同濟(jì)大學(xué)高數(shù)第10章重積分

1、 高等數(shù)學(xué) 315第10章 重積分多元函數(shù)積分學(xué)是定積分概念的推廣，包括二重積分、三重積分、曲線積分和曲面積分.它們所解決的問(wèn)題的類型不同，但解決問(wèn)題的思想和方法是一致的，都是以“分割、近似、求和、取極限”為其基本思想，它們的計(jì)算最終都?xì)w結(jié)為定積分.本章主要介紹二重積分與三重積分的概念、性質(zhì)、計(jì)算方法及其應(yīng)用.多元函數(shù)積分學(xué)的起源雖然微積分的創(chuàng)立者已經(jīng)接觸到了重積分的概念，但將微積分算法推廣到多元函數(shù)而建立多重積分理論的主要是18世紀(jì)的數(shù)學(xué)家18世紀(jì)，微積分進(jìn)一步深入發(fā)展牛頓在關(guān)于萬(wàn)有引力的計(jì)算中用到了多重積分的思想，但牛頓使用的是幾何論述后來(lái)，牛頓的工作被人們以分析的形式作了推廣1748年，

2、歐拉（Euler）用累次積分算出了表示一厚度為的橢圓薄片對(duì)其中心正上方一質(zhì)點(diǎn)引力的重積分1770年，歐拉又給出了二重積分的概念和二重積分的記號(hào)并給出了用累次積分計(jì)算二重積分的方法，同時(shí)還討論了二重積分的變量代換問(wèn)題 拉格朗日（Lagrange）也討論了多個(gè)變量的重積分情況，并于1772年引入了三重積分的概念和三重積分的記號(hào) 在他的一篇關(guān)于旋轉(zhuǎn)橢球體的引力的著作中，就用三重積分表示引力，并開始了多重積分變換的研究奧斯特羅格拉茨基（Octporpajickh）對(duì)重積分的研究也作了許多工作，他在研究熱傳導(dǎo)理論的過(guò)程中，證明了關(guān)于三重積分和曲面積分之間關(guān)系的公式 1828年，格林（Green）在其私人

3、印刷出版的小冊(cè)子關(guān)于數(shù)學(xué)分析應(yīng)用于電磁學(xué)理論的一篇論文中，為了推動(dòng)位勢(shì)論的進(jìn)一步發(fā)展，建立了著名的格林公式10.1 二重積分的概念及性質(zhì)10.1.1 二重積分的概念實(shí)例1 設(shè)函數(shù)在有界閉區(qū)域上連續(xù)，且以函數(shù)所表示的曲面為頂，以區(qū)域?yàn)榈祝乙詤^(qū)域的邊界曲線為準(zhǔn)線而母線平行于軸的柱面為側(cè)面的立體叫做曲頂柱體，如圖10.1.1所示求該曲頂柱體的體積 圖10.1.1 圖10.1.2對(duì)于平頂柱體,它的體積就等于底面積乘高.現(xiàn)在曲頂柱體的頂是曲面,當(dāng)點(diǎn) 在上變動(dòng)時(shí),其高度是一個(gè)變量,因此不能直接用上述方法求其體積，但是可以沿用求曲邊梯形面積的方法和思路求其體積.具體步驟如下第一步(分割).用一組曲線網(wǎng)將區(qū)

4、域任意分成個(gè)小區(qū)域,，其中記號(hào) (i = 1，2，n)也用來(lái)表示第i個(gè)小區(qū)域的面積分別以每個(gè)小區(qū)域的邊界曲線為準(zhǔn)線作母線平行于z軸的柱面，這些柱面把原來(lái)的曲頂柱體分割成個(gè)小曲頂柱體，其中記號(hào)(i = 1，2，n)也用來(lái)表示第i個(gè)小曲頂柱體的體積第二步(近似)因?yàn)樵趨^(qū)域上連續(xù)，在每個(gè)小區(qū)域上其函數(shù)值變化很小，這個(gè)小曲頂柱體可以近似地看作平頂柱體(如圖10.1.2)分別在每個(gè)小區(qū)域上任取一點(diǎn)，以為高，為底的小平頂柱體的體積作為第i個(gè)小曲頂柱體體積的近似值，即第三步(求和)這n個(gè)小平頂柱體體積之和可作為原曲頂柱體體積V的近似值，即第四步(取極限)對(duì)區(qū)域分割越細(xì)，近似程度越高，當(dāng)各小區(qū)域直徑的最大值

5、(有界閉區(qū)域的直徑是指區(qū)域上任意兩點(diǎn)間距離的最大值)時(shí)，若上述和式的極限存在，則該極限值就是曲頂柱體的體積，即有實(shí)例 2 設(shè)有一個(gè)質(zhì)量非均勻分布的平面薄片，它在平面上占有有界閉區(qū)域，此薄片在點(diǎn)處的面密度為，且在上連續(xù)求該薄片的質(zhì)量如果平面薄片是均勻的，即面密度是常數(shù)，則薄片的質(zhì)量就等于面密度與面積的乘積現(xiàn)在薄片的面密度隨著點(diǎn)的位置而變化，我們?nèi)匀豢梢圆捎蒙鲜龇椒ㄇ蟊∑馁|(zhì)量用一組曲線網(wǎng)將區(qū)域任意分成n個(gè)小塊，；由于在上連續(xù)，只要每個(gè)小塊 (i = 1，2， n)的直徑很小，這個(gè)小塊就可以近似地看作均勻小薄片在上任取一點(diǎn)，用點(diǎn) 圖10.1.3處的面密度近似代替區(qū)域上各點(diǎn)處的面密度(如圖10.1.

6、3)，從而求得小薄片的質(zhì)量的近似值 ； 整個(gè)薄片質(zhì)量的近似值為 將薄片無(wú)限細(xì)分，當(dāng)所有小區(qū)域的最大直徑時(shí)，若上述和式的極限存在，這個(gè)極限值就是所求平面薄片的質(zhì)量， 即 定義10.1.1 設(shè)f (x, y)是定義在有界閉區(qū)域上的有界函數(shù)，將任意分割為n小區(qū)域，其中記號(hào)表示第個(gè)小閉區(qū)域，也表示其面積；在每個(gè)小區(qū)域上任取一點(diǎn)，作乘積，并作和式如果將區(qū)域無(wú)限細(xì)分，當(dāng)各小區(qū)域直徑的最大值時(shí)，該和式的極限存在，且極限值與區(qū)域的分法及點(diǎn)的取法無(wú)關(guān)，則稱此極限值為函數(shù)在區(qū)域上的二重積分，記為，即其中稱為被積函數(shù)，稱為被積表達(dá)式，d稱為面積元素，與稱為積分變量，區(qū)域稱為積分區(qū)域，稱為積分和 盡管上面兩個(gè)問(wèn)題的實(shí)

7、際意義不同，但解決問(wèn)題的方法是一樣的，而且最終都?xì)w結(jié)為求二元函數(shù)的某種特定和式的極限在數(shù)學(xué)上加以抽象，便得到二重積分的概念根據(jù)二重積分的定義可知，例10.1.1中曲頂柱體的體積是其曲頂函數(shù)在底面區(qū)域上的二重積分，即； 例10.1.2中平面薄片的質(zhì)量M是其面密度函數(shù)在其所占閉區(qū)域上的二重積分，即關(guān)于二重積分的幾點(diǎn)說(shuō)明(1) 如果函數(shù)在區(qū)域上的二重積分存在，則稱函數(shù)在上可積如果函數(shù)在有界閉區(qū)域上連續(xù)，則在上可積(2) 當(dāng)在有界閉區(qū)域上可積時(shí)，積分值與區(qū)域的分法及點(diǎn)的取法無(wú)關(guān)(3) 二重積分只與被積函數(shù)和積分區(qū)域有關(guān)二重積分的幾何意義(1) 若在閉區(qū)域上，二重積分表示曲頂柱體的體積；(2) 若在閉區(qū)

8、域上，二重積分表示曲頂柱體體積的負(fù)值；(3) 若在閉區(qū)域上有正有負(fù)，二重積分表示各個(gè)部分區(qū)域上曲頂柱體體積的代數(shù)和10.1.2 二重積分的性質(zhì)性質(zhì)2 有限個(gè)函數(shù)代數(shù)和的二重積分等于各函數(shù)二重積分的代數(shù)和，即性質(zhì)1 被積函數(shù)中的常數(shù)因子可以提到積分符號(hào)的外面，即，其中k為常數(shù)二重積分有與定積分完全類似的性質(zhì)，這里我們只列舉這些性質(zhì)，而將證明略去性質(zhì)7 (二重積分的中值定理) 如果函數(shù)在有界閉區(qū)域上連續(xù)，為積分區(qū)域的面積，則在上至少存在一點(diǎn)，使得性質(zhì)6 設(shè)M與m分別是函數(shù)在有界閉區(qū)域上的最大值與最小值，則有，其中，為積分區(qū)域的面積性質(zhì)5 如果在區(qū)域上，則有由于-| |，由性質(zhì)5可得性質(zhì)4 設(shè)在區(qū)域

9、上1，為的面積，則有因?yàn)閺膸缀紊峡矗邽?的平頂柱體的體積在數(shù)值上等于其底的面積性質(zhì)3 若用連續(xù)曲線將區(qū)域分成兩個(gè)子區(qū)域與，即，則.即二重積分對(duì)積分區(qū)域具有可加性例10.1.1比較與的大小，其中是由直線及所圍成的閉區(qū)域解 由于對(duì)任意的，有，故有，因此例10.1.2 估計(jì)的值，其中為矩形區(qū)域，解 被積函數(shù)在區(qū)域上的最大值與最小值分別為4和1，的面積為2，于是習(xí)題10.11使用二重積分的幾何意義說(shuō)明與的之間關(guān)系，其中D1是矩形域-1 x 1，-1 y 1，D2是矩形域0 x 1，0 y 12. 比較下列積分的大小.(1)與，其中由軸、軸及直線所圍成；(2) 與，其中.3估計(jì)下列積分值的大小 (1)

10、 ，其中D：0 x 2， 0 y 2； (2) ，其中D：4一薄片(不考慮其厚度)位于xOy平面上，占有區(qū)域D，薄片上分布有面密度為u = u(x，y)的電荷，且u(x，y)在D上連續(xù)，使用二重積分表示薄片的全部電荷Q10.2 二重積分的計(jì)算10.2.1 直角坐標(biāo)系下二重積分的計(jì)算我們知道，如果函數(shù)在有界閉區(qū)域上連續(xù)，則在區(qū)域上的二重積分存在，且它的值與區(qū)域的分法和各小區(qū)域 上點(diǎn)的選取無(wú)關(guān)，故可采用一種便于計(jì)算的劃分方式，即在直角坐標(biāo)系下用兩族平行于坐 標(biāo)軸的直線將區(qū)域分割成若干個(gè)小區(qū)域. 則除去靠區(qū)域邊界的不規(guī)則的小區(qū)域外，其余的小區(qū)域全部是小矩形區(qū)域 圖10.2.1設(shè)小矩形區(qū)域的邊長(zhǎng)分別為

11、和(如圖10.2.1)，則小矩形區(qū)域的面積為因此，在直角坐標(biāo)系下，可以把面積元素記為則在直角坐標(biāo)系下，二重積分可表示成下面我們將利用平行截面法來(lái)求曲頂柱體的體積，以獲得利用直角坐標(biāo)系計(jì)算二重積分的方法設(shè)曲頂柱體的頂是曲面()，底是平面上的閉區(qū)域(如圖10.2.2)，即區(qū)域可用不等式組表示為，其中函數(shù) 在區(qū)域上連續(xù)，函數(shù)在區(qū)間a，b上連續(xù)，該區(qū)域的特點(diǎn)是：穿過(guò)區(qū)域內(nèi)部且垂直于x軸的直線與的邊界的交點(diǎn)不多于兩點(diǎn)圖10.2.2 用過(guò)區(qū)間a，b上任意一點(diǎn)x且垂直于x軸的平面去截曲頂柱體，所得到的截面是一個(gè)以為底，以為曲邊的曲邊梯形(如圖10.2.3)，其面積為 再利用平行截面面積為已知的立體的體積公式

12、，便得到曲頂柱體的體積為 圖10.2.3根據(jù)二重積分的幾何意義可知，這個(gè)體積也就是所求二重積 或 分的值，從而有 上式右端稱為先對(duì)后對(duì)的二次積分由此看到，二重積分的計(jì)算可化成計(jì)算兩次單積分來(lái)進(jìn)行，這種方法稱為累次積分法對(duì)積分時(shí)，把看作常數(shù)，把只看作的函數(shù)，并對(duì)從到進(jìn)行定積分；然后把算得的結(jié)果(關(guān)于的函數(shù))再對(duì)在區(qū)間a，b上進(jìn)行定積分在上述過(guò)程中，我們假定，但實(shí)際上公式并不受此條件的限制類似地，如果積分區(qū)域如圖10.2.4所示，則區(qū)域可表示為，其中函數(shù)在區(qū)間c，d上連續(xù)，該區(qū)域的特點(diǎn)是：穿過(guò)區(qū)域內(nèi)部且垂直于軸的直線與的邊界的交點(diǎn)不多于兩點(diǎn)圖10.2.4 或 這時(shí)則有以下公式： 上式右端稱為先對(duì)后

13、對(duì)的二次積分如果積分區(qū)域不屬于上述兩種類型，如圖10.2.5所示即平行于軸或軸的直線與的邊界的交點(diǎn)多于兩點(diǎn)，這時(shí)可以用平行于軸或平行于軸的直線把分成若干個(gè)小區(qū)域，使每個(gè)小區(qū)域都屬于上述類型之一，則可利用性質(zhì)3，將上的積分化成每個(gè)小區(qū)域上積分的和 圖10.2.5 圖10.2.6例10.2.1 計(jì)算，其中區(qū)域：，解 作區(qū)域的圖形(如圖10.2.6)，這是矩形區(qū)域化成累次積分時(shí)，積分上下限均為常數(shù)如果先對(duì)積分，則把看作常數(shù)，得如果先對(duì)積分，則有 例10.2.2 計(jì)算，其中由拋物線及直線所圍成解 畫的圖形(如圖10.2.7 a)解方程組，得交點(diǎn)坐標(biāo)為(1, -1)，(4, 2)圖10.2.7 a 圖1

14、0.2.7 b若選擇先對(duì)積分，這時(shí)可表示為，從而 若先對(duì)y積分后對(duì)積分，由于下方邊界曲線在區(qū)間0，1與1，4上的表達(dá)式不一致，這時(shí)就必須用直線將區(qū)域分成和兩部分(如圖10.2.7 b)則和可分別表示為，由此得 顯然，計(jì)算起來(lái)要比先對(duì)后對(duì)積分麻煩，所以恰當(dāng)?shù)剡x擇積分次序是化二重積分為二次積分的關(guān)鍵選擇積分次序與積分區(qū)域的形狀及被積函數(shù)的特點(diǎn)有關(guān)例10.2.3 求由兩個(gè)圓柱面和相交所形成的立體的體積解 根據(jù)對(duì)稱性，所求體積V是圖10.2.8 a所畫出的第一卦限中體積的8倍第一卦限的立體為一曲頂柱體，它以圓柱面為頂，底為xOy面上的四分之一圓(如圖10.2.8 b)，用不等式組表示為，所求體積為 圖

15、10.2.8 a 圖10.2.8 b以上我們采用的是先對(duì)后對(duì)的積分次序，如果先對(duì)后對(duì)積分，則有雖然也能得到相同的結(jié)果，但計(jì)算要復(fù)雜的多例10.2.4 計(jì)算二重積分解 積分區(qū)域如圖10.2.9所示，直接計(jì)算顯然不行，因?yàn)椴荒鼙硎緸槌醯群瘮?shù)但被積函數(shù)與無(wú)關(guān)，因此我們考慮交換積分次序后再計(jì)算 圖10.2.910.2.2 極坐標(biāo)系下二重積分的計(jì)算前面討論了在直角坐標(biāo)系下計(jì)算二重積分的方法但有些二重積分，其被積函數(shù)和積分區(qū)域(如圓形、扇形、環(huán)形域等)用極坐標(biāo)系表示時(shí)比較簡(jiǎn)單，這時(shí)可考慮利用極坐標(biāo)計(jì)算二重積分下面介紹在極坐標(biāo)系下二重積分的計(jì)算方法因?yàn)槎胤e分與積分區(qū)域的分法無(wú)關(guān)，所以可用極坐標(biāo)系下以極點(diǎn)為

16、中心的一族同心圓常數(shù)以及從極點(diǎn)發(fā)出的一族射線常數(shù)來(lái)分割區(qū)域不失一般性，我們考慮極徑由變到和極角由變到所得到的區(qū)域(如圖10.2.10)該小區(qū)域可近似地看作邊長(zhǎng)分別為和的小矩形，于是極坐標(biāo)下的面積元素再用坐標(biāo)變換，代替被積函數(shù)中的和，于是得到二重積分在極坐標(biāo)系下的表達(dá)式 圖10.2.10 圖10.2.11實(shí)際計(jì)算時(shí)，與直角坐標(biāo)情況類似，還是化二重積分為累次積分來(lái)進(jìn)行計(jì)算，這里僅介紹先后的積分次序，積分的上下限則要根據(jù)極點(diǎn)與區(qū)域的位置而定下面分三種情況說(shuō)明在極坐標(biāo)系下，如何化二重積分為累次積分(1)極點(diǎn)在積分區(qū)域之外(如圖10.2.11)此時(shí)區(qū)域D界于射線和之間(，這兩條射線與的邊界的交點(diǎn)把區(qū)域邊

17、界曲線分為內(nèi)邊界曲線和外邊界曲線兩個(gè)部分，則，(2)極點(diǎn)在積分區(qū)域之內(nèi)(如圖10.2.12)此時(shí)極角從變到，如果的邊界曲線方程是，則，(3)極點(diǎn)在積分區(qū)域的邊界上(如圖10.2.13)此時(shí)極角從變到，設(shè)區(qū)域的邊界曲線方程是，則， 圖10.2.12 圖10.2.13 特別地，當(dāng)時(shí)，為區(qū)域的面積），即當(dāng)時(shí)，即為在定積分應(yīng)用中用極坐標(biāo)計(jì)算曲邊扇形面積的公式一般情況下，當(dāng)二重積分的被積函數(shù)中自變量以，等形式出現(xiàn)且積分區(qū)域由圓弧與射線組成(如以原點(diǎn)為中心的圓域、扇形域、圓環(huán)域，以及過(guò)原點(diǎn)而中心在坐標(biāo)軸上的圓域等)，利用極坐標(biāo)計(jì)算往往更加簡(jiǎn)便用極坐標(biāo)計(jì)算二重積分時(shí)，需畫出積分區(qū)域的圖形，并根據(jù)極點(diǎn)與區(qū)域的

18、位置關(guān)系，選用上述公式例10.2.5 將二重積分化為極坐標(biāo)系下的累次積分，其中表示為，解 畫出的圖形(如圖10.2.14)，在極坐標(biāo)系下，可表示為，于是可得 圖10.2.14 圖10.2.15例10.2.6 計(jì)算，其中是圓盤在第一象限的部分解 畫出的圖形(如圖10.2.15)，在極坐標(biāo)系下，可表示為，于是可得例10.2.7 求由球面與圓柱面所圍且含于柱面內(nèi)的立體體積 圖10.2.16 a 圖10.2.16 b解 如圖10.2.16 a所示，由于這個(gè)立體關(guān)于面與面對(duì)稱，所以只要計(jì)算它在第一卦限的部分這是以球面為頂，以曲線與軸所圍成的半圓為底(如圖10.2.16 b)的曲頂柱體，其體積為 在極坐標(biāo)

19、下，于是得到 習(xí)題10.21.畫出積分區(qū)域并計(jì)算下列二重積分 (1)，； (2) 其中是矩形閉區(qū)域：； (3) 其中是頂點(diǎn)分別為和的三角形閉區(qū)域.； (4)，2.將二重積分化為二次積分，其中積分區(qū)域D是: (1) 以(0，0)，(1，0)，(1，1)為頂點(diǎn)的三角形區(qū)域； (2) 由直線及雙曲線所圍成的區(qū)域3.交換下列二次積分的積分次序(1)； (2)；(3)； (4)4.畫出下列積分區(qū)域，并把二重積分化成極坐標(biāo)系下的二次積分 (1) D：； (2) D： .5.將積分化成極坐標(biāo)形式6.利用極坐標(biāo)計(jì)算下列積分 (1)，D：； (2)，D：； (3)，D：7.選擇適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系計(jì)算下列積分 (1)，

20、D由所圍成； (2)；D：，； (3)，D：，8.求圓錐面與平面z = x，x = 0所圍成的立體體積9. 求由平面，及所圍成的立體的體積.10.3 三重積分定義10.3.1 設(shè)函數(shù)是空間有界閉域上的有界函數(shù).將任意分割成個(gè)小閉區(qū)域,其中表示第個(gè)小閉區(qū)域,也表示它的體積.在每個(gè)上任取一點(diǎn),作乘積(),并作和.記,若極限總存在,則稱此極限為函數(shù)在閉區(qū)域上的三重積分.記作,即 (10.3.1)其中叫做體積微元10.3.1 三重積分的概念將二重積分的概念推廣，就得到三重積分的概念.在直角坐標(biāo)系中,如果用平行于坐標(biāo)面的平面來(lái)劃分，那么除了包含的邊界點(diǎn)的一些不規(guī)則小閉區(qū)域外，得到的小閉區(qū)域?yàn)殚L(zhǎng)方體. 設(shè)

21、長(zhǎng)方體小閉區(qū)域的邊長(zhǎng)為、,則.因此在直角坐標(biāo)系中,有時(shí)也把體積微元記作,而把三重積分記作其中叫做直角坐標(biāo)系中的體積微元.當(dāng)函數(shù)在閉區(qū)域上連續(xù)時(shí)，(10.3.1)式右端的和的極限必定存在，也就是函數(shù)在閉區(qū)域上的三重積分必定存在. 以后我們總假定函數(shù)在閉區(qū)域上是連續(xù)的.關(guān)于二重積分的一些術(shù)語(yǔ)，例如，被積函數(shù)、積分區(qū)域等，也可相應(yīng)地用到三重積分上. 三重積分的性質(zhì)也與二重積分的性質(zhì)類似，這里不再重復(fù)了.如果表示某物體在點(diǎn)處的密度，是該物體所占有的空間閉區(qū)域，在上連續(xù)，則是該物體的質(zhì)量的近似值，這個(gè)和當(dāng)時(shí)的極限就是該物體的質(zhì)量，所以當(dāng)時(shí)，積分值就等于積分區(qū)域的體積.10.3.2 在直角坐標(biāo)系下三重積分

22、的計(jì)算1 先一后二法 設(shè)函數(shù)在空間有界閉區(qū)域上連續(xù).設(shè)區(qū)域在面上的投影區(qū)域?yàn)?如果平行于軸且穿過(guò)區(qū)域的直線與的邊界曲面的交點(diǎn)不超過(guò)兩個(gè),此區(qū)域表示為.即過(guò)區(qū)域在面上的投影區(qū)域內(nèi)任一點(diǎn)，做平行于軸的直線，穿進(jìn)的點(diǎn)總在曲面:上，穿出的點(diǎn)總在曲面:上，且（如圖10.3.1）.此時(shí)三重積分可化為即先對(duì)積分再計(jì)算在上的二重積分（先一后二法）. 圖10.3.1 假如閉區(qū)域 (10.3.2)把這個(gè)二重積分化為二次積分,于是得到三重積分的計(jì)算公式即把三重積分化為先對(duì),再對(duì),最后對(duì)的三次積分如果平行于軸或軸且穿過(guò)閉區(qū)域內(nèi)部的直線與的邊界曲面相交不多于兩點(diǎn),也可把閉區(qū)域投影到面上或面上,這樣便可以把三重積分化為按

23、其他順序的三次積分.因此,在直角坐標(biāo)系下的三重積分可能有6種不同順序的三次積分.如果平行于坐標(biāo)軸且穿過(guò)閉區(qū)域內(nèi)部的直線與邊界曲面的交點(diǎn)多于兩個(gè),也可像處理二重積分那樣,把分成若干部分,使上的三重積分化為各部分閉區(qū)域上的三重積分的和.例10.3.1 計(jì)算三重積分，其中積分區(qū)域?yàn)槠矫婕叭齻€(gè)坐標(biāo)面所圍成的閉區(qū)域.解 積分區(qū)域是如圖10.3.2所示的四面體，將投影在面，投影區(qū)域?yàn)?圖10.3.2在內(nèi)任取一點(diǎn),過(guò)此點(diǎn)作平行于軸的直線,該直線通過(guò)平面穿入內(nèi),然后通過(guò)平面穿出外,所以,積分區(qū)域表示為 ，.于是,由公式(10.3.2)得 例10.3.2 計(jì)算三重積分，其中積分區(qū)域?yàn)闄E圓拋物面及拋物柱面所圍成的

24、閉區(qū)域.解 積分區(qū)域如圖10.3.3所示,在坐標(biāo)面上的投影區(qū)域?yàn)? 積分區(qū)域表示為 于是 圖10.3.32 先二后一法有時(shí),我們計(jì)算一個(gè)三重積分也可以化為先計(jì)算一個(gè)二重積分、再計(jì)算一個(gè)定積分.設(shè)空間區(qū)域如圖10.3.4所示,則,過(guò)點(diǎn)作軸的垂面,與區(qū)域的截面為,則 即先計(jì)算在上的二重積分,再對(duì)積分（先二后一法）. 例10.3.3 計(jì)算三重積分,其中是橢球體 . 圖10.3.4 解 將投影到軸上,則,對(duì)任意,過(guò)點(diǎn)的平面截橢球體得到橢圓域?yàn)椋?(如圖10.3.5),即空間閉區(qū)域可表示為,于是但是,若采用“先一后二法” 將投影到平面上得則 . 此積分很難完成. 圖10.3.5 10.3.3柱坐標(biāo)系和球

25、坐標(biāo)系下三重積分的計(jì)算 1 利用柱坐標(biāo)系計(jì)算三重積分.空間直角坐標(biāo)系中，將面用極坐標(biāo)系表示所建立的坐標(biāo)系就是柱坐標(biāo)系.設(shè)為空間直角坐標(biāo)系中一點(diǎn) 圖10.3.6此點(diǎn)在面上投影點(diǎn)表示成相應(yīng)的極坐標(biāo)形式為，則點(diǎn)的柱坐標(biāo)為(如圖10.3.6).這里規(guī)定,的變化范圍為,在柱坐標(biāo)系中： （常數(shù)）,表示以軸為中心的圓柱面； （常數(shù)）,表示通過(guò)軸的半平面，此半平面與面的夾角為； （常數(shù)）,表示平行于坐標(biāo)面的平面.空間直角坐標(biāo)與柱坐標(biāo)的關(guān)系為 (10.3.2)現(xiàn)在要把三重積分中的變量變換為柱面坐標(biāo).為此,用常數(shù)，常數(shù)，常數(shù)把分成許多小閉區(qū)域,除了含的邊界點(diǎn)的一些不規(guī)則小閉區(qū)域外,這種小閉區(qū)域都是柱體.考慮由,各

26、取得微小增量,所成的柱體的體積(如圖10.3.7).這個(gè)體積等于高和底面積的乘積.現(xiàn)在高為、底面積在不計(jì)高階無(wú)窮小時(shí)為(即極坐標(biāo)系中的面積元素),于是得，這就是柱面坐標(biāo)系中的體積元素.圖10.3.7再注意到關(guān)系式(10.3.2),就得到三重積分的變量從直角坐標(biāo)變換為柱面坐標(biāo)的公式 (10.3.3)(10.3.3).設(shè)空間區(qū)域在面上的投影區(qū)域，空間區(qū)域則柱坐標(biāo)系下的三重積分化為三次積分為：例10.3.4 計(jì)算三重積分，其中是由圓錐面、圓柱面與平面所圍成的閉區(qū)域.解 積分區(qū)域在平面上的投影區(qū)域(如圖10.3.8)，,并且, 圖10.3.8于是， .例10.3.5 計(jì)算三重積分,其中是由拋物面及平面

27、所圍成的閉區(qū)域.解 在柱坐標(biāo)系下積分區(qū)域表示為 (如圖10.3.9)則 . 圖10.3.92 利用球坐標(biāo)系計(jì)算三重積分除直角坐標(biāo)系、柱坐標(biāo)系之外,空間點(diǎn)還可以用球坐標(biāo)系表示.設(shè)為空間直角坐標(biāo)系中一點(diǎn),此點(diǎn)在面上投影點(diǎn)為，用表示點(diǎn)到原點(diǎn)的距離,表示軸正向按逆時(shí)針到向量的轉(zhuǎn)角, 表示軸正向與向量的夾角,則坐標(biāo)稱為點(diǎn)的球坐標(biāo)(如圖10.3.10).這里,的變化范圍為,點(diǎn)的球坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的關(guān)系： (10.3.4) 圖10.3.10在球坐標(biāo)系下,常數(shù)，表示中心在原點(diǎn)的球面；常數(shù),表示過(guò)軸的半平面；常數(shù),表示原點(diǎn)為頂點(diǎn),軸為中心軸的圓錐面.為了把三重積分中的變量從直角坐標(biāo)系變換為球面坐標(biāo),設(shè)定義在空間有

28、界閉區(qū)域上的連續(xù)函數(shù)，用常數(shù),常數(shù),常數(shù),分割空間區(qū)域,考慮由,各取得微小增量,所成的六面體的體積(如圖10.3.11).不計(jì)高階無(wú)窮小,可把這個(gè)六面體看作長(zhǎng)方體,其經(jīng)線方向的長(zhǎng)為,緯線方向的寬為,向徑方向的高為,于是得.這就是球面坐標(biāo)系中的體積元素. 圖10.3.11 (10.3.5)再注意到關(guān)系式(10.3.4),就得到三重積分的變量從直角坐標(biāo)變換為球面坐標(biāo)的公式(10.3.5).要計(jì)算變量變換為球面坐標(biāo)后的三重積分,可把它化為對(duì)、對(duì)及對(duì)的三次積分.例10.3.6計(jì)算三重積分,其中是由圓錐面與球面所圍成的閉區(qū)域.解 在球坐標(biāo)系下,圓錐面的方程為,球面的方程為. 如圖10.3.12所示，表示

29、為 圖10.3.12，于是 .習(xí)題 10.31.化三重積分為三次積分，其中積分區(qū)域分別是：(1) 由曲面及平面所圍成的閉區(qū)域；(2) 由圓柱面及平面,所圍成的位于第一卦限內(nèi)的閉區(qū)域.2.計(jì)算三重積分其中積分區(qū)域是由三個(gè)坐標(biāo)面及平面所圍成的閉區(qū)域.3.利用柱面坐標(biāo)計(jì)算下列積分.(1) ,其中是由圓柱體、及所圍成的閉區(qū)域.(2) ,其中是由曲面與所圍成的閉區(qū)域；(3) ,其中是由曲面與所圍成的閉區(qū)域.4.利用球面坐標(biāo)計(jì)算下列積分.(1) 其中積分區(qū)域?yàn)榻橛趦汕蛎媾c之間的部分；(2) 其中積分區(qū)域是由曲面與所圍成的閉區(qū)域. 5.選用適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)計(jì)算下列三次積分.(1) (2) 6.一個(gè)物體由旋轉(zhuǎn)拋物面

30、及平面所圍成,已知其任一點(diǎn)處的密度與到軸距離成正比,求其質(zhì)量.10.4 重積分的應(yīng)用我們?cè)迷胤ㄓ懻摿硕ǚe分的應(yīng)用問(wèn)題，該方法也可以推廣到重積分的應(yīng)用中假設(shè)所求量對(duì)區(qū)域具有可加性，即當(dāng)區(qū)域分成若干小區(qū)域時(shí)，量相應(yīng)地分成許多部分量，且量等于所有部分量之和在內(nèi)任取一直徑很小的小區(qū)域，設(shè)是上任一點(diǎn)，如果與相應(yīng)的部分量可以近似地表示為的形式，那么所求量就可用二重積分表示為，其中稱為所求量的元素或微元，記為，即10.4.1 立體體積和平面圖形的面積設(shè)一立體，它在面上的投影為有界閉區(qū)域，上頂與下底分別為連續(xù)曲面與，側(cè)面是以的邊界曲線為準(zhǔn)線而母線平行于軸的柱面，求此立體的體積(如圖10.4.1)在區(qū)域內(nèi)任

31、取一直徑很小的小區(qū)域，設(shè)是 圖 10.4.1 上任一點(diǎn)，以的邊界曲線為準(zhǔn)線作母線平行于軸的柱面，截立體得一個(gè)小柱形(如圖10.4.1)，因?yàn)榈闹睆胶苄?，且，在上連續(xù)，所以可用高為，底為的小平頂柱體的體積作為小柱形體積的近似值，得體積元素為 將體積元素在上積分，即得立體的體積 例10.4.1 求由曲面及所圍成的立體的體積解 如圖10.4.2所示，立體的上頂曲面是，下底曲面是，在面上的投影區(qū)域的邊界曲線方程為，它是上頂曲面和下底曲面的交線在面上的投影，是從與中消去而得出的利用極坐標(biāo)，可得 圖10.4.2 圖10.4.3例10.4.2 求曲線與直線及圍成平面圖形的面積(如圖10.4.3)解 設(shè)所求圖

32、形的面積為，所占區(qū)域?yàn)?，則利用極坐標(biāo)可將區(qū)域表示為，于是10.4.2 曲面面積假設(shè)曲面的方程為，在面上的投影是有界閉區(qū)域，函數(shù)在上具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，求曲面的面積在閉區(qū)域內(nèi)任取一直徑很小的小區(qū)域，設(shè)是內(nèi)任一點(diǎn)，則曲面上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為過(guò)點(diǎn)作曲面的切平面，并以小區(qū)域的邊界曲線為準(zhǔn)線，作母線平行于軸的柱面，它在曲面和切平面上分別截得小塊曲面和小塊切平面(如圖10.4.4)顯然，與在面上的投影都是，因?yàn)榈闹睆胶苄?，所以小塊曲面的面積就可以用小塊切平面的面積近似代替，即有，從而為曲面的面積元素 圖10.4.4 圖10.4.5設(shè)曲面在點(diǎn)處的法向量與軸正向的夾角為銳角，則切平面與面的夾角也為 (如圖10.4.5)，

33、于是注意到切平面的法向量為n =，所以，即得 ， 或 這就是曲面的面積元素，在上積分得曲面的面積為這就是計(jì)算曲面面積的公式 或 如果曲面的方程為或，在面或面上的投影區(qū)域分別記為或類似地，可得曲面的面積為 例10.4.3 求球面被圓柱面截下部分的面積(如圖10.4.6)圖10.4.6解 利用對(duì)稱性，只需求出球面在第一卦限部分的面積，再4倍即可在第一卦限，球面方程為，投影區(qū)域?yàn)榘雸A形區(qū)域:， ，利用極坐標(biāo)，得到 10.4.3 平面薄片的重心由力學(xué)知道，由個(gè)質(zhì)點(diǎn)構(gòu)成的質(zhì)點(diǎn)組的重心坐標(biāo)為，其中是第i個(gè)質(zhì)點(diǎn)的位置坐標(biāo)，是第i個(gè)質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量，是個(gè)質(zhì)點(diǎn)的總質(zhì)量，和分別是質(zhì)點(diǎn)組對(duì)x軸和y軸的靜力矩設(shè)有一平面薄板

34、，它占有面上的有界閉區(qū)域，在點(diǎn)處的面密度為，且在上連續(xù)，求薄片的重心坐標(biāo)(如圖10.4.7)為求薄片的重心坐標(biāo)，在區(qū)域上任取一直徑很小的小區(qū)域，設(shè)是上任一點(diǎn)，注意到在區(qū)域上連續(xù)且的直徑很小，可知上的部分質(zhì)量近似等于，從而得質(zhì)量元素為 圖10.4.7可將小薄片視為位于點(diǎn)處的一個(gè)質(zhì)點(diǎn)，則小薄片對(duì)軸和軸的靜力矩分別為 ， 將上述元素在上積分，即得 ， (10.4.1)因此平面薄片的重心坐標(biāo)為特別地，如果薄片是均勻的，則面密度為常數(shù)，從而薄片的重心即為薄片占有的平， (10.4.2)面圖形的幾何中心只需在式(10.4.1)中令 (常數(shù))，并用表示區(qū)域的面積，就可以推出幾何中心坐標(biāo)的計(jì)算公式例10.4.4 在半徑為的均勻半圓形薄片的直徑上接一個(gè)一邊之長(zhǎng)與直徑相等的均勻矩形薄片，使其重心恰好位于圓心，求矩形另一邊的長(zhǎng)(設(shè)兩塊薄片的面密度均為1)解 如圖10.4.8所示建立坐標(biāo)系由均勻性和對(duì)稱性可知，重心在軸上，即設(shè)矩形的另一邊長(zhǎng)為，則有 由式(10.4.2)知，當(dāng)矩形的另一邊長(zhǎng)時(shí)，即圖形的重心位于圓心上 圖1