計(jì)算機(jī)數(shù)值方法試題

1、數(shù)值計(jì)算方法試題填空（共20分，每題2 分）1、設(shè)=2319541 .，取5位有效數(shù)字，則所得的近似值x=2、設(shè)一階差商勺一可21E，巧）則二階差商畑=3、數(shù)值微分中，已知等距節(jié)點(diǎn)的函數(shù)值4、求方程則由三點(diǎn)的求導(dǎo)公式，有x2 -1 25= 0的近似根，用迭代公式托=笳，取初始值 %那么 J1y5、解初始值問(wèn)題1畑）=7o近似解的梯形公式是九L和甘-F p&1丿，則A的譜半徑b扣二，A的=7、設(shè) 他）=腫+"嚴(yán)尿上=0,12，貝丸,兀小蓋禍= 和8、若線性代數(shù)方程組AX=b的系數(shù)矩陣A為嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)陣，則雅可比迭代和 高斯-塞德?tīng)柕?、解常微分方程初值問(wèn)題的歐拉（Euler

2、 ）方法的局部截?cái)嗾`差為 盤(pán)三01&10、 設(shè) b a U，當(dāng)宀時(shí)，必有分解式,A = UJ，其中L為下三角陣，當(dāng)其對(duì)角線元素 50 = 12$足條件時(shí)，這種分解是唯一的。、計(jì)算題（共60分，每題15分）i 19馳）二/，心=-（1）試求在上的三次Hermite插值多項(xiàng)式H （x）使?jié)M足H（r）=©）= CU2 蟲(chóng)（呵）*依）H（x）以升幕形式給出。（2）寫(xiě)出余項(xiàng)匚一 -三:-的表達(dá)式2、已知卞二胃（無(wú)）的創(chuàng)刀滿足河（兀）-3| c 1，試問(wèn)如何利用 ©（刀 構(gòu)造一個(gè)收斂的簡(jiǎn)單迭代函數(shù)：，使'： 0，1收斂？3、試確定常數(shù)A，B，C和廠，使得數(shù)值積分公式畑心

3、閔 4/（p）+4/（0） +0/有盡可能高的代數(shù)精度。試問(wèn)所得的數(shù)值積分公式代數(shù)精度是多少？它是否為 Gauss型的？y -伽刃4、推導(dǎo)常微分方程的初值問(wèn)題可）二幾 的數(shù)值解公式:兒+1 P +虧(幾+1十4兒+丁科_)三、證明題1、設(shè) / -.-I.' .-I'(1) 寫(xiě)出解.的Newton迭代格式(2) 證明此迭代格式是線性收斂的2、設(shè)R=I - CA如果| |.，證明：(1) A、C都是非奇異的矩陣(2)()Pirn市參考答案：一、填空題1、2.31502、舟-列十凡)2h4、1.5幾 44 /(ik+1)&q(A_)二屈少加(&i工6;7、'-

4、8、收斂9、O (h)10、'-“、計(jì)算題W = -1、1、(1)+竺2254502331+A4冗 251 9 丄 11 Q叭蔦淨(jìng)七-邸心-詁M（級(jí)（冷2、由，' .，可得 -1 i -1/ 二一廠 ''I - ：! = iV 丁 因； '二J ；-故故. |-卜 I；- ,k=O,1,收斂。求積公式具有5次代數(shù)精確度，它是Gauss型的分，得丁八，記步長(zhǎng)為h,對(duì)積分用Simpson求積公式得J 了0丿（對(duì)）必兩盲/（兀G十4_/00十）（兀+1小石3；_十4必十幾J略-1J所以得數(shù)值解公式：:. -.+ ;： -:;.-.':.三、證明題1、證

5、明：（1）因_：'-：，故廠,，由Newton迭代公式:得n=0,1,（2）因迭代函數(shù)-:，而f ：二 、_ ,& &工63又廣 .-：,貝卩：廠：'/ | -I - -' - 1 -63632故此迭代格式是線性收斂的。2、證明：（1）因?qū)?，所以I - R非奇異，因I - R=CA所以C, A都是非奇異矩陣（2） - L ' 故則有(2.1 )因 CA=I- R,所以 C= (I - R) A1，即 £= (I - R -C 又 rA =A - c,故（這里用到了教材98頁(yè)引理的結(jié)論）(2.2)結(jié)合（2.1 ）、（2.2）兩式，得網(wǎng)艸

6、呵嚴(yán)岡wnnr_Mi模擬試題填空題（每空2分，共20分）1、解非線性方程f（x）=O的牛頓迭代法具有收斂2、迭代過(guò)程仏嚴(yán)礙（心）（k=1,2,）收斂的充要條件是3、已知數(shù)e=2.718281828，取近似值x=2.7182,那麼x具有的有效數(shù)字是山J n的迭代格式中求5、通過(guò)四個(gè)互異節(jié)點(diǎn)的插值多項(xiàng)式p(x),只要滿足,則p(x)是不超過(guò)二次的多項(xiàng)式6、對(duì)于n+1個(gè)節(jié)點(diǎn)的插值求積公式出:刈乞4子(心)至少具有次代數(shù)精度aJt-C7、插值型求積公式J二I止:-二的求積系數(shù)之和*t-C,為使A可分解為A=LC,其中L為對(duì)角線元素為正的下三角形， a的取值范圍9、-3則矩陣A的譜半徑4 (A)=10、

7、解常微分方程初值問(wèn)題：的梯形格式片土兒+ £ /必)+產(chǎn)(叫+1血:是階方法二、計(jì)算題(每小題15分，共60 分)1、 用列主元消去法解線性方程組2術(shù)_眄弓碼=1彳4陽(yáng)十2陀十事42x2 = 7x023f ( x )132求二次插值多項(xiàng)式P左(H) 及f (2.5)3、用牛頓法導(dǎo)岀計(jì)算的公式，并計(jì)算，要求迭代誤差不超過(guò)-4、歐拉預(yù)報(bào)-校正公式求解初值問(wèn)題取步長(zhǎng)k=0.1,計(jì)算y(0.1),y(0.2) 的近似值，小數(shù)點(diǎn)后保留5位.三、證明題 (20分每題10分)f y(x)必 *+(1、明定積分近似計(jì)算的拋物線公式*具有三次代數(shù)精度/(所得結(jié)果比準(zhǔn)確值大，并說(shuō)明這個(gè)結(jié)論2、若 廠0,

8、 證明用梯形公式計(jì)算積分的幾何意義。參考答案:5、三階均差為07、b-a9、 110二階方法二、計(jì)算題1、2、/(2.5) -|k(2,92 +|x2.5-bl = 2.66673、-# 1.25992（精確到,即保留小數(shù)點(diǎn)后5位）4、y(0.2) #0.01903三、證明題1、證明：當(dāng)/W=1時(shí),公式左邊:-1+4 十 1 -ba公式右邊:左邊=右邊=X 時(shí)左邊:右邊:r 丄直4 b丄壯1b2 - a& + 中+4=左邊=右邊左邊:1、局部平方收斂2、 13右邊:一左邊=右邊當(dāng)餉"時(shí)左邊:W宀右邊:b aT ?” 丿m + 玉丄門(mén)、 i?* -a*-fl7 十護(hù)二一-b?4

9、左邊=右邊護(hù)-/當(dāng)/W = F 時(shí)左邊：5右邊：+ 4-(a+6)* -bh4=b a (知°+4?色我/色2F * 期+ 臚-a5b265故-"具有三次代數(shù)精度2、證明：略數(shù)值計(jì)算方法試題一、填空題（每空1分，共17分）1、如果用二分法求方程x3 x 4 0在區(qū)間【1,2內(nèi)的根精確到三位小數(shù)，需對(duì)分（）次。22、 迭代格式xki xk（Xk 2）局部收斂的充分條件是 取值在 （ ）。S(x)3、已知?jiǎng)ta=(4、lo(x),h(x), 數(shù)，則nlk(x)k 0n(X： x2k 0),lx1 32(x 1)3 a(x 1)2 b(x 1) c 12b=（ ），（x）是以整數(shù)點(diǎn)

10、X0,x1,3)L(x)c=（,Xn為節(jié)點(diǎn)的3是三次樣條函數(shù),）。Lagra nge插值基函nXkl j(Xk)k 0(6x7 2x4 3x2）。1和節(jié)點(diǎn)Xkk/2,k0,1,2,5、設(shè) f（x）7上和6、5個(gè)節(jié)點(diǎn)的牛頓-柯特斯求積公式的代數(shù)精度為 點(diǎn)的求積公式最高代數(shù)精度為7、,則 fX°,X1, ,Xn,5個(gè)節(jié)k（x） k 0是區(qū)間0,1上權(quán)函數(shù)（X）X的最高項(xiàng)系數(shù)為1的正交多項(xiàng)10X 4（x）dx式族，其中0（x）1，則x1ax2ax1 x2bib2給定方程組2時(shí)，SOR迭代法收斂a為實(shí)數(shù)，當(dāng)a滿足，且解初值問(wèn)題yn hf （Xn, yn）1 2f（Xn,yn） f（x 階方法

11、。10 aA 01 a10、設(shè)a a 1，當(dāng) a （其中L為下三角陣，當(dāng)其對(duì)角線元素 條件時(shí)，這種分解是唯一的。二、二、選擇題（每題2分）1、解方程組Ax b的簡(jiǎn)單迭代格式 （ ）。（1）（A） 1,（2）® 1,0yn 1h1yny f （x, y）y（x。）y。的改進(jìn)歐拉法0 n 1? yn 1)是lii (i）時(shí)，必有分解式ALLt1,2,3）滿足（）Bx（k） g收斂的充要條件是(A) 1,(4)(B) 12、在牛頓-柯特斯求積公式:af（X）dX （b a）ioC'）f（Xi）中，當(dāng)系數(shù) C(n)是負(fù)值時(shí)，公式的穩(wěn)定性不能保證，所以實(shí)際應(yīng)用中，當(dāng)（ 時(shí)的牛頓-柯特斯

12、求積公式不使用。（1）n 8，（ 2）n 7，（ 3）n 10，（ 4）n 6，3、有下列數(shù)表X00.511.522.5f(x)-2-1.75-10.2524.25所確定的插值多項(xiàng)式的次數(shù)是（）（1）二次；（2）三次； （3）四次；（4）五次hh4、若用二階中點(diǎn)公式y(tǒng)n1 yn hf（Xn 2，yn ；f（Xn,yn）求解初值問(wèn)題y2y，y（0）1，試問(wèn)為保證該公式絕對(duì)穩(wěn)定，步長(zhǎng)h的取值范圍為（ ）。（1）0 h 2,（2）0 h 2,（3）0 h 2,0 h 22三、1、（8分）用最小二乘法求形如y a bx的經(jīng)驗(yàn)公式擬合以下數(shù) 據(jù)：Xi19253038yi19.032.349.073.31

13、2、（ 15分）用n 8的復(fù)化梯形公式（或復(fù)化Simpson公式）計(jì)算0e dx 時(shí)，（1）（1）試用余項(xiàng)估計(jì)其誤差。（2）用n 8的復(fù)化梯形公式（或復(fù)化 Simpson公式）計(jì)算出該積分 的近似值。四、1、（ 15分）方程x3 x 1 0在x 1.5附近有根，把方程寫(xiě)成三種（J x I 1不同的等價(jià)形式（1） x暫X 1對(duì)應(yīng)迭代格式Xn 1令Xn 1 ； （2）Xxn 1J1 丄33.對(duì)應(yīng)迭代格式禺；（3）X X31對(duì)應(yīng)迭代格式Xn1xn1。判斷迭代格式在X。1.5的收斂性，選一種收斂格式計(jì)算X 1.5附近的根， 精確到小數(shù)點(diǎn)后第三位。選一種迭代格式建立 Steffe nse n迭代法，并

14、進(jìn)行計(jì)算與前一種結(jié)果比較，說(shuō)明是否有加速效果。2、(8 分)4A 3已知方程組AX f，其中24f 3024(1)(2)(1)(2)列出Jacobi迭代法和Gauss-Seide迭代法的分量形式。 求出Jacobi迭代矩陣的譜半徑，寫(xiě)出 SOR迭代法。3 y 1dx五、1、(15分)取步長(zhǎng)h 0.1，求解初值問(wèn)題 y(0) 1用改進(jìn)的歐拉法求y(0.1)的值；用經(jīng)典的四階龍格 一庫(kù)塔法求y(0.1)的值。2、(8分)求一次數(shù)不高于4次的多項(xiàng)式P(x)使它滿足P(x0)f(x0),p(X1)f(X1),P(x0)f(x0),p(X1)f(X1),p(X2)f(X2)六、(下列2題任選一題，4分)

15、1、1、數(shù)值積分公式形如1°xf(x)dx S(x) Af (0) Bf (1) Cf (0) Df (1)(1)(1)試確定參數(shù)A,B,C,D使公式代數(shù)精度盡量高；(2)1設(shè)f(x) C40,1，推導(dǎo)余項(xiàng)公式R(x)0xf(x)dx S(x)，并估計(jì) 誤差。2、2、用二步法yn 1°yn1yn 1 h f(Xn,yn) (1) f (Xn 1 , yn 1 )y f (x,y)求解常微分方程的初值問(wèn)題y(x。)y0時(shí)，如何選擇參數(shù)°, 1,使方法階數(shù)盡可能高，并求局部截?cái)嗾`差主項(xiàng)，此時(shí)該方法是幾階的。數(shù)值計(jì)算方法試題n階非奇異陣，則必存在單位下三角陣 L和上三角

16、陣 LU唯一成立。()Newton cotes型求積公式會(huì)產(chǎn)生數(shù)值不穩(wěn)定性。)一、判斷題：(共16分，每小題2分)n使A8時(shí)，1、若A是U ,2、當(dāng)n(bf(x)dx anAi f (Xi)3、形如數(shù)精確度的次數(shù)為2n 1。i 1 的高斯(Gauss)型求積公式具有最高代 ( )210A1114、矩陣012 的2 范數(shù) A2 =9O ()2aa0A0a05、設(shè)00a,則對(duì)任意實(shí)數(shù)a 0 ,方程組Ax b都是病態(tài)的(用 )( )6、設(shè)a Rn n , Q Rn n，且有QtQ I (單位陣)，則有a2 qa2 ( )7、區(qū)間a,b上關(guān)于權(quán)函數(shù)W(x)的直交多項(xiàng)式是存在的，且唯 ( )&

17、對(duì)矩陣A作如下的Doolittle分解：2231 00223A4772 100b12451 a1006，則a,b的值分別為a 2, b 2()二、填空題：(共20分，每小題2 分)1、設(shè) f(x) 9x8 3x421x210，則均差f20,21, ,28f30,31, ,39。? f(xk)f'(xk)的收斂階至少2、 設(shè)函數(shù)f(x)于區(qū)間a,b上有足夠階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，P a,b為f(x)的xk 1一個(gè)m重零點(diǎn)，Newton迭代公式是 。3、區(qū)間a,b上的三次樣條插值函數(shù)S(x)在a,b上具有直到 的連續(xù)導(dǎo)數(shù)。72T A4、向量x(1, 2)，矩陣 3 1 ，則| AX , con d(A

18、)c15、為使兩點(diǎn)的數(shù)值求積公式:1f(x)dx f(x0)f(x1)具有最高的代數(shù)精確度，則其求積基點(diǎn)應(yīng)為 x1 , x2 。6、設(shè) A Rn n , AT A，貝y (A)(譜半徑)A 2。(此處填小于、大于、等于)2 ,則kim八（9分）A7、設(shè)三、簡(jiǎn)答題:1、1、方程x 4 2x在區(qū)間1,2內(nèi)有唯一根X*，若用迭代公式：xki ln（4 xQ/ln2（k 0,1,2,），則其產(chǎn)生的序列xk是否收斂于x ?說(shuō)明理由。2、 2、使用高斯消去法解線性代數(shù)方程組，一般為什么要用選主 元的技術(shù)？f（x）仃3、 3、設(shè)x 0.001，試選擇較好的算法計(jì)算函數(shù)值x2 <四、（10分）已知數(shù)值積

19、分公式為：hh2''0 f（x）dx尹（°）伽hf（0）f（h），試確定積分公式中的參數(shù)，使其代數(shù)精確度盡量高，并指出其代數(shù)精確度的次數(shù)。五、（8分）已知求a（a 0）的迭代公式為：xk 1(xk)2XkX。0k0,1,2證明：對(duì)一切k 1,2, xka，且序列xk是單調(diào)遞減的，從而迭代過(guò)程收斂。六、（9分）數(shù)值求積公式30f(x)dx訴f （2）是否為插值型求積公式？為什么？其代數(shù)精度是多少？七、（9分）設(shè)線性代數(shù)方程組AX b中系數(shù)矩陣A非奇異，X為精確解，b 0，若向量X是AX b的一個(gè)近似解，殘向量r b AX，證明估計(jì)式：XX|r|儀11諷制（假定所用矩陣范

20、數(shù)與向量范數(shù)相容）八、（10分）設(shè)函數(shù)f（x）在區(qū)間0,3上具有四階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，試求滿足 下列插值條件的一個(gè)次數(shù)不超過(guò) 3的插值多項(xiàng)式H（x），并導(dǎo)出其余項(xiàng)i012Xi012f (xi)-113f'(Xi )3九、（9分）設(shè)n（x）是區(qū)間a,b上關(guān)于權(quán)函數(shù)w（x）的直交多項(xiàng)式序 列，Xj（i 1,2, , n,n 1）為 ni（x）的零點(diǎn)，li(x)(i函數(shù),1,2, ,n,n 1)是以xi為基點(diǎn)的拉格朗日(Lagrange)插值基bn 1a f (x)w(x)dxAkf (xQak 1為高斯型求積公式，證明:(1)(1) 當(dāng) 0 k,jn,k j 時(shí)，A k(xj j(x0lk(x)l

21、j (x)w(x)dxn 1 b 2lk (x)w()bx)dxw(x)dx(3) k1 aa十、（選做題8分）若 f(x)n 1(x) (xX0)(X X1) (x Xn)xi (i0,1,n)互異，求 fX0,X1, ,Xp的值，(2)0 (k j)ba1、( 10(1 )其中P n 1。數(shù)值計(jì)算方法答案 、填空題（每空1分，共17分）、2 C、2,0）（0,1"）3、a=（ 32、（），b=（ 3），4、（ 1 ）、9Xj）、（x4x23)5、6、7! 6279454236.256、7、0lii 08、19、10、-2 2(2）、）、選擇題（每題2分）（）2、（ 1）三、1、（

22、8分）解：1 1252 312At ACK、1、3、( 1)spa n1,x24、（ 3）AT 1；解方程組1382ATy339119.032.349.073.3其中ATA 3爲(wèi) 3529603ATy173.6179980.7C解得：0.92555770.05010252、(15 分)T(8)-f(a)21解：72 f(Xk)k 1所以 a 0.9255577，”)f(b)0.05010251 2 16(0.88249690.77880080.53526140.472366550.6329434四、1、（15 分）解：（1）(2)（3） 選擇(X)(x)X0(1.5)3 1.52(1):X51

23、.5， x11.32476Steffe nsen 迭代:XkXk計(jì)算結(jié)果：Xo1.5X12、（8分）解:1 112 820.606530660.41686207)1(x)#x 1)0.171.3572x61.32472Xke010.0013027680.36787947（j5）°18 1，故收斂;J故收斂;1，故發(fā)散。x21.3309，x3 1.3259， x41.32492(Xk)Xk)(Xk)2 (Xk)Xk(3 Xk 1 Xk)2k 11.324899x2Jacobi迭代法:(k 1)X；X3(k 1)123 Xk 1 11.324718有加速效果。(kX1(k 1)X2丄 4

24、30Gauss-Seidel 迭代法:11(24 3x2k)4-(30 3x1(k)-(k)41)丄(244k 0,123,X3 )x2k)k(2X30,1,2,3,034 0BJD1(L U) 34034100340(bj)、；(或計(jì))°.79O569x；k 1) (1)x1k) (24 3x2k)4x2k1) (1)x2k) (30 3x1k1) x3k)4X3(1)X3( 24 x2 )4SOR迭代法：k叩，2,3，五、1、(15分)解：改進(jìn)的歐拉法：y n 1 yn hf(Xn,yn)09yn 0.1h0yn 1 yn 柑區(qū)皿)彳區(qū)小補(bǔ)叫)0905丫. 0.0952所以y(0

25、1) Y1 1 ；經(jīng)典的四階龍格一庫(kù)塔法：hYn 1Yn - k1 2k2 2k3 k46k1 f(Xnn)k2f (Xnhh,ynk1 )22kaf(Xnhh2，yn 尹2)k4f(Xnh, ynhks)k1k? kgk4 0，所以 y(01)Y11H3(Xi)f (Xi)2、（ 8 分）解：設(shè)H3（X）為滿足條件出以）f (xj i 0,1 的 Hermite插值多項(xiàng)式，2 2則 p（x） H3（x） k（x X。）（x X1）代入條件 P（X2） f（X2）得:f(X2) H3(X2)2 2(X2 X0) (X2 X1)六、（下列2題任選一題，4分）231、解：將f（x）1,x,x ,x

26、分布代入公式得:3,B207,B2030120Ha(Xi)f(xj構(gòu)造Hermite插值多項(xiàng)式H3（x）滿足 出以）f。）i 0,1其中X00, X111則有：0xH3(x)dx S(x)f(x) H3(x)嚴(yán)(X 1)21 1R(X) 0Xf(x) S(x)dx 0f(4)( ) 1 T ()132x (x 1) dx4!宀）4!04! 602(X 1) dXf()14402、解:h2Rn,hy(Xn 1) yn 1 丫以)hy (Xn)可h20y(Xn)1(y(Xn) hy (Xn) 萬(wàn) y()h3 y (Xn)耳 丫 X)h33f y(Xn)(Xn)hy(xn)(1)(y (Xn) hy

27、 (Xn )h2y(Xn)(1 0h2(21)y(Xn)h(111所以2)y (Xn)1)y (Xn)%:j (Xn) °(h4)1丄25 .31032(Xn)該方法是二階的。數(shù)值計(jì)算方法試題、（24分）填空題(1)（1）（2分）改變函數(shù)f（x）Jx 1 Vx（x 1）的形式，使計(jì)算結(jié)果較精確（2）（2分）若用二分法求方程f X0在區(qū)間1,2內(nèi)的根，要求精確到第3位小數(shù),則需要對(duì)分次。f X(2分)設(shè)2 2X-!X2X1 X2，則 f' X(4)c2x3,0 x 1S x32(3 分)設(shè)x ax bx G1 x 2是3次樣條函數(shù),則(5)a=,b=, c=。(6)(5)(3分

28、)若用復(fù)化梯形公式計(jì)算10，要求誤差不超過(guò)10 6，利用余項(xiàng)公式估計(jì)，至少用個(gè)求積節(jié)點(diǎn)。x11.6x21(6)(6分)寫(xiě)出求解方程組代公式0.4x1 x2 2 的 Gauss-Seidel迭(8)，迭代矩陣為，(9)此迭代法是否收斂A 5 4(10) (7)(4 分)設(shè) 4 3 ,貝卩 A ,Cond Ao(11) (8)(2分)若用Euler法求解初值問(wèn)題y'10y，y。1，為保證算法的絕對(duì)穩(wěn)定，則步長(zhǎng) h的取值范圍為二. (64 分)(1) (1)(6 分)寫(xiě)出求方程4x cosx 1在區(qū)間0,1的根的收斂的迭代公式，并證明其收斂性。(2)(12 分)以100,121,144為插值

29、節(jié)點(diǎn)，用插值法計(jì)算115的近似值，并利用余項(xiàng)估計(jì)誤差。(3) (10分)求f x ex在區(qū)間0,1上的1次最佳平方逼近多項(xiàng)X14x22x3243洛X(qián)25x3342X16x2X327(5)(10分)用復(fù)化Simpson公式計(jì)算積分"1 sin xrdx的近似值,要求誤差限為0.5 10 5。(6)(5)(10分)用 Gauss列主元消去法解方程組:(8)(6)(9)X1X2(8分)求方程組(8分)已知常微分方程的初值問(wèn)題:521的最小二乘解。dy dx x y, 1 x 1.2 y(1) 2(10)(11)用改進(jìn)的Euler方法計(jì)算y(12)的近似值，取步長(zhǎng)h 0.2。.(12分，在下

30、列5個(gè)題中至多選做3個(gè)題)(1) (1)(6分)求一次數(shù)不超過(guò)4次的多項(xiàng)式p(x)滿足：(2) p 115， p' 120，p'' 130， p 257， p' 272(3) (2)(6分)構(gòu)造代數(shù)精度最高的如下形式的求積公式，并求出其代數(shù)精度：11xf x dx A0 fA f 10210 1A(5) (3)(6分)用幕法求矩陣1 1的模最大的特征值及其相應(yīng)的單位特征向量，迭代至特征值的相鄰兩次的近似值的距 離小于0.05，取特征向量的初始近似值為10 T。y' x f x, y x , ax b, y ayo(8)的形式為yi 1 yi h 0i1

31、,i=1,2，,N(9)的公式，使其精度盡量高,其中 fi f Xi, yixia ih(10)i=0,1,N,(11)(5)（6分）求出用差分方法求解常微分方程的邊值問(wèn)題y(12) yP x y a0,q x y r x 0, a x byb 0所得到的三對(duì)角線性方程組。、1、（、數(shù)值計(jì)算方法試題答案一、判斷題：（共10分，每小題2分）（X ）2、（ V ）3、（ X ）4、（X ） 6、（ V ） 7、（ X ） 8、（ X二、填空題：（共10分，每小題2分）5、1、9 8!、02、二3、二4、 16、90 5、7、三、1、0三、簡(jiǎn)答題：（15分）迭代函數(shù)為14 x l n 21、解:(x

32、)(x) ln(4 x)/l n2丄丄142 ln 22、2、答：Gauss消去法能進(jìn)行到底的條件是各步消元的主 akk）全不為0,如果在消元過(guò)程中發(fā)現(xiàn)某個(gè)主元素為0,即使det（A） 0，則消元過(guò)程將無(wú)法進(jìn)行；其次，即使主元素不為 0,但若主元素akk）的絕對(duì)值很小，用它作除數(shù)，將使該步消元 的乘數(shù)絕對(duì)值很大，勢(shì)必造成舍入誤差的嚴(yán)重?cái)U(kuò)散，以致于方 程組解的精確程度受到嚴(yán)重影響，采用選主元的技術(shù)，可避免 主元素卅=0或兀素ak很小的情況發(fā)生，從而不會(huì)使計(jì)算中斷或 因誤差擴(kuò)大太大而使計(jì)算不穩(wěn)定。四、3、3、解:1 cosxf(x)2!cosxx2x42n2!4!2!2 x4!4!1)n1x2n1

33、)n(2n!)2n 21 x(2n!)四、解：f(x) 1顯然精確成立;f(x) x 時(shí)0xdxi0 hf(x)f(x)f(x)x2時(shí),2dx04dx03dx0h22.h、畀h h 02h2-0h31h20 3h221-0h4123h20 4h3212h211345h3h4h52 h112 ;所以，其代數(shù)精確度為3Xk 1a) 2 2；Xk Ja k 0,1,2五、五、證明：2Xk2Xk故對(duì)一切k1,2,，Xka。xk 11a1 “1) 1(12) (1Xk，即序列Xk是單調(diào)遞減有又Xk2Xk2所以Xk1下界，從而迭代過(guò)程收斂六、六、解：是。因?yàn)閒(x)在基點(diǎn)1、2處的插值多項(xiàng)式為x:鮒)x

34、1f(2)1 22 1330 P(x)dx-f(1)2()。其代數(shù)精度為1p(x)七、七、證明：由題意知：AX b,AX b r1A(X X) r X X A 'rX XA1卜AX b |b| |ax| |A|x|1Ik, II又I|x|八、解：設(shè)所以 XH(x) N2(x)2)A Arbax(x 1)( xN2(x)f(0)f0,1(x 0)f0,1,2(x0)(x|A|11)1 2x (x 0)(x 1)212x x(x21'a 由 H (0)3 得： 4H (x) x35 x2 3x 1所以44f(x) H(x)，作輔助函數(shù) g(t) f(t) H(t) k(x)t2(t

35、 1)(t 2)tx,0,1,2所以H(x) 11)ax(x 1)( x 2)令 R(x)則g(t)在0,3上也具有4階連續(xù)導(dǎo)數(shù)且至少有4個(gè)零點(diǎn):宀(反復(fù)利用羅爾定理可得：k( x)2所以 R(x) f(x) H(x) k(x)x(x1)(x 2)!，( g(4)( ) 0)八4)( )2x2(x 1)(x2)4!九、證明：形如 積公式具有最高代數(shù)精度 次的多項(xiàng)式均精確成立九、bf (x)w(x)dxan 1Ak f(xk)k 1的高斯(GausS型求十、2n+1次,它對(duì)f (x)取所有次數(shù)不超過(guò)2n+11)2)n 1Ai k (Xi ) j (Xi )i 1k(x)j (x)w(x)dx 0

36、li(Xj) 且有i j因?yàn)閘i(x)是n次多項(xiàng)式，blk(x)l j(x)w(x)dxAlk(Xi)lj (Xi)所以ai 1取f(x) (x)，代入求積公式：因?yàn)閎li (x)w(x)dx 所以a n 1 b2l k (x)w(x)dxak 1故結(jié)論成立。十、解：3)n 1Ajh(Xj)2Aij 1n 1bAkw(x)dxk 1a0(k2li (x)是2n次多項(xiàng)式,j)f (Xi)fX°,X1,Xmf)()1(n 1)!fXo,Xi,Xpp(XiXj )j 0數(shù)值計(jì)算方法試題一、(24分)填空題(12) (1)(2分)改變函數(shù)f(X)X 1 X (x 1)的形式，使計(jì)算結(jié)果較精確

37、(13)(2)(2分)若用二分法求方程fx 0在區(qū)間1,2內(nèi)的根，要求精確到第3位小數(shù)，則需要對(duì)分次。(14) (3)f X(2分)設(shè)2 2X1X2X1X2，貝y f' x(15) (4)Sx(3分)設(shè)2x3,0 x 132X ax bx c, 1 x 2是3次樣條函數(shù)，則(16) a=,b=, c=。1 eX dX(17) (5)(3分)若用復(fù)化梯形公式計(jì)算0，要求誤差不超過(guò)10 6，利用余項(xiàng)公式估計(jì)，至少用 個(gè)求積節(jié)點(diǎn)。x11 .6x21(18) (6)(6分)寫(xiě)出求解方程組0.4X1 X2 2的Gauss-Seidel迭代公式(19) ， 迭 代 矩 陣(20) 此迭代法是否收斂

38、。5 4A(21) (7)(4 分)設(shè) 43,貝卩 A ,Cond Ao(22) (8)(2分)若用Euler法求解初值問(wèn)題y'10y, y。1，為保證算法的絕對(duì)穩(wěn)定，則步長(zhǎng) h的取值范圍為二. (64 分)(12) (1)(6分)寫(xiě)出求方程4x cosx 1在區(qū)間0,1的根的收斂的迭代公式，并證明其收斂性。(13) (2)(12 分)以100,121,144為插值節(jié)點(diǎn)，用插值法計(jì)算115的近似值，并利用余項(xiàng)估計(jì)誤差。X(14) (3)(10分)求f x e在區(qū)間0,1上的1次最佳平方逼近多項(xiàng)式。I 1沁 dx(15) (4)(10分)用復(fù)化Simpson公式計(jì)算積分 0 x 的近似值

39、，要求誤差限為0.5 10 5。(16) (5)(10分)用Gauss列主元消去法解方程組：X14x2 2x3243捲x2 5x334(17)2洛6x2 x327135x11 2 2X2(18)(8分)求方程組1 11的最小二乘解(19)(8分)已知常微分方程的初值問(wèn)題：dy dx x y, 1 x 1.2（20） y（1） 2（21）用改進(jìn)的Euler方法計(jì)算y（12）的近似值，取步長(zhǎng)h 0.2三. （12分，在下列5個(gè)題中至多選做3個(gè)題）(13) (1)（6分）求一次數(shù)不超過(guò)4次的多項(xiàng)式p（x）滿足：(14) P115 p' 120p'' 130 p 257 p&#

40、39; 272> > > >(15) (2)（6分）構(gòu)造代數(shù)精度最高的如下形式的求積公式，并求出其代數(shù)精度：1xf x dx A0f 丄 A, f 1(16) 0210 1 A(17) (3)（6分）用幕法求矩陣11的模最大的特征值及其相應(yīng)的單位特征向量，迭代至特征值的相鄰兩次的近似值的距 離小于0.05，取特征向量的初始近似值為1,0 T。（4）（6分）推導(dǎo)求解常微分方程初值問(wèn)題(5) y' x f x, y x ,a x b, y a y°(6) 的形式為 y yi h 0fi1fi1 ,i=1,2,N(7) 的公式，使其精度盡量高，其中fi f

41、xi,yi , xi a ih,(18) i=0,1，,N,(19) h b a . N(20) (5)(6分)求出用差分方法求解常微分方程的邊值問(wèn)題y'' p x y' q x y r x 0, a x b(21) y'a Q yb 0所得到的三對(duì)角線性方程組。數(shù)值計(jì)算方法試題答案 (24 分)2x12x2(3) (2 分)X2X1（3分）3-3kX11 11.6x2k0k 1c, k 1 ,k 0,1,(6) (6 分)X220.4x10(1) (2 分 x 1 x(2) (2 分)101(5) (3 分)4771.60.64 收斂（4分）991(8) (2

42、 分)h<0.2二. (64 分)(1) (6 分)XnXnCOS Xn,n=0,1,2,1 . sin x 4對(duì)任意的初值X。0,1,迭代公式都收斂。（12分）用Newton插值方法：差分表:1001211441011120.04761900.0434783-0.0000941136115 10+0.0476190(115-100)-0.0000941136(115-100)(115-121)= 10.7227555R 115 100 115 121 115 1443!(3)(10 分)設(shè) x GiX C2 2 x g C2X1, 11 , 2 C1f, 11dx 101 A1xdx 0 22, 12 , 2 C2f, 21 ? 11? 2J >1 2 1112 ,2x dx03, j0exp(x)dx e 1f, 20 xexp(x)dx 111 2Ce 1C|0.87311213C21C21.690x50.8731 1.690xx4e1018 6ex=0.873127+1.69031x（10分）Si6 f00.94614588S22f10.9460869312S215S2S10.39310-5S20.9