復積分計算總結

1、復積分的計算方法孟小云025(數(shù)學科學學院數(shù)學與應用數(shù)學專業(yè)2007級3班)指導老師 海泉摘要：本文歸納了計算復積分的多種方法，并舉例說明了它們的應用。關鍵詞：復變函數(shù)；復積分在復變函數(shù)的分析理論中，復積分是研究解析函數(shù)的重要工具，解析函數(shù)的許多重要性質都要利用復積分來表述和證明的，因此，對復積分及其計算的研究顯得尤為重要。本文介紹了復變函數(shù)積分常規(guī)的計算方法、利用級數(shù)法、拉普拉斯變換法及對數(shù)留數(shù)與輻角原理進行復積分計算方法。利用這些方法可以使一些復雜的復積分計算變得簡單、快捷。接下來要介紹計算復積分的常見的一些方法。 方法1:參數(shù)方程法定理：設光滑曲線 c:z=z(t)=x(t)+iy(t)

2、 (t ), 2)在,上連續(xù)，且 z(t) 0,又設 f(z)沿 c 連續(xù)，則 f (z)dzf z(t)z (t)dt。c1、若曲線c為直線段，先求出c的參數(shù)方程。c為過乙二2兩點的直線段，c： z zi (z2 zi )t,t 0,1 2為始點，z2為終點。例1計算積分1 Re zdz ,路徑為直線段.解：設 z 1 (i 1)t (t 1) it,t 0,1,一、11 21i原式二 0(t 1)idt (-t t) 0-2、若曲線c為圓周或圓周的一部分，例如c為以a為心R為半徑的圓。設c：R,即z a Rei ,0,2 ,(曲線的正方向為逆時針)例2計算積分Jz dz,c為從一1到1的下

3、半單位圓周解：設 z ei ,dzei d ,00 0原式 ie d i(cos i sin )d 2注：上述方法只適用于積分曲線式特殊類型的曲線。方法2:利用柯西積分定理柯西積分定理：設函數(shù)f(z)在復平面上的單連通區(qū)域 D內(nèi)解析，c為D內(nèi)任 條周線，則 f (z)dz 0c例3計算/z一,c為單位圓周z 1.cz 2z 2解：z 1是f(z) kdz的解析區(qū)域內(nèi)的一閉曲線，由柯西定理有z2 2z 2dz0c z2 2z 2注：此題可用參數(shù)方法，但計算要復雜得多，而用柯西定理很簡單。1、柯西積分定理可推廣到復周線的情形，這也是計算復積分的一個有利工具，即復函數(shù)沿區(qū)域外邊界曲線的積分等于沿區(qū)域

4、內(nèi)邊界積分的和。適用于積分曲線內(nèi)部含被積函數(shù)奇點的情形例4計算c24dz的也c為包含圓周z 1的任何正向簡單閉曲線c內(nèi)且互不解；2fdz(-，)dz,分別以z 0,z 1為心作兩完全含于cz z c z z 11111相父的圓周 CI,c2,則有原式=(一 )dz(- )dzc1 z z 1c2 z z 111dz1dzc2 zdz c2 z 1=2 i 0 0 2 i 4 i2、若積分與路徑無關的條件下也可直接按實積分中的牛頓萊布尼茨公式計2 i日例5計算之(z 2) dz.解：因為f(z) (z 2)2在復平面上處處解析，所以積分與路徑無關2 i 919原式二 2 (z 4z 4)dz -

5、z 2z 4z注：利用柯西積分定理也有一定的局部性,主要體現(xiàn)在被積函數(shù)上，只有某些特殊的函數(shù)或能拆成若干個特殊函數(shù)的函數(shù)計算起來較方便。方法3:利用柯西積分公式 1、柯西積分公式：設區(qū)域D的邊界是周線(復周線)c,函數(shù)f(z)在D內(nèi)解析,在D D c內(nèi)連續(xù)，則f(z)d (z D)2 i c zz例6計算z,其中c為圓周z 2. cz2 1解：因被積函數(shù)的兩個奇點是i, i,分別以這兩點為心作兩個完全含于c而且互不相交的圓周Ci,C2原式二c2zez2 1dzez-zi-dz q z iez-zi-dzc2 z iz2 i -e- z iz2 i-e- z i(eie i)此題是柯西積分公式與

6、柯西積分定理應用的結合,比單獨應用柯西積分定理容易方便得地多。2、柯西積分公式解決的是形如f(C-d ,(z D)的積分，那形如 z/Ad ,(z D)的積分怎樣計算呢 c( z)利用解析函數(shù)的無窮可微性 f(z)上!2 if( 11d ,(z D)(n 1,2,L)可解決 c( z)止匕問題。z2.例7計算一2dz, c為c(z2 1)2解：因被積函數(shù)的兩個奇點是i, i,分別以這兩點為心作兩個完全含于c而且互zez2 dz c2(z2 1)2zzee(z i)2 (z i)22 dz 2 dz。(z i)2c2 (z i)2ze2 i2(z i)z2i2(1 i)(ei iei)不相交的圓

7、周 c1,c2 原式二 一，一2dz c1(z2 1)2在閉區(qū)域D例8計算IZ5z 22 dz.2z(z 1)n2 i Resf(z)k 1 z ak解：f(z),5z 22 dz,在圓周z 2內(nèi)有一階極點 lz2z(z 1)2z=0,二階極點z = 1Res f (z)z 05z 2(z 1)2 z 05z 2、2Re1sf(z) r)注：柯西積分公式與解析函數(shù)的無窮可微性在計算復積分時的主要區(qū)別在于被積 函數(shù)分母的次數(shù)，二者在計算時都常與柯西積分定理相結合。方法4:利用柯西留數(shù)定理柯西留數(shù)定理：f(z)在周線(復周線)c所圍區(qū)域D內(nèi)除ai,a2,L ,an外解析,D c上除 a1,a2,L

8、 , an 外連續(xù),則 f (z)dz c由留數(shù)定理原式=2 i (Res f (z) Res f (z) 2 i(2 2) 0 方法5:借助于沿封閉曲線的復積分 當計算不封閉曲線為積分路徑的復積分時，可把積分路徑作為部分曲線來構造封閉曲線，首先計算沿封閉曲線的復積分，再計算最初的沿不封閉曲線的積分。 例9計算，dz,其中c是以(1,0)為起點、(2,0)為終點的光滑曲線.分析：構造封閉曲線c c BA,易求F(z) 1 沿Co的復積分，利用復積z分的性質求原復積分。解：設co c BA,其中BA是以B(2,0)為起點，A(1,0)為終點的直線段，參數(shù)方程是z=x,x是由2變到1,所以由留數(shù)定

9、理：Idz1dz1dzco zc z BA z設 f (z) 1 ,貝U 1dz -dz 2 if (0) 2 i c0 zc0 z 0-1111由于-dz-dx Inx In 2BAz2x2所以-dz-dz-dz2 i ( ln2) 2 i In 2c zco z BA z方法6:利用積分換元公式關于復積分的變量替換，與定積分的變量替換類似，要求變換是一對一的且可微設w f (z)在區(qū)域D內(nèi)單葉解析，c是D內(nèi)一條簡單光滑曲線：z z(t), t那么(1)在變換w f (z)之下，c的像 也是W平面上一條簡單光滑曲線；(2)若函數(shù)(w)沿 連續(xù)，則有積分換元公式(w)dw (f(z)f(z)d

10、z例 10 計算積分 4 2zdz, c：z 2ei , 0.c z4 6z2 1解：令w f (z) z2,它在上半平面單葉解析，把半圓 c變成圓：w 4ei2 ,即w 4 ,由換元公式得Idww2 6w 1因(w)dw -27.,w 6w 1 w (13 2,2) w ( 3 2,2)在圍線 內(nèi)僅有一個一階極點w 3 272,Res _ (w)w 3 2-213 224,22 i 4/22<2注：對非單葉的變換，使用換元公式要特別小心，這時簡單曲線 c的像 不再是簡單曲線，但可把它分為幾段簡單曲線之和，即化為局部單葉變換的情形來處理。例11計算積分J 42zdzc:|z 2.cz4

11、6z2 1解：令w的像曲線為雙重圓4ei2 ,兩個單圓：4ei2 : w 4ei ,2它們分別對應于原像c之兩段:C1 : z2ei ,0,C2 : z2ei,0,分段利用積分換元公式得2zdzc z4 6z2 12zdzc1 z4 6z2 1c2 z42zdz 6z2 1dww 6wdw2 c ,w 6w 1- dw22iw 4 w 6w 12I方法7:積分估值法積分估值：若沿曲線c,函數(shù)f(z)連續(xù)，且有正數(shù)M使則 f (z)dz ML c例12設f在復平面上解析，且有界，求極限Rm常數(shù)(ab),由此證明劉維爾定理.解:a,b,且(a b),則對于充分大的R,在圓zf(z)f(z) 閏 R

12、 (z a)(zdz , b)a,b為總可以使a,b位于圓zR內(nèi),固有于是,f (z) dzlz R (z a)(z b) z Rlf(z)|dz(R |a|)(R |b|)所以Rmf (z),dz 0國 R (z a)(z b)(D另一方面,f(z) dz '|z R (z a)(z b) b a盤dz z af(a)(2)綜合(1)和(2)得f(a) f(b),特別取a0 有 f(b)f(0),由b的任意性,知f (z)在z平面上必為常數(shù)以上計算方法在復積分計算中是經(jīng)常使用的方法，比較簡單普遍，在復積分計算時很容易想到。下面介紹一些不常用的,且?guī)в幸欢记尚缘姆椒?。方?:級數(shù)法連

13、續(xù)性逐項積分定理：設fn(Z)在曲線c上連續(xù)(1,2,3,L ) ,fn(z)在c上一致n 1收斂于fn(z),則fn(z)在曲線c上連續(xù)，并且沿c可逐項積分：fn(z)dzfn(z)dz ,將函數(shù)展成泰勒級數(shù)或洛朗級數(shù)就解決了該類復積分ccn 1zn)dz,c: z 112的有關問題。例13計算積分(cn.一11所以(z )dz ( )dzc n 1c z 1 z方法9:拉普拉斯變換法定義：設f(t)是定義在0,上的實值函數(shù)或復值函數(shù)，如果含復變量p is (聲為實數(shù))的積分° f(t)e ptdt在p的某個區(qū)域內(nèi)存在，則由此積分定義的復函數(shù)F(p) 0 f (t)eptdt,稱為

14、函數(shù)f的拉普拉斯變換法(簡稱拉氏變換)，簡記為F(p) Lf(t)計算該類復積分時，可先運用拉普拉斯變換的基本運算法則，將該類復積分化為F(p)的形式，再參照拉普拉斯變換表，得出相應的復積分的結果。例 14 計算積分F=cosLe pzdz .0 az 2 az一 人11-11 z解： 令 f (az) tcos,貝ULf(az) ccose dz.a z 2az0 a z 2az由相似定理有Lf(az) 1F(-) a a由拉普拉斯變換表得F(2) aJ e 產(chǎn) cosjp/a P a所以 ,1 cos1- e pzdz 1F () 一1e 尸 cosjp/a0、a z 2az a a a,

15、 p a 方法10:運用對數(shù)留數(shù)定理與輻角原理具有以下形式的積分 f!z)dz稱為f(z)關于曲線c的對數(shù)留數(shù)。2 i c f(z)1 .對數(shù)留數(shù)定理：如果f(z)在簡單曲線c上解析且不為零，在c的內(nèi)部除去有限個極點外也處處解析，則, f-()dz = N P.其中N為f (z)在c內(nèi)零點的2 i c f(z)總個數(shù)，P為f(z)在c內(nèi)極點的總個數(shù)，且c取正向。在計算零點與極點的個 數(shù)時，m階的零點或極點算作 m個零點或極點。2.輻角原理：如果f(z)在簡單閉曲線c上與c內(nèi)解析，且在c上不等于零,1 一則f(z)在c內(nèi)零點的個數(shù)等于一乘以當z沿c的正向繞行一周時f(z)輻角變 21事，即 NV

16、c Argf (z).2 sin z(z 1) ZTs 2 .(1 e ) z2例15計算積分f (z)dz ,其中f (z)閆5 f 一'，解：f(z)在z5上解析且不等于零。又f(z)在z 5的內(nèi)部解析，零點個數(shù)N 1 2 3,極點個數(shù)P 5 2 72 i(3 7)8 i由對數(shù)留數(shù)定理有20dz 2 i(N P) lz 5 f(z)總結：以上總共給了計算復積分的10種方法，其中一些是常見的最基本的方法。級數(shù)法、拉普拉斯變換法、運用對數(shù)留數(shù)與輻角原理是對常用復積分計算方法的補充，具有一定的技巧，文中以例題說明了其具體運用的巧妙和簡捷之處。可見靈活運用這些計算技巧，可以使繁瑣的積分過程得以簡化，為解決實際問題