高考數(shù)學總復習拋物線及其性質(zhì)

1、第三節(jié) 拋物線及其性質(zhì)考綱解讀 掌握拋物線的定義、標準方程、幾何圖形和及其簡單幾何性質(zhì).命題趨勢探究 拋物線是圓錐曲線的重要內(nèi)容，高考主要考查拋物線的方程、焦點、準線及其幾何性質(zhì)，題形上，選擇、填空、解答題都有可能出現(xiàn)，以考查學生的運算、數(shù)形結(jié)合和分析能力為主. 預測2019年高考主要考查拋物線標準方程和性質(zhì)的應用，焦點弦是重點考查的內(nèi)容.知識點精講一、拋物線的定義 平面內(nèi)與一個定點和一條定直線的距離相等的點的軌跡叫做拋物線，定點叫拋物線的焦點，定直線叫做拋物線的準線.注 若在定義中有，則動點的軌跡為的垂線，垂足為點.二、拋物線的方程、圖形及性質(zhì) 拋物線的標準方程有4種形式：，其中一次項與對稱

2、軸一致，一次項系數(shù)的符號決定開口方向（如表10-3所示）表10-3標準方程yxOFlyxOFlFyxOl圖形yxOFl對稱軸軸軸頂點原點焦點坐標準線方程三、拋物線中常用的結(jié)論1. 點與拋物線的關系（1）在拋物線內(nèi)（含焦點）.（2）在拋物線上.（3）在拋物線外.2. 焦半徑拋物線上的點與焦點的距離稱為焦半徑，若，則焦半徑，.3. 的幾何意義為焦點到準線的距離，即焦準距，越大，拋物線開口越大.4. 焦點弦若為拋物線的焦點弦，則有以下結(jié)論：（1）.（2）.（3）焦點弦長公式1：，當時，焦點弦取最小值，即所有焦點弦中通徑最短，其長度為.焦點弦長公式2：（為直線與對稱軸的夾角）.（4）的面積公式：（為直

3、線與對稱軸的夾角）.5.拋物線的弦若AB為拋物線的任意一條弦，弦的中點為，則（1） 弦長公式：（2）（3） 直線AB的方程為（4） 線段AB的垂直平分線方程為6求拋物線標準方程的焦點和準線的快速方法（法） （1）焦點為，準線為(2) 焦點為，準線為如，即，焦點為，準線方程為7參數(shù)方程的參數(shù)方程為（參數(shù)）8切線方程和切點弦方程 拋物線的切線方程為為切點 切點弦方程為點在拋物線外 與中點弦平行的直線為此直線與拋物線相離，點（含焦點）是弦AB的中點，中點弦AB的斜率與這條直線的斜率相等，用點差法也可以得到同樣的結(jié)果。題型歸納及思路提示題型143；拋物線的定義與方程思路提示求拋物線的標準方程的步驟為：

4、(1) 先根據(jù)題設條件及拋物線定義判斷它為拋物線并確定焦點位置：(2) 根據(jù)題目條件列出P的方程(3) 解方程求出P，即得標準方程 已知拋物線的準線與圓相切,求的值為（ ）A B C 2 D4解析；拋物線的準線為，圓的標準方程為，由與圓相切，知，解得，故選C評注 準線 是拋物線的重要性質(zhì)，要熟記準線方程。變式1 設拋物線的頂點在原點，準線方程為，則拋物線的方程是（ ）A B C D變式2 設為拋物線上一點，為拋物線的焦點，以為圓心，為半徑的圓和拋物線的準線相交，則的取值范圍是（ ）A B C D若點到直線的距離比它到點的距離小，則點的軌跡為（ ）A圓 B橢圓 C雙曲線 D拋物線解析 解法一：（

5、直接法）設依題意有，當時， ，整理得當時， ，顯然不成立，故點的軌跡方程為解法二：（定義法）由題意可知，點只能在的右側(cè)，點到直線的距離等于它到點的距離，根據(jù)拋物線的定義知，點的軌跡是拋物線，故選D變式1 設圓與圓外切，與直線相切，則的圓心軌跡為（ ）A拋物線 B雙曲線 C橢圓 D圓變式2 動點到點的距離和到直線的距離相等，則動點的軌跡為（ ）A拋物線 B直線 C線段 D射線設拋物線上一點到軸的距離是，則點拋物線焦點的距離是（ ）A4 B6 C8 D12解析 由焦半徑公式知點到焦點的距離為6，故選B變式1 （2012四川理8）已知拋物線關于軸對稱，它的頂點在坐標原點，并且經(jīng)過點，若點到該拋物線焦

6、點的距離為3，則（ ）A B C4 D變式2 已知是拋物線的焦點，是該拋物線上的兩點，則線段的中點到軸的距離為（ ）A B C D變式3 設為拋物線的焦點，為該拋物線上三點，若，則（ ）A9 B6 C4 D3 過拋物線的焦點作傾斜角為的直線與拋物線分別交于兩點（點在軸上方），則解析 如圖10-10所示，由題意得準線，作于點，于點，于點，則，因為在三角形中，所以，即，得變式 1 已知是拋物線的焦點，過且斜率為1的直線交于兩點，設，則與的比值等于變式2 已知點，拋物線的焦點為，射線與拋物線相交于點，與其準線相交于點，則（ ）A B C D題型144 與拋物線有關的距離和最值問題思路提示 拋物線上任

7、意一點到焦點的距離等于到準線的距離，利用這一定義可以把相等長度的線段進行轉(zhuǎn)化，從而把兩條線段長度之和的問題轉(zhuǎn)化為兩點間的距離問題或點到直線的距離問題，即在解題中掌握“拋物線的定義及其性質(zhì)”，若求拋物線上的點到定直線（并非準線）距離的最值問題用參數(shù)法或切線法求解。已知直線和直線，拋物線上一動點到直線和的距離之和的最小值是（ ）A B3 C D分析 畫出圖形，利用等價轉(zhuǎn)化，將距離之和的最小值轉(zhuǎn)化為點到直線的距離。解析 作輔助線如圖10-11所示，連接拋物線方程為，為其準線，焦點為，由拋物線的定義可如，故選A評注 本題考查拋物線的定義及轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學思想變式 1 已知點是拋物線上的一個動點，則點到

8、點與到該拋物線準線的距離之和的最小值為（ ）A B3 C D變式2 已知點在拋物線上，那么當點到點的距離與點到拋物線焦點距離之和取得最小值時，點的坐標為（ ）A B C D變式3 動圓滿足過定點，且與定直線相切，直線與動圓有公共點，則動圓的面積最小值為題型145 拋物線中三角形，四邊形的面積問題思路提示 解決此類問題經(jīng)常利用拋物線的定義，將拋物線上的點焦點的距離轉(zhuǎn)化為到準線的距離，并構成直角三角形或直角梯形，從而計算其面積或面積之比。例10.28（2012北京理12）在直角坐標系中，直線過拋物線的焦點，且與該拋物線相交于兩點，其中點在軸上方，若直線的傾斜角為，則的面積為解析 解法一：直線的方程

9、為沒，代入得解得得解法二： 如圖10-12所示，由題意得拋物線的準線，過作于，于，連接，則，又，故三角形為正三角形，因為，所以，所以評注 解法一求出了交點的坐標，從而求得的面積；解法二利用了拋物線的定義及三角形的性質(zhì)，得出中邊的高，計算量較小，方法更簡捷變式1 （2012安徽理9）過拋物線的焦點的直線交拋物線于兩點，點是坐標原點，若，則的面積為（ ）A B C D例10.29 拋物線的焦點為，準線為，經(jīng)過且斜率為的直線與拋物線在軸上方的部分相交于點，垂足為，則的面積是（ ）A B C D分析 作出圖形，利用數(shù)形結(jié)合思想，在圖中找到三角形的底和高從而使問題得以解決。解析 解法一：如圖10-13所

10、示，由題意可知，準線方程為，由，解得，故，因為直線的斜率，所以，則，又，則為正三角形，的底為，高為，所以解法二： 由焦點到準線的距離為2，因為直線的斜率為，所以，則，又，則為正三角形，則，則，所以，選C變式1 已知拋物線的焦點為，準線與軸的交點為，點在上且，則的面積為（ ）A B C D變式2 設拋物線的焦點為，過點的直線與拋物線相交于兩點，與拋物線的準線相交于點，則等于（ ）A B C D最有效訓練題44（限時45分鐘）1拋物線上有一點，它的橫坐標是3,它到焦點的距離是5,則拋物線的方程為( )A B C D2.若點到直線的距離比它到點的距離大1,則點的軌跡為( )A圓 B橢圓 C雙曲線 D

11、拋物線 3.已知拋物線,以過焦點的弦為直徑的圓與拋物線準線的位置關系是( )A相離 B相切 C相交 D不能確定4. 已知雙曲線的離心率為2,若拋物線的焦點到雙曲線的漸近線的距離為2,則拋物線的方程為( )A B C D5. 等軸雙曲線的中心在原點,焦點在軸上,與拋物線的準線交于兩點,則的實軸長為( )A B C D6. 已知為拋物線上兩點,點的橫坐標分別為,過分別作拋物線的切線,兩切線交于點,則點的縱坐標為( )A B C D7. 已知以為焦點的拋物線上的兩點滿足，則弦的中點到準線的距離為8若點是拋物線的一條弦的中點，且這條弦所在直線的斜率為2，則9已知點，動點在拋物線上運動，則取得最小值時的點的坐標是10已知拋物線的焦點是，點是拋物線上的動點（1）若有點，求的最小值，并求出取最小值時點的坐標（2）若點的坐標為，求的最小值（3）若