初中幾何輔助線大全(很詳細(xì)哦)(20200915050624)

1、初中幾何輔助線一克勝秘籍等腰三角形1. 作底邊上的高，構(gòu)成兩個(gè)全等的直角三角形，這是用得最多的一種方法;2. 作一腰上的高;3 .過底邊的一個(gè)端點(diǎn)作底邊的垂線，與另一腰的延長(zhǎng)線相交，構(gòu)成直角三角形。梯形1. 垂直于平行邊2. 垂直于下底，延長(zhǎng)上底作一腰的平行線3. 平行于兩條斜邊4. 作兩條垂直于下底的垂線5. 延長(zhǎng)兩條斜邊做成一個(gè)三角形菱形1.連接兩對(duì)角2.做高平行四邊形1. 垂直于平行邊2. 作對(duì)角線一一把一個(gè)平行四邊形分成兩個(gè)三角形3. 做高一一形內(nèi)形外都要注意矩形1. 對(duì)角線2. 作垂線第3頁(yè)共56頁(yè)很簡(jiǎn)單。無論什么題目，第一位應(yīng)該考慮到題目要求，比如AB=AC+BD.這類的就是想辦法

2、作出另一條 AB等長(zhǎng)的線段，再證全等說明 AC+BD=另一條AB,就好了。還有一些關(guān)于平方的考慮勾股， A字形等。三角形圖中有角平分線,可向兩邊作垂線（垂線段相等）。也可將圖對(duì)折看,對(duì)稱以后關(guān)系現(xiàn)。角平分線平行線,等腰三角形來添。角平分線加垂線,三線合一試試看。線段垂直平分線,常向兩端把線連。要證線段倍與半,延長(zhǎng)縮短可試驗(yàn)。三角形中兩中點(diǎn)，連接則成中位線。三角形中有中線，延長(zhǎng)中線等中線。解幾何題時(shí)如何畫輔助線？ 見中點(diǎn)引中位線，見中線延長(zhǎng)一倍 在幾何題中，如果給出中點(diǎn)或中線，可以考慮過中點(diǎn)作中位線或把中線延長(zhǎng)一倍 來解決相關(guān)問題。 在比例線段證明中，常作平行線。作平行線時(shí)往往是保留結(jié)論中的一個(gè)

3、比，然后通過一個(gè)中間比與結(jié)論中的另一個(gè) 比聯(lián)系起來。 對(duì)于梯形問題，常用的添加輔助線的方法有1、過上底的兩端點(diǎn)向下底作垂線 2、過上底的一個(gè)端點(diǎn)作一腰的平行線 3、過上底的一個(gè)端點(diǎn)作一對(duì)角線的平行線 4、過一腰的中點(diǎn)作另一腰的平行線 5、過上底一端點(diǎn)和一腰中點(diǎn)的直線與下底的延長(zhǎng)線相交 6、作梯形的中位線 7、延長(zhǎng)兩腰使之相交四邊形平行四邊形出現(xiàn)，對(duì)稱中心等分點(diǎn)。 梯形里面作高線，平移一腰試試看。 平行移動(dòng)對(duì)角線，補(bǔ)成三角形常見。 證相似，比線段，添線平行成習(xí)慣。 等積式子比例換，尋找線段很關(guān)鍵。 直接證明有困難，等量代換少麻煩。 斜邊上面作高線初中數(shù)學(xué)輔助線的添加淺談人們從來就是用自己的聰明才

4、智創(chuàng)造條件解決問題的，當(dāng)問題的條件 不夠時(shí)，添加輔助線構(gòu)成新圖形，形成新關(guān)系，使分散的條件集中，建立已知與未知的橋梁，把問題轉(zhuǎn)化為自己能解決的問題，這是解決問題常用 的策略。.添輔助線有二種情況:1按定義添輔助線:如證明二直線垂直可延長(zhǎng)使它們，相交后證交角為 90 °證線段倍半關(guān) 系可倍線段取中點(diǎn)或半線段加倍；證角的倍半關(guān)系也可類似添輔助線。2按基本圖形添輔助線:每個(gè)幾何定理都有與它相對(duì)應(yīng)的幾何圖形，我們把它叫做基本圖形,添輔助線往往是具有基本圖形的性質(zhì)而基本圖形不完整時(shí)補(bǔ)完整基本圖 形，因此“添線”應(yīng)該叫做“補(bǔ)圖”！這樣可防止亂添線，添輔助線也有 規(guī)律可循。舉例如下:(1) 平行線

5、是個(gè)基本圖形:當(dāng)幾何中出現(xiàn)平行線時(shí)添輔助線的關(guān)鍵是添與二條平行線都相交的等 第三條直線(2) 等腰三角形是個(gè)簡(jiǎn)單的基本圖形:當(dāng)幾何問題中出現(xiàn)一點(diǎn)發(fā)出的二條相等線段時(shí)往往要補(bǔ)完整等腰三角 形。出現(xiàn)角平分線與平行線組合時(shí)可延長(zhǎng)平行線與角的二邊相交得等腰三 角形。(3) 等腰三角形中的重要線段是個(gè)重要的基本圖形:的基本圖形。出現(xiàn)等腰三角形底邊上的中點(diǎn)添底邊上的中線；出現(xiàn)角平分線與垂線 組合時(shí)可延長(zhǎng)垂線與角的二邊相交得等腰三角形中的重要線段(4) 直角三角形斜邊上中線基本圖形出現(xiàn)直角三角形斜邊上的中點(diǎn)往往添斜邊上的中線。出現(xiàn)線段倍半關(guān) 系且倍線段是直角三角形的斜邊則要添直角三角形斜邊上的中線得直角三

6、角形斜邊上中線基本圖形。(5) 三角形中位線基本圖形幾何問題中出現(xiàn)多個(gè)中點(diǎn)時(shí)往往添加三角形中位線基本圖形進(jìn)行證明 當(dāng)有中點(diǎn)沒有中位線時(shí)則添中位線，當(dāng)有中位線三角形不完整時(shí)則需補(bǔ)完 整三角形；當(dāng)出現(xiàn)線段倍半關(guān)系且與倍線段有公共端點(diǎn)的線段帶一個(gè)中點(diǎn) 則可過這中點(diǎn)添倍線段的平行線得三角形中位線基本圖形；當(dāng)出現(xiàn)線段倍 半關(guān)系且與半線段的端點(diǎn)是某線段的中點(diǎn)，則可過帶中點(diǎn)線段的端點(diǎn)添半 線段的平行線得三角形中位線基本圖形。(6) 全等三角形:全等三角形有軸對(duì)稱形，中心對(duì)稱形，旋轉(zhuǎn)形與平移形等；如果出現(xiàn) 兩條相等線段或兩個(gè)檔相等角關(guān)于某一直線成軸對(duì)稱就可以添加軸對(duì)稱形 全等三角形：或添對(duì)稱軸，或?qū)⑷切窝貙?duì)

7、稱軸翻轉(zhuǎn)。當(dāng)幾何問題中出現(xiàn) 一組或兩組相等線段位于一組對(duì)頂角兩邊且成一直線時(shí)可添加中心對(duì)稱形 全等三角形加以證明，添加方法是將四個(gè)端點(diǎn)兩兩連結(jié)或過二端點(diǎn)添平行(8)特殊角直角三角形當(dāng)出現(xiàn)30，45，60，135，150度特殊角時(shí)可添加特殊角直角三角形,利用45角直角三角形三邊比為1 : 1: V2 ; 30度角直角三角形三邊比為1 :2: V3進(jìn)行證明二.基本圖形的輔助線的畫法1.三角形問題添加輔助線方法方法1:有關(guān)三角形中線的題目，常將中線加倍。含有中點(diǎn)的題目，常常利 用三角形的中位線，通過這種方法，把要證的結(jié)論恰當(dāng)?shù)霓D(zhuǎn)移，很容易地解決了 問題。方法2:含有平分線的題目，常以角平分線為對(duì)稱軸

8、，利用角平分線的性質(zhì) 和題中的條件，構(gòu)造出全等三角形，從而利用全等三角形的知識(shí)解決問題。第4頁(yè)共56頁(yè)方法3:結(jié)論是兩線段相等的題目常畫輔助線構(gòu)成全等三角形，或利用關(guān)于 平分線段的一些定理。方法4:結(jié)論是一條線段與另一條線段之和等于第三條線段這類題目，常采 用截長(zhǎng)法或補(bǔ)短法，所謂截長(zhǎng)法就是把第三條線段分成兩部分， 證其中的一部分 等于第一條線段，而另一部分等于第二條線段。2.平行四邊形中常用輔助線的添法平行四邊形(包括矩形、正方形、菱形)的兩組對(duì)邊、對(duì)角和對(duì)角線都具有 某些相同性質(zhì)，所以在添輔助線方法上也有共同之處，目的都是造就線段的平行、 垂直，構(gòu)成三角形的全等、相似，把平行四邊形問題轉(zhuǎn)化成

9、常見的三角形、正方 形等問題處理，其常用方法有下列幾種，舉例簡(jiǎn)解如下:(1) 連對(duì)角線或平移對(duì)角線:(2) 過頂點(diǎn)作對(duì)邊的垂線構(gòu)造直角三角形(3) 連接對(duì)角線交點(diǎn)與一邊中點(diǎn)，或過對(duì)角線交點(diǎn)作一邊的平行線，構(gòu)造線段平行或中位線(4) 連接頂點(diǎn)與對(duì)邊上一點(diǎn)的線段或延長(zhǎng)這條線段，構(gòu)造三角形相似或等積三角形。(5) 過頂點(diǎn)作對(duì)角線的垂線，構(gòu)成線段平行或三角形全等3. 梯形中常用輔助線的添法梯形是一種特殊的四邊形。它是平行四邊形、三角形知識(shí)的綜合，通過添加適當(dāng)?shù)妮o助線將梯形問題化歸為平行四邊形問題或三角形問題來解決。輔助線的 添加成為問題解決的橋梁，梯形中常用到的輔助線有:在梯形內(nèi)部平移一腰。(2)梯形

10、外平移一腰(3)梯形內(nèi)平移兩腰第9頁(yè)共56頁(yè)延長(zhǎng)兩腰(5)過梯形上底的兩端點(diǎn)向下底作高(6)平移對(duì)角線(7)連接梯形一頂點(diǎn)及一腰的中點(diǎn)。過一腰的中點(diǎn)作另一腰的平行線。(9)作中位線如遇條件中有多邊形的兩邊相等或兩角相等, 的角度，就可以得到全等形， 時(shí)沒有中心。故可分“有心”四:造角、平、相似,和、差、積、商見。當(dāng)然在梯形的有關(guān)證明和計(jì)算中，添加的輔助線并不一定是固定不變的、單 一的。通過輔助線這座橋梁，將梯形問題化歸為平行四邊形問題或三角形問題來 解決，這是解決問題的關(guān)鍵。作輔助線的方法:中點(diǎn)、中位線，延線，平行線。如遇條件中有中點(diǎn)，中線、中位線等，那么過中點(diǎn)，延長(zhǎng)中線或中位線作輔助線，使延

11、長(zhǎng)的某一段等于中線或中位線；另一種輔助線是過中點(diǎn)作已知邊或線段的平行線，以達(dá)到應(yīng)用某個(gè)定理或造成全等的目的。二：垂線、分角線，翻轉(zhuǎn)全等連。如遇條件中，有垂線或角的平分線，可以把圖形按軸對(duì)稱的方法，并借助其他條件，而旋轉(zhuǎn)180度，得到全等形，這時(shí)輔助線的做法就會(huì)應(yīng)運(yùn)而生。其對(duì)稱軸往往是垂線或角的 平分線。三：邊邊若相等，旋轉(zhuǎn)做實(shí)驗(yàn)。有時(shí)邊角互相配合，然后把圖形旋轉(zhuǎn)一定 這時(shí)輔助線的做法仍會(huì)應(yīng)運(yùn)而生。其對(duì)稱中心，因題而異，有 和“無心”旋轉(zhuǎn)兩種。如遇條件中有多邊形的兩邊相等或兩角相等，欲證線段或角的和差積商，往往與相似形有關(guān)。在制造兩個(gè)三角形相似時(shí)，一般地，有兩種方法：第一，造一個(gè)輔助角等于已知角

12、； 第二，是把三角形中的某一線段進(jìn)行平移。故作歌訣：“造角、平、相似，和差積商見?！蓖辛忻锥ɡ砗兔啡~勞定理的證明輔助線分別是造角和平移的代表）九：面積找底高，多邊變?nèi)?。，往往作底或如遇求面積，（在條件和結(jié)論中出現(xiàn)線段的平方、乘積，仍可視為求面積） 高為輔助線，而兩三角形的等底或等高是思考的關(guān)鍵。如遇多邊形，想法割補(bǔ)成三角形；反之，亦成立。另外，我國(guó)明清數(shù)學(xué)家用面積證明勾股定理，其輔助線的做法，即“割補(bǔ)”有二百多種,大多數(shù)為“面積找底高，多邊變?nèi)叀薄Ｈ切沃凶鬏o助線的常用方法舉例一、在利用三角形三邊關(guān)系證明線段不等關(guān)系時(shí)， 若直接證不出來，可連接兩點(diǎn) 或延長(zhǎng)某邊構(gòu)成三角形，使結(jié)論中出現(xiàn)的線段

13、在一個(gè)或幾個(gè)三角形中， 再運(yùn)用 角形三邊的不等關(guān)系證明，如：例1 已知如圖1-1 : D E為厶ABC內(nèi)兩點(diǎn),求證:AB + AC> BD+ DE+ CE.證明：（法一）將DE兩邊延長(zhǎng)分別交 AB AC于M N在 AMN中, AM- AN > MD+ DE+ NE; (1)在 BDM中, MBb MD> BD(2)在 CEN中, CW NE> CE由(1) + ( 2) + ( 3)得:AM + AN+ MB+ MD CN+ NE> MD DE+ NE+ BD+ CE AB+ AC> BD+ DE+ EC（法二：）如圖1-2 ,延長(zhǎng)BD交AC于F,延長(zhǎng)CE交

14、BF于G在 ABF和 GFCn GDE中有:AB + AF> BD+ D® GF （三角形兩邊之和大于第三邊）（1）GF + Fd GE+ CE(同上)2)DG + GE> DE (同上)3)由(1) + ( 2) + ( 3)得:AB + AF+ GF+ FC+ CK+ GE> BC+ CK+ GF+ G& CE+ DE AB+ AC> BD+ DE+ EG二、在利用三角形的外角大于任何和它不相鄰的內(nèi)角時(shí)如直接證不出來時(shí)， 接兩點(diǎn)或延長(zhǎng)某邊，構(gòu)造三角形，使求證的大角在某個(gè)三角形的外角的位置上, 小角處于這個(gè)三角形的內(nèi)角位置上，再利用外角定理：可連例如

15、：如圖 2-1 :已知 D為 ABC內(nèi)的任一點(diǎn)，求證：/ BDO/ BACG圖21分析：因?yàn)? BDC與/ BAC不在同一個(gè)三角形中，沒有直接的聯(lián)系， 可適當(dāng)添加輔助線構(gòu)造新的三角形，使/ BDC處于在外角的位置，/BAC處于在內(nèi)角的位置；證法一：延長(zhǎng)BD交AC于點(diǎn)E,這時(shí)/ BDC是 EDCF外角,/ BDC>/ DEC 同理/ DEO/ BAC, / BDC>/ BAC證法二：連接 AD,并延長(zhǎng)交BC于F/ BDF> ABD的外角 / BDF>/ BAD 同理，/ CDF>/ CAD / BDH/ CDF>/ BADb/ CAD即：/ BDC>/

16、BAC注意：利用三角形外角定理證明不等關(guān)系時(shí),_通常將大角放在某三角形的外角位置上，小角 放在這個(gè)三角形的內(nèi)角位置上，再利用不等式性質(zhì)證明。三、有角平分線時(shí)，通常在角的兩邊截取相等的線段，構(gòu) 造全等三角形，如：例如：如圖 3-1 :已知ABC的中線，且/ 1 = / 2, / 3=/,1“ 11“ I1 ir 11 I-ir iin II" “r i- I J， zj r ri， *,ri-,r廠,ir- '滬 rur4,求證：BE+ CF> EF。I分析：要證BE+ CF> EF ,可利用三角形三邊關(guān)系定理證明， 須把 BECF,EF移到同一個(gè)三角形中,而由旦知

17、/一丄=/_2，丄W一4, 可在角的兩邊截取相等的線段，利用三角形全等對(duì)應(yīng)邊相等，把EN, FN, EF移到同一個(gè)三角形中。w . C . . . . - . - 1 一 rfJ L L - J證明：在DA上截取 DN DB,連接NE, NE貝U DNk DC在 DBE和 DNE中:DN =DB（輔助線的作法）<乂1 =N2（已知）IED =ED（公共邊） DBEA DNE (SAS BE= NE （全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等） 同理可得：CF= NF在EFN中EN+ FN> EF （三角形兩邊之和大于第三邊） BE+ CF> EF。注意：當(dāng)證題有角平分線時(shí)，?？煽紤]在角的兩邊截取

18、相等的線段，構(gòu)造全等三角形, J-亠一- 用全等三角形的性質(zhì)得到對(duì)應(yīng)元素相等。然后四、有以線段中點(diǎn)為端點(diǎn)的線段時(shí)，常延長(zhǎng)加倍此線段，構(gòu)造全等三角形。例如：如圖 4-1 : AD為 ABC的中線，且/ 1 = / 2,/ 3=/ 4,求證：BE+ CF> EF證明：延長(zhǎng)ED至M使DM=DE連接CM MR 在 BDE和 CDM中,BD =CD（中點(diǎn)的定義） N1 =NCDM （對(duì)頂角相等）（ED =MD（輔助線的作法） BDEA CDM （SAS又/ / 1 = / 2,/ 3=/ 4 （已知）圖41/ 1 + / 2+/ 3+/ 4= 180 ° （平角的定義） / 3+/ 2=

19、90°,即：/ EDF= 90° / FDM=/ EDF = 90°在 EDFn MDF中ED =MD（輔助線的作法）+NEDF =NFDM （已證）IDF =DF（公共邊） EDFA MDF （SAS EF= MF （全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等）在CM沖，CF+ CM> MF （三角形兩邊之和大于第三邊） BE+ CF> EF注：上題也可加倍 FD,證法同上。注意：當(dāng)涉及到有以線段史點(diǎn)為端點(diǎn)的線段時(shí)，可通過延長(zhǎng)加倍此線段 使題中分散的條件集中。構(gòu)造全等三角形,五、有三角形中線時(shí)，常延長(zhǎng)加倍中線，構(gòu)造全等三角形。例如：如圖 5-1 : AD為 ABC的中線，

20、求證： AB+ AC> 2AD分析：要證 AB+ AC> 2AD,-由圖想到： AB + BD> AD.,AC+ CD>AD,所以仁AB+ AC+ BD+ COAC+ AD= 2AE，左邊比要證第10頁(yè)共56頁(yè)結(jié)論多BD CD故不能直接證出此題，而由 2AD想到要構(gòu)造2AD,即加倍中線，把所要證的 線段轉(zhuǎn)移到同一個(gè)三角形中去。證明：延長(zhǎng) AD至E,使DE=AD連接BE,貝U AE= 2AD AD為 ABC的中線（已知） BD= CD （中線定義）在 ACDn EBD中BD =CD（已證）NADC =ZEDB（對(duì)頂角相等）ad =ED（輔助線的作法）圖5-1:. ACdA

21、 EBD （ SAS BE= CA （全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等）在 ABE中有：AB+ BE> AE（三角形兩邊之和大于第三邊） - AB+ AC> 2AD（常延長(zhǎng)中線加倍，構(gòu)造全等三角形）練習(xí)：已知 ABC AD是BC邊上的中線，分別以AB邊、AC邊為直角邊各向形外作等腰直角 三角形，如圖 5-2 , 求證EF= 2ADb六、截長(zhǎng)補(bǔ)短法作輔助線。例如：已知如圖_ 6-1 :在 ABC中，AB> AC丄1 = / 2 , P為AD上任一點(diǎn)。求證:.ABAC> PBPG-I,分析：要證：AB- AC> PB- PC,想到利用三角形三邊關(guān)系定 . .- .-_4/-_.

22、. .理證之，因?yàn)橛C的是線段之差，.故用兩邊之差小于第三邊， 叢而想到構(gòu)造第三邊AB. AC,故可在.AB上截取一an等于AC 得AB- AC= BN 再連接 PN貝y PC=PN 又在 PNB中，PBPNKBN 即: AB AC> PB-PC證明：（截長(zhǎng)法）在AB上截取 ANk AC連接PN , 在 APN和 APC中jAN =AC（輔助線的作法） 4N1 =N2（已知）IAP = AP（公共邊）第13頁(yè)共56頁(yè):. APNm APC （ SAS PC= PN （全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等）在 BPN中，有PB PN< BN （三角形兩邊之差小于第三邊） BP- PC< AB-

23、 AC證明：（補(bǔ)短法）延長(zhǎng)AC至M,使AM= AB,連接PM在 ABP和 AMP中AB =AM （輔助線的作法）F =N2（已知）Jap = AP（公共邊） ABPA AMP （ SAS PB= PM （全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等）又在 PCM中有：CM> PMPC（三角形兩邊之差小于第三邊 ） AB- AC> PB- PC。七、延長(zhǎng)已知邊構(gòu)造三角形:例如：如圖 7-1 :已知 AC- BD, AD丄AC于A , BC丄BD于B,求證：AD- BC分析：欲證 AD - BC先證分別含有 AD, BC的三角形全等，有幾種方案：ADC與厶BCD AOD與 BOC ABD與 BAC但根據(jù)現(xiàn)有條

24、件，均無法證全等，差角的相等，因此可設(shè)- _ - _ < .- _ _ . _ ."- - _ / . 一 法作出新的角，且讓此角作為兩個(gè)三角形的公共角。證明：分別延長(zhǎng) DA CB它們的延長(zhǎng)交于 E點(diǎn),/E（全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等）第15頁(yè)共56頁(yè)在 DBE與 CAE中/ AD丄AC BC丄BD （已知）/ CAE=/ DBE - 90 °（垂直的定義）NE =NE（公共角）匕 DBE =NCAE（已證）bD =AC（已知）（AAS ED EA= EC EB即：AD-BG（當(dāng)條件不足時(shí)，可通過添加輔助線得出新的條件，為證題創(chuàng)造條件。八、連接四邊形的對(duì)角線，把四邊形的問題

25、轉(zhuǎn)化成為三角形來解決。例如：如圖 8-1 : AB/ CD AD/ BC求證：AB=CD 分析：圖為四邊形，我們只學(xué)了三角形的有關(guān)知識(shí)，必須把它轉(zhuǎn)化為三角形來解決。證明：連接AC （或BD）/AB/ CD AD/ BC （已知）1 = / 2,/ 3=/ 4 （兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）N1 =N2（已證）AC =CA （公共邊）N3 =N4（已證） ABCA CDA （ASA AB= CD （全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等）九、有和角平分線垂直的線段時(shí)，通常把這條線段延長(zhǎng)。例如：如圖 9-1 :在 Rt ABC中，AB= AC, / BAC= 90°,/ 1 = / 2, CEl BD的延長(zhǎng)于

26、 E。求證：BD= 2CE證明：分別延長(zhǎng) BA CE交于點(diǎn)F。分析：要證 BD= 2CE想到要構(gòu)造線段.2CE,同時(shí)CE與 / ABC的平分線垂直，想到要將其延長(zhǎng)。 BEl CF （已知）/ BEF=/ BEC= 90°（垂直的定義） 在 BEF與 BEC中,$1=2（已知） *BE=BE（公共邊） nbef =NBEC（已證） BEFA BEC（ASA CE=FE=1 CF2/ BAC=90 BE 丄 CF （已知）/ BAC=/ CAF= 90°/ 1 + / BDA= 90°/ 1 + / BFC= 90/ BDAZ BFC在 ABMA ACF中2 BAC

27、= N CAF （已證） NBDA =NBFC （已證） AB = AC（已 知） ABDA ACF （AAS BD= CF （全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等） BD= 2CE十、連接已知點(diǎn)，構(gòu)造全等三角形。例如：已知：如圖 10-1 ; AC BD相交于 0點(diǎn)，且 AB= DC AC= BD,求證：/ A=/ D。分析：要證XAuXD，可證它們所在的三角形ABO和衛(wèi)CO全等而只直.ABfe衛(wèi)C和對(duì)頂角. 兩個(gè)條件-差一個(gè)條件，難以證其全等-只有另尋其它的三角形全等- 由AB= DC, AC= BD,若連接BC則 ABCn DCB全等，所以，證得/ A=/ D。證明：連接 BC,在 ABCn DCB中f

28、AB =DC （已知） <AC = DB （已知） bC =CB（公共邊）B ABCA DCB （SSS）/ A=/ D （全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等）卜一、取線段中點(diǎn)構(gòu)造全等三有形。例如：如圖 11-1 : AB= DC / A=/ D 求證：/ ABC=/ DCB分析由-AB.-D-C-X.A.=X.D-想到如取-AD-的中點(diǎn)-N,.連接.NB DCN故BN= CN / ABN=/ DCN下面只需證/ NBC=/ NCB再取 BC的中點(diǎn) M 連接 MN則由SSS公理有 NBM NCM所以/ NBC=/ NCB問題得證。NC，再由SAS公理有“ABN證明：取 AD, BC的中點(diǎn) N M連接

29、NB NM NC貝U AN=DN BM=CM在 ABN和 DCNan =DN （輔助線的作法） $NA=ND（E 知）aB = DC （已知） ABNA DCN （ SAS圖 11一1/ ABN=/ DCN NB = NC （全等三角形對(duì)應(yīng)邊、 角相等）第17頁(yè)共56頁(yè):NB = NC（已證）丿BM = CM （輔助線的作法） nM = NM （公共邊）:. NMB2A NCM (SSS) / NBC=/ NCB (全等三角形對(duì)應(yīng)角相等)/ NBO/ ABN = /NCBb/ DCN 即/ ABC=/ DCB第22頁(yè)共56頁(yè)AEB D解：過點(diǎn)D作DG/AC,交BF于點(diǎn)G所以DGFC= BD B

30、C因?yàn)锽DDC= 1 : 3所以 BD BO 1 : 4巧求三角形中線段的比值例 1.如圖 1,在 ABC 中，BD DC= 1 : 3, AE ED= 2 : 3,求=- -= - J - = = - - = - - R -= - J - =- - = - - =B -=. 1 J二 B=- a- -N= -= - J二 B=- - - an - - =- - =B = - a =. d - - -= -AF: FCo即 DG FC= 1: 4, FC= 4DG因?yàn)?DG AF= DE AE 又因?yàn)?AE ED= 2 : 3所以 DG AF= 3 : 2AF-DG即 3所以AF:心餌4DG=

31、1 : 6H n例 2.如圖 2, BC= CD AF= FC 求 EF: FD解:過點(diǎn)C作CG/DE交AB于點(diǎn)G,貝U有 EF: GC= AF: AC因?yàn)锳F= FC所以 AF: AO 1 : 2EF = -GC即 EF: GC= 1:2,因?yàn)?CG DE= BC:BD又因?yàn)锽O CD所以 BC: BD= 1 : 2CG : DE= 1 : 2即 DE= 2GC132GC-GC=-GC因?yàn)?FD= ED- EF=22 所以 ef： FD=-GCi -GC = li 32 2小結(jié)：以上兩例中，輔助線都作在了“已知”條件中出現(xiàn)的兩條已知線段的交點(diǎn) 處，且所作的輔助線與結(jié)論中出現(xiàn)的線段平行。一請(qǐng)?jiān)?/p>

32、看兩例，讓我們感受其中的一 奧妙！解：過點(diǎn)B作BG/AD,交CE延長(zhǎng)線于點(diǎn) G所以 DF: BG= CD CB因?yàn)?BD DC= 1: 3所以CD C吐3: 4即 DF: Bd3: 4,因?yàn)锳F:BG= AE: EB又因?yàn)锳E EB= 2:所以AF:BG= 2 : 32AF=-BG 即 3所以AF:例4.如圖4, BD DO 1 : 3, AF= FD,求 EF: FG解：過點(diǎn)D作DG/CE,交AB于點(diǎn)G所以 EF : DG= AF:AD因?yàn)锳F= FD所以 AF: AD= 1 : 2圖4即 EF: DG= 1: 2因?yàn)?DG CE= BDBC 又因?yàn)?BD C> 1 : 3,所以 BD

33、 B01: 4即 DG CE= 1: 4, CE= 4DG因?yàn)?FC= CE- EF=ADG-DG=-DG2 2-DG：所以 EF : FC= 2練習(xí):1.如圖 5, BD= DC AE:ED= 1 : 5，求 AF : FB。2.如圖 6, AD: DB= 1 :3, AE. EO= 3 1 ,求 BF:. FG答案：1、1 : 10；2. 9初中幾何輔助線初中幾何常見輔助線口訣人說幾何很困難,難點(diǎn)就在輔助線。輔助線，如何添？把握定理和概念。還要刻苦加鉆研, 找出規(guī)律憑經(jīng)驗(yàn)。三角形圖中有角平分線,可向兩邊作垂線。也可將圖對(duì)折看,對(duì)稱以后關(guān)系現(xiàn)。角平分線平行線,等腰三角形來添。角平分線加垂線,

34、三線合一試試看。線段垂直平分線,常向兩端把線連。線段和差及倍半,延長(zhǎng)縮短可試驗(yàn)。線段和差不等式,移到同一三角去。三角形中兩中點(diǎn),連接則成中位線。三角形中有中線,延長(zhǎng)中線等中線。四邊形平行四邊形出現(xiàn),對(duì)稱中心等分點(diǎn)。梯形問題巧轉(zhuǎn)換,變?yōu)楹?。兩腰延長(zhǎng)作出高。如果出現(xiàn)腰中點(diǎn),細(xì)心連上中位線。上述方法不奏效,過腰中點(diǎn)全等造。證相似，比線段,添線平行成習(xí)慣。等積式子比例換,尋找線段很關(guān)鍵。直接證明有困難,等量代換少麻煩。斜邊上面作高線,比例中項(xiàng)一大片。切勿盲目亂添線,方法靈活應(yīng)多變。分析綜合方法選,困難再多也會(huì)減。虛心勤學(xué)加苦練,成績(jī)上升成直線。由角平分線想到的輔助線口訣:圖中有角平分線，可向兩邊作垂線

35、。也可將圖對(duì)折看，對(duì)稱以后關(guān)系現(xiàn)。角平分線平行線，等腰三角形來添。角平分線加垂線，三線合一試試看。角平分線具有兩條性質(zhì)：a、對(duì)稱性；b、角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相 等。對(duì)于有角平分線的輔助線的作法，一般有兩種。第18頁(yè)共56頁(yè) 從角平分線上一點(diǎn)向兩邊作垂線； 利用角平分線，構(gòu)造對(duì)稱圖形（如作法是在一側(cè)的長(zhǎng)邊上截取短邊）。通常情況下，出現(xiàn)了直角或是垂直等條件時(shí)，一般考慮作垂線；其它情況下 考慮構(gòu)造對(duì)稱圖形。至于選取哪種方法，要結(jié)合題目圖形和已知條件。與角有關(guān)的輔助線（一）、截取構(gòu)全等幾何的證明在于猜想與嘗試，但這種嘗試與猜想是在一定的規(guī)律基本之上的，希望同學(xué)們能第26頁(yè)共56頁(yè)掌握相關(guān)的幾何

36、規(guī)律，在解決幾何問題中大膽地 去猜想，按一定的規(guī)律去嘗試。下面就幾何中常見的定理所涉及到的輔助線作以 介紹。如圖 1-1，/ AOCM BOC 如取 OE=OF 并連接 DE DF,則有 OED OFDDC從而為我們證明線段、角相等創(chuàng)造了條件。例 1. 如圖 1-2，AB/CD，BE平分/ BCD分析：此題中就涉及到角平分線，可以利CE平分/ BCD 點(diǎn) E 在 AD上,求證：BC=AB+CD用角平分線來構(gòu)造全等三角形，即利用解平分 線來構(gòu)造軸對(duì)稱圖形，同時(shí)此題也是證明線段的和差倍分問題，在證明線段的和差倍分問題中常用到的方法是延長(zhǎng)法或截取法 來證明，延長(zhǎng)短的線段或在長(zhǎng)的線段長(zhǎng)截取一部分使之等

37、于短的線段。但無論延 長(zhǎng)還是截取都要證明線段的相等，延長(zhǎng)要證明延長(zhǎng)后的線段與某條線段相等， 截 取要證明截取后剩下的線段與某條線段相等，進(jìn)而達(dá)到所證明的目的。簡(jiǎn)證：在此題中可在長(zhǎng)線段BC上截取BF=AB再證明CF=CD從而達(dá)到證明 的目的。這里面用到了角平分線來構(gòu)造全等三角形。 另外一個(gè)全等自已證明。此 題的證明也可以延長(zhǎng)BE與CD的延長(zhǎng)線交于一點(diǎn)來證明。自已試一試。例2. 已知：如圖 1-3，AB=2AC/ BAD2 CAD DA=DB 求證 DC!AC分析：此題還是利用角平分線來構(gòu)造全等三角形。 構(gòu)造的方法還是截取線段相等。其它問題自已證明。C例3. 已知：如圖1-4，在 ABC中，/ C

38、=2/ B,AD平分/ BAC求證:AB-AC=CD分析：此題的條件中還有角的平分線，在證明中還要用到構(gòu)造全等三角形，此題還是證明線段的和差倍分問題。用到的是截取法來證明的，在長(zhǎng)的線段上截取短的線段，來證明。試試看可否把短的延長(zhǎng)來證明呢?練習(xí)C1.已知在 ABC中, AD平分/ BAC / B=2/C,求證：AB+BD=AC2. 已知：在厶 ABC中,/ CAB=/ B，AE平分/ CAB交 BC于 E，AB=2AC求證：AE=2CE3. 已知：在 ABC中, AB>AC,A為/ BAC的平分線，M為AD上任一點(diǎn)。求證：BM-CM>AB-AC4. 已知：D是ABC的/ BAC的外角

39、的平分線AD上的任一點(diǎn)，連接DBDC 求證：BD+CD>AB+AC（二）、角分線上點(diǎn)向角兩邊作垂線構(gòu)全等過角平分線上一點(diǎn)向角兩邊作垂線， 利用角平分線上的點(diǎn)到兩邊距離相等的性質(zhì)來證明問題。例 1.如圖 2-1，已知 AB>AD, / BAC/ FAC,CD=BC求證：/ ADC/ B=180分析:可由C向/BAD的兩邊作垂線。近而證/ ADC與/ B之和為平角。例2.如圖 2-2，在 ABC中,/ A=90 , AB=AC/ ABDM CBD求證:BC=AB+AD分析:過D作DEL BC于E,則AD=DE=CE則構(gòu)造出全等三角形，從而得證。此題是證明線段的和差倍分問題,從中利用了相

40、當(dāng)于截取的方法。C圖2-2例3.已知如圖2-3 , ABC的角平分線BM CN相交于點(diǎn)P。/ BAC的平分線也經(jīng)過點(diǎn)P。分析：連接AP,證AP平分/ BAC即可，也就是證P到ABAC的距離相等。練習(xí):求證:CMF1. 如圖 2-4 /AOPMBOP=15 , PC/OA PDIOA,女口果 PC=4 貝U PD=(2 .已知在 ABC中,/ C=90 , AD平分/ CAB CD=1.5,DB=2.5.求 AC3.已知：如圖2-5,/ BACK CAD,AB>AD CEl AB1AE=2 (AB+AD .求證：/ D+/ B=180。4.已知：如圖2-6,在正方形ABCD中 , E為CD

41、的中點(diǎn),F為BCD上的點(diǎn),/ FAEW DAE 求證：AF=AD+CF5.已知：如圖 2-7，在 Rt ABC中,/ ACB=90,CDL AB,垂足為D, AE平分/ CAB交CD于F,過F作FH/AB交BC于 H。求證CF=BHB第21第40頁(yè)共56頁(yè)):作角平分線的垂線構(gòu)造等腰三角形從角的一邊上的一點(diǎn)作角平分線的垂線，使之與角的兩邊相交，則截得一個(gè)等腰三角形,垂足為底邊上的中點(diǎn)， 該角平分線又成為底邊上的中線和高，以利用中位線的性質(zhì)與等腰三 角形的三線合一的性質(zhì)。(如果題目中有垂直于角平分線的線段，則延長(zhǎng)該線段與角的另 邊相交)。BFk 圖示3-1例 1. 已知：如圖 3-1，/ BAD

42、2 DAC AB>AC,CLAD于 D, H是 BC中點(diǎn)。 求證：DH=1 (AB-AC2分析：延長(zhǎng)CD交AB于點(diǎn)E,則可得全等三角形。問題可證。BC的平分線，CEL BE.求證：BD=2CE分析：給出了角平分線給出了邊上的一點(diǎn)作角平分線的例2.已知：如圖 3-2 , AB=AC/ BAC=90 , AD為/ A垂線，可延長(zhǎng)此垂線與另外一邊相交，近而構(gòu)造出等腰三角 形。例3.已知：如圖3-3在ABC中，AD AE分別/ BAC的內(nèi)、外角平分線,EN 圖 3-3過頂點(diǎn)B作BFAD交AD的延長(zhǎng)線于F,連結(jié)FC并延長(zhǎng) 交AE于M。求證：AM=ME分析：由AD AE是/ BAC內(nèi)外角平分線，可得

43、EALAF,從而有BF/AE，所以想到利用比例線段證相等。例4.已知：如圖3-4，在 ABC中，AD平分/ BAC AD=AB CMLAD交AD延長(zhǎng)線于 M 求證：AM二（AB+AC2D關(guān)于AD的對(duì)稱"ED然后只需證DM=2Ec另外分析：題設(shè)中給出了角平分線AD,自然想到以AD為軸作對(duì)稱變換，作 AB由求證的結(jié)果AM二（AB+AC，即2AM=AB+AC也可2嘗試作 ACM關(guān)于CM的對(duì)稱 FCM然后只需證DF=CF即可。練習(xí)：AE是/ BAC的平分1. 已知：在 ABC中, AB=5 AC=3 D是 BC中點(diǎn),線，且CEIAE于E,連接DE求DE2. 已知BE、BF分別是 ABC的/

44、ABC的內(nèi)角與外角的平分線，AF丄BF于F，AE1 BE于E,連接EF分別交 AB AC于 M N,求證MNBC2（四）、以角分線上一點(diǎn)做角的另一邊的平行線有角平分線時(shí)，常過角平分線上的一點(diǎn)作角的一邊的平行線， 從而構(gòu)造等腰 三角形?；蛲ㄟ^一邊上的點(diǎn)作角平分線的平行線與另外一邊的反向延長(zhǎng)線相交,從而也構(gòu)造等腰二角形。如圖4-1和圖4-2所示。FB圖4-2例 4 如圖，AB>AC, / 仁/2,求證：AB- AC>BD-CD例 5 女口圖，BOBA BD平分/ ABC 且 AD=CD 求證：/ A+/ C=18Q例 6 如圖，AB/ CD AE DE分別平分/ BAD各/ ADE 求

45、證：AD=AB+CD練習(xí):1.已知，如圖，/ C=2/ A, AC=2BC求證： ABC是直角三角形。2. 已知：如圖，AB=2AC/仁/2，DA=DB求證:DCI ACC3. 已知CE AD是 ABC勺角平分線，/ B=60 ,求證：AC=AE+CD4. 已知：如圖在 ABC中,/ A=90 , AB=AC BD是/ ABC的平分線，求證:BC=AB+ADCB由線段和差想到的輔助線口訣:線段和差及倍半，延長(zhǎng)縮短可試驗(yàn)。線段和差不等式，移到同一三角去。 遇到求證一條線段等于另兩條線段之和時(shí)，一般方法是截長(zhǎng)補(bǔ)短法：1、截長(zhǎng)：在長(zhǎng)線段中截取一段等于另兩條中的一條，然后證明剩下部分等于另一條；2、補(bǔ)

46、短：將一條短線段延長(zhǎng)，延長(zhǎng)部分等于另一條短線段，然后證明新線段等于長(zhǎng)線段。對(duì)于證明有關(guān)線段和差的不等式，通常會(huì)聯(lián)系到三角形中兩線段之和大于第 三邊、之差小于第三邊，故可想辦法放在一個(gè)三角形中證明。一、在利用三角形三邊關(guān)系證明線段不等關(guān)系時(shí)，如直接證不出來，可連接兩點(diǎn)或廷長(zhǎng)某邊構(gòu)成三角形，使結(jié)論中出現(xiàn)的線段在一個(gè)或幾個(gè)三角形中， 再運(yùn)用三角形三邊的不等關(guān)系證明，如：例1、 已知如圖1-1： D、E為 ABC內(nèi)兩點(diǎn)，求證:AB+AC>BD+DE+CE.證明：（法一）將DE兩邊延長(zhǎng)分別交AB AC于M N,在 AMN中, AM+AN>MD+DE+NE；)心 BDM中, MB+MD>

47、BX2)心 CEN中, CN+NE>CE( 3)由(1) + (2) + (3)得:AM+AN+MB+MD+CN+NE>MD+DE+NE+BD+CE AB+AC>BD+DE+EC（法二：圖 1-2）延長(zhǎng)BD交AC于F,廷長(zhǎng)CE交BF于G 在 ABF和 GFCFy GDE中有:AB+AF>BD+DG+G三角形兩邊之和大于第三邊）GF+FC>GE+(W上)(2)DG+GE>De同上）（3）由(1) + (2) + (3)得:AB+AF+GF+FC+DG+GE>BD+DG+GF+GE+CE+DEI AB+AC>BD+DE+.EC在利用三角形的外角大于任

48、何和它不相鄰的內(nèi)角時(shí)如直接證不出來時(shí)，可連接兩點(diǎn)或延長(zhǎng)某邊，構(gòu)造三角形,使求證的大角在某個(gè)三角形的外角的位置上，小角處于這個(gè)三角形的內(nèi)角位置上,再利用外角定理:例如：如圖2-1 :已知D為 ABC內(nèi)的任一點(diǎn)，求證：/ BDC> / BAC。分析：因?yàn)? BDC 與/ BAC不在同個(gè)三角形中，沒有直接的聯(lián)系，可適當(dāng)添加輔助線構(gòu)造新的三角形，使/ BDC處于在外角的位置，/ BAC處于在內(nèi)角的位置;證法一：延長(zhǎng)BD交AC于點(diǎn)E,這時(shí)/ BDC® EDC勺外角,/ BDC2 DEC 同理/ DEC2 BAC :丄 BDC2 BAC證法二：連接AD并廷長(zhǎng)交BC于F,這時(shí)/ BDF是 A

49、BD的外角，/ BDF2 BAD 同理，/ CDF* CAD / BDF+/ CDF* BAD* CAD 即：/ BDC* BAC注意:利用三角形外角定理證明不等關(guān)系時(shí)，通常將大角放在某三角形的外角位置上,小角放在這個(gè)三角形的內(nèi)角位置上，再利用不等式性質(zhì)證明。有角平分線時(shí)，通常在角的兩邊截取相等的線段，構(gòu)造全等三角形,如:例如:如圖3-1：已知AD為 ABC的中線，且* 1 =/ 2* 3= / 4,求證：BE+CF>EF。分析：要證BE+CF>EF，可利用三角形三邊關(guān)系定理證明，須把BE，CF，EF移到同一個(gè)三角形中，而由已知/仁/2,/ 3=* 4,可在角的兩邊截取相等的線段，

50、利用三角形全等對(duì)應(yīng)邊相等，把EN，F(xiàn)N，EF移到同個(gè)三角形中。證明：在DN上截取DN=DB連接NE NF,貝U DN=DC在 DBEfy NDE中:r DN=D（輔助線作法）/仁/2 （已知）ED=E（公共邊） DBEA NDE( SAS BE=NE（全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等）同理可得：CF=NF在EFN中EN+FN>EF三角形兩邊之和大于第三邊） BE+CF>EF注意：當(dāng)證題有角平分線時(shí)，?？煽紤]在角的兩邊截取相等的線段， 構(gòu)造全等三角形，然后用全等三角形的對(duì)應(yīng)性質(zhì)得到相等元素。四、截長(zhǎng)補(bǔ)短法作輔助線。例如：已知如圖 6-1 :在 ABC中, AB>ACZ 1=* 2, P為 AD上任一點(diǎn)求證：AB-AC>PB-RC分析 要證：AB-AC>PB-PC想到利用三角形三邊關(guān)系，定理證之，因?yàn)橛C的線段之差，故用兩邊之差小于第三邊，從而想到構(gòu)造第三邊AB-AC,故可在AB上截取AN等于AC 得AB-AC=BN再連接PN貝U PC=PN又在 P