).6、已知 A35：1

5、 0.9439, (2) A35 0.13, ( 3) P35 0.9964, (4)(IA)353.71。求(IA)36?！窘馕觥坑梢裇b #=V ?十卩葉=V = 0,439 乂(M.-心= F P/ WL r7、一份保險(xiǎn)若(80)在第k+ 1年死亡，k=0, 1, 2,，則在其死亡年末支付k+1。假設(shè)v=0.925;且若q8o=O.1，則該保險(xiǎn)的躉繳純保 費(fèi)為4。那么當(dāng)q80=0.2時(shí)，求該保險(xiǎn)的躉繳純保費(fèi)?！觉r析】由已知，有原繳純保費(fèi)為呻旳+2#為曲弘i+3v>so'i(a I皿沁出皈|+- W時(shí)*TW2內(nèi)總I朝叫嗆+4V為. J=4%鮒由41變?yōu)槎r(shí)”新的«繳

6、純保費(fèi)知加餉4( 1 -沏QQ謨務(wù)4狩L島+4叫辦|+-) =2伽加一 2如)仗一唄=2 X 0.925X0.1 + (1 2 X(1 X (4-0'?)25 X0J )X)-9=3*668對(duì)于（60）購(gòu)買(mǎi)的20年期遞減的定期壽險(xiǎn)，已知i=0.06,當(dāng)q6o=O.3時(shí)，該險(xiǎn)種的躉繳保費(fèi)為13元；當(dāng)q6o=O.2時(shí)，設(shè)該險(xiǎn)種的躉繳保費(fèi)為P。且除60歲外，其余年齡的生存狀況沒(méi)有任何改變。求P。解析】洱時(shí)，仙丨"=酣和P J恥）:問(wèn)故（g L耐"1八故當(dāng)爾cHH時(shí)，=20 XX 0,2 十X<1 -0 2x1 (J61 Of,=12 19、小張為現(xiàn)年60歲的母親購(gòu)買(mǎi)

7、了一份終身壽險(xiǎn)保單，保單利益為:若被保險(xiǎn)人在保險(xiǎn)期第一年內(nèi)死亡，則在年末給付保險(xiǎn)金7000元;若在第二年內(nèi)死亡，則在年末給付保險(xiǎn)金 7100元，即在以后，死亡時(shí)間每推遲一年，保險(xiǎn)金額增加100元。已知i=2%, M6o=184.8575O9,D6o=274.336777, 0=3538.387666。求這種壽險(xiǎn)的躉繳純保費(fèi)?！窘馕觥看藟垭U(xiǎn)叮分解為兩部分，一部分為給時(shí)保險(xiǎn)金不變的壽險(xiǎn)，不論被保險(xiǎn)人什么 吋候死亡保險(xiǎn)金給付擁是6帥0兀，另一部分為變額痔險(xiǎn)，尿險(xiǎn)金的給付按死亡時(shí)閭推移，每 年謹(jǐn)增HX）元，則這種壽險(xiǎn)曲崑繳純保費(fèi)為=.W陽(yáng)叫nflyOUA“ + 1 00(打Oz =麻勺 «計(jì)

8、 十 100%3:53 飢抬"66=6900 Xh 1 00 K：74.3367772T4,33<i777=幾】10、考慮一終身壽險(xiǎn)，保險(xiǎn)金額b在死亡時(shí)刻給付，Z為未來(lái)給付的隨機(jī)變量的現(xiàn)值，已知 8=0.04,如=0.02, t >p E(Z)二Var(Z)。求bE解析】由丁-二=廠亠"巧=，”一 kii h故 EZ = hA = *力"3訂)=廣倫一町)-擴(kuò)p + Vi » "丿 J3辭得 1 b = 3.75.1,0 T 9511、設(shè)(X)的未來(lái)壽命T=T(x)的密度函數(shù)為：J t 950,其它利率力為8=0.06,保額為一個(gè)單

9、位的終身壽險(xiǎn)的現(xiàn)值隨機(jī)變量為乙求滿足Pr(Z<Z.9)=0.9的分位數(shù)Z.9的值。【解析】令"F 2 "叫時(shí),r = exp. R ） < L則I血r卩化左門(mén)耳卜叫/曲J =（丁，的= iJ_9解軒:h = 9 fly In 芻* = 9 芍 In 卄做 q = &斗-9"） = 0655.12、30歲的人購(gòu)買(mǎi)保額為1000元的特殊的35年期兩全保險(xiǎn)，已知在其購(gòu)買(mǎi)保險(xiǎn)時(shí)，其兩個(gè)孩子的年齡分別是3歲和6歲，保單特殊約定為：如果被保險(xiǎn)人死亡時(shí)兩個(gè)孩子的年齡都小于11歲，那么給付額為3000元，如果被保險(xiǎn)人死亡時(shí)只有一個(gè)孩子的年齡小于11歲,那么給付

10、額為 2000元。在被保險(xiǎn)人死亡時(shí)立即給付保險(xiǎn)金，且eo+t=0.04, t 80.06，35E3o=0.0302。則求此保單的躉繳純保費(fèi)?！窘馕觥坑深}嗇呵知，逐保雌相當(dāng)于額】0仙無(wú)的站年期兩全保險(xiǎn)41（%元保額的！4年期 定期侃險(xiǎn)5*卡內(nèi)被探險(xiǎn)人只冇一個(gè)挨子小于H歲）+10lK17t保額的$年期定期悚險(xiǎn)（5年內(nèi) 兩人孩了都小子11歲】,故此?？诘亩U保險(xiǎn)費(fèi)為乂II txpt#n 5工時(shí)-口'門(mén)屮小,辦+ ”七“+ /1卩（一歸）5和-如* /）戸叭df4, «p（-知）沱匸鞏-斗l-es p 5(也 U4 + WI用) = 7yb JG J"呻血呵'，I宀

11、 “:二加噸卜即心“呵0 04+0山4 + 0 0613、設(shè)乙是（X）歲的人投保死亡即刻賠付1的n年定期壽險(xiǎn)的現(xiàn)值變量，Z2是（X）歲的人投保死亡即刻賠付1的n年定期兩全保險(xiǎn)的 現(xiàn)值變量。已知：vn = 0.200, nPx = 0.450, EZ2 = 0.350, VarZ2=0.060,求 Var(Z1)。【斛析】令Zj為G）歲的人投保期末貼付1的用年定期生存保險(xiǎn)的現(xiàn)偵變童.則有; 史飛王= * *»卩，=0 .2 xO”45 = 0,09= f'h ” p, = （）1.04 X- >.45 = U.OlN根據(jù)兩全保險(xiǎn)定期爲(wèi)險(xiǎn)和生存保險(xiǎn)的爻系，有昭皿所以 E（ZQ=E（£d+E,故 f（Z, ）=£（）-£（Z,）=0J5-0.09=0.26:X 應(yīng)&