優(yōu)化高考數(shù)學(xué)試題計(jì)算量的五種方法

1、名師精編歡迎下載優(yōu)化高考數(shù)學(xué)試題計(jì)算量的五種方法計(jì)算能力是思維能力和運(yùn)算技能的結(jié)合，是高考數(shù)學(xué)考查的四大能力之一，在代數(shù)、三角、立體幾何、解析幾何等內(nèi)容中都有體現(xiàn)，高考中有70%以上的試題都具有一定的計(jì)算量， 所以通過(guò)研究試題特點(diǎn)、了解算理、改進(jìn)計(jì)算方法，減少高考試題的計(jì)算是贏得考試成功的重要途徑。本文結(jié)合近幾年的高考試題和自己的解題教學(xué)體會(huì)揭示如何優(yōu)化高考數(shù)學(xué)中的計(jì)算量，給高三復(fù)習(xí)提供幫助。一、巧思妙解，避免計(jì)算高考試題一般都有多種解法， 最多的甚至有近二十種方法， 這些方法有繁有簡(jiǎn)， 所以要通過(guò)對(duì)試題進(jìn)行分析和聯(lián)想，用化歸、構(gòu)造或類比等方法尋求最佳解題策略。例 1（ 2003 全國(guó)新課程卷

2、試題） 一個(gè)四面體的所有棱長(zhǎng)都為 2，四個(gè)頂點(diǎn)在同一球面上，則此球的表面積為（）A.3nB.4nC.3-y3nD.6n解析：很多考生在考試時(shí)由于圖形難畫， 計(jì)算量大而無(wú)可奈何的放棄， 但本題 如果采用構(gòu)造法則可以避免計(jì)算， 由于連結(jié)正方體六個(gè)面的六條對(duì)角線， 可以構(gòu)成 一個(gè)正四面體，所以這個(gè)四面體可以看成是棱長(zhǎng)為1 的正方體面的對(duì)角線構(gòu)成的,這時(shí)正方體內(nèi)接于球，球的直徑就是正方體的對(duì)角線長(zhǎng).易知球的直徑是.3，故球的表面積為 3 二.評(píng)析：由正四面體聯(lián)想到正方體突破了尋找球心和半徑的障礙, 算，使解題快速準(zhǔn)確。例 2 （2003 全國(guó)新課程卷試題） 已知長(zhǎng)方形四個(gè)頂點(diǎn) A （0, 0）, B

3、（2, 0）, C （2, 1）和 D （0, 1）.一質(zhì)點(diǎn)從 AB 的中點(diǎn) P0沿與 AB 夾角為9的方向射到 BC 上的點(diǎn) P1后，依次反射到 CD、DA 和 AB 上的點(diǎn) P2、P3和 P（入射角等于反射角）. 設(shè) P4的坐標(biāo)為（X4, 0） 若 1 X42，則 tan9的取值范圍是（）1 1 2丿A.(-,1)B.(-,-)y33 32 1 2 2DC.(5勺D.(5刁P3P2C0P1解析：依題意可記各點(diǎn)的坐標(biāo)如下：P0（1,0）,0（A）P0P4B X 圖 1避免了復(fù)雜計(jì)名師精編歡迎下載R（2,tan,P2（X2,1）,P3（0,y3）,R（X4,0），由反射原理依次求得x?、y3、

4、X4后，再由1：X4 2可得到結(jié)果。但這個(gè)方法不僅計(jì)算量相當(dāng)大、容易出錯(cuò)，而且名師精編歡迎下載1浪費(fèi)時(shí)間。但如果小題巧做，根據(jù)選擇題特點(diǎn)可用特殊值檢驗(yàn)，取tan v - -，則21Pl、P2、P3、P4依次是各邊中點(diǎn)，因此-不屬于所求的范圍，從而排除選項(xiàng)A、B、2D 選 C。評(píng)析：恰當(dāng)?shù)乩眠x擇題的命制特點(diǎn)和考查功能，有助將解題建構(gòu)在較高水平上，避免計(jì)算。二、數(shù)形結(jié)合，以圖助算“數(shù)形結(jié)合”是中學(xué)數(shù)學(xué)最重要的思想方法之一，也是高考考查的重要方面，利用數(shù)形結(jié)合，可以有效地增加解題過(guò)程的直觀性，大大地減少計(jì)算量。例 3（2004 天津市高考卷試題）若過(guò)定點(diǎn)M（-1,0）且斜率為k的直線與圓2 2x

5、4x y -5 =0在第一象限內(nèi)的部分有交點(diǎn)，則k的取值范圍是（）A.0ckcJ5B.J5 ck c0C.0ckc7T3D.0ckc5解析：本題很容易這樣考慮，先設(shè)出直線的方程，解圓與直線組成的方程組， 得到交點(diǎn)后，令交點(diǎn)的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)都大于0，從而求得k的范圍，但這樣計(jì)算量大，費(fèi)時(shí)費(fèi)力。如果借助于圖形就非常直觀。如圖2 所示，在圓的方程x2 4x y2-5 =0中，令x = 0得y =.5，即N（0, 5），這時(shí)kMNJ 5。易知如果點(diǎn) N 在第三、大膽取舍，進(jìn)行估算高考除要求考生能夠根據(jù)題設(shè)條件精算外還要能夠?qū)?shù)據(jù)進(jìn)行估計(jì)，并能進(jìn)行近似計(jì)算。解析：在公式不夠熟悉和計(jì)算不熟練的情況下由于選

6、項(xiàng)的設(shè)置非常相近，極易一象限，則0 : k .5，故選A。例 4（2003 全國(guó)高考卷試題）cos x=-,則an7247B.-242424C.D.77名師精編歡迎下載出錯(cuò)，而如果利用已知條件進(jìn)行估算又是另一番情景了，由x（于），海冷 得x，從而2x，則tan 2x：-、3，故選 D。4623評(píng)析：本題利用角的范圍估算，有效地避開了公式的應(yīng)用和復(fù)雜的計(jì)算，這樣解題不僅快捷而且準(zhǔn)確。例 5( 2002 全國(guó)高考卷試題) 據(jù) 20XX 年 3 月 5 日九屆人大五次會(huì)議政府工作報(bào)告：“20XX 年國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值達(dá)到 95933 億元，比上年增長(zhǎng) 7.3%”如果“十 ?五”期間(20XX 年 20XX

7、 年)每年的國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值都按此年增長(zhǎng)率增長(zhǎng)，那 么到“十？五”末我國(guó)國(guó)內(nèi)年生產(chǎn)總值約為()A. 115000 億元 B. 120000 億元 C. 127000 億元 D . 135000 億元解析：由題意可得 20XX 年國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值為：y =95933(1 7.3%)4，由于高考不能使用計(jì)算器，直接計(jì)算是難以想象的，但可利用二項(xiàng)式定理進(jìn)行估算，且95933 可以近似地取作 95900,這樣：y 95900(1 7.3%)4=95900(1 4 0.073)124000，故選 Co評(píng)析：本題進(jìn)行了二次估算， 在考試時(shí)需要大膽取舍，而不能過(guò)于謹(jǐn)慎，得不到正確結(jié)果。四、合情推理，弱化計(jì)算在考試中

8、運(yùn)算的步驟越多，過(guò)程越復(fù)雜，出錯(cuò)的機(jī)會(huì)也就越多， 所以要用推理來(lái)弱化運(yùn)算，盡可能地減少出錯(cuò)的機(jī)會(huì)。例 6 (20XX 年江蘇卷高考試題)設(shè)無(wú)窮等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為 Sn. (I)3_c若首項(xiàng) a1，公差 d =1，求滿足Sk2=(Sk)2的正整數(shù) k ; (H)求所有的無(wú)窮等差數(shù)列an，使得對(duì)于一切正整數(shù) k 都有Sk2=(Sk)2成立.解析：(I)略；(II)把Sn= na1血包d代入題設(shè)Sk2=(Sk)2可得：2kk2a1二ka1坐d，在高考分分秒秒皆黃金的緊張氛圍下，繼2 . 2續(xù)化簡(jiǎn)下去是需要勇氣的，而且最后很難得到正確的結(jié)果。但借助于推理可以弱化 計(jì)算。以推理代替計(jì)算。因?yàn)閟k2

9、=(Sk)2對(duì)一切正整數(shù)都成立，分別取k=1,2得:名師精編歡迎下載S1=(S1)2即a1=(a1)24=(S2)2幺印+6d=(2a_!+d)2代入(2)得d =0或d =6，下面分四種情況來(lái)討論。若a1=0,d =0則Sn=0,Sk2=(Sk)2成立；若a0, 6，則S3=18,(1)由(1)得a1= 0或a1= 1；將a1= 0名師精編歡迎下載S9=216，則S32($)2;若a1=1,d =0,則Sn= n,Sk2=(Sk)2成立；若ai二1,d =2,an=2n-1，貝VSn= n?,Sk2=(Sk)?成立。綜上，共3 個(gè)滿足條件的無(wú)窮等差數(shù)列，即an=0、an=1、an=2n-1。

10、評(píng)析：由上面解析可見第二種方法注意推理，把繁雜的計(jì)算在推理中弱化了， 這類經(jīng)過(guò)推理可以弱化計(jì)算的試題在高考卷中比比皆是，特別是在立體幾何和代數(shù)推理問(wèn)題。在高考有限的時(shí)間內(nèi)不能僅僅做到埋頭苦算，更要注意推理，增加解答過(guò)程的“含理量”。五、注重算理，精打細(xì)算在考試中面對(duì)直接計(jì)算較為復(fù)雜的試題，必須要注意算理，小心地選取運(yùn)算路徑，合理地選擇運(yùn)算方法， 甚至對(duì)試題中看起來(lái)不重要的參量都加以精算，以此得到啟發(fā)，從而找準(zhǔn)運(yùn)算目標(biāo)。例 7（20XX 年福建省高考試題） 如圖 3 1，B地在A地的正東方向 4 km 處,C地在B地的北偏東 30。方向 2km處，河流的沿岸PQ（曲線）上任意一點(diǎn)到A的 距離比到

11、B的距離遠(yuǎn) 2km現(xiàn)要在曲線PQ上選一處M建一座碼頭，向B、C兩 地轉(zhuǎn)運(yùn)貨物。經(jīng)測(cè)算，從M到B、C兩地修建公路的費(fèi)用分別是a萬(wàn)元/ km、2a萬(wàn)元/km，那么修建這兩條公路的總費(fèi)用最低是（）A. (2 .7 -2)a萬(wàn)元 B . 5a萬(wàn)元 C. (2解析：如圖 3 2，以線段 AB 所在的直線為x軸，AB 的中垂線為y軸，建立2平面直角坐標(biāo)系，由雙曲線的第一定義知PQ的方程為：x2- 1.由題意可圖3名師精編歡迎下載3得：C（3,、3）,兩條公路總的費(fèi)用為a MB 2aMC.如果設(shè) 皿（滄0），試圖計(jì)算MB 2MC最小值，幾乎是不可能的事。其實(shí)這里需要我們精算：雙曲線的離心名師精編歡迎下載率為

12、2這樣MB轉(zhuǎn)化為兩倍的M到準(zhǔn)線距離，且右準(zhǔn)線方程為：，過(guò)C作CD垂直于右準(zhǔn)線于D點(diǎn)，交曲線PQ于M點(diǎn)，貝UM為所求的點(diǎn)。這時(shí)，aMB| +2a MC| = 2a(MD| +|MC)=2aDC評(píng)析：本題利用雙曲線的第二定義實(shí)現(xiàn)線段長(zhǎng)的轉(zhuǎn)化，就是符合算理的選擇，通過(guò)對(duì)離心率的計(jì)算從而發(fā)現(xiàn)能夠轉(zhuǎn)化，則是精打細(xì)算的體現(xiàn)。例 8 ( 20XX 年新課程卷試題)已知cos：()=2 ,，求45223Tcos(? )的值。解析：在考試中很多同學(xué)試圖從解方程組的角度求出sin2_：i、cos2二代入cos(2 )的展開式。這樣計(jì)算量非常大，也有部分同學(xué)發(fā)4現(xiàn)如下關(guān)系：2()，但同樣遇到求sin、cost障礙，這些都不44符合算理，還需要進(jìn)一步細(xì)算。再往下分析還可以發(fā)現(xiàn)：2(2)-,424這個(gè)關(guān)系雖然看起來(lái)較繁，但sin 2、cos2容易求得，sin2- cos(2 )=2-2cos ()1；cos2：= sin(2) = 2sin( )cos(廠42524425,231、2故cos(2 ) =cos2: cos sin 2 sin(cos 2 -sin 2:)：444225評(píng)注：本題的解法稱為“變角法”，