分式方程的增根與無(wú)解詳解

1、分 式 方 程 的 增 根 與 無(wú) 解 講 解例 1 解方程二 雲(yún) .x 2 x 4x2解：方程兩邊都乘以(x+2) (x-2 ),得 2 (x+2) -4x=3 (x-2 ). 解這個(gè)方程，得 x=2.經(jīng)檢驗(yàn)：當(dāng) x=2 時(shí)，原方程無(wú)意義，所以 x=2是原方程的增根. 所以原方程無(wú)解.例 2 解方程口2.x 22 x解：去分母后化為 x1= 3 x + 2 (2 + x). 整理得 0 x = 8 因?yàn)榇朔匠虩o(wú)解，所以原分式方程無(wú)解.例 3 (2007 湖北荊門(mén))若方程 二旦無(wú)解，則 m= .x 22 x解：原方程可化為二旦.x 2 x 2方程兩邊都乘以 x 2,得 x 3= m 解這個(gè)方程

2、，得 x=3 m 因?yàn)樵匠虩o(wú)解，所以這個(gè)解應(yīng)是原方程的增根.即x=2,所以 2=3- m 解得 m=1 故當(dāng) m=1 時(shí)，原方程無(wú)解.例 4 當(dāng) a 為何值時(shí)，關(guān)于 x 的方程上 畀豈會(huì)產(chǎn)生增根?x 2 x 4 x 2解：方程兩邊都乘以(x+2) (x-2 ),得 2 (x + 2) + ax= 3 (x 2) 整理得(a 1) x= 10若原分式方程有增根，則 x=2 或2 是方程的根. 把 x = 2 或2 代入方程中，解得，a= 4 或 6 . 若將此題“會(huì)產(chǎn)生增根”改為“無(wú)解”，即：當(dāng) a 為何值時(shí)，關(guān)于 x 的方程 亠 笄 電 無(wú)解？x 2 x 4 x 2此時(shí)還要考慮轉(zhuǎn)化后的整式方

3、程(a-1) x=- 10 本身無(wú)解的情況，解法如下： 解：方程兩邊都乘以(x+2) (x-2 ),得 2 (x + 2) + ax= 3 (x 2) 整理得(a 1) x = 10若原方程無(wú)解，則有兩種情形：(1) 當(dāng) a 1 = 0 (即 a= 1)時(shí)，方程為 0 x= 10,此方程無(wú)解，所以原方程 無(wú)解。(2) 如果方程的解恰好是原分式方程的增根，那么原分式方程無(wú)解.原方程若有增根，增根為 x= 2 或2,把 x= 2 或2 代入方程中，求出 a= 4 或 6. 綜上所述，a= 1 或 a=4或 a= 6 時(shí)，原分式方程無(wú)解.例 5: (2005 揚(yáng)州中考題)若方程6-旦=1 有增根，則

4、它的增根是()(x 1)(x 1) x 1A、0B、1C -1D、1 或-1分析：使方程的最簡(jiǎn)公分母(x+1)(x-1)=0 則 x=-1 或 x=1,但不能忽略增根除滿(mǎn)足最 簡(jiǎn)公分母為零，還必須是所化整式方程的根。原方程易化成整式方程：26-m(x+1)=x -1整理得：m(x+1)=7-x2當(dāng) x=-1 時(shí)，此時(shí) m 無(wú)解；當(dāng) x=1 時(shí),解得 m=3由此可得答案為 B。例 6:關(guān)于 x 的方程J-2=L 有一個(gè)正數(shù)解，求 m 的取值范圍。x 3 x 3分析：把 m 看成常數(shù)求解，由方程的解是正數(shù)，確定 m 的取值范圍，但不能忽略產(chǎn)生增根時(shí) m 的值。原方程易化為整式方程：x-2（x-3）

5、=m整理得：x=6-mT原方程有解，故 6-m 不是增根 6-mM3 即 rm 3Tx 0二m6由此可得答案為 m 的取值范圍是m6 且m3一、 分式方程有增根，求參數(shù)值解：原方程兩邊同乘以（x-3 ）去分母整理，得2x -4x+a=0 （探）因?yàn)榉质椒匠逃性龈龈鶠?x=3,把 x=3 代入（丿得，9-12+a=0a=31 m2m 2例 8m 為何值時(shí)，關(guān)于 x 的方程+2=x23x2有增根解：原方程兩邊同乘以（x-1 ） （x-2 ）去分母整理，得（1+n）x=3m+4（M）因?yàn)榉质椒匠逃性龈瑩?jù)性質(zhì)（2）知：增根為 x=1 或 x=2。把 x=1 代入（M），解得例 7a 為何值時(shí)，關(guān)

6、于 x 的方程2x 4x a=0 有增根?所以 a=3 時(shí),x24x ax 3=0 有增根m=-2；把 x=2 代入（M）得 m=-212213443所以 m=-2或-2 時(shí)，原分式方程有增根k2點(diǎn)評(píng)：分式方程有增根，不一定分式方程無(wú)解(無(wú)實(shí)根)，如方程T7+仁(x 1)(x 2)2 8有增根，可求得 k=- 3，但分式方程這時(shí)有一實(shí)根 x= 3。二、分式方程是無(wú)實(shí)數(shù)解，求參數(shù)值例 9 若關(guān)于 x 的方程 H 二詵+2 無(wú)實(shí)數(shù)，求 m 的值。解：去分母，得 x-2=m+2x-10，x=-m+8因?yàn)樵匠虩o(wú)解，所以 x=-m+8 為原方程的增根。又由于原方程的增根為 x=5,所以-m+8=5所以

7、 m=3例 10 .若解分式方程竺產(chǎn)生增根，則 m 的值是()x 1 x x xA.1 或 2B.1 或 2C.1或2D.1 或 2分析：分式方程產(chǎn)生的增根，是使分母為零的未知數(shù)的值。由題意得增根是：x 0 或 x 1,化簡(jiǎn)原方程為：2x2(m 1)( x 1)2,把x 0 或 x1代入解得m 1 或 2，故選擇 D。例 11.m 為何值時(shí)，關(guān)于 x 的方程上 空會(huì)產(chǎn)生增根？x 2 x 4x2解：方程兩邊都乘以x24，得2x 4 mx 3x 6整理，得(m 1)x10說(shuō)明：分式方程的增根，一定是使最簡(jiǎn)公分母為零的根12x10 32x3424x2316x194x38x98x74x5分析：方程中的每個(gè)分式都相當(dāng)于一個(gè)假分?jǐn)?shù)，因此，可化為一個(gè)整數(shù)與一個(gè)簡(jiǎn)單 的分?jǐn)?shù)式之和解：由原方程得：34x 38x 98x 74x 5例 12、解方程:即_2_2_ J8986 8X 087例 13、若解分式方程竺山產(chǎn)生增根，則 m 的值是（）x 1 x x xA.1 或 2B.1 或 2C.1 或 2D.1 或 2分析：分式方程產(chǎn)生的增根，是使分母為零的未知數(shù)的值。由題意得增根是:m 1 或 2，故選擇D。練習(xí)題1 解方程一x 22 解方程x 2x 0 或 x1，