高考數(shù)學(xué)按章節(jié)分類匯編人教A必修二點(diǎn)直線平面之間的位置關(guān)系

1、2012年高考數(shù)學(xué)按章節(jié)分類匯編（人教A必修二）第二章點(diǎn)直線平面之間的位置關(guān)系一、選擇題 （2012年高考（浙江文）設(shè)是直線,a,是兩個(gè)不同的平面（）A若a,則aB若a,則aC若a,a,則D若a, a,則 （2012年高考（四川文）下列命題正確的是（）A若兩條直線和同一個(gè)平面所成的角相等,則這兩條直線平行B若一個(gè)平面內(nèi)有三個(gè)點(diǎn)到另一個(gè)平面的距離相等,則這兩個(gè)平面平行C若一條直線平行于兩個(gè)相交平面,則這條直線與這兩個(gè)平面的交線平行D若兩個(gè)平面都垂直于第三個(gè)平面,則這兩個(gè)平面平行 （2012年高考（浙江理）已知矩形ABCD,AB=1,BC=.將ABD沿矩形的對(duì)角線BD所在的直線進(jìn)行翻著,在翻著過程

2、中,（）A存在某個(gè)位置,使得直線AC與直線BD垂直B存在某個(gè)位置,使得直線AB與直線CD垂直C存在某個(gè)位置,使得直線AD與直線BC垂直D對(duì)任意位置,三直線“AC與BD”,“AB與CD”,“AD與BC”均不垂直 （2012年高考（四川理）下列命題正確的是（）A若兩條直線和同一個(gè)平面所成的角相等,則這兩條直線平行B若一個(gè)平面內(nèi)有三個(gè)點(diǎn)到另一個(gè)平面的距離相等,則這兩個(gè)平面平行C若一條直線平行于兩個(gè)相交平面,則這條直線與這兩個(gè)平面的交線平行D若兩個(gè)平面都垂直于第三個(gè)平面,則這兩個(gè)平面平行 （2012年高考（上海春）已知空間三條直線若與異面,且與異面,則 答（）A與異面.B與相交.C與平行.D與異面、相

3、交、平行均有可能.二、填空題（2012年高考（四川文）如圖,在正方體中,、分別是、的中點(diǎn),則異面直線與所成的角的大小是_.（2012年高考（大綱文）已知正方形中,分別為,的中點(diǎn),那么異面直線與所成角的余弦值為_.（ 2012年高考（四川理）如圖,在正方體中,、分別是、的中點(diǎn),則異面直線與所成角的大小是_.（2012年高考（大綱理）三棱柱中,底面邊長和側(cè)棱長都相等,則異面直線與所成角的余弦值為_.三、解答題（2012年高考（重慶文）(本小題滿分12分,()小問4分,()小問8分)已知直三棱柱中,為的中點(diǎn).()求異面直線和的距離;()若,求二面角的平面角的余弦值.（2012年高考（浙江文）如圖,在

4、側(cè)棱錐垂直底面的四棱錐ABCD-A1B1C1D1中,ADBC,ADAB,AB=.AD=2,BC=4,AA1=2,E是DD1的中點(diǎn),F是平面B1C1E與直線AA1的交點(diǎn).(1)證明:(i)EFA1D1;(ii)BA1平面B1C1EF;(2)求BC1與平面B1C1EF所成的角的正弦值.（2012年高考（天津文）如圖,在四棱錐中,底面是矩形,.(I)求異面直線與所成角的正切值;(II)證明平面平面;(III)求直線與平面所成角的正弦值.（2012年高考（四川文）如圖,在三棱錐中,點(diǎn)在平面內(nèi)的射影在上.()求直線與平面所成的角的大小;()求二面角的大小.（2012年高考（上海文）PABCD如圖,在三棱

5、錐P-ABC中,PA底面ABC,D是PC的中點(diǎn).已知BAC=,AB=2,AC=2,PA=2.求:(1)三棱錐P-ABC的體積;(2)異面直線BC與AD所成的角的大小(結(jié)果用反三角函數(shù)值表示).（2012年高考（陜西文）直三棱柱ABC- A1B1C1中,AB=A A1 ,=()證明;()已知AB=2,BC=,求三棱錐的體積.（2012年高考（山東文）如圖,幾何體是四棱錐,為正三角形,.()求證:;()若,M為線段AE的中點(diǎn),求證:平面.（2012年高考（遼寧文）如圖,直三棱柱,AA=1,點(diǎn)M,N分別為和的中點(diǎn).()證明:平面;()求三棱錐的體積.(椎體體積公式V=Sh,其中S為地面面積,h為高)

6、（2012年高考（課標(biāo)文）如圖,三棱柱中,側(cè)棱垂直底面,ACB=90°,AC=BC=AA1,D是棱AA1的中點(diǎn).(I) 證明:平面平面()平面分此棱柱為兩部分,求這兩部分體積的比.（2012年高考（江西文）如圖,在梯形ABCD中,ABCD,E,F是線段AB上的兩點(diǎn),且DEAB,CFAB,AB=12,AD=5,BC=4,DE=4.現(xiàn)將ADE,CFB分別沿DE,CF折起,使A,B兩點(diǎn)重合與點(diǎn)G,得到多面體CDEFG.(1)求證:平面DEG平面CFG;(2)求多面體CDEFG的體積.（2012年高考（湖南文）如圖6,在四棱錐P-ABCD中,PA平面ABCD,底面ABCD是等腰梯形,ADBC

7、,ACBD.()證明:BDPC;()若AD=4,BC=2,直線PD與平面PAC所成的角為30°,求四棱錐P-ABCD的體積.（2012年高考（湖北文）某個(gè)實(shí)心零部件的形狀是如圖所示的幾何體,其下部是底面均是正方形,側(cè)面是全等的等腰梯形的四棱臺(tái),上不是一個(gè)底面與四棱臺(tái)的上底面重合,側(cè)面是全等的矩形的四棱柱.(1)證明:直線平面;(2)現(xiàn)需要對(duì)該零部件表面進(jìn)行防腐處理,已知(單位:厘米),每平方厘米的加工處理費(fèi)為元,需加工處理費(fèi)多少元?（2012年高考（廣東文）(立體幾何)如圖5所示,在四棱錐中,平面,是的中點(diǎn),是上的點(diǎn)且,為中邊上的高.()證明:平面;()若,求三棱錐的體積;()證明:

8、平面.（2012年高考（福建文）如圖,在長方體中,為棱上的一點(diǎn).(1)求三棱錐的體積;(2)當(dāng)取得最小值時(shí),求證:平面.（2012年高考（大綱文）如圖,四棱錐中,底面為菱形,底面,是上的一點(diǎn),.()證明:平面;DABPCE()設(shè)二面角為90°,求與平面所成角的大小.（2012年高考（北京文）如圖1,在RtABC中,C=90°,D,E分別是AC,AB上的中點(diǎn),點(diǎn)F為線段CD上的一點(diǎn).將ADE沿DE折起到A1DE的位置,使A1FCD,如圖2. (1)求證:DE平面A1CB;(2)求證:A1FBE;(3)線段A1B上是否存在點(diǎn)Q,使A1C平面DEQ?說明理由. （2012年高考（

9、安徽文）如圖,長方體中,底面是正方形,是的中點(diǎn),是棱上任意一點(diǎn).()證明: ;()如果=2,=, , 求 的長.（2012年高考（天津理）如圖,在四棱錐中,丄平面,丄,丄,.()證明丄;()求二面角的正弦值;()設(shè)E為棱上的點(diǎn),滿足異面直線BE與CD所成的角為,求AE的長.（2012年高考（新課標(biāo)理）如圖,直三棱柱中,是棱的中點(diǎn),(1)證明:(2)求二面角的大小.（2012年高考（浙江理）如圖,在四棱錐PABCD中,底面是邊長為的菱形,且BAD=120°,且PA平面ABCD,PA=,M,N分別為PB,PD的中點(diǎn).()證明:MN平面ABCD;() 過點(diǎn)A作AQPC,垂足為點(diǎn)Q,求二面角

10、AMNQ的平面角的余弦值.（2012年高考（重慶理）(本小題滿分12分()小問4分()小問8分)如圖,在直三棱柱 中,AB=4,AC=BC=3,D為AB的中點(diǎn)()求點(diǎn)C到平面 的距離;()若,求二面角 的平面角的余弦值.（2012年高考（四川理）如圖,在三棱錐中,平面平面.()求直線與平面所成角的大小;()求二面角的大小.（2012年高考（上海理）如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是矩形,PA底面ABCD,E是PC的中點(diǎn).已知AB=2,ABCDPEAD=2,PA=2.求:(1)三角形PCD的面積;(2)異面直線BC與AE所成的角的大小.（2012年高考（上海春）如圖,正四棱柱的底面邊長

11、為,高為,為線段的中點(diǎn).求:(1)三棱錐的體積;(2)異面直線與所成角的大小(結(jié)果用反三角函數(shù)值表示)（2012年高考（陜西理）(1)如圖,證明命題“是平面內(nèi)的一條直線,是外的一條直線(不垂直于),是直線在上的投影,若,則”為真.(2)寫出上述命題的逆命題,并判斷其真假 (不需要證明)（2012年高考（山東理）在如圖所示的幾何體中,四邊形是等腰梯形,平面.()求證:平面;()求二面角的余弦值.（2012年高考（遼寧理） 如圖,直三棱柱,點(diǎn)M,N分別為和的中點(diǎn).()證明:平面;()若二面角為直二面角,求的值.（2012年高考（江西理）在三棱柱中,已知,在在底面的投影是線段的中點(diǎn)。(1)證明在側(cè)棱

12、上存在一點(diǎn),使得平面,并求出的長;(2)求平面與平面夾角的余弦值。（2012年高考（江蘇）如圖,在直三棱柱中,分別是棱上的點(diǎn)(點(diǎn)不同于點(diǎn)),且為的中點(diǎn).求證:(1)平面平面;(2)直線平面.（2012年高考（湖南理） 如圖5,在四棱錐P-ABCD中,PA平面ABCD,AB=4,BC=3,AD=5,DAB=ABC=90°,E是CD的中點(diǎn).()證明:CD平面PAE;()若直線PB與平面PAE所成的角和PB與平面ABCD所成的角相等,求四棱錐P-ABCD的體積.ABCDPE圖5（2012年高考（湖北理）如圖1,過動(dòng)點(diǎn)A作,垂足D在線段BC上且異于點(diǎn)B,連接AB,沿將折起,使(如圖2所示).

13、 ()當(dāng)?shù)拈L為多少時(shí),三棱錐的體積最大;()當(dāng)三棱錐的體積最大時(shí),設(shè)點(diǎn),分別為棱,的中點(diǎn),試在棱上確定一點(diǎn),使得,并求與平面所成角的大小.DABCACDB圖2圖1ME.·（2012年高考（廣東理）如圖5所示,在四棱錐中,底面為矩形,平面,點(diǎn)在線段上,平面.()證明:平面;()若,求二面角的正切值.（2012年高考（福建理）如圖,在長方體中為中點(diǎn).()求證:()在棱上是否存在一點(diǎn),使得平面?若存在,求的長;若不存在,說明理由. ()若二面角的大小為,求的長.（2012年高考（大綱理）(注意:在試題卷上作答無效)如圖,四棱錐中,底面為菱形,底面,是上的一點(diǎn),.(1)證明:平面;(2)設(shè)二

14、面角為,求與平面所成角的大小.（2012年高考（北京理）如圖1,在RtABC中,C=90°,BC=3,AC=6,D,E分別是AC,AB上的點(diǎn),且DEBC,DE=2,將ADE沿DE折起到A1DE的位置,使A1CCD,如圖2. (1)求證:A1C平面BCDE;(2)若M是A1D的中點(diǎn),求CM與平面A1BE所成角的大小;(3)線段BC上是否存在點(diǎn)P,使平面A1DP與平面A1BE垂直?說明理由. （2012年高考（安徽理）平面圖形如圖4所示,其中是矩形,.現(xiàn)將該平面圖形分別沿和折疊,使與所在平面都與平面垂直,再分別連接,得到如圖2所示的空間圖形,對(duì)此空間圖形解答下列問題.()證明:; ()求

15、的長;()求二面角的余弦值.參考答案一、選擇題【答案】B 【命題意圖】本題考查的是平面幾何的基本知識(shí),具體為線面平行、線面垂直、面面平行、面面垂直的判定和性質(zhì). 【解析】利用排除法可得選項(xiàng)B是正確的,a,則a.如選項(xiàng)A:a,時(shí), a或a;選項(xiàng)C:若a,a,或;選項(xiàng)D:若若a, a,或. 答案C 解析若兩條直線和同一平面所成角相等,這兩條直線可能平行,也可能為異面直線,也可能相交,所以A錯(cuò);一個(gè)平面不在同一條直線的三點(diǎn)到另一個(gè)平面的距離相等,則這兩個(gè)平面平行,故B錯(cuò);若兩個(gè)平面垂直同一個(gè)平面兩平面可以平行,也可以垂直;故D錯(cuò);故選項(xiàng)C正確. 點(diǎn)評(píng)本題旨在考查立體幾何的線、面位置關(guān)系及線面的判定和

16、性質(zhì),需要熟練掌握課本基礎(chǔ)知識(shí)的定義、定理及公式. 【答案】B【解析】最簡單的方法是取一長方形動(dòng)手按照其要求進(jìn)行翻著,觀察在翻著過程,即可知選項(xiàng)B是正確的.答案C解析若兩條直線和同一平面所成角相等,這兩條直線可能平行,也可能為異面直線,也可能相交,所以A錯(cuò);一個(gè)平面不在同一條直線的三點(diǎn)到另一個(gè)平面的距離相等,則這兩個(gè)平面平行,故B錯(cuò);若兩個(gè)平面垂直同一個(gè)平面兩平面可以平行,也可以垂直;故D錯(cuò);故選項(xiàng)C正確.點(diǎn)評(píng)本題旨在考查立體幾何的線、面位置關(guān)系及線面的判定和性質(zhì),需要熟練掌握課本基礎(chǔ)知識(shí)的定義、定理及公式.D二、填空題答案90º解析方法一:連接D1M,易得DNA1D1 ,DND1M

17、, 所以,DN平面A1MD1, 又A1M平面A1MD1,所以,DNA1D1,故夾角為90º方法二:以D為原點(diǎn),分別以DA, DC, DD1為x, y, z軸,建立空間直角坐標(biāo)系Dxyz.設(shè)正方體邊長為2,則D(0,0,0),N(0,2,1),M(0,1,0)A1(2,0,2) 故,所以,cos< = 0,故DND1M,所以夾角為90º點(diǎn)評(píng)異面直線夾角問題通?？梢圆捎脙煞N途徑: 第一,把兩條異面直線平移到同一平面中借助三角形處理; 第二,建立空間直角坐標(biāo)系,利用向量夾角公式解決. 【解析】正確的是四面體每個(gè)面是全等三角形,面積相等從四面體每個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)的三條棱兩兩夾角之和

18、等于連接四面體每組對(duì)棱中點(diǎn)構(gòu)成菱形,線段互垂直平分 從四面體每個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)的三條棱的長可作為一個(gè)三角形的三邊長解析方法一:連接D1M,易得DNA1D1 ,DND1M, 所以,DN平面A1MD1,又A1M平面A1MD1,所以,DNA1D1,故夾角為90º方法二:以D為原點(diǎn),分別以DA, DC, DD1為x, y, z軸,建立空間直角坐標(biāo)系Dxyz.設(shè)正方體邊長為2,則D(0,0,0),N(0,2,1),M(0,1,0)A1(2,0,2)故,所以,cos< = 0,故DND1M,所以夾角為90º答案【命題意圖】本試題考查了斜棱柱中異面直線的角的求解.用空間向量進(jìn)行求解即可.

19、 【解析】設(shè)該三棱柱的邊長為1,依題意有,則而三、解答題【答案】:()()【解析】:()如答(20)圖1,因AC=BC, D為AB的中點(diǎn),故CD AB.又直三棱柱中, 面 ,故 ,所以異面直線 和AB的距離為():由故 面 ,從而 ,故 為所求的二面角的平面角.因是在面上的射影,又已知 由三垂線定理的逆定理得從而,都與互余,因此,所以,因此得從而所以在中,由余弦定理得【命題意圖】本題主要以四棱錐為載體考查線線平行,線面垂直和線面角的計(jì)算,注重與平面幾何的綜合, 同時(shí)考查空間想象能力和推理論證能力. (1)(i)因?yàn)? 平面ADD1 A1,所以平面ADD1 A1.又因?yàn)槠矫嫫矫鍭DD1 A1=,

20、所以.所以. (ii)因?yàn)?所以, 又因?yàn)?所以, 在矩形中,F是AA的中點(diǎn),即.即 ,故. 所以平面. (2) 設(shè)與交點(diǎn)為H,連結(jié). 由(1)知,所以是與平面所成的角. 在矩形中,得,在直角中,得 ,所以BC與平面所成角的正弦值是. 解:(1)如圖,在四棱錐中,因?yàn)榈酌媸蔷匦?所以,且,又因?yàn)?故或其補(bǔ)角是異面直線與所成的角. 在中,所以異面直線與所成角的正切值為2.(2)證明:由于底面是矩形,故,又由于,因此平面,而平面,所以平面平面. (3)在平面內(nèi),過點(diǎn)作交直線于點(diǎn),連接.由于平面平面,由此得為直線與平面所成的角. 在中,可得在中,由平面,得平面,因此在中,在中,所以直線與平面所成角的

21、正弦值為.解析(1)連接OC. 由已知,所成的角 設(shè)AB的中點(diǎn)為D,連接PD、CD. 因?yàn)锳B=BC=CA,所以CDAB. 因?yàn)榈冗吶切? 不妨設(shè)PA=2,則OD=1,OP=, AB=4. 所以CD=2,OC=. 在Rttan(2)過D作DE于E,連接CE.由已知可得,CD平面PAB. 據(jù)三垂線定理可知,CEPA, 所以,. 由(1)知,DE=在RtCDE中,tan故點(diǎn)評(píng)本題旨在考查線面位置關(guān)系和二面角的基礎(chǔ)概念,重點(diǎn)考查思維能力和空間想象能力,進(jìn)一步深化對(duì)二面角的平面角的求解.求解二面角平面角的常規(guī)步驟:一找(尋找現(xiàn)成的二面角的平面角)、二作(若沒有找到現(xiàn)成的,需要引出輔助線作出二面角的平

22、面角)、三求(有了二面角的平面角后,在三角形中求出該角相應(yīng)的三角函數(shù)值). PABCDE解(1), 三棱錐P-ABC的體積為 (2)取PB的中點(diǎn)E,連接DE、AE,則 EDBC,所以ADE(或其補(bǔ)角)是異面直線 BC與AD所成的角 在三角形ADE中,DE=2,AE=,AD=2, ,所以ADE=. 因此,異面直線BC與AD所成的角的大小是證明:(I)設(shè)中點(diǎn)為O,連接OC,OE,則由知, 又已知,所以平面OCE. 所以,即OE是BD的垂直平分線,所以. (II)取AB中點(diǎn)N,連接,M是AE的中點(diǎn),是等邊三角形,.由BCD=120°知,CBD=30°, 所以ABC=60°

23、;+30°=90°,即,所以NDBC, 所以平面MND平面BEC,又DM平面MND,故DM平面BEC. 另證:延長相交于點(diǎn),連接EF.因?yàn)镃B=CD,. 因?yàn)闉檎切?所以,則, 所以,又, 所以D是線段AF的中點(diǎn),連接DM, 又由點(diǎn)M是線段AE的中點(diǎn)知, 而平面BEC, 平面BEC,故DM平面BEC. 【答案與解析】 (1)證明:取中點(diǎn)P,連結(jié)MP,NP,而M,N分別是A與的中點(diǎn),所以, MPA,PN,所以,MP平面AC,PN平面AC,又,因此平面MPN平面AC,而MN平面MPN,所以,MN平面AC, ()（解法一）連結(jié)BN，由題意,面面=,面NBC， =1, .(解法

24、2)【點(diǎn)評(píng)】本題以三棱柱為載體主要考查空間中的線面平行的判定、棱錐體積的計(jì)算,考查空間想象能力、推理論證能力、運(yùn)算求解能力,難度適中.第一小題可以通過線線平行來證明線面平行,也可通過面面平行來證明;第二小題求體積根據(jù)條件選擇合適的底面是關(guān)鍵,也可以采用割補(bǔ)發(fā)來球體積. 【命題意圖】本題主要考查空間線線、線面、面面垂直的判定與性質(zhì)及幾何體的體積計(jì)算,考查空間想象能力、邏輯推理能力,是簡單題. 【解析】()由題設(shè)知BC,BCAC,面, 又面, 由題設(shè)知,=,即, 又, 面, 面, 面面; ()設(shè)棱錐的體積為,=1,由題意得,=, 由三棱柱的體積=1, =1:1, 平面分此棱柱為兩部分體積之比為1:

25、1. 法二:(I)證明:設(shè),則, 因側(cè)棱垂直底面,即,所以, 又D是棱AA1的中點(diǎn),所以在中,由勾股定理得: ; 同理,又, 所以:, 即有因平面,所以, 又,所以 ,所以側(cè)面,而平面, 所以:;由(1)和(2)得:平面, 又平面 ,所以平面平面(II) 平面BDC1分此棱柱的下半部分可看作底面為直角梯形,高為的一個(gè)四棱錐,其體積為:, 該四棱柱的總體積為, 所以,平面BDC1分此棱柱的上半部的體積為所以 ,所求兩部分體積之比為 【解析】(1)由已知可得AE=3,BF=4,則折疊完后EG=3,GF=4,又因?yàn)镋F=5,所以可得又因?yàn)?可得,即所以平面DEG平面CFG. (2)過G作GO垂直于E

26、F,GO 即為四棱錐G-EFCD的高,所以所求體積為【解析】()因?yàn)橛质瞧矫鍼AC內(nèi)的兩條相較直線,所以BD平面PAC, 而平面PAC,所以. ()設(shè)AC和BD相交于點(diǎn)O,連接PO,由()知,BD平面PAC, 所以是直線PD和平面PAC所成的角,從而. 由BD平面PAC,平面PAC,知. 在中,由,得PD=2OD. 因?yàn)樗倪呅蜛BCD為等腰梯形,所以均為等腰直角三角形, 從而梯形ABCD的高為于是梯形ABCD面積 在等腰三角形AOD中,所以故四棱錐的體積為. 【點(diǎn)評(píng)】本題考查空間直線垂直關(guān)系的證明,考查空間角的應(yīng)用,及幾何體體積計(jì)算.第一問只要證明BD平面PAC即可,第二問由()知,BD平面P

27、AC,所以是直線PD和平面PAC所成的角,然后算出梯形的面積和棱錐的高,由算得體積. 【解析】(1)因?yàn)樗睦庵膫?cè)面是全等的矩形,所以又因?yàn)?所以平面連接,因?yàn)槠矫?所以因?yàn)榈酌媸钦叫?所以.根據(jù)棱臺(tái)的定義可知,與共面. 又已知平面平面,且平面平面平面,所以,于是 由,可得,又因?yàn)?所以平面. (2)因?yàn)樗睦庵牡酌媸钦叫?側(cè)面是全等的矩形,所以 又因?yàn)樗睦馀_(tái)的上、下底面均是正方形,側(cè)面是全等的等腰梯形,所以 于是該實(shí)心零部件的表面積為,故所需加工處理費(fèi)為(元) 【點(diǎn)評(píng)】本題考查線面垂直,空間幾何體的表面積;考查空間想象,運(yùn)算求解以及轉(zhuǎn)化與劃歸的能力.線線垂直線面垂直面面垂直是有關(guān)垂直的幾

28、何問題的常用轉(zhuǎn)化方法;四棱柱與四棱臺(tái)的表面積都是由簡單的四邊形的面積而構(gòu)成,只需求解四邊形的各邊長即可.來年需注意線線平行,面面平行特別是線面平行,以及體積等的考查. 解析:()因?yàn)槠矫?平面,所以.又因?yàn)闉橹羞吷系母?所以.,平面,平面,所以平面. (),因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn),平面,所以點(diǎn)到平面的距離等于,即三棱錐的高,于是. ()取中點(diǎn),連接、.因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn),所以且.而是上的點(diǎn)且,所以且.所以四邊形是平行四邊形,所以.而,所以.又因?yàn)槠矫?平面,所以.而,平面,平面,所以平面,即平面. 【考點(diǎn)定位】本題主要考察直線與直線、直線與平面的位置關(guān)系以及體積等基本知識(shí),考查空間想象能力、推理論證能力、運(yùn)算

29、求解能力、數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想. 【解析】(1)又長方體AD平面.點(diǎn)A到平面的距離AD=1, =×2×1=1 ,(2)將側(cè)面繞逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)90°展開,與側(cè)面共面.當(dāng),M,C共線時(shí), +MC取得最小值A(chǔ)D=CD=1 ,=2得M為的中點(diǎn)連接M在中,=MC=,=2, =+ , =90°,CM, 平面,CM AMMC=C CM平面,同理可證AM 平面MAC 【命題意圖】本試題主要是考查了四棱錐中關(guān)于線面垂直的證明以及線面角的求解的運(yùn)用.從題中的線面垂直以及邊長和特殊的菱形入手得到相應(yīng)的垂直關(guān)系和長度,并加以證明和求解. 解:設(shè),以為原點(diǎn),為軸,為軸建立空間

30、直角坐標(biāo)系,則設(shè). ()證明:由得, 所以,所以, .所以,所以平面; () 設(shè)平面的法向量為,又,由得,設(shè)平面的法向量為,又,由,得,由于二面角為,所以,解得. 所以,平面的法向量為,所以與平面所成角的正弦值為,所以與平面所成角為. 【點(diǎn)評(píng)】試題從命題的角度來看,整體上題目與我們平時(shí)練習(xí)的試題和相似,底面也是特殊的菱形,一個(gè)側(cè)面垂直于底面的四棱錐問題,那么創(chuàng)新的地方就是點(diǎn)的位置的選擇是一般的三等分點(diǎn),這樣的解決對(duì)于學(xué)生來說就是比較有點(diǎn)難度的,因此最好使用空間直角坐標(biāo)系解決該問題為好. 【考點(diǎn)定位】本題第二問是對(duì)基本功的考查,對(duì)于知識(shí)掌握不牢靠的學(xué)生可能不能順利解決.第三問的創(chuàng)新式問法,難度比

31、較大. 解:(1)因?yàn)镈,E分別為AC,AB的中點(diǎn),所以DEBC.又因?yàn)镈E平面A1CB,所以DE平面A1CB.(2)由已知得ACBC且DEBC,所以DEAC.所以DEA1D,DECD.所以DE平面A1DC.而A1F平面A1DC,所以DEA1F.又因?yàn)锳1FCD,所以A1F平面BCDE.所以A1FBE (3)線段A1B上存在點(diǎn)Q,使A1C平面DEQ.理由如下:如圖, 分別取A1C,A1B的中點(diǎn)P,Q,則PQBC. 又因?yàn)镈EBC,所以DEPQ.所以平面DEQ即為平面DEP. 由(2)知DE平面A1DC,所以DEA1C. 又因?yàn)镻是等腰三角形DA1C底邊A1C 的中點(diǎn), 所以A1CDP,所以A1

32、C平面DEP,從而A1C平面DEQ. 故線段A1B上存在點(diǎn)Q,使得A1C平面DEQ. 【解析】(I)連接,共面 長方體中,底面是正方形面()在矩形中,得:【命題意圖】本小題主要考查空間兩條直線的位置關(guān)系,二面角、異面直線所成的角,直線與平面垂直等基礎(chǔ)知識(shí),考查用空間向量解決立體幾何問題的方法,考查空間想象能力、運(yùn)算能力和推理論證能力.方法一:（1）以為正半軸方向，建立空間直角左邊系則（2），設(shè)平面的法向量則 取是平面的法向量得：二面角的正弦值為（3）設(shè)；則， 即方法二:（1）以為正半軸方向，建立空間直角左邊系 則（2），設(shè)平面的法向量 則 取是平面的法向量 得：二面角的正弦值為（3）設(shè)；則，

33、即【點(diǎn)評(píng)】試題從命題的角度來看,整體上題目與我們平時(shí)練習(xí)的試題相似,但底面是非特殊的四邊形,一直線垂直于底面的四棱錐問題,那么創(chuàng)新的地方就是第三問中點(diǎn)E的位置是不確定的,需要學(xué)生根據(jù)已知條件進(jìn)行確定,如此說來就有難度,因此最好使用空間直角坐標(biāo)系解決該問題為好.【解析】(1)在中,得:同理:得:面(2)面取的中點(diǎn),過點(diǎn)作于點(diǎn),連接,面面面 得:點(diǎn)與點(diǎn)重合且是二面角的平面角設(shè),則,既二面角的大小為【解析】本題主要考察線面平行的證明方法,建系求二面角等知識(shí)點(diǎn).()如圖連接BD.M,N分別為PB,PD的中點(diǎn),在PBD中,MNBD.又MN平面ABCD,MN平面ABCD;()如圖建系:A(0,0,0),P

34、(0,0,),M(,0),N(,0, 0),C(,3,0).設(shè)Q(x,y,z),則.,.由,得:. 即:.對(duì)于平面AMN:設(shè)其法向量為.則. .同理對(duì)于平面AMN得其法向量為.記所求二面角AMNQ的平面角大小為,則.所求二面角AMNQ的平面角的余弦值為.【答案】()見解析;() .【考點(diǎn)定位】本小題主要考查立體幾何的相關(guān)知識(shí),具體涉及到線面垂直的關(guān)系,二面角的求法及空間向量在立體幾何中的應(yīng)用,解決此類問題的關(guān)鍵是熟悉幾何體的結(jié)構(gòu)特征,熟練進(jìn)行線線垂直與線面垂直的轉(zhuǎn)化,主要考查學(xué)生的空間想象能力與推理論證能力.本題可以利用空間向量來解題,從而降低了題目的難度.解:(1)由,為的中點(diǎn),得,又,故,

35、所以點(diǎn)到平面的距離為(2)如圖,取為的中點(diǎn),連結(jié),則,又由(1)知,故,所以為所求的二面角的平面角.因?yàn)樵诿嫔系纳溆?又已知,由三垂線定理的逆定理得,從而都與互余,因此,所以,因此,即,得.從而,所以,在中,解析(1)連接OC.由已知,所成的角設(shè)AB的中點(diǎn)為D,連接PD、CD.因?yàn)锳B=BC=CA,所以CDAB.因?yàn)榈冗吶切?不妨設(shè)PA=2,則OD=1,OP=,AB=4.所以CD=2,OC=.在Rttan.故直線PC與平面ABC所成的角的大小為arctan(2)過D作DE于E,連接CE.由已知可得,CD平面PAB根據(jù)三垂線定理可知,CEPA,所以,.由(1)知,DE=在RtCDE中,tan故

36、點(diǎn)評(píng)本小題主要考查線面關(guān)系、直線與平面所成的角、二面角等基礎(chǔ)知識(shí),考查思維能力、空間想象能力,并考查應(yīng)用向量知識(shí)解決數(shù)學(xué)問題的能力.ABCDPExyz解(1)因?yàn)镻A底面ABCD,所以PACD,又ADCD,所以CD平面PAD,從而CDPD因?yàn)镻D=,CD=2,所以三角形PCD的面積為(2)解法一如圖所示,建立空間直角坐標(biāo)系,則B(2, 0, 0),C(2, 2,0),E(1, , 1),設(shè)與的夾角為q,則,q=.ABCDPEF由此可知,異面直線BC與AE所成的角的大小是解法二取PB中點(diǎn)F,連接EF、AF,則EFBC,從而AEF(或其補(bǔ)角)是異面直線BC與AE所成的角在中,由EF=、AF=、AE

37、=2知是等腰直角三角形,所以AEF=. 因此異面直線BC與AE所成的角的大小是解(1),又為三棱錐的高,(2),所以或其補(bǔ)角為導(dǎo)面直線與所成的角.連接平面,在中,故,即異面直線與所成的角為解析:(1)證法一 如圖,過直線上任一點(diǎn)作平面的垂線,設(shè)直線的方向向量分別是,則共面,根據(jù)平面向量基本定理,存在實(shí)數(shù)使得則因?yàn)?所以又因?yàn)?所以故,從而證法二 如圖,記,為直線上異于點(diǎn)A的任意一點(diǎn),過P作,垂足為O,則,直線又,平面,平面,又平面,(2)逆命題:a是平面內(nèi)一條直線,是外的一條直線(不垂直于),是直線在上的投影,若,則. 逆命題為真命題.解析:()在等腰梯形ABCD中,ABCD,DAB=60&#

38、176;,CB=CD,由余弦定理可知,即,在中,DAB=60°,則為直角三角形,且.又AEBD,平面AED,平面AED,且,故BD平面AED;()由()可知,設(shè),則,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,向量為平面的一個(gè)法向量.設(shè)向量為平面的法向量,則,即,取,則,則為平面的一個(gè)法向量.,而二面角F-BD-C的平面角為銳角,則二面角F-BD-C的余弦值為.解法二:取的中點(diǎn),連接,由于,因此,又平面,平面,所以由于平面,所以平面故,所以為二面角的平面角.在等腰三角形中,由于,因?yàn)?又,所以,故,因此二面角的余弦值為.【答案及解析】【命題意圖】本題主要考查線面平行的判定、二面角的計(jì)算，考查空間想

39、象能力、運(yùn)算求解能力，是容易題.【解析】（1）連結(jié)，由已知三棱柱為直三棱柱，所以為中點(diǎn).又因?yàn)闉橹悬c(diǎn)所以，又平面平面，因此6分（2）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以直線為軸，軸，軸建立直角坐標(biāo)系，如圖所示設(shè)則，于是，所以，設(shè)是平面的法向量，由得，可取設(shè)是平面的法向量，由得，可取因?yàn)闉橹倍娼牵?，解?2分【點(diǎn)評(píng)】本題以三棱柱為載體主要考查空間中的線面平行的判定,借助空間直角坐標(biāo)系求平面的法向量的方法,并利用法向量判定平面的垂直關(guān)系,考查空間想象能力、推理論證能力、運(yùn)算求解能力,難度適中.第一小題可以通過線線平行來證明線面平行,也可通過面面平行來證明. 【解析】解:(1)證明:連接AO,在中,作于點(diǎn)E,

40、因?yàn)?得,ByOCAEzA11B1C1x因?yàn)槠矫鍭BC,所以,因?yàn)?得,所以平面,所以,所以平面,又,得(2)如圖所示,分別以所在的直線為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系,則A(1,0,0), C(0,-2,0), A1(0.0,2),B(0,2,0)由(1)可知得點(diǎn)E的坐標(biāo)為,由(1)可知平面的法向量是,設(shè)平面的法向量,由,得,令,得,即所以即平面平面與平面BB1C1C夾角的余弦值是.【點(diǎn)評(píng)】本題考查線面垂直,二面角、向量法在解決立體幾何問題中的應(yīng)用以及空間想象的能力. 高考中,立體幾何解答題一般有以下三大方向的考查.一、考查與垂直,平行有關(guān)的線面關(guān)系的證明;二、考查空間幾何體的體積與表面積;

41、三、考查異面角,線面角,二面角等角度問題.前兩種考查多出現(xiàn)在第1問,第3種考查多出現(xiàn)在第2問;對(duì)于角度問題,一般有直接法與空間向量法兩種求解方法.【答案】證明:(1)是直三棱柱,平面. 又平面,. 又平面,平面. 又平面,平面平面.(2),為的中點(diǎn),. 又平面,且平面,. 又平面,平面. 由(1)知,平面,. 又平面平面,直線平面【考點(diǎn)】直線與平面、平面與平面的位置關(guān)系.【解析】(1)要證平面平面,只要證平面上的平面即可.它可由已知是直三棱柱和證得. (2)要證直線平面,只要證平面上的即可.【解析】解法1(如圖(1),連接AC,由AB=4,E是CD的中點(diǎn),所以所以而內(nèi)的兩條相交直線,所以CD平

42、面PAE.()過點(diǎn)B作由()CD平面PAE知,BG平面PAE.于是為直線PB與平面PAE所成的角,且.由知,為直線與平面所成的角.由題意,知因?yàn)樗杂伤运倪呅问瞧叫兴倪呅?故于是在中,所以于是又梯形的面積為所以四棱錐的體積為ABCDPE圖 xyz345h解法2:如圖(2),以A為坐標(biāo)原點(diǎn),所在直線分別為建立空間直角坐標(biāo)系.設(shè)則相關(guān)的各點(diǎn)坐標(biāo)為:()易知因?yàn)樗远瞧矫鎯?nèi)的兩條相交直線,所以()由題設(shè)和()知,分別是,的法向量,而PB與所成的角和PB與所成的角相等,所以由()知,由故解得.又梯形ABCD的面積為,所以四棱錐的體積為.【點(diǎn)評(píng)】本題考查空間線面垂直關(guān)系的證明,考查空間角的應(yīng)用,及幾

43、何體體積計(jì)算.第一問只要證明即可,第二問算出梯形的面積和棱錐的高,由算得體積,或者建立空間直角坐標(biāo)系,求得高幾體積.考點(diǎn)分析:本題考察立體幾何線面的基本關(guān)系,考察如何取到最值,用均值不等式和導(dǎo)數(shù)均可求最值.同時(shí)考察直線與平面所成角.本題可用綜合法和空間向量法都可以.運(yùn)用空間向量法對(duì)計(jì)算的要求要高些.解析:()解法1:在如圖1所示的中,設(shè),則.由,知,為等腰直角三角形,所以.由折起前知,折起后(如圖2),且,所以平面.又,所以.于是,當(dāng)且僅當(dāng),即時(shí),等號(hào)成立,故當(dāng),即時(shí), 三棱錐的體積最大. 解法2:同解法1,得. 令,由,且,解得.當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),. 所以當(dāng)時(shí),取得最大值.故當(dāng)時(shí), 三棱錐的體積最大. ()解法1:以為原點(diǎn),建立如圖a所示的空間直角坐標(biāo)系.由()知,當(dāng)三棱錐的