不等式證明方法與技巧（課堂PPT）

1、12一、比較法一、比較法比較法是證明不等式最基本的方法也是最常用的方法。比較法是證明不等式最基本的方法也是最常用的方法。兩種形式兩種形式作差法：作差法：作商法：作商法： 00011abab,abab;aab,ab,ab;bb當(dāng)當(dāng)時時幾點說明幾點說明作較法證明不等式的思路作較法證明不等式的思路: :作差作差( (商商),),變形變形, ,判斷；判斷；作作差法證題時差法證題時, 通常是進行因式分解通常是進行因式分解,利用各因式的符利用各因式的符號進行判斷號進行判斷,或進行配方或進行配方,利用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)進行判斷；利用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)進行判斷；作作商法證題時商法證題時,通常要考慮式子的正負(fù)通常要考慮式子

2、的正負(fù),尤其是作為除尤其是作為除式式子的值必須確定符號式式子的值必須確定符號;證冪指數(shù)、根式或乘積不等證冪指數(shù)、根式或乘積不等式時常用比商法。式時常用比商法。3xx3312、求證：、求證：例例bambmabamba ，求求證證：都都是是正正數(shù)數(shù)，并并且且、已已知知例例,222333abbabababa ，求求證證：是是正正數(shù)數(shù)，且且、已已知知例例,4.達達指指定定地地點點，問問甲甲、乙乙兩兩人人誰誰先先到到如如果果行行走走度度行行走走，另另一一半半路路程程以以速速乙乙有有一一半半路路程程以以速速度度行行走走；以以速速度度速速度度行行走走，另另一一半半時時間間甲甲有有一一半半時時間間以以點點沿沿

3、同同一一路路線線走走到到同同一一地地、甲甲、乙乙兩兩人人同同時時同同地地例例nmnmnm453115cabcab,cba求求證證：數(shù)數(shù)，且且、已已知知是是不不全全相相等等的的正正例例26a baba,ba b(ab)例例 、設(shè)設(shè)是是不不相相等等的的正正數(shù)數(shù)，求求證證：6二、綜合法二、綜合法利用已知條件或某些已證明過的不等式作為基礎(chǔ)，利用已知條件或某些已證明過的不等式作為基礎(chǔ)，再運用不等式的性質(zhì)推導(dǎo)出所要證的不等式，這再運用不等式的性質(zhì)推導(dǎo)出所要證的不等式，這種證明方法稱為綜合法。種證明方法稱為綜合法。1 1、定義、定義2 2、證明思路、證明思路綜合法的證題思路是綜合法的證題思路是由因?qū)Ч梢驅(qū)?/p>

4、果，也就是從已知，也就是從已知的不等式出發(fā)，不斷地用必要條件代替前面的的不等式出發(fā)，不斷地用必要條件代替前面的不等式，直接推導(dǎo)出所要證的不等式。不等式，直接推導(dǎo)出所要證的不等式。7已知已知a,b,c均為正數(shù)，證明下列不等式均為正數(shù)，證明下列不等式: 2 2、bccaababcabc22222216()()()、a bcb acc ababc2223、bcaabcabc84 4、若、若a a、b b、c c是不全相等得正數(shù)是不全相等得正數(shù)求證：求證：lg lg lg lg lg lg lga+lgb+lgclga+lgb+lgc 2ba2cb2ac9三、分析法三、分析法1 1、定義、定義從求證的

5、不等式出發(fā)，層層推出使這個不等式成從求證的不等式出發(fā)，層層推出使這個不等式成立的充分條件，直到得到一個明顯成立的不等式立的充分條件，直到得到一個明顯成立的不等式或一個比較容易證明的不等式為止，這種證明方或一個比較容易證明的不等式為止，這種證明方法叫做分析法。法叫做分析法。2 2、證明思路、證明思路分析法的證題思路是分析法的證題思路是執(zhí)果索因執(zhí)果索因，也就是從求證的不，也就是從求證的不等式出發(fā)，分析使這個不等式成立的充分條件，把等式出發(fā)，分析使這個不等式成立的充分條件，把證明這個不等式的問題轉(zhuǎn)化為這些條件是否具備的證明這個不等式的問題轉(zhuǎn)化為這些條件是否具備的問題，如果能夠肯定這些條件都已具備，那

6、么就可問題，如果能夠肯定這些條件都已具備，那么就可以判定所證的不等式成立。這種方法在探求不等式以判定所證的不等式成立。這種方法在探求不等式的證明思路時是最有效的方法之一。的證明思路時是最有效的方法之一。10200 2,2 2例例1 1、已已知知求求證證:c- c:c- cabcababaccab203:例例2 2、設(shè)設(shè)且且求求證證abcabcbaca11典型練習(xí)典型練習(xí)1abab,:ab.ba、若若 、 均均為為正正數(shù)數(shù) 求求證證證明方法一：證明方法一：abbaabbbaabaabba)()( ababbabbaa)( abbaba)( 0)()(2 abbababaabba 比比較較法法12

7、證明方法二：證明方法二：綜綜合合法法abbbaaabba abbababa)( abababba)2)( ba baabba 13證明方法三：證明方法三：分分析析法法baabba :要證要證0)(: baabba只只需需證證0)(: abbaabbbaa即即證證0)(: ababbabbaa只只需需證證0)(: abbaba即證即證成立成立即證即證, 0)()(:2 abbababaabba 14332131a,bR,ababab.、設(shè)設(shè)且且求求證證：33a b cabca,b,cR:a b c(abc). 、已已知知求求證證 比較法（作商）比較法（作商）分析法分析法1541111a,b,c,

8、abc,:abc.abc、設(shè)設(shè)為為三三個個不不全全相相等等的的正正數(shù)數(shù) 且且求求證證5102a(a)a,:log (a)log(a). 、已已知知求求證證 綜合法綜合法分析綜合法分析綜合法16四、換元法四、換元法換元法是指結(jié)構(gòu)較為復(fù)雜、量與量之間關(guān)系不很明顯換元法是指結(jié)構(gòu)較為復(fù)雜、量與量之間關(guān)系不很明顯的命題，通過恰當(dāng)引入新變量，代換原題中的部分式的命題，通過恰當(dāng)引入新變量，代換原題中的部分式子，簡化原有結(jié)構(gòu)，使其轉(zhuǎn)化為便于研究的形式。用子，簡化原有結(jié)構(gòu)，使其轉(zhuǎn)化為便于研究的形式。用換元法證明不等式時一定要注意新元的取值范圍。換元法證明不等式時一定要注意新元的取值范圍。1 1、定義、定義2 2

9、、兩種形式、兩種形式（1 1）三角換元）三角換元對于條件不等式的證明問題，當(dāng)所給條件較復(fù)雜，一對于條件不等式的證明問題，當(dāng)所給條件較復(fù)雜，一個變量不易用另一個變量表示，可考慮用三角代換，個變量不易用另一個變量表示，可考慮用三角代換，將復(fù)雜的代數(shù)問題轉(zhuǎn)化為三角問題將復(fù)雜的代數(shù)問題轉(zhuǎn)化為三角問題（2 2）增量代換）增量代換在對稱式在對稱式( (任意互換兩個字母任意互換兩個字母, ,代數(shù)式不變代數(shù)式不變) )和給定字和給定字母順序母順序( (如如a ab bc)c)的不等式的不等式, ,常用增量進行代換常用增量進行代換, ,代代換的目的是減少變量的個數(shù)換的目的是減少變量的個數(shù), ,使要證的結(jié)論更清晰

10、使要證的結(jié)論更清晰, ,思路更直觀思路更直觀, ,這樣可以使問題化難為易這樣可以使問題化難為易, ,化繁為簡?；睘楹?。 17.1a:, 1a22222121naaaann 求證、已知例增量代換增量代換典型例題典型例題31, 11222zyxzyx求證：、已知例增量代換增量代換18.,的的最最大大值值求求滿滿足足：、設(shè)設(shè)實實數(shù)數(shù)例例nymxnmyxnmyx1332222.3yxy-x:,222121422求求證證、已已知知例例yx192211021212121,(),.,.,.,.,x yRxyxyccABCD設(shè)設(shè)滿滿足足總總有有成成立立 的的取取值值范范圍圍是是練習(xí)練習(xí):20是根據(jù)已知或構(gòu)造

11、出來的一元二次方程，是根據(jù)已知或構(gòu)造出來的一元二次方程，一元二次不等式，二次函數(shù)的根、解集、一元二次不等式，二次函數(shù)的根、解集、函數(shù)的性質(zhì)等特征確定出判別式所應(yīng)滿足函數(shù)的性質(zhì)等特征確定出判別式所應(yīng)滿足的不等式，從而推出要證的不等式的方法的不等式，從而推出要證的不等式的方法.五、判別式法五、判別式法1 1、定義、定義2 2、注意、注意考慮二次項系數(shù)是否可以為零考慮二次項系數(shù)是否可以為零21221131212例例 、求求證證：xxx2222a,b,cR,abcabbcca例例 、已已知知求求證證：22六、反證法六、反證法從否定結(jié)論出發(fā)，經(jīng)過邏輯推理，導(dǎo)出矛盾，證實結(jié)論從否定結(jié)論出發(fā)，經(jīng)過邏輯推理，

12、導(dǎo)出矛盾，證實結(jié)論的否定是錯誤的，從而肯定原結(jié)論是正確的證明方法。的否定是錯誤的，從而肯定原結(jié)論是正確的證明方法。1 1、定義、定義2 2、證明思路、證明思路反證法是利用互為逆否的命題具有等價性來進行證明的，反證法是利用互為逆否的命題具有等價性來進行證明的，在使用反證法時，必須在假設(shè)中羅列出各種與原命題相在使用反證法時，必須在假設(shè)中羅列出各種與原命題相異的結(jié)論，缺少任何一種可能，則反證法都是不完全異的結(jié)論，缺少任何一種可能，則反證法都是不完全的的原結(jié)論詞原結(jié)論詞大于（大于（ ）小于（小于（ ）都是都是都不是都不是至少至少n n個個至多至多n n個個反設(shè)詞反設(shè)詞不大于不大于（）不小于不小于（）不

13、都是不都是至少有一個是至少有一個是至多至多n-1n-1個個至少至少n+1n+1個個原結(jié)論詞原結(jié)論詞有無窮多個有無窮多個存在唯一的存在唯一的對任意對任意p p，使，使恒成立恒成立反設(shè)詞反設(shè)詞只有有限多個只有有限多個不存在或至少存在兩個不存在或至少存在兩個至少有一個至少有一個p p，使，使不成立不成立230 111114a,b,c( , ),a)b,(b)c,(c)a例例1 1、設(shè)設(shè)求求證證：（不不可可能能同同時時大大于于24七、放縮法七、放縮法1 1、定義、定義欲證不等式欲證不等式ABAB，可通過適當(dāng)放大或縮小，借助一，可通過適當(dāng)放大或縮小，借助一個個( (或多個或多個) )中間量中間量C C作

14、比較，使得作比較，使得ACAC與與CBCB同時同時成立，由不等式的傳遞性知成立，由不等式的傳遞性知ABAB顯然成立，這種方顯然成立，這種方法叫做放縮法。法叫做放縮法。 利用放縮法證明不等式，要根據(jù)不等式兩端的特征利用放縮法證明不等式，要根據(jù)不等式兩端的特征及已知條件，采取舍掉式中一些正項或負(fù)項，或者及已知條件，采取舍掉式中一些正項或負(fù)項，或者在分式中放大或縮小分子、分母、把式子中的某些在分式中放大或縮小分子、分母、把式子中的某些項換以較大或較小的數(shù)，從而達到證明不等式的目項換以較大或較小的數(shù)，從而達到證明不等式的目的此類證法是一種技巧性較強的不等變形，必須的此類證法是一種技巧性較強的不等變形，

15、必須時刻注意放縮的跨度，進行時刻注意放縮的跨度，進行恰當(dāng)恰當(dāng)?shù)胤趴s，任何不適地放縮，任何不適宜的放縮宜的放縮(放的過大或過小放的過大或過小)都會導(dǎo)致推證的失敗。都會導(dǎo)致推證的失敗。2 2、證明思路、證明思路2512例例1 1、已已知知a a, ,b b, ,c c, ,d d是是正正數(shù)數(shù)，求求證證：abcdabdbcdcdbdac11121223*()例例 、求求證證：，n nNn1222121*(),kkkNkkkk提示：提示：2641 2231*2nN ,:n(n1)(n1)n(n).22例例 、設(shè)設(shè)求求證證放縮法放縮法21)1( nnnn21314*111nN ,:.925(2n)例例

16、、設(shè)設(shè)求求證證22111 11441444121()2n+1)nnnnnn提提示示：（27補充例題補充例題:mccmbbmaamcbaABC :,. 1求求證證為為正正數(shù)數(shù)且且的的三三邊邊長長是是已已知知mccmbbmaamcccfbafcbabafmbabmbaambbmaabfafxfmxmxmmxxxf )()(,)(mbaba )()(.),0()(),0,0(1)(:又又上上是是增增函函數(shù)數(shù)在在易易知知設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù)證證明明28)(23,. 2222222zyxxzxzzyzyyxyx：，zyx 求求證證不不全全為為零零已已知知實實數(shù)數(shù)22 )2(43)2(22222yxyxyxyyx

17、yxyx： 證證明明2,22222xzxzxzzyzyzy 同同理理可可得得)(23)2()2()2(,222222zyxxzzyyxxzxzzyzyyxyx，zyx 所以三式相加得所以三式相加得式取不到等號式取不到等號故上述三式中至少有一故上述三式中至少有一不全為零不全為零由于由于29.111, 3bbaabababa求證是實數(shù)已知、.1111111111110 :bbaababbaababababababababa 證明證明30八、構(gòu)造函數(shù)法八、構(gòu)造函數(shù)法(導(dǎo)數(shù)法導(dǎo)數(shù)法）根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性證明不等式的方法根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性證明不等式的方法.1 1、定義、定義2 2、證明思路、證明思路（1）構(gòu)造函數(shù)）構(gòu)造函數(shù)（2）探