《復變函數》教學資料(1)

1、.第第6 6章章 統(tǒng)計量及其分布統(tǒng)計量及其分布數理統(tǒng)計是具有廣泛應用的一個數學分支，與概率論一樣，數理統(tǒng)計是研究隨機現象的統(tǒng)計規(guī)律的。它以概率論的理論為基礎，根據試驗或觀察得到的數據，對研究對象的客觀規(guī)律性作出種種合理的估計和判斷，從而為決策和行動提供依據和建議。數理統(tǒng)計的內容非常豐富，從第6章開始 ，.將逐步介紹參數估計、假設檢驗、方差分析及回歸分析的部分內容。第6章將介紹總體、隨機樣本及統(tǒng)計量等數理統(tǒng)計的基本概念，并著重介紹幾個常用的統(tǒng)計量及抽樣分布。6.1 總體與樣本總體與樣本6.1.1 基本概念基本概念在生產實踐中，我們經常會遇到統(tǒng)計推斷問.燈泡的壽命情況，以解決所提出的問題。并記錄其

2、結果，然后根據這組數據來推斷整批機變量X的分布函數 事實上是不知道的.我)(xF們只能從整批燈泡中選取一些燈泡做壽命試驗變量的分布函數 ，若已得出 ， 則)(xF)1000()1000(FXP)(xF 就是所要求的次品率。然而隨然， 這個問題可歸結為求燈泡壽命X這個隨機時為正品，問如何確定這批燈泡的次品率？顯題。比如，有一批燈泡，要從使用壽命這個指標來衡量它的質量。若規(guī)定，壽命高于1000小. 數理統(tǒng)計中，我們把所研究的對象的全體稱為總體（或母體）；而把組成總體的每個對象稱題，是數理統(tǒng)計所要研究的主要問題。性質做出推斷和預測。這類問題稱為統(tǒng)計推斷問組數據，經過整理和分析，對該數量指標的某些選取

3、一些“代表”進行檢測。然后根據所得到的一能對其中的每個事物都一一加以檢測，只能從中 上述問題就是要檢驗一批事物（即一事物集合）的某個數量指標。然而，一般情況下，不可.稱為個體。在實際問題中，我們關心的是總體的某個數量指標，它由所有個體的指標值而組成，總體 。)(xF為總體 。當 得分布函數為 時，也稱為)(xFXX分布函數，并不再區(qū)分總體與 ，而籠統(tǒng)的稱之X個隨機變量 。今后 的分布函數就稱為總體的XX某個隨機變量的一次觀測值，則總體就對應了一其中的數值可以相同。若視每個個體的指標值為.性： 一方面， 由于樣本是從總體中隨機抽取本容量。我們首先指出，樣本具有所謂的二重 稱為總體的一個樣本，n稱

4、為樣),(,21nxxx隨機變量，用大寫字母 表示；另),(21nXXX為了了解總體的分布，我們從總體中隨機地抽取 個個體，記其指標值為 則,21,nxxxn一方面，樣本在抽取以后經觀測就有確定的觀的，抽取前無法預知它們的數值，因此樣本是.測值，因此，樣本又是一組數值，此時用小寫字母 表示是恰當的。從總體中抽取樣本),(,21nxxx（1）隨機性： 即對于每次抽樣，總體中每個個體都有同等的機會被抽取，這便意味著每一個樣本 與總體 有相同的分布。iXX就需要對抽樣方法提出一些要求：可靠的推斷，就希望樣本能很好的帶邊總體。這可以有不同的取法，為了能由樣本對總體作出較.（2）獨立性 即每次抽取的結果

5、既不影響其他各次抽取的結果，也不受其他各次抽取結果的影響。一般地，有下面的定義： 是來自總體 的一個容量),(21nXXX)(xF互獨立，且具有相同的概率分布 ，則稱)(xF 定義定義1 1 若 個隨機變量 相nXXX,21n為n的簡單隨機樣本，簡稱為樣本。.樣本 的所有可能取值的全體為樣本空間。),(21nXXX隨機變量，記 為 的一次觀察ix),2, 1(niXi值,則稱 為樣本的一次觀察值。),(2, 1nxxx由定義可知，若 來自總體),(21nXXX 的一個樣本，則 的分布函數為),(21nXXX)(xF 容量為 的樣本 是一個n維),(21nXXXn它一般是 維空間 或其中的一個子

6、集。樣本的一次觀察值 就是樣本空間的一個點。),(,21nxxxnRn. )(),(121*niinxFxxxF. )(),(121*niinxfxxxf其中 是分布 的密度函數。)(xf)(xF若 的分布密度為 ，則 的密度函數為)(xf),(21nXXXX例例1 設有一批產品共 個，需要進行抽樣檢N.,) 1(pXP.1)0(pXP設想樣本是一個一個抽出的，結果記為nXXX,21如果采取有放回抽樣，則nXXX,21為獨立同分布。若采取不放回抽樣，此時，第二次抽到不合格品的概率依賴于第一次抽到的驗以了解其不合格率 ，現從中抽取 個逐一檢查它們是否是不合格的。如果把合格品記為0，不合格品記為1

7、，則總體 服從兩點分布，pnX.是否是不合格品，如果第一次抽到不合格品，則,11) 11(12NNxxPp而若第一次抽到的是合格品，則第二次抽到不合格品的概率為,1)01(12NNxxPp顯然，如此得到的樣本不是簡單隨機樣本，但是當 很大時，上述兩種情況的概率都近似等N.6.1.2 經驗分布函數經驗分布函數時可以把該樣本近似看成簡單隨機樣本。于 ，所以當 很大時，而 不大（一般 ）1 .0NnNnp我們把總體 的分布稱為理論分布，而把總體 的分布函數稱為理論分布函數。由簡單樣XX參數為 的指數分布，其概率密度為本的定義知道，若總體 的理論分布知道，則X樣本的分布也可以確定。例如，設總體 服從X

8、.00)(xexxf其它則樣本),(21nXXX的概率密度為niixne1),(21*nXXXf0其他, 0, 0, 021nxxx反過來，如何由樣本來推斷總體的分布呢？.為此，我們引入經驗分布函數。本，將其對應的觀測值 按由小到,21,nxxx大的順序排列為 令.)()2() 1 (nxxx xFn0，,)1(xx nk，,1)(kxxxk, 2 , 1nk1， . xnx定義定義2 設 是取自總體 的樣),(21nXXXX稱 為 的經驗分布函數。 xFnX.解解 將觀測數據由小到大排列為22.5=2.5=2.52.73=33.5.由定義知所求分布函數為例例2 隨機地觀測總體 ，得8個數據：

9、2.5，3，2.5，3.5，3，2.7，2.5，2，試求 的一個經驗分布函數。XX. xFn.5.3,1,5.33,87,37.2,85,7.25.2,84,5.22,81,2,0 xxxxxx.抽取一容量為20的樣本及一容量為400 的樣本，其經驗分布函數 及 的圖形分 xF20 xF400由經驗分布函數的構造，可見 具有下 xFn面性質：單調不降;處處右連續(xù)； ; 10 xFn . 1, 0nnFF這表明，當樣本觀察值取定后， 確是一個普通的分布函數。 xFn例如，在某種燈泡的壽命總體 中，隨機X別為圖6-1、圖6-2的階梯形。 圖中曲線為總.體分布函數 的圖形。)(xF用經驗分布函數 來

10、估計總體X的理論分布 xFn函數 。 xF樣本分布函數也不相同。隨著 的增大，經驗 我們可以看出，對于不同的樣本，得到的n事件 發(fā)生的頻率 來估計 ，即xX nk)(xXP率依概率收斂于該事件發(fā)生的概率。因此可用接近。根據大數定律我們知道，事件發(fā)生的頻分布函數所描繪的曲線與總體分布函數越來越.0 x圖6-1 xFn圖6-2.對于樣本的不同觀察值 ，我),(,21nxxx數值， 是一個隨機變量。對于這個隨機變)(xFn定理定理1 （格利汶科定理） 經驗分布函數)(xFn以概率1關于x一致收斂于 ，即)(xF .10suplimxFxFPnxn們將得到不同的 。因此，對于 的每一個 )(xFnX論

11、上嚴格地證明了以下結論。量，格利汶科（W.Glivenko） 于1933年從理.這就是我們用樣本推斷總體的理論依據。實際上將近似地等于總體的分布函數 。)(xF6.1.3 統(tǒng)計量統(tǒng)計量樣本來自總體并且代表和反映總體，但是為了更好地反映總體的某種特征，需要把樣本中有關信息集中起來，即針對具體的統(tǒng)計問題定理表明，當 很大時，經驗分布函數 )(xFnn.的要求而構造樣本的各種不同函數。為此引入如下統(tǒng)計量的概念。本函數 是一個統(tǒng)計量。),(21nXXXg定義定義3 設 是從總體中隨機抽),(21nXXX例如，設 是從正態(tài)分布),(321XXX2,N函數，如果 中不包含任何未知參數，則稱樣g取的一個樣本

12、， 為 元連續(xù)),(,21nxxxgn.下面介紹幾個常用的統(tǒng)計量。設 是從總體中抽取的樣本，nXXX,21則統(tǒng)計量niiXnX11稱為樣本均值。22213211,2,3XXXXXX都是統(tǒng)計量。則中抽取的一個樣本，參數 已知，但 2未知，212221,XXX不是統(tǒng)計量。 而.稱統(tǒng)計量niiXXnS12)(11為樣本方差。稱 的正平方根 為樣本標準差；稱統(tǒng)計量2SSnikikkXnM1, 2 , 1,1為樣本 階原點矩；稱統(tǒng)計量k.樣本的二階中心矩與樣本的方差是有區(qū)別的， 特別記樣本的二階中心矩為niiXXnS122)(1nikikXXnM1)(1為樣本 階中心矩；k.由上式可知22211S,Sn

13、nMXM對于樣本的觀察值 上述統(tǒng)計量的觀察值分別記為,21,nxxxniixnx11212)(11niixxns.nikikxnm1,1nikikxxnm1)(1取值 時， 取值),(,21nxxx)(kX., 2 , 1,)(nkxk記 是這樣的隨機變量，當),(21nXXX)(kX 定義4 設 是取自總體),(21nXXXX這樣得到的 個新的隨機變量 nXXX,21n稱為總體 的一組順序統(tǒng)計量， 稱為第)(kXX.)()2()1(nxxx按由小到大的順序排列為,21,nxxx的樣本，將其對應的觀測值.由定義知， nXXX21且 ),min(211nXXXX ),max(21nnXXXX即 的觀測值是樣本觀測值 1X,21,nxxx中最小的一個，而 的觀測值是 nX,21,nxxx中最大的那一個。 位順序統(tǒng)計量