高考數學一輪復習總教案126　幾何概型

1、12.6幾何概型典例精析題型一長度問題【例1】如圖，AOB60°，OA2，OB5，在線段OB上任取一點C，試求：(1)AOC為鈍角三角形的概率；(2)AOC為銳角三角形的概率.【解析】如圖，由平面幾何知識知：當ADOB時，OD1；當OAAE時，OE4，BE1.(1)當且僅當點C在線段OD或BE上時，AOC為鈍角三角形.記“AOC為鈍角三角形”為事件M，則P(M)0.4，即AOC為鈍角三角形的概率為0.4.(2)當且僅當點C在線段DE上時，AOC為銳角三角形.記“AOC為銳角三角”為事件N，則P(N)0.6，即AOC為銳角三角形的概率為0.6.【點撥】我們把每一個事件理解為從某個特定的

2、區(qū)域內隨機地取一點，該區(qū)域中每一點被取到的機會都一樣，而一個事件發(fā)生則理解為恰好在上述區(qū)域內的某個指定的區(qū)域內的點，這樣的概率模型就可以用幾何概型求解.【變式訓練1】點A為周長等于3的圓周上的一個定點，若在該圓周上隨機取一點B，則劣弧AB的長度小于1的概率為.【解析】如圖可設1，則根據幾何概率可知其整體事件是其周長3，則其概率是.題型二面積問題【例2】 兩個CB對講機(CB即CitizenBand民用波段的英文縮寫)持有者，莉莉和霍伊都為卡爾貨運公司工作，他們的對講機的接收范圍為25公里，在下午3：00時莉莉正在基地正東距基地30公里以內的某處向基地行駛，而霍伊在下午3：00時正在基地正北距基

3、地40公里以內的某地向基地行駛，試問在下午3：00時他們能夠通過對講機交談的概率有多大？【解析】設x和y分別代表莉莉和霍伊距基地的距離，于是0x30,0y40.他們所有可能的距離的數據構成有序點對(x，y)，這里x，y都在它們各自的限制范圍內，則所有這樣的有序數對構成的集合即為基本事件組對應的幾何區(qū)域，每一個幾何區(qū)域中的點都代表莉莉和霍伊的一個特定的位置， 他們可以通過對講機交談的事件僅當他們之間的距離不超過25公里時發(fā)生(如下圖)，因此構成該事件的點由滿足不等式25的數對組成，此不等式等價于x2y2625，右圖中的方形區(qū)域代表基本事件組，陰影部分代表所求事件，方形區(qū)域的面積為1 200平方公

4、里，而事件的面積為()××(25)2，于是有P0.41.【點撥】解決此類問題，應先根據題意確定該實驗為幾何概型，然后求出事件A和基本事件的幾何度量，借助幾何概型的概率公式求出.【變式訓練2】如圖，以正方形ABCD的邊長為直徑作半圓，重疊部分為花瓣.現(xiàn)在向該正方形區(qū)域內隨機地投擲一飛鏢，求飛鏢落在花瓣內的概率.【解析】飛鏢落在正方形區(qū)域內的機會是均等的，符合幾何概型條件.記飛鏢落在花瓣內為事件A，設正方形邊長為2r，則P(A).所以，飛鏢落在花瓣內的概率為.題型三體積問題【例3】 在線段0,1上任意投三個點，設O至三點的三線段長為x、y、z，研究方法表明：x，y，z能構成三角

5、形只要點(x，y，z)落在棱長為1的正方體T的內部由ADC，ADB，BDC，AOC，AOB，BOC所圍成的區(qū)域G中(如圖)，則x，y，z能構成三角形與不能構成三角形這兩個事件中哪一個事件的概率大？【解析】V(T)1，V(G)133×××13，所以P.由此得，能與不能構成三角形兩事件的概率一樣大.【點撥】因為任意投的三點x，y，z是隨機的，所以使得能構成三角形只與能構成三角形的區(qū)域及基本事件的區(qū)域有關.【變式訓練3】已知正方體ABCDA1B1C1D1內有一個內切球O，則在正方體ABCDA1B1C1D1內任取點M，點M在球O內的概率是()A.B.C.D.【解析】設正方

6、體的棱長為a，則點M在球O內的概率P，選C.總結提高1.幾何概型是一種概率模型，它與古典概型的區(qū)別是試驗的可能結果不是有限個.其特點是在一個區(qū)域內均勻分布，概率大小與隨機事件所在區(qū)域的形狀和位置無關，只與該區(qū)域的大小有關.如果隨機事件所在區(qū)域是一個單點，其測度為0，則它出現(xiàn)的概率為0，但它不是不可能事件. 如果隨機事件所在區(qū)域是全部區(qū)域扣除一個單點， 其測度為1，則它出現(xiàn)的概率為1，但它不是必然事件.2.若試驗的全部結果是一個包含無限個點的區(qū)域(長度，面積，體積)，一個基本事件是區(qū)域中的一個點.此時用點數度量事件A包含的基本事件的多少就毫無意義.“等可能性”可以理解成“對任意兩個區(qū)域，當它們的測度(長度，面積，體積，)相等時，事件A對應點落在這兩區(qū)域上的概率相等，而與形狀和位置都無關”.3.幾何概型并不限于向平面(或直