高中數(shù)學(xué)典型例題解析平面解析幾何初步

1、高中數(shù)學(xué)輔導(dǎo)網(wǎng) 高中數(shù)學(xué)典型例題分析第七章 平面解析幾何初步7.1直線和圓的方程一、知識導(dǎo)學(xué)1兩點間的距離公式:不論A(1，1)，B(2，2)在坐標(biāo)平面上什么位置，都有d=|AB|=，特別地，與坐標(biāo)軸平行的線段的長|AB|=|21|或|AB|=|2-1|.2定比分點公式:定比分點公式是解決共線三點A(1，1)，B(2，2)，P(，)之間數(shù)量關(guān)系的一個公式，其中的值是起點到分點與分點到終點的有向線段的數(shù)量之比.這里起點、分點、終點的位置是可以任意選擇的，一旦選定后的值也就隨之確定了.若以A為起點，B為終點，P為分點，則定比分點公式是.當(dāng)P點為AB的中點時，=1，此時中點坐標(biāo)公式是.3直線的傾斜角

2、和斜率的關(guān)系（1）每一條直線都有傾斜角，但不一定有斜率.（2）斜率存在的直線，其斜率與傾斜角之間的關(guān)系是=tan.4確定直線方程需要有兩個互相獨立的條件。直線方程的形式很多，但必須注意各種形式的直線方程的適用范圍.名稱方程說明適用條件斜截式為直線的斜率b為直線的縱截距傾斜角為90的直線不能用此式點斜式() 為直線上的已知點，為直線的斜率傾斜角為90的直線不能用此式兩點式=()，()是直線上兩個已知點與兩坐標(biāo)軸平行的直線不能用此式截距式+=1為直線的橫截距b為直線的縱截距過（0，0）及與兩坐標(biāo)軸平行的直線不能用此式一般式，分別為斜率、橫截距和縱截距A、B不全為零5兩條直線的夾角。當(dāng)兩直線的斜率,

3、都存在且 -1時，tan=，當(dāng)直線的斜率不存在時，可結(jié)合圖形判斷.另外還應(yīng)注意到：“到角”公式與“夾角”公式的區(qū)別.6怎么判斷兩直線是否平行或垂直？判斷兩直線是否平行或垂直時，若兩直線的斜率都存在，可以用斜率的關(guān)系來判斷；若直線的斜率不存在，則必須用一般式的平行垂直條件來判斷.（1）斜率存在且不重合的兩條直線1， 2，有以下結(jié)論：12=，且1212= -1（2）對于直線1，2 ，當(dāng)1，2，1，2都不為零時，有以下結(jié)論：12=1212+12 = 01與2相交1與2重合=7點到直線的距離公式.（1）已知一點P（）及一條直線：，則點P到直線的距離d=；（2）兩平行直線1: ， 2: 之間的距離d=.

4、8確定圓方程需要有三個互相獨立的條件。圓的方程有兩種形式，要知道兩種形式之間的相互轉(zhuǎn)化及相互聯(lián)系（1）圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：，其中（，b）是圓心坐標(biāo)，是圓的半徑；（2）圓的一般方程：（0），圓心坐標(biāo)為（-，-），半徑為=.二、疑難知識導(dǎo)析1直線與圓的位置關(guān)系的判定方法.（1）方法一直線：；圓：.一元二次方程（2）方法二直線: ；圓：，圓心（，b）到直線的距離為d=2兩圓的位置關(guān)系的判定方法.設(shè)兩圓圓心分別為O1、O2，半徑分別為1，2，|O1O2|為圓心距，則兩圓位置關(guān)系如下：|O1O2|1+2兩圓外離；|O1O2|=1+2兩圓外切；| 1-2|O1O2|1+2兩圓相交；| O1O2 |=|1-2|兩

5、圓內(nèi)切；0| O1O2| 1-2|兩圓內(nèi)含.三、經(jīng)典例題導(dǎo)講例1直線l經(jīng)過P（2,3）,且在x,y軸上的截距相等,試求該直線方程.錯解：設(shè)直線方程為:,又過P(2,3),求得a=5 直線方程為x+y-5=0.錯因：直線方程的截距式: 的條件是:0且b0,本題忽略了這一情形.正解：在原解的基礎(chǔ)上,再補(bǔ)充這樣的過程:當(dāng)直線過(0,0)時,此時斜率為:,直線方程為y=x綜上可得:所求直線方程為x+y-5=0或y=x .例2已知動點P到y(tǒng)軸的距離的3倍等于它到點A(1,3)的距離的平方,求動點P的軌跡方程.錯解：設(shè)動點P坐標(biāo)為(x,y).由已知3 化簡3=x2-2x+1+y2-6y+9 . 當(dāng)x0時得

6、x2-5x+y2-6y+10=0 . 當(dāng)x0時得x2+ x+y2-6y+10=0 . 錯因：上述過程清楚點到y(tǒng)軸距離的意義及兩點間距離公式,并且正確應(yīng)用絕對值定義將方程分類化簡,但進(jìn)一步研究化簡后的兩個方程,配方后得(x-)2+(y-3)2 = 和 (x+)2+(y-3)2 = - 兩個平方數(shù)之和不可能為負(fù)數(shù),故方程的情況不會出現(xiàn).正解：接前面的過程,方程化為(x-)2+(y-3)2 = ,方程化為(x+)2+(y-3)2 = - ,由于兩個平方數(shù)之和不可能為負(fù)數(shù),故所求動點P的軌跡方程為: (x-)2+(y-3)2 = (x0)例3m是什么數(shù)時，關(guān)于x,y的方程（2m2+m-1）x2+（m2

7、-m+2）y2+m+2=0的圖象表示一個圓？錯解：欲使方程Ax2+Cy2+F=0表示一個圓，只要A=C0， 得2m2+m-1=m2-m+2，即m2+2m-3=0，解得m1=1，m2=-3， 當(dāng)m=1或m=-3時，x2和y2項的系數(shù)相等，這時，原方程的圖象表示一個圓錯因：A=C，是Ax2+Cy2+F=0表示圓的必要條件，而非充要條件，其充要條件是：A=C0且0.正解：欲使方程Ax2+Cy2+F=0表示一個圓，只要A=C0， 得2m2+m-1=m2-m+2，即m2+2m-3=0，解得m1=1，m2=-3，(1) 當(dāng)m=1時，方程為2x2+2y2=-3不合題意，舍去.(2) 當(dāng)m=-3時，方程為14

8、x2+14y2=1,即x2+y2=,原方程的圖形表示圓.例4自點A(-3，3)發(fā)出的光線L射到x軸上，被x軸反射，其反射光線所在直線與圓x2+y2-4x-4y+70相切，求光線L所在的直線方程.錯解：設(shè)反射光線為L,由于L和L關(guān)于x軸對稱，L過點A(-3，3)，點A關(guān)于x軸的對稱點A(-3，-3)，于是L過A(-3，-3).設(shè)L的斜率為k，則L的方程為y-(-3)kx-(-3)，即kx-y+3k-30，已知圓方程即(x-2)2+(y-2)21，圓心O的坐標(biāo)為(2，2)，半徑r1因L和已知圓相切，則O到L的距離等于半徑r1即整理得12k2-25k+120解得kL的方程為y+3(x+3)即4x-3

9、y+30因L和L關(guān)于x軸對稱故L的方程為4x+3y+30.錯因：漏解正解：設(shè)反射光線為L,由于L和L關(guān)于x軸對稱，L過點A(-3，3)，點A關(guān)于x軸的對稱點A(-3，-3)，于是L過A(-3，-3).設(shè)L的斜率為k，則L的方程為y-(-3)kx-(-3)，即kx-y+3k-30，已知圓方程即(x-2)2+(y-2)21，圓心O的坐標(biāo)為(2，2)，半徑r1因L和已知圓相切，則O到L的距離等于半徑r1即整理得12k2-25k+120解得k或kL的方程為y+3(x+3);或y+3(x+3)。即4x-3y+30或3x-4y-30因L和L關(guān)于x軸對稱故L的方程為4x+3y+30或3x+4y-30.例5求

10、過直線和圓的交點，且滿足下列條件之一的圓的方程：（1） 過原點；（2）有最小面積.解：設(shè)所求圓的方程是： 即：（1）因為圓過原點，所以，即故所求圓的方程為：.（2） 將圓系方程化為標(biāo)準(zhǔn)式，有：當(dāng)其半徑最小時，圓的面積最小，此時為所求.故滿足條件的圓的方程是.點評：（1）直線和圓相交問題，這里應(yīng)用了曲線系方程，這種解法比較方便；當(dāng)然也可以待定系數(shù)法。（2）面積最小時即圓半徑最小。也可用幾何意義，即直線與相交弦為直徑時圓面積最小.例6（06年遼寧理科）已知點A()，B()（0）是拋物線上的兩個動點，O是坐標(biāo)原點，向量滿足.設(shè)圓C的方程為（1）證明線段AB是圓C的直徑；（2）當(dāng)圓C的圓心到直線的距離

11、的最小值為時，求的值.解：（1）證明，（）2（）2，整理得：00設(shè)M（）是以線段AB為直徑的圓上的任意一點，則0即0整理得：故線段AB是圓C的直徑.（2）設(shè)圓C的圓心為C（），則，又0，0，04所以圓心的軌跡方程為設(shè)圓心C到直線的距離為，則當(dāng)時，有最小值，由題設(shè)得2.四、典型習(xí)題導(dǎo)練1直線截圓得的劣弧所對的圓心角為 （ ）A. B. C. D.2.已知直線x=a(a0)和圓(x-1)2+y2=4相切 ，那么a的值是( )A.5 B.4 C.3 D.23. 如果實數(shù)x、y滿足等式(x-2)2+y2，則的最大值為： .4.設(shè)正方形ABCD（A、B、C、D順時針排列）的外接圓方程為x2+y2-6x+

12、a=0（ab0)上一點M向x軸所作垂線恰好通過橢圓的左焦點F1，A、B分別是橢圓長、短軸的端點，ABOM設(shè)Q是橢圓上任意一點，當(dāng)QF2AB時，延長QF2與橢圓交于另一點P，若F1PQ的面積為20，求此時橢圓的方程解：本題可用待定系數(shù)法求解b=c, =c，可設(shè)橢圓方程為PQAB,kPQ=-，則PQ的方程為y=(x-c)，代入橢圓方程整理得5x2-8cx+2c2=0，根據(jù)弦長公式，得,又點F1到PQ的距離d=c ,由故所求橢圓方程為例6已知橢圓：，過左焦點F作傾斜角為的直線交橢圓于A、B兩點，求弦AB的長解：a=3,b=1,c=2; 則F（-2，0）由題意知：與聯(lián)立消去y得：設(shè)A（、B（，則是上面

13、方程的二實根，由違達(dá)定理，又因為A、B、F都是直線上的點，所以|AB|=點評：也可利用“焦半徑”公式計算例7（06年全國理科）設(shè)P是橢圓短軸的一個端點，Q為橢圓上的一個動點，求PQ的最大值.解： 依題意可設(shè)P（0,1），Q（），則PQ，又因為Q在橢圓上，所以，PQ2.因為1，1，若，則1，當(dāng)時，PQ取最大值；若1，則當(dāng)時，PQ取最大值2.例8已知雙曲線的中心在原點，過右焦點F（2，0）作斜率為的直線，交雙曲線于M、N 兩點，且=4，求雙曲線方程解：設(shè)所求雙曲線方程為，由右焦點為（2，0）知C=2，b2=4-2則雙曲線方程為，設(shè)直線MN的方程為：，代入雙曲線方程整理得：(20-82)x2+122

14、x+54-322=0 設(shè)M（x1,y1）,N(x2,y2),則， 解得，故所求雙曲線方程為：點評：利用待定系數(shù)法求曲線方程，運用一元二次方程的根與系數(shù)關(guān)系將兩根之和與積整體代入，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的整體思想，也簡化了計算，要求學(xué)生熟練掌握四、典型習(xí)題導(dǎo)練1. 設(shè)雙曲線兩焦點為F1、F2,點Q為雙曲線上除頂點外的任一點,過F1作F1QF2的平分線的垂線,垂足為P,則點P的軌跡是（ ）A.橢圓的一部分 B.雙曲線的一部分C.拋物線的一部分 D.圓的一部分.2已知點(-2，3)與拋物線y2=2px(p0)的焦點 的距離是5，則p= .3.平面內(nèi)有兩定點上，求一點P使取得最大值或最小值，并求出最大值和最小值.

15、4.已知橢圓的離心率為.（1）若圓（x-2）2+(y-1)2=與橢圓相交于A、B兩點且線段AB恰為圓的直徑，求橢圓方程；（2）設(shè)L為過橢圓右焦點F的直線，交橢圓于M、N兩點，且L的傾斜角為600，求的值.5.已知拋物線方程為，直線過拋物線的焦點F且被拋物線截得的弦長為3，求p的值6.線段AB過x軸正半軸上一點M（m,0）（m0），端點A、B到x軸距離之積為，以x軸為對稱軸，過A，O，B三點作拋物線 （1）求拋物線方程；（2）若的取值范圍7.3 點、直線和圓錐曲線一、知識導(dǎo)學(xué)1 點M(x0，y0)與圓錐曲線C：f(x，y)=0的位置關(guān)系已知（ab0）的焦點為F1、F2, （a0,b0）的焦點為F

16、1、F2，(p0)的焦點為F，一定點為P(x0，y0)，M點到拋物線的準(zhǔn)線的距離為d，則有：上述結(jié)論可以利用定比分點公式，建立兩點間的關(guān)系進(jìn)行證明2直線AxBC=0與圓錐曲線Cf(x，y)0的位置關(guān)系：直線與圓錐曲線的位置關(guān)系可分為：相交、相切、相離對于拋物線來說，平行于對稱軸的直線與拋物線相交于一點，但并不是相切；對于雙曲線來說，平行于漸近線的直線與雙曲線只有一個交點，但并不相切這三種位置關(guān)系的判定條件可引導(dǎo)學(xué)生歸納為：設(shè)直線:Ax+By+C=0,圓錐曲線C:f(x,y)=0,由消去y(或消去x)得:ax2+bx+c=0,=b2-4ac,（若a0時），0相交 0相離 = 0相切注意：直線與拋

17、物線、雙曲線有一個公共點是直線與拋物線、雙曲線相切的必要條件，但不是充分條件二、疑難知識導(dǎo)析1橢圓的焦半徑公式：（左焦半徑）,（右焦半徑）,其中是離心率。 焦點在y軸上的橢圓的焦半徑公式： （ 其中分別是橢圓的下上焦點）.焦半徑公式的兩種形式的區(qū)別只和焦點的左右有關(guān)，而與點在左在右無關(guān) 可以記為：左加右減，上減下加.2雙曲線的焦半徑定義：雙曲線上任意一點M與雙曲線焦點的連線段，叫做雙曲線的焦半徑.焦點在x軸上的雙曲線的焦半徑公式：焦點在y軸上的雙曲線的焦半徑公式： （ 其中分別是雙曲線的下上焦點）3雙曲線的焦點弦：定義：過焦點的直線割雙曲線所成的相交弦。焦點弦公式： 當(dāng)雙曲線焦點在x軸上時，過

18、左焦點與左支交于兩點時： ；過右焦點與右支交于兩點時：。當(dāng)雙曲線焦點在y軸上時，過左焦點與左支交于兩點時：；過右焦點與右支交于兩點時：。4雙曲線的通徑：定義：過焦點且垂直于對稱軸的相交弦 .5直線和拋物線（1）位置關(guān)系：相交（兩個公共點或一個公共點）；相離（無公共點）；相切（一個公共點）.聯(lián)立，得關(guān)于x的方程當(dāng)（二次項系數(shù)為零），唯一一個公共點（交點）；當(dāng)，則若，兩個公共點（交點）；，一個公共點（切點）；，無公共點 （相離）.（2）相交弦長：弦長公式：.（3）焦點弦公式： 拋物線， .拋物線， .拋物線， .拋物線，.（4）通徑：定義：過焦點且垂直于對稱軸的相交弦 通徑：.（5）常用結(jié)論：和和

19、.三、經(jīng)典例題導(dǎo)講例1求過點的直線，使它與拋物線僅有一個交點.錯解： 設(shè)所求的過點的直線為，則它與拋物線的交點為，消去得整理得 直線與拋物線僅有一個交點，解得所求直線為正解： 當(dāng)所求直線斜率不存在時，即直線垂直軸，因為過點，所以即軸，它正好與拋物線相切.當(dāng)所求直線斜率為零時，直線為y = 1平行軸，它正好與拋物線只有一個交點.一般地，設(shè)所求的過點的直線為,則，令解得k = ,所求直線為綜上，滿足條件的直線為：例2已知曲線C：與直線L：僅有一個公共點，求m的范圍.錯解：曲線C：可化為，聯(lián)立，得：，由0,得.錯因：方程與原方程并不等價，應(yīng)加上.正解：原方程的對應(yīng)曲線應(yīng)為橢圓的上半部分.（如圖），結(jié)

20、合圖形易求得m的范圍為.注意：在將方程變形時應(yīng)時時注意范圍的變化，這樣才不會出錯.例3已知雙曲線，過P(1,1)能否作一條直線L與雙曲線交于A、B兩點，且P為AB中點.錯解：（1）過點P且與x軸垂直的直線顯然不符合要求.（2）設(shè)過P的直線方程為，代入并整理得：，又 解之得：k=2，故直線方程為：y=2x-1,即直線是存在的.正解：接以上過程，考慮隱含條件“0”，當(dāng)k=2時代入方程可知0，故這樣的直線不存在.yxOACDBP例4已知A、B是圓與x軸的兩個交點，CD是垂直于AB的動弦，直線AC和DB相交于點P，問是否存在兩個定點E、F, 使 | | PE | PF | | 為定值？若存在，求出E、

21、F的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由. 解：由已知得 A (1, 0 )、B ( 1, 0 ), 設(shè) P ( x, y ), C ( ) , 則 D (), 由A、C、P三點共線得 由D、B、P三點共線得 得 又 , ， 代入得 ，即點P在雙曲線上， 故由雙曲線定義知，存在兩個定點E (, 0 )、F (, 0 )（即此雙曲線的焦點），使 | | PE | PF | | = 2 (即此雙曲線的實軸長為定值).例5已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點O，焦點在坐標(biāo)軸上，直線y=x+1 與該橢圓相交于P和Q，且OPOQ，PQ=，求橢圓的方程.解：設(shè)所求橢圓的方程為=1. 依題意知，點P、Q的坐標(biāo)滿足方程組： 將代入

22、，整理得 ， 設(shè)方程的兩個根分別為、，則直線y=x+1和橢圓的交點為P(,+1)，Q(,+1)由題設(shè)OPOQ，OP=，可得 整理得 解這個方程組，得 或 根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系，由式得 (1) 或 (2) 解方程組(1)、(2)得 或故所求橢圓方程為=1 ， 或 =1.例6（06年高考湖南）已知橢圓C1：1，拋物線C2：，且C1、C2的公共弦AB過橢圓C1的右焦點。（1）當(dāng)AB軸時，求、的值，并判斷拋物線C2的焦點是否在直線AB上；（2）若，且拋物線C2的焦點在直線AB上，求的值及直線AB的方程.解：（1）當(dāng)AB軸時，點A、B關(guān)于軸對稱，所以0，直線AB的方程為1，從而點A的坐標(biāo)為（1，）或（1，

23、），因為點A在拋物線上，所以，.此時，拋物線C2的焦點坐標(biāo)為（，0），該焦點不在直線AB上. (2)當(dāng)拋物線C2的焦點在直線AB上時，由（1）知直線AB的斜率存在，設(shè)直線AB的方程為.由消去得設(shè)A、B的坐標(biāo)分別為（）、（）.則，是方程的兩根，.因為AB既是過C1的右焦點的弦，又是C2的焦點的弦，所以AB（2）（2）4，且AB（）（）.從而4所以，即解得.因為C2的焦點F、（）在直線上，所以，即當(dāng)時直線AB的方程為；當(dāng)時直線AB的方程為.四、典型習(xí)題導(dǎo)練1頂點在原點，焦點在x軸上的拋物線被直線l：y=2x+1截得的弦長為，則拋物線方程為 2.直線m：y=kx+1和雙曲線x2y2=1的左支交于A、

24、B兩點，直線l過點P（2，0）和線段AB的中點，則直線l在y軸上的截距b的取值范圍為 3試求m的取值范圍. 4 設(shè)過原點的直線l與拋物線y2=4(x1)交于A、B兩點，且以AB為直徑的圓恰好過拋物線的焦點F， （1）求直線l的方程； （2）求|AB|的長.5 如圖，過拋物線y2=4x的頂點O作任意兩條互相垂直的弦OM、ON，求(1)MN與x軸交點的坐標(biāo)；(2)求MN中點的軌跡方程.9設(shè)曲線C的方程是yx3-x，將C沿x軸、y軸正向分別平行移動t,s單 位長度后得曲線C1.(1)寫出曲線C1的方程；(2)證明曲線C與C1關(guān)于點A()對稱；(3)如果曲線C與C1有且僅有一個公共點，證明s且t0.7

25、.4軌跡問題一、知識導(dǎo)學(xué)1.方程的曲線在平面直角坐標(biāo)系中，如果某曲線C(看作適合某種條件的點的集合或軌跡 )上的點與一個二元方程f(x,y)=0的實數(shù)解建立了如下的關(guān)系：(1)曲線上的點的坐標(biāo)都是這個方程的解；(2)以這個方程的解為坐標(biāo)的點都是曲線上的點.那么這個方程叫做曲線的方程；這條曲線叫做方程的曲線.2.點與曲線的關(guān)系 若曲線C的方程是f(x,y)=0，則點P0(x0,y0)在曲線C上f(x0,y0)=0；點P0(x0,y0)不在曲線C上f(x0,y0)0兩條曲線的交點 若曲線C1，C2的方程分別為f1(x,y)=0,f2(x,y)=0,則點P0(x0,y0)是C1，C2的交點方程組有n

26、個不同的實數(shù)解，兩條曲線就有n個不同的交點；方程組沒有實數(shù)解，曲線就沒有交點.3.圓錐曲線的統(tǒng)一定義平面內(nèi)的動點P(x,y)到一個定點F(c,0)的距離與到不通過這個定點的一條定直線l的距離之比是一個常數(shù)e(e0),則動點的軌跡叫做圓錐曲線.其中定點F(c,0)稱為焦點，定直線l稱為準(zhǔn)線，正常數(shù)e稱為離心率.當(dāng)0e1時，軌跡為橢圓當(dāng)e=1時，軌跡為拋物線當(dāng)e1時，軌跡為雙曲線4.坐標(biāo)變換（1）坐標(biāo)變換 在解析幾何中，把坐標(biāo)系的變換(如改變坐標(biāo)系原點的位置或坐標(biāo)軸的方向)叫做坐標(biāo)變換.實施坐標(biāo)變換時，點的位置，曲線的形狀、大小、位置都不改變，僅僅只改變點的坐標(biāo)與曲線的方程.坐標(biāo)軸的平移：坐標(biāo)軸的

27、方向和長度單位不改變，只改變原點的位置，這種坐標(biāo)系的變換叫做坐標(biāo)軸的平移，簡稱移軸.（2）坐標(biāo)軸的平移公式 設(shè)平面內(nèi)任意一點M，它在原坐標(biāo)系xOy中的坐標(biāo)是（x,y)，在新坐標(biāo)系x Oy中的坐標(biāo)是(x,y).設(shè)新坐標(biāo)系的原點O在原坐標(biāo)系xOy中的坐標(biāo)是(h,k)，則(1) 或 (2)公式(1)或(2)叫做平移(或移軸)公式.二、疑難知識導(dǎo)析1.在求曲線軌跡方程的過程中,要注意：(1)理解題意,弄清題目中的已知和結(jié)論,發(fā)現(xiàn)已知和未知的關(guān)系,進(jìn)行知識的重新組合；(2)合理進(jìn)行數(shù)學(xué)語言間的轉(zhuǎn)換,數(shù)學(xué)語言包括文字語言、符號語言和圖形語言,通過審題畫出必要的圖形或示意圖,把不宜于直接計算的關(guān)系化為能直接

28、進(jìn)行數(shù)學(xué)處理的關(guān)系式,把不便于進(jìn)行數(shù)學(xué)處理的語言化為便于數(shù)學(xué)處理的語言；(3)注意挖掘題目中的隱含條件；(4)注意反饋和檢驗.2.求軌跡方程的基本方法有：(1)直接法：若動點滿足的幾何條件是一些幾何量的等量關(guān)系,則將這些關(guān)系“翻譯”成x,y的關(guān)系式,由此得到軌跡方程.一般步驟是：建立坐標(biāo)系設(shè)點列式代換化簡、整理.(2)定義法：即當(dāng)動點的軌跡滿足的條件符合某種特殊曲線的定義時,則可根據(jù)這種曲線的定義建立方程.(3)待定系數(shù)法：已知動點的軌跡是某種圓錐曲線,則可先設(shè)出含有待定系數(shù)的方程,再根據(jù)動點滿足的條件確定待定系數(shù).(4)相關(guān)點法：當(dāng)動點P(x,y)隨著另一動點Q(x1,y1)的運動而運動時,

29、而動點Q在某已知曲線上,且Q點的坐標(biāo)可用P點的坐標(biāo)來表示,則可代入動點Q的方程中,求得動點P的軌跡方程.(5)參數(shù)法：當(dāng)動點P的坐標(biāo)x、y之間的直接關(guān)系不易建立時,可適當(dāng)?shù)剡x取中間變量t,并用t表示動點的坐標(biāo)x、y,從而得到動點軌跡的參數(shù)方程 ,消去t,便可得動點P的普通方程.另外,還有交軌法、幾何法等.3.在求軌跡問題時常用的數(shù)學(xué)思想是：(1)函數(shù)與方程的思想：求平面曲線的軌跡方程,是將幾何條件(性質(zhì))表示為動點坐標(biāo)x、y的方程及函數(shù)關(guān)系；(2)數(shù)形結(jié)合的思想：由曲線的幾何性質(zhì)求曲線方程是“數(shù)”與“形”的有機(jī)結(jié)合；(3)等價轉(zhuǎn)化的思想：通過坐標(biāo)系使“數(shù)”與“形”相互結(jié)合,在解決問題時又需要相

30、互轉(zhuǎn)化.三、經(jīng)典例題導(dǎo)講例1如圖所示，已知P(4，0)是圓x2+y2=36內(nèi)的一點，A、B是圓上兩動點，且滿足APB=90，求矩形APBQ的頂點Q的軌跡方程.解：設(shè)AB的中點為R，坐標(biāo)為(x,y)，則在RtABP中，|AR|=|PR|.又因為R是弦AB的中點，依垂徑定理：在RtOAR中，|AR|2=|AO|2|OR|2=36(x2+y2)又|AR|=|PR|=所以有(x4)2+y2=36(x2+y2),即x2+y24x10=0因此點R在一個圓上，而當(dāng)R在此圓上運動時，Q點即在所求的軌跡上運動.設(shè)Q(x,y)，R(x1,y1)，因為R是PQ的中點，所以x1=,代入方程x2+y24x10=0,得1

31、0=0整理得 x2+y2=56,這就是所求的軌跡方程. 技巧與方法：對某些較復(fù)雜的探求軌跡方程的問題，可先確定一個較易于求得的點的軌跡方程，再以此點作為主動點，所求的軌跡上的點為相關(guān)點，求得軌跡方程.例2某檢驗員通常用一個直徑為2 cm和一個直徑為1 cm的標(biāo)準(zhǔn)圓柱，檢測一個直徑為3 cm的圓柱，為保證質(zhì)量，有人建議再插入兩個合適的同號標(biāo)準(zhǔn)圓柱，問這兩個標(biāo)準(zhǔn)圓柱的直徑為多少？解：設(shè)直徑為3,2,1的三圓圓心分別為O、A、B，問題轉(zhuǎn)化為求兩等圓P、Q,使它們與O相內(nèi)切，與A、B相外切.建立如圖所示的坐標(biāo)系，并設(shè)P的半徑為r,則|PA|+|PO|=1+r+1.5r=2.5點P在以A、O為焦點，長軸

32、長2.5的橢圓上，其方程為=1 同理P也在以O(shè)、B為焦點，長軸長為2的橢圓上，其方程為(x)2+y2=1 由、可解得，r=故所求圓柱的直徑為 cm.例3 直線L：與圓O：相交于A、B兩點，當(dāng)k變動時，弦AB的中點M的軌跡方程.錯解：易知直線恒過定點P（5,0），再由，得：，整理得：分析：求動點軌跡時應(yīng)注意它的完備性與純粹性。本題中注意到點M應(yīng)在圓內(nèi)，故易求得軌跡為圓內(nèi)的部分，此時.例4 已知A、B為兩定點，動點M到A與到B的距離比為常數(shù),求點M的軌跡方程，并注明軌跡是什么曲線.解：建立坐標(biāo)系如圖所示，設(shè)|AB|=2a,則A(a,0）,B(a,0).設(shè)M(x,y）是軌跡上任意一點.則由題設(shè)，得=

33、,坐標(biāo)代入，得=,化簡得(12)x2+(12)y2+2a(1+2)x+(12)a2=0(1)當(dāng)=1時，即|MA|=|MB|時，點M的軌跡方程是x=0，點M的軌跡是直線(y軸).(2)當(dāng)1時，點M的軌跡方程是x2+y2+x+a2=0.點M的軌跡是以(，0)為圓心，為半徑的圓.例5若拋物線y=ax2-1上，總存在不同的兩點A、B關(guān)于直線y+x=0對稱，求實數(shù)a的取值范圍.分析：若存在A、B關(guān)于直線y+x=0對稱，A、B必在與直線y+x=0垂直的直線系中某一條與拋物線y=ax2-1相交的直線上，并且A、B的中點M恒在直線y+x=0上.解：如圖所示，設(shè)與直線y+x=0垂直的直線系方程為y=x+b由 得

34、ax2-x-(b+1)=0 令 0 即 (-1)-4a-(b+1)0 整理得 4ab+4a+10 在的條件下，由可以得到直線y=x+b、拋物線y=ax2-1的交點A、B的中點M的坐標(biāo)為（,+b）,要使A、B關(guān)于直線y+x=0對稱，則中點M應(yīng)該在直線y+x=0上，所以有+（+b）=0 即 b=- 代入解不等式得 a因此，當(dāng)a時，拋物線y=ax2-1上總存在不同的兩點A、B關(guān)于直線y+x=0對稱.四、典型習(xí)題導(dǎo)練1.已知橢圓的焦點是F1、F2，P是橢圓上的一個動點，如果延長F1P到Q，使得|PQ|=|PF2|，那么動點Q的軌跡是( )A.圓B.橢圓C.雙曲線的一支D.拋物線2.高為5 m和3 m的

35、兩根旗桿豎在水平地面上，且相距10 m，如果把兩旗桿底部的坐標(biāo)分別確定為A(5，0)、B(5，0)，則地面觀測兩旗桿頂端仰角相等的點的軌跡方程是_.3設(shè)直線2x-y-=0與y軸的交點為P，點P把圓(x+1)2+y2 25的直徑分為兩段，則其長度之比是 4.已知A、B、C是直線上的三點，且|AB|=|BC|=6，O切直線于點A，又過B、C作O異于的兩切線，設(shè)這兩切線交于點P，求點P的軌跡方程.5.雙曲線=1的實軸為A1A2，點P是雙曲線上的一個動點，引A1QA1P，A2QA2P，A1Q與A2Q的交點為Q，求Q點的軌跡方程.6.已知橢圓=1(ab0),點P為其上一點，F(xiàn)1、F2為橢圓的焦點，F(xiàn)1P

36、F2的外角平分線為，點F2關(guān)于的對稱點為Q，F(xiàn)2Q交于點R.(1)當(dāng)P點在橢圓上運動時，求R形成的軌跡方程；(2)設(shè)點R形成的曲線為C，直線l：y=k(x+a)與曲線C相交于A、B兩點，當(dāng)AOB的面積取得最大值時，求k的值.75綜合問題選講一、知識導(dǎo)學(xué) (一)直線和圓的方程1理解直線的斜率的概念，掌握過兩點的直線的斜率公式，掌握直線方程的點斜式、兩點式、一般式，并能根據(jù)條件熟練地求出直線方程. 2掌握兩條直線平行與垂直的條件，兩條直線所成的角和點到直線的距離公式，能夠根據(jù)直線的方程判斷兩條直線的位置關(guān)系.3了解二元一次不等式表示平面區(qū)域. 4了解線性規(guī)劃的意義，并會簡單的應(yīng)用.5了解解析幾何的

37、基本思想，了解坐標(biāo)法.6掌握圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和一般方程，了解參數(shù)方程的概念，理解圓的參數(shù)方程.(二)圓錐曲線方程1 掌握橢圓的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程和橢圓的簡單幾何性質(zhì).2 掌握雙曲線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程和雙曲線的簡單幾何性質(zhì).3 掌握拋物線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程和拋物線的簡單幾何性質(zhì).4了解圓錐曲線的初步應(yīng)用.（三）目標(biāo)1.能正確導(dǎo)出由一點和斜率確定的直線的點斜式方程；從直線的點斜式方程出發(fā)推導(dǎo)出直線方程的其他形式，斜截式、兩點式、截距式；能根據(jù)已知條件，熟練地選擇恰當(dāng)?shù)姆匠绦问綄懗鲋本€的方程，熟練地進(jìn)行直線方程的不同形式之間的轉(zhuǎn)化，能利用直線的方程來研究與直線有關(guān)的問題了.2.能正確畫出二元一次不等式（組）表示

38、的平面區(qū)域，知道線性規(guī)劃的意義，知道線性約束條件、線性目標(biāo)函數(shù)、可行解、可行域、最優(yōu)解等基本概念，能正確地利用圖解法解決線性規(guī)劃問題，并用之解決簡單的實際問題，了解線性規(guī)劃方法在數(shù)學(xué)方面的應(yīng)用；會用線性規(guī)劃方法解決一些實際問題.3.理解“曲線的方程”、“方程的曲線”的意義，了解解析幾何的基本思想，掌握求曲線的方程的方法.4掌握圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：（r0），明確方程中各字母的幾何意義，能根據(jù)圓心坐標(biāo)、半徑熟練地寫出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，能從圓的標(biāo)準(zhǔn)方程中熟練地求出圓心坐標(biāo)和半徑，掌握圓的一般方程：，知道該方程表示圓的充要條件并正確地進(jìn)行一般方程和標(biāo)準(zhǔn)方程的互化，能根據(jù)條件，用待定系數(shù)法求出圓的方程，理解圓的參

39、數(shù)方程（為參數(shù)），明確各字母的意義，掌握直線與圓的位置關(guān)系的判定方法.5正確理解橢圓、雙曲線和拋物線的定義，明確焦點、焦距的概念；能根據(jù)橢圓、雙曲線和拋物線的定義推導(dǎo)它們的標(biāo)準(zhǔn)方程；記住橢圓、雙曲線和拋物線的各種標(biāo)準(zhǔn)方程；能根據(jù)條件，求出橢圓、雙曲線和拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；掌握橢圓、雙曲線和拋物線的幾何性質(zhì)：范圍、對稱性、頂點、離心率、準(zhǔn)線（雙曲線的漸近線）等，從而能迅速、正確地畫出橢圓、雙曲線和拋物線；掌握、b、之間的關(guān)系及相應(yīng)的幾何意義；利用橢圓、雙曲線和拋物線的幾何性質(zhì)，確定橢圓、雙曲線和拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，并解決簡單問題；理解橢圓、雙曲線和拋物線的參數(shù)方程，并掌握它的應(yīng)用；掌握直線與橢圓、雙

40、曲線和拋物線位置關(guān)系的判定方法.二、疑難知識導(dǎo)析 1 直線的斜率是一個非常重要的概念，斜率反映了直線相對于軸的傾斜程度.當(dāng)斜率存在時，直線方程通常用點斜式或斜截式表示，當(dāng)斜率不存在時，直線方程為=（R）.因此，利用直線的點斜式或斜截式方程解題時，斜率存在與否，要分別考慮. 直線的截距式是兩點式的特例，、b分別是直線在軸、軸上的截距，因為0，b0，所以當(dāng)直線平行于軸、平行于軸或直線經(jīng)過原點，不能用截距式求出它的方程，而應(yīng)選擇其它形式求解.求解直線方程的最后結(jié)果，如無特別強(qiáng)調(diào)，都應(yīng)寫成一般式.當(dāng)直線或的斜率不存在時，可以通過畫圖容易判定兩條直線是否平行與垂直在處理有關(guān)圓的問題，除了合理選擇圓的方程

41、，還要注意圓的對稱性等幾何性質(zhì)的運用，這樣可以簡化計算.2. 用待定系數(shù)法求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程時，要分清焦點在軸上還是軸上，還是兩種都存在. 注意橢圓定義、性質(zhì)的運用，熟練地進(jìn)行、b、間的互求，并能根據(jù)所給的方程畫出橢圓.求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程 應(yīng)注意兩個問題： 正確判斷焦點的位置； 設(shè)出標(biāo)準(zhǔn)方程后，運用待定系數(shù)法求解.雙曲線的漸近線方程為或表示為.若已知雙曲線的漸近線方程是，即，那么雙曲線的方程具有以下形式：，其中是一個不為零的常數(shù).雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程有兩個和（0，b0）.這里，其中|=2c.要注意這里的、b、c及它們之間的關(guān)系與橢圓中的異同.求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，要線根據(jù)題設(shè)判斷拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程的類型

42、，再求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，要線根據(jù)題設(shè)判斷拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程的類型，再由條件確定參數(shù)的值.同時，應(yīng)明確拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程、焦點坐標(biāo)、準(zhǔn)線方程三者相依并存，知道其中拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程、焦點坐標(biāo)、準(zhǔn)線方程三者相依并存，知道其中一個，就可以求出其他兩個.三、經(jīng)典例題導(dǎo)講例1已知點T是半圓O的直徑AB上一點，AB=2、OT=(01)，以AB為直腰作直角梯形，使垂直且等于AT，使垂直且等于BT，交半圓于P、Q兩點，建立如圖所示的直角坐標(biāo)系.(1)寫出直線的方程；（2）計算出點P、Q的坐標(biāo)；（3）證明：由點P發(fā)出的光線，經(jīng)AB反射后，反射光線通過點Q. 解: (1 ) 顯然, 于是 直線的方程為； （2）由方程組

43、 解出 、； （3）, . 由直線PT的斜率和直線QT的斜率互為相反數(shù)知，由點P發(fā)出的光線經(jīng)點T反射，反射光線通過點Q.例2設(shè)P是圓M：(-5)2+(-5)2=1上的動點，它關(guān)于A(9, 0)的對稱點為Q，把P繞原點依逆時針方向旋轉(zhuǎn)90到點S，求|SQ|的最值.解：設(shè)P(,)，則Q(18-, -)，記P點對應(yīng)的復(fù)數(shù)為+，則S點對應(yīng)的復(fù)數(shù)為： (+)=-+，即S(-, )其中可以看作是點P到定點B(9, -9)的距離，共最大值為最小值為，則|SQ|的最大值為，|SQ|的最小值為.例4（02年天津卷）已知兩點M（-1，0），N（1，0）且點P使成公差小于零的等差數(shù)列，（1）點P的軌跡是什么曲線？（2）若點P坐標(biāo)為，為的夾角，求tan.解：（1）記P（, ），由M（-1，0）N（1，0）得 所以 于是， 是公差小于零的等差數(shù)列等價于 即 所以，點P的軌跡是以原點為圓心，為半徑的右半圓.（2）點P的坐標(biāo)為。. 因為 0， 所以 .例4艦A在艦B的正東6千米處，艦C在艦B的北偏西30且與B相距4千米，它們準(zhǔn)備捕海洋動物