《復(fù)變函數(shù)》教學(xué)資料(1)

1、.第第6 6章章 統(tǒng)計(jì)量及其分布統(tǒng)計(jì)量及其分布數(shù)理統(tǒng)計(jì)是具有廣泛應(yīng)用的一個數(shù)學(xué)分支，與概率論一樣，數(shù)理統(tǒng)計(jì)是研究隨機(jī)現(xiàn)象的統(tǒng)計(jì)規(guī)律的。它以概率論的理論為基礎(chǔ)，根據(jù)試驗(yàn)或觀察得到的數(shù)據(jù)，對研究對象的客觀規(guī)律性作出種種合理的估計(jì)和判斷，從而為決策和行動提供依據(jù)和建議。數(shù)理統(tǒng)計(jì)的內(nèi)容非常豐富，從第6章開始 ，.將逐步介紹參數(shù)估計(jì)、假設(shè)檢驗(yàn)、方差分析及回歸分析的部分內(nèi)容。第6章將介紹總體、隨機(jī)樣本及統(tǒng)計(jì)量等數(shù)理統(tǒng)計(jì)的基本概念，并著重介紹幾個常用的統(tǒng)計(jì)量及抽樣分布。6.1 總體與樣本總體與樣本6.1.1 基本概念基本概念在生產(chǎn)實(shí)踐中，我們經(jīng)常會遇到統(tǒng)計(jì)推斷問.燈泡的壽命情況，以解決所提出的問題。并記錄其

2、結(jié)果，然后根據(jù)這組數(shù)據(jù)來推斷整批機(jī)變量X的分布函數(shù) 事實(shí)上是不知道的.我)(xF們只能從整批燈泡中選取一些燈泡做壽命試驗(yàn)變量的分布函數(shù) ，若已得出 ， 則)(xF)1000()1000(FXP)(xF 就是所要求的次品率。然而隨然， 這個問題可歸結(jié)為求燈泡壽命X這個隨機(jī)時為正品，問如何確定這批燈泡的次品率？顯題。比如，有一批燈泡，要從使用壽命這個指標(biāo)來衡量它的質(zhì)量。若規(guī)定，壽命高于1000小. 數(shù)理統(tǒng)計(jì)中，我們把所研究的對象的全體稱為總體（或母體）；而把組成總體的每個對象稱題，是數(shù)理統(tǒng)計(jì)所要研究的主要問題。性質(zhì)做出推斷和預(yù)測。這類問題稱為統(tǒng)計(jì)推斷問組數(shù)據(jù)，經(jīng)過整理和分析，對該數(shù)量指標(biāo)的某些選取

3、一些“代表”進(jìn)行檢測。然后根據(jù)所得到的一能對其中的每個事物都一一加以檢測，只能從中 上述問題就是要檢驗(yàn)一批事物（即一事物集合）的某個數(shù)量指標(biāo)。然而，一般情況下，不可.稱為個體。在實(shí)際問題中，我們關(guān)心的是總體的某個數(shù)量指標(biāo)，它由所有個體的指標(biāo)值而組成，總體 。)(xF為總體 。當(dāng) 得分布函數(shù)為 時，也稱為)(xFXX分布函數(shù)，并不再區(qū)分總體與 ，而籠統(tǒng)的稱之X個隨機(jī)變量 。今后 的分布函數(shù)就稱為總體的XX某個隨機(jī)變量的一次觀測值，則總體就對應(yīng)了一其中的數(shù)值可以相同。若視每個個體的指標(biāo)值為.性： 一方面， 由于樣本是從總體中隨機(jī)抽取本容量。我們首先指出，樣本具有所謂的二重 稱為總體的一個樣本，n稱

4、為樣),(,21nxxx隨機(jī)變量，用大寫字母 表示；另),(21nXXX為了了解總體的分布，我們從總體中隨機(jī)地抽取 個個體，記其指標(biāo)值為 則,21,nxxxn一方面，樣本在抽取以后經(jīng)觀測就有確定的觀的，抽取前無法預(yù)知它們的數(shù)值，因此樣本是.測值，因此，樣本又是一組數(shù)值，此時用小寫字母 表示是恰當(dāng)?shù)?。從總體中抽取樣本),(,21nxxx（1）隨機(jī)性： 即對于每次抽樣，總體中每個個體都有同等的機(jī)會被抽取，這便意味著每一個樣本 與總體 有相同的分布。iXX就需要對抽樣方法提出一些要求：可靠的推斷，就希望樣本能很好的帶邊總體。這可以有不同的取法，為了能由樣本對總體作出較.（2）獨(dú)立性 即每次抽取的結(jié)果

5、既不影響其他各次抽取的結(jié)果，也不受其他各次抽取結(jié)果的影響。一般地，有下面的定義： 是來自總體 的一個容量),(21nXXX)(xF互獨(dú)立，且具有相同的概率分布 ，則稱)(xF 定義定義1 1 若 個隨機(jī)變量 相nXXX,21n為n的簡單隨機(jī)樣本，簡稱為樣本。.樣本 的所有可能取值的全體為樣本空間。),(21nXXX隨機(jī)變量，記 為 的一次觀察ix),2, 1(niXi值,則稱 為樣本的一次觀察值。),(2, 1nxxx由定義可知，若 來自總體),(21nXXX 的一個樣本，則 的分布函數(shù)為),(21nXXX)(xF 容量為 的樣本 是一個n維),(21nXXXn它一般是 維空間 或其中的一個子

6、集。樣本的一次觀察值 就是樣本空間的一個點(diǎn)。),(,21nxxxnRn. )(),(121*niinxFxxxF. )(),(121*niinxfxxxf其中 是分布 的密度函數(shù)。)(xf)(xF若 的分布密度為 ，則 的密度函數(shù)為)(xf),(21nXXXX例例1 設(shè)有一批產(chǎn)品共 個，需要進(jìn)行抽樣檢N.,) 1(pXP.1)0(pXP設(shè)想樣本是一個一個抽出的，結(jié)果記為nXXX,21如果采取有放回抽樣，則nXXX,21為獨(dú)立同分布。若采取不放回抽樣，此時，第二次抽到不合格品的概率依賴于第一次抽到的驗(yàn)以了解其不合格率 ，現(xiàn)從中抽取 個逐一檢查它們是否是不合格的。如果把合格品記為0，不合格品記為1

7、，則總體 服從兩點(diǎn)分布，pnX.是否是不合格品，如果第一次抽到不合格品，則,11) 11(12NNxxPp而若第一次抽到的是合格品，則第二次抽到不合格品的概率為,1)01(12NNxxPp顯然，如此得到的樣本不是簡單隨機(jī)樣本，但是當(dāng) 很大時，上述兩種情況的概率都近似等N.6.1.2 經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)時可以把該樣本近似看成簡單隨機(jī)樣本。于 ，所以當(dāng) 很大時，而 不大（一般 ）1 .0NnNnp我們把總體 的分布稱為理論分布，而把總體 的分布函數(shù)稱為理論分布函數(shù)。由簡單樣XX參數(shù)為 的指數(shù)分布，其概率密度為本的定義知道，若總體 的理論分布知道，則X樣本的分布也可以確定。例如，設(shè)總體 服從X

8、.00)(xexxf其它則樣本),(21nXXX的概率密度為niixne1),(21*nXXXf0其他, 0, 0, 021nxxx反過來，如何由樣本來推斷總體的分布呢？.為此，我們引入經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)。本，將其對應(yīng)的觀測值 按由小到,21,nxxx大的順序排列為 令.)()2() 1 (nxxx xFn0，,)1(xx nk，,1)(kxxxk, 2 , 1nk1， . xnx定義定義2 設(shè) 是取自總體 的樣),(21nXXXX稱 為 的經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)。 xFnX.解解 將觀測數(shù)據(jù)由小到大排列為22.5=2.5=2.52.73=33.5.由定義知所求分布函數(shù)為例例2 隨機(jī)地觀測總體 ，得8個數(shù)據(jù)：

9、2.5，3，2.5，3.5，3，2.7，2.5，2，試求 的一個經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)。XX. xFn.5.3,1,5.33,87,37.2,85,7.25.2,84,5.22,81,2,0 xxxxxx.抽取一容量為20的樣本及一容量為400 的樣本，其經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù) 及 的圖形分 xF20 xF400由經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)的構(gòu)造，可見 具有下 xFn面性質(zhì)：單調(diào)不降;處處右連續(xù)； ; 10 xFn . 1, 0nnFF這表明，當(dāng)樣本觀察值取定后， 確是一個普通的分布函數(shù)。 xFn例如，在某種燈泡的壽命總體 中，隨機(jī)X別為圖6-1、圖6-2的階梯形。 圖中曲線為總.體分布函數(shù) 的圖形。)(xF用經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù) 來

10、估計(jì)總體X的理論分布 xFn函數(shù) 。 xF樣本分布函數(shù)也不相同。隨著 的增大，經(jīng)驗(yàn) 我們可以看出，對于不同的樣本，得到的n事件 發(fā)生的頻率 來估計(jì) ，即xX nk)(xXP率依概率收斂于該事件發(fā)生的概率。因此可用接近。根據(jù)大數(shù)定律我們知道，事件發(fā)生的頻分布函數(shù)所描繪的曲線與總體分布函數(shù)越來越.0 x圖6-1 xFn圖6-2.對于樣本的不同觀察值 ，我),(,21nxxx數(shù)值， 是一個隨機(jī)變量。對于這個隨機(jī)變)(xFn定理定理1 （格利汶科定理） 經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù))(xFn以概率1關(guān)于x一致收斂于 ，即)(xF .10suplimxFxFPnxn們將得到不同的 。因此，對于 的每一個 )(xFnX論

11、上嚴(yán)格地證明了以下結(jié)論。量，格利汶科（W.Glivenko） 于1933年從理.這就是我們用樣本推斷總體的理論依據(jù)。實(shí)際上將近似地等于總體的分布函數(shù) 。)(xF6.1.3 統(tǒng)計(jì)量統(tǒng)計(jì)量樣本來自總體并且代表和反映總體，但是為了更好地反映總體的某種特征，需要把樣本中有關(guān)信息集中起來，即針對具體的統(tǒng)計(jì)問題定理表明，當(dāng) 很大時，經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù) )(xFnn.的要求而構(gòu)造樣本的各種不同函數(shù)。為此引入如下統(tǒng)計(jì)量的概念。本函數(shù) 是一個統(tǒng)計(jì)量。),(21nXXXg定義定義3 設(shè) 是從總體中隨機(jī)抽),(21nXXX例如，設(shè) 是從正態(tài)分布),(321XXX2,N函數(shù)，如果 中不包含任何未知參數(shù)，則稱樣g取的一個樣本

12、， 為 元連續(xù)),(,21nxxxgn.下面介紹幾個常用的統(tǒng)計(jì)量。設(shè) 是從總體中抽取的樣本，nXXX,21則統(tǒng)計(jì)量niiXnX11稱為樣本均值。22213211,2,3XXXXXX都是統(tǒng)計(jì)量。則中抽取的一個樣本，參數(shù) 已知，但 2未知，212221,XXX不是統(tǒng)計(jì)量。 而.稱統(tǒng)計(jì)量niiXXnS12)(11為樣本方差。稱 的正平方根 為樣本標(biāo)準(zhǔn)差；稱統(tǒng)計(jì)量2SSnikikkXnM1, 2 , 1,1為樣本 階原點(diǎn)矩；稱統(tǒng)計(jì)量k.樣本的二階中心矩與樣本的方差是有區(qū)別的， 特別記樣本的二階中心矩為niiXXnS122)(1nikikXXnM1)(1為樣本 階中心矩；k.由上式可知22211S,Sn

13、nMXM對于樣本的觀察值 上述統(tǒng)計(jì)量的觀察值分別記為,21,nxxxniixnx11212)(11niixxns.nikikxnm1,1nikikxxnm1)(1取值 時， 取值),(,21nxxx)(kX., 2 , 1,)(nkxk記 是這樣的隨機(jī)變量，當(dāng)),(21nXXX)(kX 定義4 設(shè) 是取自總體),(21nXXXX這樣得到的 個新的隨機(jī)變量 nXXX,21n稱為總體 的一組順序統(tǒng)計(jì)量， 稱為第)(kXX.)()2()1(nxxx按由小到大的順序排列為,21,nxxx的樣本，將其對應(yīng)的觀測值.由定義知， nXXX21且 ),min(211nXXXX ),max(21nnXXXX即 的觀測值是樣本觀測值 1X,21,nxxx中最小的一個，而 的觀測值是 nX,21,nxxx中最大的那一個。 位順序統(tǒng)計(jì)量