高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)總教案93　拋物線

1、9.3拋物線典例精析題型一拋物線定義的運(yùn)用【例1】根據(jù)下列條件，求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程.(1)拋物線過點(diǎn)P(2，4)；(2)拋物線焦點(diǎn)F在x軸上，直線y3與拋物線交于點(diǎn)A，|AF|5.【解析】(1)設(shè)方程為y2mx或x2ny.將點(diǎn)P坐標(biāo)代入得y28x或x2y.(2)設(shè)A(m，3)，所求焦點(diǎn)在x軸上的拋物線為y22px(p0)，由定義得5|AF|m|，又(3)22pm，所以p±1或±9，所求方程為y2±2x或y2±18x.【變式訓(xùn)練1】已知P是拋物線y22x上的一點(diǎn)，另一點(diǎn)A(a,0) (a0)滿足|PA|d，試求d的最小值.【解析】設(shè)P(x0，y0) (x0

2、0)，則y2x0，所以d|PA|.因?yàn)閍0，x00，所以當(dāng)0a1時(shí)，此時(shí)有x00，dmina；當(dāng)a1時(shí)，此時(shí)有x0a1，dmin.題型二直線與拋物線位置討論 【例2】(2019湖北模擬)已知一條曲線C在y軸右側(cè)，C上每一點(diǎn)到點(diǎn)F(1,0)的距離減去它到y(tǒng)軸距離的差都是1.(1)求曲線C的方程；(2)是否存在正數(shù)m，對于過點(diǎn)M(m,0)且與曲線C有兩個(gè)交點(diǎn)A，B的任一直線，都有0？若存在，求出m的取值范圍；若不存在，請說明理由.【解析】(1)設(shè)P(x，y)是曲線C上任意一點(diǎn)，那么點(diǎn)P(x，y)滿足：x1(x0).化簡得y24x(x0).(2)設(shè)過點(diǎn)M(m,0)(m0)的直線l與曲線C的交點(diǎn)為A(

3、x1，y1)，B(x2，y2).設(shè)l的方程為xtym，由得y24ty4m0，16(t2m)0，于是又(x11，y1)，(x21，y2).0(x11)(x21)y1y2x1x2(x1x2)1y1y20.又x，于是不等式等價(jià)于·y1y2()10y1y2(y1y2)22y1y210.由式，不等式等價(jià)于m26m14t2.對任意實(shí)數(shù)t,4t2的最小值為0，所以不等式對于一切t成立等價(jià)于m26m10，即32m32.由此可知，存在正數(shù)m，對于過點(diǎn)M(m,0)且與曲線C有兩個(gè)交點(diǎn)A，B的任一直線，都有·0，且m的取值范圍是(32，32).【變式訓(xùn)練2】已知拋物線y24x的一條弦AB，A(x

4、1，y1)，B(x2，y2)，AB所在直線與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為(0,2)，則.【解析】y24my8m0，所以.題型三有關(guān)拋物線的綜合問題【例3】已知拋物線C：y2x2，直線ykx2交C于A，B兩點(diǎn)，M是線段AB的中點(diǎn)，過M作x軸的垂線交C于點(diǎn)N.(1)求證：拋物線C在點(diǎn)N處的切線與AB平行； (2)是否存在實(shí)數(shù)k使·0？若存在，求k的值；若不存在，說明理由.【解析】(1)證明：如圖，設(shè)A(x1,2x)，B(x2,2x)，把ykx2代入y2x2，得2x2kx20，由韋達(dá)定理得x1x2，x1x21，所以xNxM，所以點(diǎn)N的坐標(biāo)為(，).設(shè)拋物線在點(diǎn)N處的切線l的方程為ym(x)，將y2x2

5、代入上式，得2x2mx0，因?yàn)橹本€l與拋物線C相切，所以m28()m22mkk2(mk)20，所以mk，即lAB.(2)假設(shè)存在實(shí)數(shù)k，使·0，則NANB，又因?yàn)镸是AB的中點(diǎn)，所以|MN|AB|.由(1)知yM(y1y2)(kx12kx22)k(x1x2)4(4)2.因?yàn)镸Nx軸，所以|MN|yMyN|2.又|AB|·|x1x2|···.所以·，解得k±2.即存在k±2，使·0.【點(diǎn)撥】直線與拋物線的位置關(guān)系，一般要用到根與系數(shù)的關(guān)系；有關(guān)拋物線的弦長問題，要注意弦是否過焦點(diǎn)，若過拋物線的焦點(diǎn)，可直接使

6、用公式|AB|x1x2p，若不過焦點(diǎn)，則必須使用一般弦長公式.【變式訓(xùn)練3】已知P是拋物線y22x上的一個(gè)動點(diǎn)，過點(diǎn)P作圓(x3)2y21的切線，切點(diǎn)分別為M、N，則|MN|的最小值是.【解析】.總結(jié)提高1.在拋物線定義中，焦點(diǎn)F不在準(zhǔn)線l上，這是一個(gè)重要的隱含條件，若F在l上，則拋物線退化為一條直線.2.掌握拋物線本身固有的一些性質(zhì)：(1)頂點(diǎn)、焦點(diǎn)在對稱軸上；(2)準(zhǔn)線垂直于對稱軸；(3)焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為p；(4)過焦點(diǎn)垂直于對稱軸的弦(通徑)長為2p.3.拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程有四種形式，要掌握拋物線的方程與圖形的對應(yīng)關(guān)系.求拋物線方程時(shí)，若由已知條件可知曲線的類型，可采用待定系數(shù)法.4.拋物線的幾何性質(zhì)，只要與橢圓、雙曲線加以對照，很容易把握.但由于拋物線的離心率為1，所以拋物線的焦點(diǎn)有很多重要性質(zhì)，而且應(yīng)用廣泛，