高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)指數(shù)函數(shù)對數(shù)函數(shù)及冪函數(shù)

1、第二章函數(shù)與導(dǎo)數(shù)第9課時指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)及冪函數(shù)(3) (對應(yīng)學(xué)生用書(文)、(理)2425頁)考情分析考點新知 對數(shù)函數(shù)在高考中的考查主要是圖象和性質(zhì)，同時考查數(shù)學(xué)思想方法，以考查分類討論及運算能力為主；考查形式主要是填空題，同時也有綜合性較強的解答題出現(xiàn)，目的是結(jié)合其他章節(jié)的知識，綜合進行考查.冪函數(shù)的考查較為基礎(chǔ)，以常見的5種冪函數(shù)為載體，考查求值、單調(diào)性、奇偶性、最值等問題是高考命題的出發(fā)點理解對數(shù)函數(shù)的概念；理解對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性；掌握對數(shù)函數(shù)圖象通過的特殊點.知道對數(shù)函數(shù)是一類重要的函數(shù)模型.了解指數(shù)函數(shù)yax與對數(shù)函數(shù)ylogax的相互關(guān)系(a>0，a1).了解冪函數(shù)的概念

2、，結(jié)合函數(shù)yx，yx2，yx3，yx1，yx2的圖象，了解它們的變化情況.1. (必修1P112測試8改編)已知函數(shù)f(x)logax(a>0，a1)，若f(2)>f(3)，則實數(shù)a的取值范圍是_答案：(0，1)解析：因為f(2)>f(3)，所以f(x)logax單調(diào)遞減，則a(0，1)2. (必修1P89練習(xí)3改編)若冪函數(shù)yf(x)的圖象經(jīng)過點，則f(25)_答案：解析：設(shè)f(x)x，則9，即f(x)x，f(25).3. (必修1P111習(xí)題15改編)函數(shù)f(x)ln是_(填“奇”或“偶”)函數(shù)答案：奇解析：因為f(x)lnlnlnf(x)，所以f(x)是奇函數(shù)4. (必

3、修1P87習(xí)題13改編)不等式lg(x1)<1的解集為_. 答案：(1，11)解析：由0<x1<10， 1<x<11.5. (必修1P87習(xí)題14改編)對于任意的x1、x2(0，)，若函數(shù)f(x)lgx，則與f的大小關(guān)系是_. 答案：f解析：(解法1)作差運算；(解法2)尋找與f的幾何意義，通過函數(shù)f(x)lgx圖象可得1. 對數(shù)函數(shù)的定義一般地，我們把函數(shù)ylogax(a>0，a1)叫做對數(shù)函數(shù)，其中x是自變量，函數(shù)的定義域是(0，)2. 對數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)a>10<a<1圖象性質(zhì)(1) 定義域：(0，)(2) 值域：R(3) 過點(1

4、，0)，即x1時，y0(4) 當(dāng)x1時，f(x)>0；當(dāng)0x1時，f(x)<0(4) 當(dāng)x1時，f(x)<0；當(dāng)0x1時，f(x)>0(5)是(0，)上的增函數(shù)(5)是(0，)上的減函數(shù)3. 冪函數(shù)的定義形如yx(R)的函數(shù)稱為冪函數(shù)，其中x是自變量，為常數(shù)4. 冪函數(shù)的圖象5. 冪函數(shù)的性質(zhì)函數(shù)特征性質(zhì)yxyx2yx3yxyx1定義域RRRx|x0x|xR且x0值域Ry|y0Ry|y0y|yR且y0奇偶性奇偶奇非奇非偶奇單調(diào)性增(，0減，0，)增增增(，0)減，(0，)減定點(1，1)備課札記題型1對數(shù)函數(shù)的概念與性質(zhì)例1(1) 設(shè)a>1，函數(shù)f(x)logax

5、在區(qū)間a，2a上的最大值與最小值之差是，則a_；(2) 若alog0.40.3，blog54，clog20.8，用小于號“<”將a、b、c連結(jié)起來_；(3) 設(shè)f(x)lg是奇函數(shù)，則使f(x)<0的x的取值范圍是_；(4) 已知函數(shù)f(x)|log2x|，正實數(shù)m、n滿足m<n且f(m)f(n)，若f(x)在區(qū)間m2，n上的最大值為2，則m、n的值分別為_. 答案：(1) 4(2) cba(3) 1x0(4) ，2解析：(1) a>1，函數(shù)f(x)logax在區(qū)間a，2a上是增函數(shù)， loga2alogaa， a4.(2) 由于a>1，0<b<1，c

6、<0，所以c<b<a.(3) 由f(x)f(x)0，得a1，則由lg<0，得解得1<x<0.(4) 結(jié)合函數(shù)f(x)|log2x|的圖象，易知0<m<1，n>1，且mn1，所以f(m2)|log2m2|2，解得m，所以n2.(1) 設(shè)loga1，則實數(shù)a的取值范圍是_；(2) 已知函數(shù)f(x)lg(x2t)的值域為R，則實數(shù)t的取值范圍是_；(3) 若函數(shù)f(x)loga|x1|在(1，0)上有f(x)>0，則函數(shù)f(x)的單調(diào)減區(qū)間是_；(4) 若函數(shù)f(x)log(x22ax3)在(，1內(nèi)為增函數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍是_答案：(1

7、) 0a或a1(2) a0(3) (1，)(4) 1，2)解析：(1) 分a1與a1兩種情形進行討論(2) 值域為R等價于x2a可以取一切正實數(shù)(3) 函數(shù)f(x)的圖象是由yloga|x|的圖象向左平移1個單位得到， 0<a<1.(4) 令g(x)x22ax3，則解得1a<2.題型2冪函數(shù)的概念與性質(zhì)例2已知冪函數(shù)yx3m9(mN*)的圖象關(guān)于y軸對稱，且在(0，)上是減函數(shù)(1) 求m的值；(2) 求滿足不等式(a1)<(32a)的實數(shù)a的取值范圍解：(1) 因為函數(shù)yx3m9在(0，)上是減函數(shù)，所以3m9<0，所以m<3.因為mN*，所以m1或2.又

8、函數(shù)圖象關(guān)于y軸對稱，所以3m9是偶數(shù)，所以m1.(2) 不等式(a1)<(32a)即為(a1)<(32a).結(jié)合函數(shù)yx的圖象和性質(zhì)知：a1>32a>0或0>a1>32a或a1<0<32a.解得a<1或<a<，即實數(shù)a的取值范圍是a<1或<a<.已知冪函數(shù)yf(x)經(jīng)過點.(1) 試求函數(shù)解析式；(2) 判斷函數(shù)的奇偶性并寫出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間解：(1)由題意，得f(2)2aa3，故函數(shù)解析式為f(x)x3.(2)定義域為，關(guān)于原點對稱，因為f(x)(x)3x3f(x)，故該冪函數(shù)為奇函數(shù)其單調(diào)減區(qū)間為，.題型3

9、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的綜合問題例3已知函數(shù)f(x)log4(4x1)kx(kR)是偶函數(shù)(1) 求k的值；(2) 設(shè)g(x)log4，若函數(shù)f(x)與g(x)的圖象有且只有一個公共點，求實數(shù)a的取值范圍解：(1) 由函數(shù)f(x)是偶函數(shù)，可知f(x)f(x)， log4(4x1)kxlog4(4x1)kx.log42kx，即x2kx對一切xR恒成立， k.(2) 函數(shù)f(x)與g(x)的圖象有且只有一個公共點，即方程log4(4x1)xlog4有且只有一個實根，化簡得方程2xa·2xa有且只有一個實根令t2x>0，則方程(a1)t2at10有且只有一個正根a1t，不合題意；a1時

10、，0a或3.若at2，不合題意，若a3t；a1時，>0，一個正根與一個負根，即<0a>1.綜上，實數(shù)a的取值范圍是3(1，)已知函數(shù)f(x)lg(axbx)(a>1>b>0)(1) 求函數(shù)yf(x)的定義域；(2) 在函數(shù)yf(x)的圖象上是否存在不同的兩點，使過此兩點的直線平行于x軸；(3) 當(dāng)a、b滿足什么關(guān)系時，f(x)在區(qū)間上恒取正值解：(1) 由axbx>0，得x>1，因為a>1>b>0，所以>1，所以x>0，即函數(shù)f(x)的定義域為(0，)(2) 設(shè)x1>x2>0，因為a>1>b&

11、gt;0，所以ax1>ax2，bx1<bx2，則bx1>bx2，所以ax1bx1>ax2bx2>0，于是lg(ax1bx1)>lg(ax2bx2)，即f(x1)>f(x2)，因此函數(shù)f(x)在區(qū)間(0，)上是增函數(shù)假設(shè)函數(shù)yf(x)的圖象上存在不同的兩點A(x1，y1)、B(x2，y2)，使得直線AB平行于x軸，即x1x2，y1y2，這與f(x)是增函數(shù)矛盾故函數(shù)yf(x)的圖象上不存在不同的兩點，使過此兩點的直線平行于x軸(3) 由(2)知，f(x)在區(qū)間(1，)上是增函數(shù)，所以當(dāng)x(1，)時，f(x)>f(1)，故只需f(1)0，即lg(ab

12、)0，即ab1，所以當(dāng)ab1時，f(x)在區(qū)間(1，)上恒取正值1. (2013·南師大模擬)已知函數(shù)f(x)log2x2log2(xc)，其中c>0，若對任意x(0，)，都有f(x)1，則c的取值范圍是_答案：c解析：由題意，在x(0，)上恒成立，所以c.2. (2013·遼寧)已知函數(shù)f(x)ln1，則f(lg2)f_答案：2解析：f(x)f(x)ln(3x)ln(3x)2ln(19x29x2)22，所以f(lg2)ff(lg2)f(lg2)2.3. (2013·江西檢測)已知x(log0.5)y<(y)(log0.5)x，則實數(shù)x、y的關(guān)系為_答

13、案：xy<0解析：由x(log0.5)y<(y)(log0.5)x，得x(log0.5)x<(y)(log0.5)y.設(shè)f(x)x(log0.5)x，則f(x)<f(y)，由于0<log0.5<1，所以函數(shù)f(x)是R上的增函數(shù)，所以x<y，即xy<0.4. (2013·南通密卷)已知f(x)若對任意的xR，af2(x)f(x)1成立，則實數(shù)a的最小值為_答案：解析：易得xR，f(x)>0，由af2(x)f(x)1，得a(當(dāng)且僅當(dāng)f(x)2時等號成立)，所以實數(shù)a的最小值為.1. 若函數(shù)f(x)log2|ax1|(a0)，當(dāng)x時，

14、有f(x)f(1x)，則a_答案：2解析：由f(x)f(1x)，知函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于x對稱，而f(x)log2log2|a|，從而，所以a2.2. 已知函數(shù)f(x)x，x1，8，函數(shù)g(x)ax2，x1，8，若存在x1，8，使f(x)g(x)成立，則實數(shù)a的取值范圍是_答案：1，)解析：分別作出函數(shù)f(x)x，x1，8與函數(shù)g(x)ax2，x1，8的圖象當(dāng)直線經(jīng)過點(1，1)時，a1；當(dāng)直線經(jīng)過點(8，4)時，a.結(jié)合圖象有a或a1.3. 已知函數(shù)f(x)|lgx|，若0<a<b，且f(a)f(b)，則a2b的取值范圍是_答案：(3，)解析：因為f(a)f(b)，即|lga|lgb|，所以ab(舍去)或b，得a2ba.又0<a<b，所以0<a<1<b.令f(a)a，則f(a)10，所以f(a)在a(0，1)上為減函數(shù)，得f(a)>f(1) 123，即a2b的取值范圍是(3，)4. 已知兩條直線l1：ym和l2：y，l1與函數(shù)y|log2x|的圖象從左至右相交于點A、B，l2與函數(shù)y|log2x|的圖象從左至右相交于點C、D.記線段AC和BD在x軸上的投影長度分別為a、b.當(dāng)m變化時，求的最小值解：由題意得xAm，xB2m，x