2019高考數(shù)學(xué)考點突破——直線與圓：兩條直線的位置關(guān)系學(xué)案

1、兩條直線的位置關(guān)系 【考點梳理】 1. 兩條直線平行與垂直的判定 (1) 兩條直線平行 對于兩條不重合的直線 I 1, 12,若其斜率分別為 ki, k2,則有I i/ 12? ki= k2. 當(dāng)直線I 1, I 2不重合且斜率都不存在時，I 1 / I 2. (2) 兩條直線垂直 如果兩條直線11, 12的斜率存在，設(shè)為 k1, k2，則有丨1丄12? k1 k2 =- 1. 當(dāng)其中一條直線的斜率不存在，而另一條直線的斜率為 0 時，|1丄I2. 2. 兩條直線的交點的求法 直線 11: A1X+ By+ C = 0, 12： A?x+ By + C2= 0( A1, B, C, A2, B

2、2, C2為常數(shù))，貝V 11 與 12 Aix + By+ C = 0, Ax + E2y+ C2= 0 3.距離 R(X1, y1), F2(X2, y2)兩點之間的距離|說| d= f 2 2 X2 X1 + y2 y1 點F0(xo, yo)到直線1 : Ax+ By+ C= 0 的距離 | Ax+ By)+ q d VA+B2 平行線 Ax+ By+ C = 0 與 Ax+ By+ C = 0 間 的距離 .|C-C2| d 你 + B2 【考點突破】 考點一、兩條直線的平行與垂直 2 【例 1】已知直線 I 1： ax+2y+ 6= 0 和直線 12: x + (a- 1)y +

3、a - 1 = 0. 當(dāng)I/丨2時，求a的值； 當(dāng)丨1丄丨2時，求a的值. 解析(1) 法一一 當(dāng) a= 1 時，I1： x + 2y+ 6 = 0, 12： x= 0, I 1 不平行于 12； 當(dāng) a= 0 時，I1 ： y=- 3, 12： x y 1 = 0, I 1 不平行于 12； a 1 當(dāng)al且a0時，兩直線方程可化為 11： y= ；x- 3, 12： y = x- (a+ 1), 2 1 a a= 的交點坐標(biāo)就是方程組 的由 I1 /12可得 2= 1-a, 解得 a=- 1. -3 工一(a+ 1),3 綜上可知，a= 1. A1B2 AB = 0, AQ AAC 豐 0

4、, a (a 1) 1 x 2 =0, a (a2 1) 1 x 6 工0 (2)法一 當(dāng) a= 1 時，I 1： x + 2y+ 6= 0, 12： x= 0, I 1 與 12不垂直，故 a= 1 不符合； r , a 1 當(dāng) al 時，11: y= 3, 12: y= x (a+ 1), 2 1 a 丄 m f a) 1 2 由l1 丄l2，得2 1a =1? a=3. 法二 T 11丄丨2,. AA+ BB2= 0, 2 即 a+ 2( a 1) = 0,得 a= 3. 【類題通法】 1.判定直線間的位置關(guān)系， 要注意直線方程中字母參數(shù)取值的影響， 不僅要考慮到斜率存 在的一般情況，還

5、要考慮到斜率不存在的特殊情況， 同時還要注意x, y的系數(shù)不能同時為零這 一隱含條件. 2 在判斷兩直線平行、垂直時，也可直接利用直線方程的系數(shù)間的關(guān)系得出結(jié)論，可避免 A B C 討論另外當(dāng) ABC2M0時，比例式汗與-，的關(guān)系容易記住，在解答選擇、填空題時，有時 A & a 比較方便. 【對點訓(xùn)練】 1.直線11： mx y 2 = 0 與直線丨2： (2 m)x y+ 1 = 0 互相平行，則實數(shù)m的值為( ) A. 1 B. 0 C. 1 D. 2 答案C 解析直線I 1: mx y 2 = 0 與直線 12： (2 m)x y + 1 = 0 互相平行，二 m+ 2 m =

6、0, 門訂 二門 解得m= 1.故選 C. m+ A L m -r- U, 2 .已知直線 11: ax+ 2y + 6= 0, 12： x + (a 1) y + a 1 = 0,若 11 丄 12，貝V a= _ . 由11 / I2知 a2 a 2= 0, 2 a (a 1)工6 a= 1. 4 2 答案35 2 解析 因為直線 11: ax+ 2y + 6= 0 與 12： x+ (a 1)y+ a -1 = 0 垂直，所以 a 1 + 2 ( a ” e 2 1) = 0,解得 a= 3. 考點二、兩直線的交點與距離問題 1 【例 2】(1)已知直線y= kx + 2k +1 與直線

7、y= 一 x + 2的交點位于第一象限，則實數(shù) k的 2 取值范圍是 _ . (2)直線I過點P( 1, 2)且到點A(2 , 3)和點B( 4, 5)的距離相等，則直線I的方程為 答案 1 1 6，2 (2) x + 3y 5 = 0 或 x = 1 2 4k 解析(1)法 y = kx + 2k+ 1, 聯(lián)立方程! 1 _解得 y=2k+1 1 y = ?x+ 2, 6k+ 1 (若 2k+ 1 = 0，即 k= 1 2， 則兩直線平6 交點坐標(biāo)為 2k， 2.又交點位于第一象限, ，-2 2k + 10， 解得 6k + 1 2k + 10, 1 1 6v k v 2. 法二如圖，已知直

8、線 y= 2x + 2而直線方程y = kx + 2k + 1 可變形為y 1 = k(x + 2)，表示這是一條過定點 F( 2, 1)，斜 率為k的動直線. 兩直線的交點在第一象兩直線的交點必在線段 AB上(不包括端點), 動直線的斜率 k需滿足kpAV kv kpB. 1 1 kpA= 6, kpB= 2 1 1 一 k v -. 6 2 7 即 |3 k 1| = | 3k 3| , k = 1, 1 直線 I 的方程為 y 2= -（x+1），即 x+ 3y 5 = 0. 3 當(dāng)直線I的斜率不存在時，直線 I的方程為x = 1,也符合題意. 1 法二當(dāng)AB/ I時，有k= kAB=

9、3,直線I的方程為 3 1 y 2 = 3（x + 1），即 x+ 3y 5= 0. 當(dāng)I過AB中點時，AB的中點為（一 1, 4）, 直線I的方程為x= 1. 故所求直線I的方程為x+ 3y 5 = 0 或x = 1. 【類題通法】 1 .求過兩直線交點的直線方程， 先解方程組求出兩直線的交點坐標(biāo)， 再結(jié)合其他條件寫出 直線方程；也可利用過交點的直線系方程，再求參數(shù). 2 .利用距離公式應(yīng)注意：點 P（xo, yo）到直線x= a的距離d=|xo a|，到直線y = b的 距離d= | yo b| :兩平行線間的距離公式要把兩直線方程中 x, y的系數(shù)化為相等. 【對點訓(xùn)練】 1 1.當(dāng) 0

10、k2 時，直線I 1： kx y= k 1 與直線丨2： ky x = 2k的交點在（ ） A.第一象限 C.第三象限 答案B kx y = k 1, ky x = 2k由題意知 當(dāng)直線l的斜率存在時, |2 k 3+ k+ 2| = 電k + 1 設(shè)直線l的方程為y 2= k(x +1),即kx y+ k+ 2= 0. | 4k 5+ k + 2| /k2+1 B.第二象限 D.第四象限 解析 k k1， 2k 1 k 1 . 8 又 0k1 , x= 70, y = 0, 故直線丨1： kx y = k 1 與直線12： ky x= 2k的交點在第二象限. 設(shè)m與l的交點為N,則由 得N(

11、4 , 3). px 2y 6 = 0, 又 m經(jīng)過點 N(4 , 3), 由兩點式得直線方程為 9x 46y+ 102 = 0. (3) 法一 在I : 2x 3y + 1 = 0 上任取兩點， 如 M1 , 1) , N(4 , 3),2.已知點 A 3, 4) , B(6, 3)到直線 I : ax+ y+ 1 = 0 的距離相等，貝U實數(shù) a的值為 1 7 答案3 或一 9 解析由題意及點到直線的距離公式得 | 3a 4 + 1| = Qa2+ 1 |6 a + 3 + 1| .a2+ 1 考點三、對稱冋題 【例 3】已知直線l : 2x 3y+ 1 = 0，點A 1, 2).求: (

12、1)點A關(guān)于直線l的對稱點 A的坐標(biāo); (2) 直線m 3x 2y 6 = 0 關(guān)于直線I的對稱直線 m的方程； (3) 直線l關(guān)于點A 1, 2)對稱的直線l 的方程. 嚴(yán) 2= 1 x + 1 3 ， 解析(1)設(shè) A(x, y)，再由已知 x一 1 y 一 2 2X3X 號 + 1 = 0, 33 x= 13， 了 33 4、 解得4 A C 否 y=相, (2)在直線m上取一點，如 M2 , 0)，貝U M2 , 0)關(guān)于直線I的對稱點必在 m上. 設(shè)對稱點為M (a, b)，貝 U b 0 2 匸 x 3 一1 =0, 解得M 解得 5 2 9 則M N關(guān)于點A的對稱點M , N均在

13、直線l 上. 易知M ( 3, 5) , N ( 6, 7)，由兩點式可得I 的方程為 2x 3y 9= 0. 法二 設(shè)Rx, y)為I 上任意一點， 則F(x, y)關(guān)于點A 1, 2)的對稱點為P ( 2-x, - 4 y), P在直線 I 上，2( 2 x) 3( 4 y) + 1 = 0, 即 2x 3y 9 = 0. 【類題通法】 1 解決點關(guān)于直線對稱問題要把握兩點，點 M與點N關(guān)于直線I對稱，則線段 MN的中點 在直線I上，直線I與直線MN垂直. 2 如果直線或點關(guān)于點成中心對稱問題，則只需運用中點公式就可解決問題 3若直線Ii，丨2關(guān)于直線I對稱，則有如下性質(zhì)：(1)若直線Ii

14、與丨2相交，則交點在直線 I上；(2)若點B在直線I 1上，則其關(guān)于直線I的對稱點B在直線I2上. 【對點訓(xùn)練】 1.點(2， 1)關(guān)于直線x y + 1 = 0 的對稱點為 _ . 答案(0 ，3) 解得 F= ，故所求對稱點為(0 , 3). 0= 3, 2 .直線x 2y+ 1 = 0 關(guān)于直線x+ y 2= 0 對稱的直線方程是( ) A. x + 2y 1 = 0 B. 2x y 1 = 0 C. 2x+ y 3 = 0 D. x + 2y 3 = 0 答案B 解析由題意得直線x 2y + 1 = 0 與直線x + y 2= 0 的交點坐標(biāo)為(1 , 1). 在直線x 2y + 1 = 0 上取點A( 1, 0), 設(shè)A點關(guān)于直線x+ y 2= 0 的對稱點為B(m n), X 1 =1 解析 設(shè)對稱點為(xo，yo)，則 c yo 1 x；2 = 1, x+ 2 y+ 1 2 2 + 1= 0, n 0 1 凹 m= 2, 解得* n= 3. 10 n + 2 2= 0, 故所求直線的方程為 匕=片，即