高考數學必考知識點4導數的簡單應用及定積分

1、 2013年高考數學必考知識點4 導數的簡單應用及定積分1(2011·全國)曲線ye2x1在點(0,2)處的切線與直線y0和yx圍成的三角形的面積為()A.B.C.D1答案：Ay2e2x，曲線在點(0,2)處的切線斜率k2，切線方程為y2x2，該直線與直線y0和yx圍成的三角形如圖所示，其中直線y2x2與yx的交點A，所以三角形面積S×1×，故選A.2(2012·廣東)曲線yx3x3在點(1,3)處的切線方程為_解析曲線方程為yx3x3，則y3x21，又易知點(1,3)在曲線上，有y|x12，即在點(1,3)處的切線方程的斜率為2，所以切線方程為y32(

2、x1)，即2xy10.答案2xy103(2012·陜西)設函數f(x)D是由x軸和曲線yf(x)及該曲線在點(1,0)處的切線所圍成的封閉區(qū)域，則zx2y在D上的最大值為_解析當x0時，求導得f(x)，所以曲線在點(1,0)處的切線的斜率k1，切線方程為yx1，畫圖可知區(qū)域D為三角形，三個頂點的坐標分別為，(0，1)，(1,0)，平移直線x2y0，可知在點(0，1)處z取得最大值2.答案24(2012·江西)計算定積分1(x2sinx)dx_.解析1(x2sinx)dx.答案1利用導數的幾何意義求曲線的切線方程；考查定積分的性質及幾何意義2考查利用導數的有關知識研究函數的單

3、調性、極值和最值，進而解(證)不等式3用導數解決日常生活中的一些實際問題，以及與其他知識相結合，考查常見的數學思想方法首先要理解導數的工具性作用；其次要弄清函數單調性與導數符號之間的關系，掌握求函數極值、最值的方法步驟，對于已知函數單調性或單調區(qū)間，求參數的取值范圍問題，一般先利用導數將其轉化為不等式在某個區(qū)間上的恒成立問題，再利用分離參數法求解.必備知識導數的幾何意義(1)函數yf(x)在xx0處的導數f(x0)就是曲線yf(x)在點(x0，f(x0)處的切線的斜率，即kf(x0)(2)曲線yf(x)在點(x0，f(x0)處的切線方程為yf(x0)f(x0)(xx0)(3)導數的物理意義：s

4、(t)v(t)，v(t)a(t)基本初等函數的導數公式和運算法則(1)基本初等函數的導數公式原函數導函數f(x)cf(x)0f(x)xn(nR)f(x)nxn1f(x)sin xf(x)cos xf(x)cos xf(x)sin xf(x)ax(a0且a1)f(x)axln af(x)exf(x)exf(x)logax(a0且a1)f(x)f(x)ln xf(x)(2)導數的四則運算法則u(x)±v(x)u(x)±v(x)；u(x)v(x)u(x)v(x)u(x)v(x)；(v(x)0)(3)復合函數求導復合函數yf(g(x)的導數和yf(u)，ug(x)的導數之間的關系為

5、yxf(u)g(x)利用導數研究函數單調性的一般步驟(1)確定函數的定義域；(2)求導數f(x)；(3)若求單調區(qū)間(或證明單調性)，只需在函數yf(x)的定義域內解(或證明)不等式f(x)0或f(x)0；若已知yf(x)的單調性，則轉化為不等式f(x)0或f(x)0在單調區(qū)間上恒成立問題求解求可導函數極值的步驟(1)求f(x)；(2)求f(x)0的根；(3)判定根兩側導數的符號；(4)下結論求函數f(x)在區(qū)間a，b上的最大值與最小值的步驟(1)求f(x)；(2)求f(x)0的根(注意取舍)；(3)求出各極值及區(qū)間端點處的函數值；(4)比較其大小，得結論(最大的就是最大值，最小的就是最小值)

6、必備方法1利用導數解決優(yōu)化問題的步驟(1)審題設未知數；(2)結合題意列出函數關系式；(3)確定函數的定義域；(4)在定義域內求極值、最值；(5)下結論2定積分在幾何中的應用被積函數為yf(x)，由曲線yf(x)與直線xa，xb(ab)和y0所圍成的曲邊梯形的面積為S.(1)當f(x)0時，S f(x)dx；(2)當f(x)0時，S f(x)dx；(3)當xa，c時，f(x)0；當xc，b時，f(x)0，則S f(x)dx f(x)dx.常考查：根據曲線方程，求其在某點處的切線方程；根據曲線的切線方程求曲線方程中的某一參數可能出現在導數解答題的第一問，較基礎【例1】 (2011·新課

7、標全國)已知函數f(x)，曲線yf(x)在點(1，f(1)處的切線方程為x2y30，求a、b的值審題視點 聽課記錄審題視點 求f(x)，由可求解f(x)，由于直線x2y30的斜率為，且過點(1,1)，故即解得a1，b1. 函數切線的相關問題的解決，抓住兩個關鍵點：其一，切點是交點；其二，在切點處的導數是切線的斜率因此，解決此類問題，一般要設出切點，建立關系方程(組)其三，求曲線的切線要注意“過點P的切線”與“在點P處的切線”的差異過點P的切線中，點P不一定是切點，點P也不一定在已知曲線上；在點P處的切線，點P是切點【突破訓練1】 直線y2xb是曲線yln x(x0)的一條切線，則實數b_.解析

8、切線的斜率是2，根據導數的幾何意義可以求出切點的橫坐標，進而求出切點的坐標，切點在切線上，代入即可求出b的值y，令2得，x，故切點為，代入直線方程，得ln2×b，所以bln 21.答案ln 21常考查：利用導數研究含參函數的單調性問題；由函數的單調性求參數的范圍尤其是含參函數單調性的研究成為高考命題的熱點，主要考查學生的分類討論思想，試題有一定難度【例2】 (2012·合肥一模)已知函數f(x)x(aR)，g(x)ln x求函數F(x)f(x)g(x)的單調區(qū)間審題視點 聽課記錄審題視點 確定定義域求導對a進行分類討論確定f(x)的單調性下結論解函數F(x)f(x)g(x)

9、xln x的定義域為(0，)所以f(x)1.當14a0，即a時，得x2xa0，則f(x)0.所以函數F(x)在(0，)上單調遞增當14a0，即a時，令f(x)0，得x2xa0，解得x10，x2.(1)若a0，則x20.因為x(0，)，所以f(x)0，所以函數F(x)在(0，)上單調遞增(2)若a0，則x時，f(x)0；x，時，f(x)0.所以函數F(x)在區(qū)間上單調遞減，在區(qū)間上單調遞增綜上所述，當a0時，函數F(x)的單調遞增區(qū)間為(0，)；當a0時，函數F(x)的單調遞減區(qū)間為，單調遞增區(qū)間為. 討論函數的單調性其實就是討論不等式的解集的情況大多數情況下，這類問題可以歸結為一個含有參數的一

10、元二次不等式的解集的討論，在能夠通過因式分解求出不等式對應方程的根時依據根的大小進行分類討論，在不能通過因式分解求出根的情況時根據不等式對應方程的判別式進行分類討論討論函數的單調性是在函數的定義域內進行的，千萬不要忽視了定義域的限制【突破訓練2】 (2012·安徽)設函數f(x)aexb(a0)(1)求f(x)在0，)內的最小值；(2)設曲線yf(x)在點(2，f(2)處的切線方程為yx，求a，b的值解(1)f(x)aex，當f(x)0，即xlna時，f(x)在(lna，)上遞增；當f(x)0，即xlna時，f(x)在(，lna)上遞減當0a1時，lna0，f(x)在(0，lna)上

11、遞減，在(lna，)上遞增，從而f(x)在0，)內的最小值為f(lna)2b；當a1時，lna0，f(x)在0，)上遞增，從而f(x)在0，)內的最小值為f(0)ab.(2)依題意f(2)ae2，解得ae22或ae2(舍去)所以a，代入原函數可得2b3，即b.故a，b.此類問題的命題背景很寬泛，涉及到的知識點多，綜合性強，?？疾椋褐苯忧髽O值或最值；利用極(最)值求參數的值或范圍常與函數的單調性、方程、不等式及實際應用問題綜合，形成知識的交匯問題【例3】 已知函數f(x)x3mx2nx2的圖象過點(1，6)，且函數g(x)f(x)6x的圖象關于y軸對稱(1)求m，n的值及函數yf(x)的單調區(qū)間

12、；(2)若a0，求函數yf(x)在區(qū)間(a1，a1)內的極值審題視點 聽課記錄審題視點 (1)根據f(x)、g(x)的函數圖象的性質，列出關于m、n的方程，求出m、n的值(2)分類討論解(1)由函數f(x)的圖象過點(1，6)，得mn3.由f(x)x3mx2nx2，得f(x)3x22mxn，則g(x)f(x)6x3x2(2m6)xn.而g(x)的圖象關于y軸對稱，所以0，所以m3.代入得n0.于是f(x)3x26x3x(x2)由f(x)0得x2或x0，故f(x)的單調遞增區(qū)間是(，0)和(2，)；由f(x)0，得0x2，故f(x)的單調遞減區(qū)間是(0,2)(2)由(1)得f(x)3x(x2)，

13、令f(x)0得x0或x2.當x變化時，f(x)、f(x)的變化情況如下表：x(，0)0(0,2)2(2，)f(x)00f(x)極大值極小值由此可得：當0a1時，f(x)在(a1，a1)內有極大值f(0)2，無極小值；當a1時，f(x)在(a1，a1)內無極值；當1a3時，f(x)在(a1，a1)內有極小值f(2)6，無極大值；當a3時，f(x)在(a1，a1)內無極值綜上得，當0a1時，f(x)有極大值2，無極小值；當1a3時，f(x)有極小值6，無極大值；當a1或a3時，f(x)無極值 (1)求單調遞增區(qū)間，轉化為求不等式f(x)0(不恒為0)的解集即可，已知f(x)在M上遞增f(x)0在M

14、上恒成立，注意區(qū)別(2)研究函數的單調性后可畫出示意圖討論區(qū)間與0,2的位置關系，畫圖截取觀察即可【突破訓練3】 (2012·北京)已知函數f(x)ax21(a0)，g(x)x3bx.(1)若曲線yf(x)與曲線yg(x)在它們的交點(1，c)處具有公共切線，求a，b的值；(2)當a24b時，求函數f(x)g(x)的單調區(qū)間，并求其在區(qū)間(，1上的最大值解(1)f(x)2ax，g(x)3x2b.因為曲線yf(x)與曲線yg(x)在它們的交點(1，c)處具有公共切線，所以f(1)g(1)，且f(1)g(1)即a11b，且2a3b.解得a3，b3.(2)記h(x)f(x)g(x)當ba2

15、時，h(x)x3ax2a2x1，h(x)3x22axa2.令h(x)0，得x1，x2.a0時，h(x)與h(x)的變化情況如下：xh(x)00h(x)所以函數h(x)的單調遞增區(qū)間為和；單調遞減區(qū)間為.當1，即0a2時，函數h(x)在區(qū)間(，1上單調遞增，h(x)在區(qū)間(，1上的最大值為h(1)aa2.當1，且1，即2a6時，函數h(x)在區(qū)間內單調遞增，在區(qū)間上單調遞減，h(x)在區(qū)間(，1上的最大值為h1.當1，即a6時，函數h(x)在區(qū)間內單調遞增，在區(qū)間內單調遞減，在區(qū)間上單調遞增，又因hh(1)1aa2(a2)20，所以h(x)在區(qū)間(，1上的最大值為h1.定積分及其應用是新課標中的

16、新增內容，?？疾椋阂罁ǚe分的基本運算求解簡單的定積分；根據定積分的幾何意義和性質求曲邊梯形面積關鍵在于準確找出被積函數的原函數，利用微積分基本定理求解各地考綱對定積分的要求不高學習時以掌握基礎題型為主【例4】 (2011·新課標全國)由曲線y，直線yx2及y軸所圍成的圖形的面積為()A. B4 C. D6審題視點 聽課記錄審題視點 借助封閉圖形確定積分上、下限及被積函數C由y及yx2可得x4，所以由y、yx2及y軸所圍成的封閉圖形面積為(x2)dx. 求定積分的一些技巧：(1)對被積函數要先化簡，把被積函數變?yōu)閮绾瘮?、指數函數、正弦、余弦函數與常數的和或差，再求定積分；(2)求被積

17、函數是分段函數的定積分，依據定積分的性質，分段求定積分，再求和；(3)對含有絕對值符號的被積函數，先要去掉絕對值符號再求定積分【突破訓練4】 若dx3ln 2，則a的值為()A6 B4 C3 D2答案：Da2lna13ln 2，a2.導數法求最值中的分類討論由參數的變化引起的分類討論對于某些含有參數的問題，如含參數的方程、不等式，由于參數的取值不同會導致所得結果不同，或對于不同的參數值要運用不同的求解或證明方法【示例】 (2012·天津)已知函數f(x)x3x2axa，xR，其中a0.(1)求函數f(x)的單調區(qū)間；(2)若函數f(x)在區(qū)間(2,0)內恰有兩個零點，求a的取值范圍；

18、(3)當a1時，設函數f(x)在區(qū)間t，t3上的最大值為M(t)，最小值為m(t)，記g(t)M(t)m(t)，求函數g(t)在區(qū)間3，1上的最小值滿分解答(1)f(x)x2(1a)xa(x1)(xa)由f(x)0，得x11，x2a0.當x變化時f(x)，f(x)的變化情況如下表：x(，1)1(1，a)a(a，)f(x)00f(x)極大值極小值故函數f(x)的單調遞增區(qū)間是(，1)，(a，)；單調遞減區(qū)間是(1，a)(5分)(2)由(1)知f(x)在區(qū)間(2，1)內單調遞增，在區(qū)間(1,0)內單調遞減，從而函數f(x)在區(qū)間(2,0)內恰有兩個零點當且僅當解得0a.所以a的取值范圍是.(8分)

19、(3)a1時，f(x)x3x1.由(1)知f(x)在3，1上單調遞增，在1,1上單調遞減，在1,2上單調遞增當t3，2時，t30,1，1t，t3，f(x)在t，1上單調遞增，在1，t3上單調遞減因此f(x)在t，t3上的最大值M(t)f(1)，而最小值m(t)為f(t)與f(t3)中的較小者由f(t3)f(t)3(t1)(t2)知，當t3，2時，f(t)f(t3)，故m(t)f(t)，所以g(t)f(1)f(t)而f(t)在3，2上單調遞增，因此f(t)f(2).所以g(t)在3，2上的最小值為g(2).(12分)當t2，1時，t31,2，且1,1t，t3下面比較f(1)，f(1)，f(t)，f(t3)的大小由f(x)在2，1，1,2上單調遞增，有f(2)f(