高考數(shù)學(xué)第九章平面解析幾何第5課時直線與圓的位置關(guān)系更多資料關(guān)注微博高中學(xué)習(xí)資料庫

1、第九章 平面解析幾何第5課時直線與圓的位置關(guān)系1. 已知圓O：x2y24，則過點P(2，4)與圓O相切的切線方程為_答案：3x4y100或x2解析： 點P(2，4)不在圓O上，切線PT的直線方程可設(shè)為yk(x2)4.根據(jù)dr，2，解得k，所以y(x2)4，即3x4y100.因為過圓外一點作圓的切線應(yīng)該有兩條，可見另一條直線的斜率不存在易求另一條切線為x2.2. (必修2P115練習(xí)1改編)已知圓(x1)2(y2)26與直線2xy50的位置關(guān)系是_答案：相交解析：由題意知圓心(1，2)到直線2xy50的距離d，0d，故該直線與圓相交但不過圓心3. (必修2P115練習(xí)4改編)若圓x2y21與直線

2、ykx2沒有公共點，則實數(shù)k的取值范圍是_答案：(，)解析：由題意知1，解得k.4. 過直線xy20上點P作圓x2y21的兩條切線，若兩條切線的夾角是60°，則點P的坐標(biāo)是_答案：(，)解析：本題主要考查數(shù)形結(jié)合的思想，設(shè)P(x，y)，則由已知可得PO(O為原點)與切線的夾角為30°，則|PO|2，由可得5. (必修2P107習(xí)題4改編)以點(2，2)為圓心并且與圓x2y22x4y10相外切的圓的方程是_答案：(x2)2(y2)29解析：設(shè)所求圓的方程為(x2)2(y2)2r2(r>0)，此圓與圓x2y22x4y10，即(x1)2(y2)24相外切，所以2r，解得r3

3、.所以所求圓的方程為(x2)2(y2)29.1. 直線與圓的位置關(guān)系(1) 直線與圓相交，有兩個公共點；(2) 直線與圓相切，只有一個公共點；(3) 直線與圓相離，無公共點2. 直線與圓的位置關(guān)系的判斷方法直線l：AxByC0(A，B不全為0)與圓(xa)2(yb)2r2(r>0)的位置關(guān)系的判斷方法：(1)幾何方法：圓心(a，b)到直線AxByC0的距離為d，d<r直線與圓相交；dr直線與圓相切；d>r直線與圓相離(2) 代數(shù)方法：由AxByC0，(xa)2(yb)2r2，消元，得到的一元二次方程的判別式為，則>0直線與圓相交；0直線與圓相切；<0直線與圓相離3

4、. 圓與圓的位置關(guān)系及判斷方法(1) 圓與圓的位置關(guān)系有五種，分別為外離、外切、相交、內(nèi)切、內(nèi)含(2) 判斷兩圓位置關(guān)系的方法兩圓(xa1)2(yb1)2r12(r1>0)與(xa2)2(yb2)2r(r2>0)的圓心距為d，則d>r1r2兩圓外離；dr1r2兩圓外切；|r1r2|<d<r1r2兩圓相交；d|r1r2|(r1r2) 兩圓內(nèi)切；0d<|r1r2|(r1r2) 兩圓內(nèi)含(d0時為同心圓).題型1直線與圓的位置關(guān)系例1已知圓C：(x1)2(y2)225，直線l：(2m1)x(m1)y7m40(mR)(1) 求證：不論m取什么實數(shù)，直線l與圓C恒交于

5、兩點；(2) 求直線被圓C截得的弦長最小時直線l的方程(1) 證明：直線l的方程整理得(xy4)m(2xy7)0， mR，也就是直線l恒過定點A(3，1)由于|AC|<5(半徑)，點A(3，1)在圓C內(nèi)，故直線l與圓C恒交于兩點(2) 解：弦長最小時，直線lAC，而kAC，故此時直線l的方程為2xy50.已知圓x2y26mx2(m1)y10m22m240(mR)(1) 求證：不論m取什么值，圓心在同一直線l上；(2) 與l平行的直線中，哪些與圓相交，相切，相離(1) 證明：配方得(x3m)2y(m1)225.設(shè)圓心為(x，y)，則消去m，得x3y30.故不論m取什么值，圓心在同一直線l：

6、x3y30上(2) 解：設(shè)與l平行的直線為n：x3yb0，則圓心到直線l的距離d，由于圓的半徑r5，當(dāng)d<r，即53<b<53時，直線與圓相交；當(dāng)dr，即b±53時，直線與圓相切；當(dāng)d>r，即b<53或b>53時，直線與圓相離題型2直線與圓相交的弦的問題例2已知圓C：x2(y3)24，一動直線l過A(1，0)與圓C相交于P、Q兩點，M是PQ中點，l與直線m：x3y60相交于N.(1) 求證：當(dāng)l與m垂直時，l必過圓心C；(2) 當(dāng)PQ2時，求直線l的方程；(3) 探索·是否與直線l的傾斜角有關(guān)？若無關(guān)，請求出其值；若有關(guān)，請說明理由(1)

7、 證明： l與m垂直，且km， kl3.又kAC3，所以當(dāng)l與m垂直時，l的方程為y3(x1)，l必過圓心C.(2) 解：當(dāng)直線l與x軸垂直時，易知x1符合題意當(dāng)直線l與x軸不垂直時，設(shè)直線l的方程為yk(x1)，即kxyk0.因為PQ2 ，所以CM1，則由CM1，得k，直線l：4x3y40. 從而所求的直線l的方程為x1或4x3y40.(3) 解： CMMN，·()···· .當(dāng)l與x軸垂直時，易得N，則.又(1，3)，··5；當(dāng)l的斜率存在時，設(shè)直線l的方程為yk(x1)，則由得N，則.··5.綜上，

8、·與直線l的斜率無關(guān)，且·5.另解：連結(jié)CA并延長交m于點B，連結(jié)CM，CN，由題意知ACm，又CMl，四點M、C、N、B都在以CN為直徑的圓上，由相交弦定理，得·|AM|·|AN|AC|·|AB|5. 已知圓C：(x3)2(y4)24，直線l1過定點A(1，0)(1) 若l1與圓相切，求l1的方程；(2) 若l1與圓相交于P、Q兩點，線段PQ的中點為M，又l1與l2：x2y20的交點為N，判斷AM·AN是否為定值？若是，則求出定值；若不是，請說明理由解：(1) 若直線l1的斜率不存在，即直線是x1，符合題意若直線l1斜率存在，設(shè)直線

9、l1為yk(x1)，即kxyk0.由題意知，圓心(3，4)到已知直線l1的距離等于半徑2，即2，解得k.所求直線方程是x1或3x4y30.(2) (解法1)直線與圓相交，斜率必定存在，且不為0，可設(shè)直線方程為kxyk0.由得N.又直線CM與l1垂直，由得M. AM·AN··6為定值故AM·AN是定值，且為6.(解法2)直線與圓相交，斜率必定存在，且不為0，可設(shè)直線方程為kxyk0.由得N.再由得(1k2)x2(2k28k6)xk28k210.x1x2，得M.以下同解法1.(解法3)用幾何法連結(jié)CA并延長交l2于點B，kAC2，kl2，CBl2.如圖所示，

10、AMCABN，則，可得AM·ANAC·AB2·6，是定值題型3圓的切線問題例3求半徑為4，與圓x2y24x2y40相切，且和直線y0相切的圓的方程解：由題意，設(shè)所求圓的方程為圓C：(xa)2(yb)2r2.圓C與直線y0相切，且半徑為4，則圓心C的坐標(biāo)為C1(a，4)或C2(a，4)又已知圓x2y24x2y40的圓心A的坐標(biāo)為(2，1)，半徑為3.若兩圓相切，則|CA|437或|CA|431.當(dāng)C1(a，4)時，有(a2)2(41)272或(a2)2(41)212(無解)，故可得a2±2.所求圓方程為(x22)2(y4)242或(x22)2(y4)242

11、.當(dāng)C2(a，4)時，(a2)2(41)272或(a2)2(41)212(無解)，故a2±2.所求圓的方程為(x22)2(y4)242或(x22)2(y4)242.自點A(3，3)發(fā)出的光線l射到x軸上，被x軸反射，反射光線所在的直線與圓C：x2y24x4y70相切求：(1) 光線l和反射光線所在的直線方程；(2) 光線自A到切點所經(jīng)過的路程解：根據(jù)對稱關(guān)系，首先求出點A的對稱點A的坐標(biāo)為，其次設(shè)過A的圓C的切線方程為yk3.根據(jù)dr，即求出圓C的切線的斜率為k或k，進一步求出反射光線所在的直線的方程為4x3y30或3x4y30.最后根據(jù)入射光與反射光關(guān)于x軸對稱，求出入射光所在直線

12、方程為4x3y30或3x4y30.光路的距離為，可由勾股定理求得7.【示例】(本題模擬高考評分標(biāo)準(zhǔn)，滿分14分)直線l過點(4，0)且與圓(x1)2(y2)225交于A，B兩點，如果AB8，求直線l的方程學(xué)生錯解：解：設(shè)直線l的方程為yk(x4)，由被圓截得的弦長為8，可得圓心(1，2)到直線yk(x4)的距離為3，即3，解得k，此時直線方程為5x12y200.審題引導(dǎo)： (1) 如何設(shè)過定點的直線的方程？(2) 圓中弦長的問題，通常作怎樣的輔助線構(gòu)造直角三角形來解決？規(guī)范解答： 解：過點(4，0)的直線若垂直于x軸，經(jīng)驗證符合條件，即方程為x40滿足題意；(4分)若存在斜率，設(shè)其直線方程為y

13、k(x4)，由被圓截得的弦長為8，可得圓心(1，2)到直線yk(x4)的距離為3，即3，解得k，(10分)此時直線方程為5x12y200，(12分)綜上直線方程為5x12y200或x40.(14分)錯因分析： 1. 解答本題易誤認(rèn)為斜率k一定存在從而漏解.2. 對于過定點的動直線設(shè)方程時，可結(jié)合題意或作出符合題意的圖形分析斜率k是否存在，以避免漏解1. 在平面直角坐標(biāo)系xOy中，圓C的方程為x2y28x150，若直線ykx2上至少存在一點，使得以該點為圓心，1為半徑的圓與圓C有公共點，則k的最大值是_答案：解析： 圓C的方程可化為(x4)2y21，圓C的圓心為(4，0)，半徑為1.由題意知，直

14、線ykx2上至少存在一點A(x0，kx02)，以該點為圓心，1為半徑的圓與圓C有公共點，存在x0R，使得AC11成立，即ACmin2. ACmin即為點C到直線ykx2的距離，2，解得0k. k的最大值是.2. 已知直線l過點(2，0)，當(dāng)直線l與圓x2y22x有兩個交點時，其斜率k的取值范圍是_答案：解析：易知圓心坐標(biāo)是(1，0)，圓的半徑是1，直線l的方程是yk(x2)，即kxy2k0，根據(jù)點到直線的距離公式得1，即k2，解得k.3. 直線ykx3與圓(x2)2(y3)24相交于M，N兩點，若MN2，則k的取值范圍是_答案：解析：設(shè)圓心C(2，3)到直線ykx3的距離為d，若MN2，則d2

15、r2431，即1，解得k.4. 若圓O：x2y25與圓O1：(xm)2y220(mR)相交于A，B兩點，且兩圓在點A處的切線互相垂直，則線段AB的長是_答案：4解析：依題意得OO15，且OO1A是直角三角形，SOO1A··OO1·OA·AO1，因此AB4.5. 如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓C的中心在坐標(biāo)原點O，右焦點為F.若C的右準(zhǔn)線l的方程為x4，離心率e.(1) 求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2) 設(shè)點P為準(zhǔn)線l上一動點，且在x軸上方圓M經(jīng)過O、F、P三點，求當(dāng)圓心M到x軸的距離最小時圓M的方程解：(1) 由題意，設(shè)橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為1(a>b

16、>0)，則解得a2，c2.從而b2a2c24.所以所求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為1.(2) (解法1)由(1)知F(2，0)由題意可設(shè)P(4，t)，t>0.線段OF的垂直平分線方程為x1.因為線段FP的中點為，斜率為，所以FP的垂直平分線方程為y(x3)，即yx.聯(lián)立，解得即圓心M.因為t>0，所以22，當(dāng)且僅當(dāng)，即t2時，圓心M到x軸的距離最小，此時圓心為M(1，2)，半徑為OM3.故所求圓M的方程為(x1)2(y2)29.(解法2)由(1)知F(2，0)由題意可設(shè)P(4，t)，t>0.因為圓M過原點O，故可設(shè)圓M的方程為x2y2DxEy0.將點F、P的坐標(biāo)代入得解得所以圓心

17、M的坐標(biāo)為，即(1，)因為t>0，所以22，當(dāng)且僅當(dāng)，即t2時，圓心M到x軸的距離最小，此時E4.故所求圓M的方程為x2y22x4y0.6. 如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知曲線C由圓弧C1和圓弧C2相接而成，兩相接點M、N均在直線x5上圓弧C1的圓心是坐標(biāo)原點O，半徑為r113；圓弧C2過點A(29，0)(1) 求圓弧C2所在圓的方程；(2) 曲線C上是否存在點P，滿足PAPO？若存在，指出有幾個這樣的點；若不存在，請說明理由；(3) 已知直線l：xmy140與曲線C交于E、F兩點，當(dāng)EF33時，求坐標(biāo)原點O到直線l的距離解：(1) 由題意得，圓弧C1所在圓的方程為x2y2169.

18、令x5，解得M(5，12)，N(5，12)，又C2過點A(29，0)，設(shè)圓弧C2所在圓方程為x2y2DxEyF0，則解得所以圓弧C2所在圓的方程為x2y228x290.(2) 假設(shè)存在這樣的點P(x，y)，則由PAPO，得(x29)2y230(x2y2)，即x2y22x290.由解得x70(舍去)；由解得x0(舍去)所以這樣的點P不存在(3) 因為圓弧C1、C2所在圓的半徑分別為r113，r215，因為EF>2r1，EF>2r2，所以E、F兩點分別在兩個圓弧上設(shè)點O到直線l的距離為d，因為直線l恒過圓弧C2所在圓的圓心(14，0)，所以EF15，即18，解得d2，所以點O到直線l的

19、距離為.1. 已知圓O的半徑為1，PA、PB為該圓的兩條切線，A、B為兩切點，那么·的最小值為_答案：32解析：設(shè)APB2，|x，則·|·|·cos2|2cos2(|21)·(12sin2)(x21)·x22132，當(dāng)且僅當(dāng)x2，即x時取等號2. 若直線yxb與曲線y3有公共點，則b的取值范圍是_答案：12，3解析：y3變形為(x2)2(y3)24(0x4，1y3)，表示以(2，3)為圓心，2為半徑的下半圓，如圖所示若直線yxb與曲線y3有公共點，只需直線yxb在圖中兩直線之間(包括圖中兩條直線)，yxb與下半圓相切時，圓心到直線yx

20、b的距離為2，即2，解得b12或b12(舍去)，b的取值范圍為12b3.3. 已知圓C過點P(1，1)，且與圓M：(x2)2(y2)2r2(r0)關(guān)于直線xy20對稱(1) 求圓C的方程；(2) 過點P作兩條相異直線分別與圓C相交于A、B，且直線PA和直線PB的傾斜角互補，O為坐標(biāo)原點，試判斷直線OP和AB是否平行？請說明理由解：(1) 設(shè)圓心C(a，b)，則解得則圓C的方程為x2y2r2，將點P的坐標(biāo)代入得r22，故圓C的方程為x2y22.(2) 由題意知，直線PA和直線PB的斜率存在，且互為相反數(shù)，故可設(shè)PA：y1k(x1)，PB：y1k(x1)，由得(1k2)x22k(1k)x(1k)220.因為點P的橫坐標(biāo)x1一定是該方程的解，故可得xA.同理可得xB，所以kAB1kOP，所以，直線AB和OP一定平行4. 已知以點C(tR，t0)為圓心的圓與x軸交于點O、A，與y軸交于點O、B，其中O為