射頻阻抗匹配與史密斯_Smith_圓圖：基本原理詳解

1、阻抗匹配與史密斯(Smith圓圖:基本原理在處理RF系統(tǒng)的實(shí)際應(yīng)用問題時(shí),總會(huì)遇到一些非常困難的工作,對(duì)各部分級(jí)聯(lián)電路的不同阻抗進(jìn)行匹配就是其中之一。一般情況下,需要進(jìn)行匹配的電路包括天線與低噪聲放大器(LNA之間的匹配、功率放大器輸出(RFOUT與天線之間的匹配、LNA/VCO輸出與混頻器輸入之間的匹配。匹配的目的是為了保證信號(hào)或能量有效地從“信號(hào)源”傳送到“負(fù)載”。在高頻端,寄生元件(比如連線上的電感、板層之間的電容和導(dǎo)體的電阻對(duì)匹配網(wǎng)絡(luò)具有明顯的、不可預(yù)知的影響。頻率在數(shù)十兆赫茲以上時(shí),理論計(jì)算和仿真已經(jīng)遠(yuǎn)遠(yuǎn)不能滿足要求,為了得到適當(dāng)?shù)淖罱K結(jié)果,還必須考慮在實(shí)驗(yàn)室中進(jìn)行的RF測試、并進(jìn)行

2、適當(dāng)調(diào)諧。需要用計(jì)算值確定電路的結(jié)構(gòu)類型和相應(yīng)的目標(biāo)元件值。有很多種阻抗匹配的方法,包括計(jì)算機(jī)仿真: 由于這類軟件是為不同功能設(shè)計(jì)的而不只是用于阻抗匹配,所以使用起來比較復(fù)雜。設(shè)計(jì)者必須熟悉用正確的格式輸入眾多的數(shù)據(jù)。設(shè)計(jì)人員還需要具有從大量的輸出結(jié)果中找到有用數(shù)據(jù)的技能。另外,除非計(jì)算機(jī)是專門為這個(gè)用途制造的,否則電路仿真軟件不可能預(yù)裝在計(jì)算機(jī)上。手工計(jì)算: 這是一種極其繁瑣的方法,因?yàn)樾枰玫捷^長(“幾公里”的計(jì)算公式、并且被處理的數(shù)據(jù)多為復(fù)數(shù)。經(jīng)驗(yàn): 只有在RF領(lǐng)域工作過多年的人才能使用這種方法?？傊?它只適合于資深的專家。史密斯圓圖:本文要重點(diǎn)討論的內(nèi)容。本文的主要目的是復(fù)習(xí)史密斯圓圖

3、的結(jié)構(gòu)和背景知識(shí),并且總結(jié)它在實(shí)際中的應(yīng)用方法。討論的主題包括參數(shù)的實(shí)際范例,比如找出匹配網(wǎng)絡(luò)元件的數(shù)值。當(dāng)然,史密斯圓圖不僅能夠?yàn)槲覀冋页鲎畲蠊β蕚鬏數(shù)钠ヅ渚W(wǎng)絡(luò),還能幫助設(shè)計(jì)者優(yōu)化噪聲系數(shù),確定品質(zhì)因數(shù)的影響以及進(jìn)行穩(wěn)定性分析。 圖1. 阻抗和史密斯圓圖基礎(chǔ)基礎(chǔ)知識(shí)在介紹史密斯圓圖的使用之前,最好回顧一下RF環(huán)境下(大于100MHz IC連線的電磁波傳播現(xiàn)象。這對(duì)RS-485傳輸線、PA和天線之間的連接、LNA和下變頻器/混頻器之間的連接等應(yīng)用都是有效的。大家都知道,要使信號(hào)源傳送到負(fù)載的功率最大,信號(hào)源阻抗必須等于負(fù)載的共軛阻抗,即:R S + jX S = R L - jX L 圖2.

4、表達(dá)式R S + jX S = R L - jX L的等效圖在這個(gè)條件下,從信號(hào)源到負(fù)載傳輸?shù)哪芰孔畲?。另?為有效傳輸功率,滿足這個(gè)條件可以避免能量從負(fù)載反射到信號(hào)源,尤其是在諸如視頻傳輸、RF或微波網(wǎng)絡(luò)的高頻應(yīng)用環(huán)境更是如此。史密斯圓圖史密斯圓圖是由很多圓周交織在一起的一個(gè)圖。正確的使用它,可以在不作任何計(jì)算的前提下得到一個(gè)表面上看非常復(fù)雜的系統(tǒng)的匹配阻抗,唯一需要作的就是沿著圓周線讀取并跟蹤數(shù)據(jù)。史密斯圓圖是反射系數(shù)(伽馬,以符號(hào)表示的極座標(biāo)圖。反射系數(shù)也可以從數(shù)學(xué)上定義為單端口散射參數(shù),即s11。史密斯圓圖是通過驗(yàn)證阻抗匹配的負(fù)載產(chǎn)生的。這里我們不直接考慮阻抗,而是用反射系數(shù)L,反射系

5、數(shù)可以反映負(fù)載的特性(如導(dǎo)納、增益、跨導(dǎo),在處理RF頻率的問題時(shí)L更加有用。我們知道反射系數(shù)定義為反射波電壓與入射波電壓之比: 圖3. 負(fù)載阻抗負(fù)載反射信號(hào)的強(qiáng)度取決于信號(hào)源阻抗與負(fù)載阻抗的失配程度。反射系數(shù)的表達(dá)式定義為: 由于阻抗是復(fù)數(shù),反射系數(shù)也是復(fù)數(shù)。為了減少未知參數(shù)的數(shù)量,可以固化一個(gè)經(jīng)常出現(xiàn)并且在應(yīng)用中經(jīng)常使用的參數(shù)。這里Z0 (特性阻抗通常為常數(shù)并且是實(shí)數(shù),是常用的歸一化標(biāo)準(zhǔn)值,如50、75、100和600。于是我們可以定義歸一化的負(fù)載阻抗: 據(jù)此,將反射系數(shù)的公式重新寫為: 從上式我們可以看到負(fù)載阻抗與其反射系數(shù)間的直接關(guān)系。但是這個(gè)關(guān)系式是一個(gè)復(fù)數(shù),所以并不實(shí)用。我們可以把史

6、密斯圓圖當(dāng)作上述方程的圖形表示。為了建立圓圖,方程必需重新整理以符合標(biāo)準(zhǔn)幾何圖形的形式(如圓或射線。首先,由方程2.3求解出; 并且 令等式2.5的實(shí)部和虛部相等,得到兩個(gè)獨(dú)立的關(guān)系式: 更多細(xì)節(jié)參見圖4a。 圖4a. 圓周上的點(diǎn)表示具有相同實(shí)部的阻抗。例如,r = 1的圓,以(0.5, 0為圓心,半徑為0.5。它包含了代表反射零點(diǎn)的原點(diǎn)(0, 0 (負(fù)載與特性阻抗相匹配。以(0, 0為圓心、半徑為1的圓代表負(fù)載短路。負(fù)載開路時(shí),圓退化為一個(gè)點(diǎn)(以1, 0為圓心,半徑為零。與此對(duì)應(yīng)的是最大的反射系數(shù)1,即所有的入射波都被反射回來。在作史密斯圓圖時(shí),有一些需要注意的問題。下面是最重要的幾個(gè)方面:

7、所有的圓周只有一個(gè)相同的,唯一的交點(diǎn)(1, 0。代表0、也就是沒有電阻(r = 0的圓是最大的圓。無限大的電阻對(duì)應(yīng)的圓退化為一個(gè)點(diǎn)(1, 0實(shí)際中沒有負(fù)的電阻,如果出現(xiàn)負(fù)阻值,有可能產(chǎn)生振蕩。選擇一個(gè)對(duì)應(yīng)于新電阻值的圓周就等于選擇了一個(gè)新的電阻。作圖 同樣,2.19也是在復(fù)平面(r, i上的圓的參數(shù)方程(x - a² + (y - b² = R²,它的圓心為(1, 1/x,半徑1/x。更多細(xì)節(jié)參見圖4b。 圖4b. 圓周上的點(diǎn)表示具有相同虛部x的阻抗。例如,× = 1的圓以(1, 1為圓心,半徑為1。所有的圓(x為常數(shù)都包括點(diǎn)(1, 0。與實(shí)部圓周不同的

8、是,x既可以是正數(shù)也可以是負(fù)數(shù)。這說明復(fù)平面下半部是其上半部的鏡像。所有圓的圓心都在一條經(jīng)過橫軸上1點(diǎn)的垂直線上。完成圓圖為了完成史密斯圓圖,我們將兩簇圓周放在一起?？梢园l(fā)現(xiàn)一簇圓周的所有圓會(huì)與另一簇圓周的所有圓相交。若已知阻抗為r + jx,只需要找到對(duì)應(yīng)于r和x的兩個(gè)圓周的交點(diǎn)就可以得到相應(yīng)的反射系數(shù)。可互換性上述過程是可逆的,如果已知反射系數(shù),可以找到兩個(gè)圓周的交點(diǎn)從而讀取相應(yīng)的r和×的值。過程如下:確定阻抗在史密斯圓圖上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)找到與此阻抗對(duì)應(yīng)的反射系數(shù)(已知特性阻抗和,找出阻抗將阻抗轉(zhuǎn)換為導(dǎo)納找出等效的阻抗找出與反射系數(shù)對(duì)應(yīng)的元件值(尤其是匹配網(wǎng)絡(luò)的元件,見圖7推論因?yàn)槭访?/p>

9、斯圓圖是一種基于圖形的解法,所得結(jié)果的精確度直接依賴于圖形的精度。下面是一個(gè)用史密斯圓圖表示的RF應(yīng)用實(shí)例:例: 已知特性阻抗為50,負(fù)載阻抗如下:Z1 = 100 + j50 Z2 = 75 - j100 Z3 = j200Z4 = 150Z5 = (an open circuit Z6 = 0 (a short circuit Z7 = 50 Z8 = 184 - j900 對(duì)上面的值進(jìn)行歸一化并標(biāo)示在圓圖中(見圖 5： z1 = 2 + j z2 = 1.5 - j2 z3 = j4 z4 = 3 z5 = 8 z6 = 0 z7 = 1 z8 = 3.68 - j18 圖 5. 史密斯

10、圓圖上的點(diǎn) 現(xiàn)在可以通過圖 5 的圓圖直接解出反射系數(shù)。畫出阻抗點(diǎn)(等阻抗圓和等電抗圓的交點(diǎn)，只要讀出它們?cè)谥苯亲鴺?biāo)水平軸和垂直軸上 的投影，就得到了反射系數(shù)的實(shí)部r 和虛部i (見圖 6。 該范例中可能存在八種情況，在圖 6 所示史密斯圓圖上可以直接得到對(duì)應(yīng)的反射系數(shù)： 1 = 0.4 + 0.2j 2 = 0.51 - 0.4j 3 = 0.875 + 0.48j 4 = 0.5 5 = 1 6 = -1 7 = 0 8 = 0.96 - 0.1j 圖 6. 從 X-Y 軸直接讀出反射系數(shù)的實(shí)部和虛部 用導(dǎo)納表示 史密斯圓圖是用阻抗(電阻和電抗建立的。一旦作出了史密斯圓圖，就可以用它分析串

11、聯(lián)和并聯(lián)情況下的參數(shù)。可以添加新的串聯(lián)元件， 確定新增元件的影響只需沿著圓周移動(dòng)到它們相應(yīng)的數(shù)值即可。然而，增加并聯(lián)元件時(shí)分析過程就不是這么簡單了，需要考慮其它的參 數(shù)。通常，利用導(dǎo)納更容易處理并聯(lián)元件。 我們知道，根據(jù)定義 Y = 1/Z，Z = 1/Y。導(dǎo)納的單位是姆歐或者-1 (早些時(shí)候?qū)Ъ{的單位是西門子或 S。并且，如果 Z 是復(fù)數(shù)，則 Y 也一定是復(fù)數(shù)。 所以 Y = G + jB (2.20，其中 G 叫作元件的“電導(dǎo)”，B 稱“電納”。在演算的時(shí)候應(yīng)該小心謹(jǐn)慎，按照似乎合乎邏輯的假設(shè)，可以得 出：G = 1/R 及 B = 1/X，然而實(shí)際情況并非如此，這樣計(jì)算會(huì)導(dǎo)致結(jié)果錯(cuò)誤。

12、用導(dǎo)納表示時(shí)，第一件要做的事是歸一化， y = Y/Y0，得出 y = g + jb。但是如何計(jì)算反射系數(shù)呢？通過下面的式子進(jìn)行推導(dǎo)： 結(jié)果是 G 的表達(dá)式符號(hào)與 z 相反，并有(y = -(z。 如果知道 z，就能通過將的符號(hào)取反找到一個(gè)與(0, 0的距離相等但在反方向的點(diǎn)。圍繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn) 180°可以得到同樣的結(jié)果(見圖 7。 圖 7. 180°度旋轉(zhuǎn)后的結(jié)果 當(dāng)然，表面上看新的點(diǎn)好像是一個(gè)不同的阻抗，實(shí)際上 Z 和 1/Z 表示的是同一個(gè)元件。(在史密斯圓圖上，不同的值對(duì)應(yīng)不同的點(diǎn)并具有 不同的反射系數(shù)，依次類推出現(xiàn)這種情況的原因是我們的圖形本身是一個(gè)阻抗圖，而新的點(diǎn)代

13、表的是一個(gè)導(dǎo)納。因此在圓圖上讀出的數(shù) 值單位是西門子。 盡管用這種方法就可以進(jìn)行轉(zhuǎn)換，但是在解決很多并聯(lián)元件電路的問題時(shí)仍不適用。 導(dǎo)納圓圖 在前面的討論中，我們看到阻抗圓圖上的每一個(gè)點(diǎn)都可以通過以復(fù)平面原點(diǎn)為中心旋轉(zhuǎn) 180°后得到與之對(duì)應(yīng)的導(dǎo)納點(diǎn)。于是，將整個(gè) 阻抗圓圖旋轉(zhuǎn) 180°就得到了導(dǎo)納圓圖。這種方法十分方便，它使我們不用建立一個(gè)新圖。所有圓周的交點(diǎn)(等電導(dǎo)圓和等電納圓自然出 現(xiàn)在點(diǎn)(-1, 0。使用導(dǎo)納圓圖，使得添加并聯(lián)元件變得很容易。在數(shù)學(xué)上，導(dǎo)納圓圖由下面的公式構(gòu)造： 解這個(gè)方程： 接下來，令方程 3.3 的實(shí)部和虛部相等，我們得到兩個(gè)新的獨(dú)立的關(guān)系： 從

14、等式 3.4，我們可以推導(dǎo)出下面的式子： 它也是復(fù)平面(r, i上圓的參數(shù)方程(x - a² + (y - b² = R² (方程 3.12，以g/(g + 1, 0為圓心，半徑為 1/(1 + g。 從等式 3.5，我們可以推導(dǎo)出下面的式子： 同樣得到(x - a² + (y - b² = R²型的參數(shù)方程(方程 3.17。 求解等效阻抗 當(dāng)解決同時(shí)存在串聯(lián)和并聯(lián)元件的混合電路時(shí)，可以使用同一個(gè)史密斯圓圖，在需要進(jìn)行從 z 到 y 或從 y 到 z 的轉(zhuǎn)換時(shí)將圖形旋轉(zhuǎn)。 考慮圖 8 所示網(wǎng)絡(luò)(其中的元件以 Z0 = 50進(jìn)行了歸一化

15、。串聯(lián)電抗(x對(duì)電感元件而言為正數(shù)，對(duì)電容元件而言為負(fù)數(shù)。而電納(b對(duì) 電容元件而言為正數(shù)，對(duì)電感元件而言為負(fù)數(shù)。 圖 8. 一個(gè)多元件電路 這個(gè)電路需要進(jìn)行簡化(見圖 9。從最右邊開始，有一個(gè)電阻和一個(gè)電感，數(shù)值都是 1，我們可以在 r = 1 的圓周和 I1 的圓周的交點(diǎn) 處得到一個(gè)串聯(lián)等效點(diǎn)，即點(diǎn) A。下一個(gè)元件是并聯(lián)元件，我們轉(zhuǎn)到導(dǎo)納圓圖(將整個(gè)平面旋轉(zhuǎn) 180°，此時(shí)需要將前面的那個(gè)點(diǎn)變成導(dǎo) 納，記為 A'?，F(xiàn)在我們將平面旋轉(zhuǎn) 180°，于是我們?cè)趯?dǎo)納模式下加入并聯(lián)元件，沿著電導(dǎo)圓逆時(shí)針方向(負(fù)值移動(dòng)距離 0.3，得到點(diǎn) B。 然后又是一個(gè)串聯(lián)元件。現(xiàn)在我

16、們?cè)倩氐阶杩箞A圖。 圖 9. 將圖 8 網(wǎng)絡(luò)中的元件拆開進(jìn)行分析 在返回阻抗圓圖之前，還必需把剛才的點(diǎn)轉(zhuǎn)換成阻抗(此前是導(dǎo)納，變換之后得到的點(diǎn)記為 B'，用上述方法，將圓圖旋轉(zhuǎn) 180°回到阻 抗模式。沿著電阻圓周移動(dòng)距離 1.4 得到點(diǎn) C 就增加了一個(gè)串聯(lián)元件，注意是逆時(shí)針移動(dòng)(負(fù)值。進(jìn)行同樣的操作可增加下一個(gè)元件(進(jìn) 行平面旋轉(zhuǎn)變換到導(dǎo)納，沿著等電導(dǎo)圓順時(shí)針方向(因?yàn)槭钦狄苿?dòng)指定的距離(1.1。這個(gè)點(diǎn)記為 D。最后，我們回到阻抗模式增加最 后一個(gè)元件(串聯(lián)電感。于是我們得到所需的值，z，位于 0.2 電阻圓和 0.5 電抗圓的交點(diǎn)。至此，得出 z = 0.2 + j0

17、.5。如果系統(tǒng)的特 性阻抗是 50，有 Z = 10 + j25 (見圖 10。 圖 10. 在史密斯圓圖上畫出的網(wǎng)絡(luò)元件 逐步進(jìn)行阻抗匹配 史密斯圓圖的另一個(gè)用處是進(jìn)行阻抗匹配。這和找出一個(gè)已知網(wǎng)絡(luò)的等效阻抗是相反的過程。此時(shí)，兩端(通常是信號(hào)源和負(fù)載阻抗是 固定的，如圖 11 所示。我們的目標(biāo)是在兩者之間插入一個(gè)設(shè)計(jì)好的網(wǎng)絡(luò)已達(dá)到合適的阻抗匹配。 圖 11. 阻抗已知而元件未知的典型電路 初看起來好像并不比找到等效阻抗復(fù)雜。但是問題在于有無限種元件的組合都可以使匹配網(wǎng)絡(luò)具有類似的效果，而且還需考慮其它因素 (比如濾波器的結(jié)構(gòu)類型、品質(zhì)因數(shù)和有限的可選元件。 實(shí)現(xiàn)這一目標(biāo)的方法是在史密斯圓圖

18、上不斷增加串聯(lián)和并聯(lián)元件、直到得到我們想要的阻抗。從圖形上看，就是找到一條途徑來連接史 密斯圓圖上的點(diǎn)。同樣，說明這種方法的最好辦法是給出一個(gè)實(shí)例。 我們的目標(biāo)是在 60MHz 工作頻率下匹配源阻抗(ZS和負(fù)載阻抗(zL (見圖 11。網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)已經(jīng)確定為低通，L 型(也可以把問題看作是如何 使負(fù)載轉(zhuǎn)變成數(shù)值等于 ZS 的阻抗，即 ZS 復(fù)共軛。下面是解的過程： 圖 12. 圖 11 的網(wǎng)絡(luò)，將其對(duì)應(yīng)的點(diǎn)畫在史密斯圓圖上 要做的第一件事是將各阻抗值歸一化。如果沒有給出特性阻抗，選擇一個(gè)與負(fù)載/信號(hào)源的數(shù)值在同一量級(jí)的阻抗值。假設(shè) Z0 為 50。 于是 zS = 0.5 - j0.3, z*S

19、= 0.5 + j0.3, ZL = 2 - j0.5。 下一步，在圖上標(biāo)出這兩個(gè)點(diǎn)，A 代表 zL，D 代表 z*S 然后判別與負(fù)載連接的第一個(gè)元件(并聯(lián)電容，先把 zL 轉(zhuǎn)化為導(dǎo)納，得到點(diǎn) A'。 確定連接電容 C 后下一個(gè)點(diǎn)出現(xiàn)在圓弧上的位置。由于不知道 C 的值，所以我們不知道具體的位置，然而我們確實(shí)知道移動(dòng)的方向。并 聯(lián)的電容應(yīng)該在導(dǎo)納圓圖上沿順時(shí)針方向移動(dòng)、直到找到對(duì)應(yīng)的數(shù)值，得到點(diǎn) B (導(dǎo)納。下一個(gè)元件是串聯(lián)元件，所以必需把 B 轉(zhuǎn)換到 阻抗平面上去，得到 B'。B'必需和 D 位于同一個(gè)電阻圓上。從圖形上看，從 A'到 D 只有一條路徑，但是如

20、果要經(jīng)過中間的 B 點(diǎn)(也就是 B '，就需要經(jīng)過多次的嘗試和檢驗(yàn)。在找到點(diǎn) B 和 B'后，我們就能夠測量 A'到 B 和 B'到 D 的弧長，前者就是 C 的歸一化電納值，后者為 L 的歸一化電抗值。A'到 B 的弧長為 b = 0.78，則 B = 0.78 × Y0 = 0.0156S。因?yàn)镃 = B，所以 C = B/ = B/(2f = 0.0156/2 (60 × 106 = 41.4pF。 B 到 D 的弧長為× = 1.2，于是 X = 1.2 × Z0 = 60。 由L = X，得 L = X/

21、 = X/(2f= 60/2(60 × 106 = 159nH。 圖 13. MAX2472 典型工作電路 第二個(gè)例子是 MAX2472 的輸出匹配電路，匹配于 50負(fù)載阻抗(zL，工作品率為 900MHz (圖 14 所示。該網(wǎng)絡(luò)采用與 MAX2472 數(shù)據(jù)資料 相同的配置結(jié)構(gòu)，上圖給出了匹配網(wǎng)絡(luò)，包括一個(gè)并聯(lián)電感和串聯(lián)電容，以下給出了匹配網(wǎng)絡(luò)元件值的查找過程。 圖 14. 圖 13 所示網(wǎng)絡(luò)在史密斯圓 a 圖上的相應(yīng)工作點(diǎn) 首先將 S22 散射參數(shù)轉(zhuǎn)換成等效的歸一化源阻抗。MAX2472 的 Z0 為 50，S22 = 0.81/-29.4°轉(zhuǎn)換成 zS = 1.4 -

22、 j3.2, zL = 1 和 zL* = 1。 下一步，在圓圖上定位兩個(gè)點(diǎn)，zS 標(biāo)記為 A，zL*標(biāo)記為 D。因?yàn)榕c信號(hào)源連接的是第一個(gè)元件是并聯(lián)電感，將源阻抗轉(zhuǎn)換成導(dǎo)納，得到點(diǎn) A。 確定連接電感 LMATCH 后下一個(gè)點(diǎn)所在的圓弧，由于不知道 LMATCH 的數(shù)值，因此不能確定圓弧終止的位置。但是，我們了解連接 LMATCH 并將其轉(zhuǎn) 換成阻抗后，源阻抗應(yīng)該位于 r = 1 的圓周上。由此，串聯(lián)電容后得到的阻抗應(yīng)該為 z = 1 + j0。以原點(diǎn)為中心，在 r = 1 的圓上旋轉(zhuǎn) 180°，反射系數(shù)圓和等電納圓的交點(diǎn)結(jié)合 A點(diǎn)可以得到 B (導(dǎo)納。B 點(diǎn)對(duì)應(yīng)的阻抗為 B點(diǎn)。 找到 B 和 B