對勾函數(shù)模型

1、第十周對勾函數(shù)模型重點知識梳理1.對勾函數(shù)定義b對勾函數(shù)是指形如：y=ax+ q(ab>0)的一類函數(shù)，因其圖象形態(tài)極像對勾，因此 x被稱為 對勾函數(shù)”，又被稱為 雙勾函數(shù)”、勾函數(shù)”、耐克函數(shù)”或 耐克曲線y= ax+bx(a>0, b>0)的性質2.對勾函數(shù)(1)定義域：(一巴 0)U(0, +8).(2)值域：(8, .2V正U2而5 + )奇偶性：在定義域內(nèi)為奇函數(shù).(4)單調(diào)性：(8,+ 00正是增函數(shù)；(-，S' (O'上是減函數(shù)(5)漸近線：y軸與y=ax(或y=-ax)b3. y=ax+x(a>0, b>0)的單倜區(qū)間的分界點:求分

2、界點方法：令特殊的，a>0時，y=x+ a的單調(diào)區(qū)間的分界點：i/a.x2解題時要先找出對應的單調(diào)區(qū)間,4 .對勾函數(shù)應用時主要是利用對勾函數(shù)單調(diào)性求其最值, 然后求解.5 .利用對勾函數(shù)求最值，常常用到如下的重要不等式:若 a>0, b>0,則 x>0 時，ax+ b->s/ab.x當且僅當ax在應用這個不等式時，要注意使用的前提條件是正、二定、三相等"，即加號兩邊的項ax和b都是正項，且二者乘積為定值，同時ax=x中等號可取到.若等號取不到，則應根據(jù)對勾函數(shù)單調(diào)性求解.典型例題剖析5例1 已知f(x) = x+ 求f(x)在下列區(qū)間的取小值. x(1

3、)1,2;(2)3,4;(3) 3, - 1.【解析】如圖，f(x)在(一8,桐,(冊,+8)上是增函數(shù)，在(臟,0), (0, M)上是減函數(shù).(1)由對勾函數(shù)性質可知 f(x)在1,2上單調(diào)遞減，.1 f (x)min = f (2) = 42.(2)因為f(x)在3,4上單調(diào)遞增,所以 f(x)min = f(3) = 47.3(3)因為f(x)在3, J5 上單倜遞增，在(-g 1上單倜遞減，且f(3)=一4$, ") = 6,所以 f(x)min = 6.x2 + 5一變式訓練x的值.已知函數(shù)f(x)=求f(x)的最小值，并求此時x2 4【解析】f(x) =x2+5 x2+

4、4+1x2+ 4：'x2+4= x2 + 4 + / 1,x2+41令 t = x244,則 t>Z y=t+；.1 ,y=t+;在2, +8坤倜遞增, 一1 5當 t=2 時，ymin = 2 + 2-= 2,此時，由2 + 4 = 2, x= 0.5 綜上，f(x)的取小值為2,此時x的值為0.一 ，一x2 2x 1例2求函數(shù)f(x)=xq(0奚瑚值域.【解析】令t=x+2,則x=t 2, 2岸5(t 2)2 2(t 2)1V= tt26t+7t7 = t + -6,2 «5.y=t+； 6在2,巾上單調(diào)遞減，在巾,5上單調(diào)遞增,當 t=g7 時，ymin = 2&

5、quot;7一6 ,71且當 t=2 時，y=2 + 2-6=- 2,當t = 5 時,y=5 +6=£) ymax= 7 .5552 綜上，f(x)的值域為2/6,-.5x24x+ 12-變式訓練求函數(shù)f(x)=1, xC 2, 5的值域.【解析】f(x) =x24x+12x 12,(x- 1)22(x 1)+99x1= x T + 占，一9令 t = x1,則 f(t) = t+： 2, t1,4,9結合y=t + 9的圖象與性質，可知當tC1,3時，函數(shù)單調(diào)遞減，當 tC3,4時，函數(shù)單調(diào)遞增,17又 f=8' f(3) = 4' f(4)=I'所以 f

6、(x)C 4,8.例3某工廠去年的某產(chǎn)品的年產(chǎn)量為100萬只，每只產(chǎn)品的銷售價為10元，固定成本為8元.今年，工廠第一次投入100萬元(科技成本)， 并計劃以后每年比上一年多投入100萬k元(科技成本)，預計產(chǎn)量年遞增10萬只，第n次投入后，每只產(chǎn)品的固定成本為g(n)=-=n+ 1(k>0, k為常數(shù)，nCZ且n>0)若產(chǎn)品銷售價保持不變，第n次投入后的年利潤為f(n)萬元.求k的值，并求出f(n)的表達式；(2)問從今年算起第幾年利潤最高最高利潤為多少萬元k【解析】(1)由g(n) = _i=,當n=0時，由題意， ,n+ 1可得k= 8,所以 f(n)= (100 + 10n

7、)(108_Vn+ 1)-100n(n Z 且 n>0)(2)由 f(n) = (100 + 10n)(10 - .) - 100nn+ 1=1 000 80(山+ 1 + J y 工 1 000- 80 X 乖=520,9當且僅當后7 =1=,即n= 8時取等號, Un+ 1所以第8年工廠的利潤最高，最高為520萬元.變式訓練建筑一個容積為800米3,深8米的長方體水池(無蓋).池壁，池底造價分別為a元/米2和2a元/米2.底面一邊長為x米，總造價為y.寫出y與x的函數(shù)式，問底面邊長 x為何值時總造價y最低，是多少【解析】長方體底面積 S=800=100米2,地面一邊長為 x米,因此另

8、一邊長為詈米,池壁總面積為8(2x+200)2, x，總造價 y=100x右+ (2x+200)8a x '= 200a+ 16a(x+100)(x>0) x '函數(shù)y=200a+16a(x+100)(0,10上是減函數(shù)，在(10, + 8)上是增函數(shù), x當x= 10時，總造價最低，且 ymin = 520a(元).跟蹤訓練卜列函數(shù)中最小值是4的是()A.B.,4 y = x+ x x,2 y= x+ x xC. y=21+x+21 x c 1D. y= x2+ x2+ i + 3, (x0)2,函數(shù)y=x+ 4-, xC (1,3的值域為()xA. 13-， 5)B.

9、 4,5)3C. * 4)D. (4,5)343,函數(shù) y=-x + 1x + 3, xC1, 0)的值域為 .o 34. y= 2x + i + x2的取小值是 , 一4s5.已知x>0,則2+x+-的取小值是 . x6,函數(shù)y=x+ 3在區(qū)間1,2上的最小值為 . x7 .若函數(shù)y=x + a(a>0)在區(qū)間(仙，+8)上單調(diào)遞增，則 aC.x8 .建造一個容積為8m3,深為2 m的無蓋水池，如果池底與池壁的造價每平方米分別是120元和80元，則水池的最低造價為 元.9 .某房地產(chǎn)開發(fā)公司計劃在一樓區(qū)內(nèi)建造一個長方形公園ABCD,公園由長方形休閑區(qū)A1B1C1D1和環(huán)公園人行道

10、(陰影部分)組成.已知休閑區(qū) A1B1C1D1的面積為4 000 m2,人行道 的寬分別為4 m和10 m(如圖所示).AiBi若設休閑區(qū)的長和寬的比 BC = x,求公園ABCD所占面積S關于x的函數(shù)解析式；(2)要使公園所占面積最小，休閑區(qū)A1B1C1D1的長和寬應如何設計10 .如圖，某單位準備修建一個面積為600平方米的矩形場地（圖中ABCD）的圍墻，且要求中間用圍墻EF隔開，使得 ABEF為矩形，EFDC為正方形，設 AB= x米，已知圍墻（包才EF） 的修建費用均為800元每米，設圍墻（包才EF）的修建總費用為y元.（1）求出y關于x的函數(shù)解析式；（2）當x為何值時，設圍墻（包括E

11、F）的的修建總費用y最小并求出y的最小值.八 F一x + 2x+ 3-11 .已知函數(shù) f(x)= (xC2, +8)x求f(x)的最小值;(2)若f(x)>a恒成立，求a的取值范圍.a12 .已知函數(shù) f(x)=x+x, xC 1 , +8), a>0.1 . 當a=2時，求函數(shù)f(x)的取小值；(2)若函數(shù)f(x)的最小值為4,求實數(shù)a.20年的隔13.為了降低能源損耗，某體育館的外墻需要建造隔熱層.體育館要建造可使用熱層，每厘米厚的隔熱層建造成本為6萬元.該建筑物每年的能源消耗費用C(單位：萬元)k與隔熱層厚度x (單位：cm)滿足關系：C(x)=-(0 x：< 10

12、k為常數(shù))，若不建隔熱層，每 3X I 5年能源消耗費用為 8萬元.設f(x)為隔熱層建造費用與 20年的能源消耗費用之和.求k的值及f(x)的表達式；(2)隔熱層修建多厚時，總費用f(x)達到最小并求出最小值.參考答案1 . C A選項，由于x可取負值，顯然最小值不是4,排除A;B選項，由于x可取負值，顯然最小值也不是4,排除B;一，V 21C選項，由于 y=2 2x+K= 2(2x + 2x),1換兀，令 t = 2x, t>0,貝U y= 2(t + -) >4當且僅當t=1即x=0時，函數(shù)有最小值 4,c 1c1D選項，由于 y=x2+三百 + 3=x2+1+ 聲 + 2,

13、換兀，令 t=x2+1, t>1,一 1則丫蟲+ ,+ 2,函數(shù)在(1, +8正單調(diào)遞增，因此 y>4,排除D選項.綜上，答案為C.42. B 由對勾函數(shù)性質可知，當 x=x，即x= 2時，表達式有最小值 4,又函數(shù)在(1,2)上單調(diào)遞減，在(2,3上單調(diào)遞增，f(1)=5, f(3) = 3+4=13,所以值域為4,5),答案為B. 333. 6,7)4_.4 一解析 y= x+1-x + 3= 1 -x+1x +2,換元，令 t= 1-x,則 xC 1, 0)時 tC(1,2,4y = t + - + 2,函數(shù)在(1,2上單倜遞減，4右 t = 1,貝U y=1+1+2=7,4

14、右 t = 2,貝U 丫=2+2+2=6,故函數(shù)值域為6,7).4. 2加-2解析 換元，令t = 1 + x2,則t R1 x2= t 1,33y=2(t-1)+- = 2t+-2,函數(shù)在1,、t上單調(diào)遞減，在pjl，+0°)上單調(diào)遞增，所以當t=/3時，函數(shù)有最小值 2m2.5. 6解析 由對勾函數(shù)性質可知，當 x= 4,即x=2時，表達式有最小值 6. x6. 2小解析 因為y=x+3在區(qū)間1,季上單調(diào)遞減，在#,2上單調(diào)遞增，所以當x=J3時x函數(shù)有最小值2 3.7. （0,58. 1 760844解析 池底面積為2= 4 cm2,設池底范為 x cm,則長為;x cm,則水

15、池的造價為 4X 120 2（xX21 2801 280+ xX2) X80480 + 320x>48* 2a x 32x= 1 760x， x9. 解析（1）設休閑區(qū)的寬為a米，則其長為ax米.由 a2x= 4 000,得 a=20Y10, ,x貝U S= (a+ 8)(ax+ 20)= a2x+ (8x + 20)a+ 160 =4 000 + (8x + 20)2口乎 + 160 =80匹化5+ 亍)+4 160,5即 S= 80小0(2市+于)+ 4 160.(2)S= 80 詬(2 或+x) + 4 160 > 1航 航+4 160=5 760,當且僅當2yx,即x =時

16、取等號，此時 a = 40, ax= 100.所以要使公園所占面積最小，休閑區(qū)A1B1C1D1應設計為長100米，寬40米.10. 解析（1）設AD= t米，則由題意得 xt=600,且t>x,故 t = gx,可得 0Vx<1046, X貝U y=800(3x+2t)=800(3x+ 2>600)X，=2 400(x+400), X所以y關于x的函數(shù)解析式為y= 2 400(x+ 400)(0<x<10'76). x '(2)y= 2400(x+ 400) > 2 400 飛k 400= 96 000,當且僅當x= 400,即x= 20時等

17、號成立. X故當x為20米時，y最小.y的最小值為96 000元.11. .解析(1)任取 Xi , X2 2 , + 8),且 X1<X2, f(x)= x+ +2. X3則 f(x1) - f(X2) = (X1 - X2) (1-2),XI X2 Xl<X2, 1- Xi X2<0,又 Xi>2, X2>2,3_ . iX2>4，1X1X2>0， f(xi) f(X2)<0 ,即 f(Xi)<f(X2).故f(X)在2, + 8正是增函數(shù),當x=2時，f(X)有最小值,11f(2) = y.(2)，f(X)>a恒成立，只需f(X

18、)min>a.1111又.f(x)min= y, 一 a<y.11 一.、12.解析 (1) a=2時，f(x)=x+Q, xC 1 , + 8).令 x=2x(x>0),得*=*?1, +°0),.不能用不等式求最值.設 11<x2,則 f(x1) f(x2),、,11、= (x-x2)+(癡一說)/1= (X1 刈(1一 裝/0,二.函數(shù)f(x)在1 , + °°)上是單調(diào)遞增函數(shù)，31 fmin(x)= f(1) = 2.(2)當 0<a<1 時，令 x= 2,彳導 x=a<1,2 Va?1, + 8),，類似于(1)可知函數(shù)f(x)