傅里葉變換與濾波器形狀.

1、第7*傅里葉i換鳥讒波彬狀中國科學技術大學曾凡平第7章主耍內(nèi)容離散時間傅里葉變換確定濾波器的形狀以及它的特性， 本章討論：應義離散時間傅里葉變換定義數(shù)字濾波器的頻率響應建立頻率響應、傳輸函數(shù)、弟分方禪和脈沖響應之間的 聯(lián)縈4.5a7.8用離散時間傅里葉變換計算濾波器在正弦輸入時的輸出 確宦數(shù)字濾波器的郵度響應和相位響應建立模擬頻率和數(shù)字頻率的關系說明極冬點位置如何決定濾波器形狀研究一階系統(tǒng)和二階系統(tǒng)實例7.1傅里葉變換基礎濾波器的特性上要通過頻域的特性來描述。比如對濾 波器的分類.就是從濾波器對不同頻率輸入信號的過 濾作用進行分類的。離散時間傅里葉變煦DTFT)是數(shù)字信號分析的一個工 具，相當

2、于模擬信號分析的傅里葉變換(本章耒討論) DTFT把信號或濾波器從時域變換到頻域，這主耍是 為了研究信號或濾波器的頻率特性.像帕面章節(jié)屮介 紹的Z變換一樣，用DTFT可使訃算更容易。這一變換 主耍用來分析濾波器形狀和信號頻譜。B7*itrtty 址尺耶信號的頻譜及濾波器的頻率響應対于傳號而哮，DTFT提供的信息隸卷信號的 頻確，關于信號頻譜將在下一章中討論。DTFT得創(chuàng)的信總隸拓諫浪 姜的殖卑詢定(frequency response),它由兩 部分組成；樞1 構;S (magnitude response)和 依切注(phase response),這些將在7.3.2節(jié) 討論。福衣詢注伶出了

3、流波的形狀，通過它 可以深入了解濾波器的工作情況。7.1.1雷獄討同痔里葉變換DTFTD777的定義：.(0)二$訃水用 Q：稱為數(shù)？頻率 記為：X(2)二川力訓相當于Z變換式中的/ill e = cos(nQ) 7 sin(/iQ)on故：工(Q) 乂 可以-*d/j5LV(Q=A/il - (tcsnQ) - j sin/Q)=-逆離散時間傅里葉變換：山X(G)計?M川的過程2龍A*積分區(qū)間氐度為2;r (積分h卜-RiZ差)從v(0的定義知：同一數(shù)字序列fnv( /?)的值取決 r數(shù)字頻率當數(shù)字信號斗川包含的正弦或余 弦分M與數(shù)字余弦5附0)或正弦助(” 0)共 振”，也就是說，X門 1

4、包含的正弦分駅頻率等于 0, 丫(/?)取得最犬值。見圖71 (P174)，圖71只考慮了川。)的實數(shù)部 分。圖7.1(c)屮較大的乘積，表明所研究的信號具有接 近=0J弧度的數(shù)字頻率。DTFT的計算.DTFT看起來很恐怖，因為冇無限項和耍計算，但 程實踐中的信號均為冇限項，H般借助計算機 來輔助分析，實際上并不町怕.函數(shù)；J Xofn ega=freqz(xn, 1, omega) wwega為頻率向量-為所烏嚓的缶號廠DTFT舉例例71求圖7.2所示信號的離散時間傅里葉變換。解：.只冇4個非零采樣值H? IM化勺0尸幾1, 2, J)對變換 有貢獻，因而：X(n)= m 対 n l = 2

5、 - F + 3*聲】 : .一般情況下，ormu 數(shù)值。7.1.2 DTFT的性質仁線性性質：滿足穂加原理2、時延特性：廠；4川之初（2） 時域屮皿的延遲在頻域巴引入一個復指數(shù) 嚴3、周期性山 ” -jH（n*2jr） _-Jfi2rr -yidi _ -jHCi工（0 + 2初=2）所仃的D7/T對r所仃的毎2廠重復一次，也 就是說，只需?？紤]X（ ）在Si ei（）, 2n 區(qū)間的特 性就行。S7弭星艸*u7.2頻卑佝應及曳它形式721頻率響應和弟分方程jfAZ如何從差分方程 中判別是高通、 低通、帶通、帶 陽濾波？根據(jù)頻率響應與 差分方程的關 系，Mfe度頻率 響應圖判斷。乞w価*卜工

6、 心上-3-：利用DTFT的吋延特件得NMy（QY yJWxg）濾波器W頻半響應：a n*4 fYQ）工 -vH(Li)= 力| 廣網(wǎng)=川力皿.山此HJ見，差分方程、傳輸函數(shù)、脈沖響應和頻率響 應是吋以互換的，它們包含了濾波器的相同的信息， 都町以川來完整地描述濾波器的特性由于頻率響應 可以從Z傳遞函數(shù)點接導出，所以認為有三種主要的 模型。例76脈沖響應與頻率響應例二6 敎宇港波若的脈沖響應為！/in = 5額/| 一整/1 一 I + 0.25/1 -2 - 0.043 n -3 求濾渡器的率響應的良達式。解：響應是脈沖響應的inrr.JL式(7.3人因而得：/(H)=A切c = 5 - 十

7、 02Vd =（的極點決定的犧態(tài)兒|刃 比I刃：穩(wěn)態(tài)值 其中兒I川取決于工的極點,J-/（2）sinQQ z ,-4 /y（2）sinQ-z* ,I 二z f-eLwd 十z-e_嚴）sin（2。.嚴 J-H（嚴） 嚴-g-a 十_嚴=（/0） - 心-H（嚴）-旳。頻率響應H（a）= Hg 1. q=|H（血）1fW H（=H（a） 0（Q） = -6（Q）21令G = Q。則冇（嚴” （0?？冢?胡叫）H （嚴）=“（-Q。）=1 （0。）屯-刪必*.-. - H（QJ 卜嚴嚴- Wg）卜昭譏一皿列H（G卜心”j（g*g_0從切+鞏3）汕（皿0 + &（久）同理:xfi = A cos(/

8、zQo) n 兒 M =1 (Qo)IJ cosQiQo + 0(0。) =.v|w = sin(Qo+/?J y/t = H(,) | J sin (L2 + (O J+6*J73頻率響應和濾波器形狀（續(xù)）所以，濾波器對止弦信號的穩(wěn)態(tài)輸出為同頻率 的IE弦信號，幅度和相位的變化収決丁濾波器 （傳輸函數(shù)）對該頻率的頻率響應.23731濾波器對正弦輸入的作用-詢提；假定濾波器是穩(wěn)定的航曲卩両g),廠 yg2(Q)dg冇時増益|(Q)| 用201og|(G)| 表示(血)i4zil = 7l-|77(Q)Hsin(zfQ+i9(Q)+6,)吋以證明，余弓玄信號.ww/k噸他+2）的頻譜為（QJ=z

9、f心屮見圖7.4 O在求逆傅里葉變換時，3（剛好消掉 了，所以為了簡便起見，K因子被齊抻B7*例7.7例7.8計算特宦頻率的正眩輸入作用卜的輸出 7.7轂字興皐外1.5必凡的余*垃通垃垃沐；8,程此卓下濤發(fā)器增*為-21朋,輛仗 走為!6。,*罠崛入度為20.梱仕力12則輸出幅A和材tijl戛少？霹：*Afi/iA2Ol2%ii是命號2(2( 1.5“ + 才)寫，虛1 ，那虞址*敢Sti 為-2Z幾僧達個隹不儻川于計鼻.必績閉U)4 =0.W1卅換j!U創(chuàng)1值 W為棚ftl 力86。.頓*旳蟲的久為down貯 綸出足和繪人焙號租悼*.*1愛擬域*1*_ 柳，印：xn) - /(n)A(n).

10、(20辻駕)(o ow 丨迪).1.782lor將腎式擴晨？仔輸出佶號為：yin I.782cM*(I.5ft + 98*)7 8席于” H 10和-20,求出上例嫌出ft號y5-l.782*(lSn +剜)的址 解：0聘哦咸抵度尋貞變送：rn = I.782(xM(I.5n +0.5444)叭# J0= -0.9593 和 y20j=J.7054e73.2幅度響應和相位響應(=|(C)|0Qg1(2) =1/() I或2()log I廳(0)1幅度響丿亂 幅頻特件 (n)= z/;(n)：相位持性，相頻特性表示在圖形I稱為幅度、相頻特性圖。 乎匸計算時，一般以群M為步氏汁算濾波器的 頻率響應

11、。見例7.9 (P181)next ppt2i732幅度響應和相位響應(續(xù)) H2)rf=- (2)：奇換數(shù)只需繪制Q30, rjZiHj的特件，乂它數(shù)字頻率的頻 率響應可以推斷出來.另外，Q n的頻率特性沒 冇總義，因為采樣后的高頻信號會折返為0n內(nèi) 的數(shù)字頻率(混1規(guī)家)。例 7.1(Pl 84JO川幅度丫旳對數(shù)表示郵頻特性的優(yōu)點是可以表示很大 的增益范由；仃時數(shù)字頻率也用対數(shù)表示，可以表 示觀寬的頻率范圍，尤梵可以把低頻特性非常突出 的表現(xiàn)出來(凸i低務精世0占X8 的MitJA矢梱社右A4期 7.7 *4i：4 4l宇AJLrlfLMSX A4 rtliJt：h.2 rlh . 4 n

12、alIU 2 RU1 IteJtMtrtA *4；值是-44 (IB - Mb 3 nd-XT 總嗔值乏429 cifi R 8 *i-I - U11SZ洌 711 Pl 84例7,H 把4fc字信號第“102（彳n）水#1*宇JfeStS上。的換隼響蟲鈿7點卿示求輸出住號。M：戟入偵號的伺學丸ff/4=0.785 4 rarl 庭 7.8申用-實線軋斥。在此師豪鼻注S增&17.4 dBA?-4u相位JL為37爐u 1応尺】妁MK為05堡幷以：tt 了 tt寸tt片耶欲914磯Pl 85H7.12 對洌7.9中的系址閨7.9分*IA出7坨A.分貝增對擴*的*戰(zhàn)以觀用峯尺和 角ZtH示的栩位A對

13、策辜的由41。根捉上面藥分析對于4fc字頻隼，只要#慮0-S的范Bk團7.9lt出了分坪益與集的姜柔。國79(b)a)是柑僮星(孤農(nóng))與無皐的臬*, 15 7-9 (b)(ii)送相僅菱(朮)坳頓弗的戔*。增A*i4比297上(“)更渝楚地表明，務有丸 (7.6)爾承皺皐響應杓渡減S相時皋講低頻仕號餃霍頻住號更易遇過比校圖7.9a)(i)曷(ii)可以出隻揍到分貝對幅度旳曲竹狀*3旳扶天.但是從 到用農(nóng)影聯(lián)并沒有變化以圖79(h)(i)與GO只)ifcU*的草位牙円。atSP 二 UUf90|B sOO0OO00O0& SS-S度應明濾器類，圖o刃 幅響說了波的型如口 HJIAnM旨單家弘矽4

14、甲w?r字號奮新側審W*駅。粉|?軍羊tf*屮#MW：r 印廿廿#3寸步場11殲裕*9第*樣。廿桿絆布W的孝片丄審智7工 g+ - 0-0 t T3二0剤esb爐*卑甲* Zt Li&98T1例714 P188tt7J4海its的脈沖4直為：(7.7)hn & ea1 - k25A/i -； 求誦沁護S的M卓構應#衣出前戲(戲社增亙根拉(戍”0 W：:H雋丈(H2)車礙HCn) .= I - L25r -卄鼻的度*A烏48位?直見袁知由7t2*d債明4式(7.7)卅眛*片哺 A*4X*%ti4aSattrfiytt*ttcfluuii洌7.15 Pl89W7.15 字*汶的丄nJ I ” - 1 - 0.15|( - 3J | I 4LX-AA4AikA(ll)t4.HU(Jt).：由久OJ).N車祐直輪表迪久為$g. I. “苗工卜人環(huán)見以祓件AASR軌的*牧仇11一*第ttrtsy址尺皐4M7.| fl7JS7 MY艸*豪4例716 P19()狀濾波器，模