高三數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)講義不等式的性質(zhì)

1、 高三數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)講義不等式的性質(zhì)知識(shí)清單：1不等式的性質(zhì)：(對(duì)稱性或反身性);(傳遞性);(可加性),此法則又稱為移項(xiàng)法則;(同向可相加)(可乘性) . (正數(shù)同向可相乘)(乘方法則)(開(kāi)方法則)(倒數(shù)法則)注意：條件與結(jié)論間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，是“”符號(hào)還是“”符號(hào)；運(yùn)用不等式性質(zhì)的關(guān)鍵是不等號(hào)方向的把握，條件與不等號(hào)方向是緊密相連的。運(yùn)用不等式的性質(zhì)可以對(duì)不等式進(jìn)行各種變形,雖然這些變形都很簡(jiǎn)單,但卻是我們今后研究和認(rèn)識(shí)不等式的基本手段.2定理1：如果a,bx|x是正實(shí)數(shù)，那么（當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取“=”號(hào)）.注：該不等式可推出:當(dāng)a、b為正數(shù)時(shí),（當(dāng)且僅當(dāng)a = b時(shí)取“=”號(hào)）即:平方平均數(shù)算術(shù)

2、平均數(shù)幾何平均數(shù)調(diào)和平均數(shù)2.含立方的幾個(gè)重要不等式（a、b、c為正數(shù)）： 由可推出(,);如果a,b,cx|x是正實(shí)數(shù)，那么.（當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時(shí)取“=”號(hào)）3.絕對(duì)值不等式：注：均值不等式可以用來(lái)求最值(積定和小，和定積大),特別要注意條件的滿足：一正、二定、三相等.課前預(yù)習(xí)1（06上海文，14）如果，那么，下列不等式中正確的是（ ）（A） （B） （C） （D）2（06江蘇，8）設(shè)a、b、c是互不相等的正數(shù)，則下列等式中不恒成立的是（A）（B）（C） （D）3（2003京春文，1）設(shè)a，b，c，dR，且a>b，c>d，則下列結(jié)論中正確的是A.a+c>b+d B.ac&

3、gt;bd C.ac>bd D.4（1999上海理，15）若a<b<0，則下列結(jié)論中正確的命題是（ ）A和均不能成立B.和均不能成立C.不等式和（a+）2>（b+）2均不能成立D.不等式和（a+）2>（b+）2均不能成立5（06浙江理，7）“ab0”是“ab”的（ ）(A)充分而不必要條件 (B)必要而不充分條件(C)充分必要條件 (D)既不允分也不必要條件6（1）（2001京春）若實(shí)數(shù)a、b滿足a+b=2，則3a+3b的最小值是（ ）A.18 B.6 C.2 D.27（2000全國(guó)，7）若ab1，P，Q（lgalgb），Rlg（），則（ ）A.RPQ B.PQR

4、 C.QPRD.PRQ09級(jí)高三數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)講義不等式證明知識(shí)清單：一、常用的證明不等式的方法1比較法比較法證明不等式的一般步驟：作差變形判斷結(jié)論；為了判斷作差后的符號(hào)，有時(shí)要把這個(gè)差變形為一個(gè)常數(shù)，或者變形為一個(gè)常數(shù)與一個(gè)或幾個(gè)平方和的形式，也可變形為幾個(gè)因式的積的形式，以便判斷其正負(fù)。2綜合法利用某些已經(jīng)證明過(guò)的不等式（例如算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)的定理）和不等式的性質(zhì)，推導(dǎo)出所要證明的不等式，這個(gè)證明方法叫綜合法；利用某些已經(jīng)證明過(guò)的不等式和不等式的性質(zhì)時(shí)要注意它們各自成立的條件。綜合法證明不等式的邏輯關(guān)系是：，及從已知條件出發(fā)，逐步推演不等式成立的必要條件，推導(dǎo)出所要證明的結(jié)論。3分析法證

5、明不等式時(shí)，有時(shí)可以從求證的不等式出發(fā)，分析使這個(gè)不等式成立的充分條件，把證明不等式轉(zhuǎn)化為判定這些充分條件是否具備的問(wèn)題，如果能夠肯定這些充分條件都已具備，那么就可以斷定原不等式成立，這種方法通常叫做分析法。注意：（1）“分析法”是從求證的不等式出發(fā)，分析使這個(gè)不等式成立的充分條件，把證明不等式轉(zhuǎn)化為判定這些充分條件是否具備的問(wèn)題，即“執(zhí)果索因”；（2）綜合過(guò)程有時(shí)正好是分析過(guò)程的逆推，所以常用分析法探索證明的途徑，然后用綜合法的形式寫(xiě)出證明過(guò)程。二、不等式的解法解不等式是求定義域、值域、參數(shù)的取值范圍時(shí)的重要手段，與“等式變形”并列的“不等式的變形”，是研究數(shù)學(xué)的基本手段之一。高考試題中，對(duì)

6、解不等式有較高的要求，近兩年不等式知識(shí)占相當(dāng)大的比例。1不等式同解變形（1）同解不等式（(1)與同解；（2）與同解，與同解；（3）與同解）；2一元一次不等式解一元一次不等式（組）及一元二次不等式（組）是解其他各類不等式的基礎(chǔ)，必須熟練掌握，靈活應(yīng)用。情況分別解之。3一元二次不等式或分及情況分別解之，還要注意的三種情況，即或或，最好聯(lián)系二次函數(shù)的圖象。4分式不等式分式不等式的等價(jià)變形：>0f(x)·g(x)>0，0。5簡(jiǎn)單的絕對(duì)值不等式絕對(duì)值不等式適用范圍較廣，向量、復(fù)數(shù)的模、距離、極限的定義等都涉及到絕對(duì)值不等式。高考試題中，對(duì)絕對(duì)值不等式從多方面考查。解絕對(duì)值不等式的常

7、用方法：討論法：討論絕對(duì)值中的式于大于零還是小于零，然后去掉絕對(duì)值符號(hào)，轉(zhuǎn)化為一般不等式；等價(jià)變形：解絕對(duì)值不等式常用以下等價(jià)變形：|x|<ax2<a2a<x<a(a>0)，|x|>ax2>a2x>a或x<a(a>0)。一般地有：|f(x)|<g(x)g(x)<f(x)<g(x)，|f(x)|>g(x)f(x)>g (x)或f(x)<g(x)。6指數(shù)不等式 ；7對(duì)數(shù)不等式 等， （1）當(dāng)時(shí)，；（2）當(dāng)時(shí)，。8線性規(guī)劃（1）平面區(qū)域一般地，二元一次不等式在平面直角坐標(biāo)系中表示某一側(cè)所有點(diǎn)組成的平面區(qū)域

8、。我們把直線畫(huà)成虛線以表示區(qū)域不包括邊界直線。當(dāng)我們?cè)谧鴺?biāo)系中畫(huà)不等式所表示的平面區(qū)域時(shí)，此區(qū)域應(yīng)包括邊界直線，則把直線畫(huà)成實(shí)線。說(shuō)明：由于直線同側(cè)的所有點(diǎn)的坐標(biāo)代入，得到實(shí)數(shù)符號(hào)都相同，所以只需在直線某一側(cè)取一個(gè)特殊點(diǎn)，從的正負(fù)即可判斷表示直線哪一側(cè)的平面區(qū)域。特別地，當(dāng)時(shí)，通常把原點(diǎn)作為此特殊點(diǎn)。（2）有關(guān)概念引例：設(shè)，式中變量滿足條件，求的最大值和最小值。由題意，變量所滿足的每個(gè)不等式都表示一個(gè)平面區(qū)域，不等式組則表示這些平面區(qū)域的公共區(qū)域。由圖知，原點(diǎn)不在公共區(qū)域內(nèi)，當(dāng)時(shí)，即點(diǎn)在直線：上，作一組平行于的直線：，可知：當(dāng)在的右上方時(shí)，直線上的點(diǎn)滿足，即，而且，直線往右平移時(shí)，隨之增大。由

9、圖象可知，當(dāng)直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)時(shí)，對(duì)應(yīng)的最大，當(dāng)直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)時(shí)，對(duì)應(yīng)的最小，所以，。在上述引例中，不等式組是一組對(duì)變量的約束條件，這組約束條件都是關(guān)于的一次不等式，所以又稱為線性約束條件。是要求最大值或最小值所涉及的變量的解析式，叫目標(biāo)函數(shù)。又由于是的一次解析式，所以又叫線性目標(biāo)函數(shù)。一般地，求線性目標(biāo)函數(shù)在線性約束條件下的最大值或最小值的問(wèn)題，統(tǒng)稱為線性規(guī)劃問(wèn)題。滿足線性約束條件的解叫做可行解，由所有可行解組成的集合叫做可行域。在上述問(wèn)題中，可行域就是陰影部分表示的三角形區(qū)域。其中可行解和分別使目標(biāo)函數(shù)取得最大值和最小值，它們都叫做這個(gè)問(wèn)題的最優(yōu)解。課前預(yù)習(xí)1已知a0，b0，且a+b=1 求證 (a+

10、)(b+)。2（06上海理，12）三個(gè)同學(xué)對(duì)問(wèn)題“關(guān)于的不等式25|5|在1，12上恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍”提出各自的解題思路。甲說(shuō)：“只須不等式左邊的最小值不小于右邊的最大值”；乙說(shuō)：“把不等式變形為左邊含變量的函數(shù)，右邊僅含常數(shù)，求函數(shù)的最值”；丙說(shuō)：“把不等式兩邊看成關(guān)于的函數(shù)，作出函數(shù)圖像”；參考上述解題思路，你認(rèn)為他們所討論的問(wèn)題的正確結(jié)論，即的取值范圍是 。3（2002京皖春，1）不等式組的解集是（ ）Ax1x1Bx0xCx0x1Dx1x4不等式>0的解集為（ ）A.x|x<1 B.x|x>3C.x|x<1或x>3 D.x|1<x<35不

11、等式（1x）（1x）0的解集是（ ）Ax0x1 B.xx0且x1Cx1x1 D.xx1且x16不等式組的解集是（ ）A.x0x2 B.x0x2.5C.x0xD.x0x37不等式（）32x的解集是_。8在（0，2）內(nèi)，使sinxcosx成立的x取值范圍為（ ）A.（，）（，）B.（，）C.（，） D.（，）（，）9（06山東理，3）設(shè)f(x)= 則不等式f(x)>2的解集為（ ）(A)（1，2）（3，+） (B)（，+）(C)（1，2） （ ，+） (D)（1，2）10（1）（06安徽，10）如果實(shí)數(shù)滿足條件， 那么的最大值為（ ）A B C D11（06天津理，3）設(shè)變量、滿足約束條件，

12、則目標(biāo)函數(shù)的最小值為（ ）A B C D12（06四川理，8）某廠生產(chǎn)甲產(chǎn)品每千克需用原料和原料分別為，生產(chǎn)乙產(chǎn)品每千克需用原料和原料分別為千克，甲、乙產(chǎn)品每千克可獲利潤(rùn)分別為元，月初一次性夠進(jìn)本月用原料各千克，要計(jì)劃本月生產(chǎn)甲產(chǎn)品和乙產(chǎn)品各多少千克才能使月利潤(rùn)總額達(dá)到最大；在這個(gè)問(wèn)題中，設(shè)全月生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品分別為千克，千克，月利潤(rùn)總額為元，那么，用于求使總利潤(rùn)最大的數(shù)學(xué)模型中，約束條件為（ ）（A） （B）（C） （D）13（06浙江理，3）在平面直角坐標(biāo)系中，不等式組表示的平面區(qū)域的面積是（ ）(A) (B) (C) (D)14（06北京理，13）已知點(diǎn) P（x，y）的坐標(biāo)滿足條件點(diǎn)O

13、為坐標(biāo)原點(diǎn)，那么|PO |的最小值等于，最大值等于。典型例題EG1、已知，求證：.變式1：（1）如果，那么，下列不等式中正確的是（ ）A. B. C. D.變式2：設(shè)a，b，c，dR，且a>b，c>d，則下列結(jié)論中正確的是（ ）A.a+c>b+d B.ac>bd C.ac>bd D.EG2、若關(guān)于的一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，求的取值范圍.變式1：解關(guān)于x的不等式變式2：設(shè)不等式x22ax+a+20的解集為M，如果M1，4，求實(shí)數(shù)a的取值范圍？EG3、求的最大值，使?jié)M足約束條件.變式1：設(shè)動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)（x，y）滿足（xy+1）（x+y4）0，x3，則x2+y2的

14、最小值為( )A B C D10EG4、畫(huà)出不等式組表示的平面區(qū)域.變式1：點(diǎn)（2，t）在直線2x3y+6=0的上方，則t的取值范圍是_變式2：求不等式x1+y12表示的平面區(qū)域的面積EG5、（1）把36寫(xiě)成兩個(gè)正數(shù)的積，當(dāng)這兩個(gè)正數(shù)取什么值時(shí)，它們的和最小？（2）把18寫(xiě)成兩個(gè)正數(shù)的和，當(dāng)這兩個(gè)正數(shù)取什么值時(shí)，它們的積最大？變式1：函數(shù)y =的值域?yàn)?變式2：設(shè)x0, y0, x2+=1,則的最大值為EG6、已知集合，求.變式1：已知A=x|x33x22x0，B=x|x2axb0且AB=x|0x2，ABxx2，求a、b的值變式2：解關(guān)于x的不等式EG7、求證：變式1：己知都是正數(shù)，且成等比數(shù)

15、列，求證：變式2：若，求證ab與 不能都大于EG8、要制造一個(gè)無(wú)蓋的盒子，形狀為長(zhǎng)方體，底寬為2m?，F(xiàn)有制盒材料60m2,當(dāng)盒子的長(zhǎng)、高各為多少時(shí)，盒子的體積最大？變式1：今有一臺(tái)壞天平,兩臂長(zhǎng)不等,其余均精確,有人說(shuō)要用它稱物體的重量,只需將物體放在左右托盤(pán)各稱一次,則兩次稱量結(jié)果的和的一半就是物體的真實(shí)重量,這種說(shuō)法對(duì)嗎?并說(shuō)明你的結(jié)論實(shí)戰(zhàn)訓(xùn)練1（07全國(guó)2理科）.不等式:>0的解集為（）(A)( -2, 1)(B) ( 2, +)(C) ( -2, 1)( 2, +)(D) ( -, -2) ( 1, +)2（07北京理科6）若不等式組表示的平面區(qū)域是一個(gè)三角形，則的取值范圍是（）

16、或3（07北京理科7）如果正數(shù)滿足，那么（）A，且等號(hào)成立時(shí)的取值唯一B，且等號(hào)成立時(shí)的取值唯一C，且等號(hào)成立時(shí)的取值不唯一D，且等號(hào)成立時(shí)的取值不唯一4（07北京理）已知集合，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍是5（07上海理）已知，且，則的最大值為6(07上海理)已知為非零實(shí)數(shù)，且，則下列命題成立的是( )A、 B、 C、 D、7(07上海理)已知是定義域?yàn)檎麛?shù)集的函數(shù)，對(duì)于定義域內(nèi)任意的，若成立，則成立，下列命題成立的是（ ）A、若成立，則對(duì)于任意，均有成立B、若成立，則對(duì)于任意的，均有成立C、若成立，則對(duì)于任意的，均有成立D、若成立，則對(duì)于任意的，均有成立8（07天津理）設(shè)變量滿足約束條件則目標(biāo)函

17、數(shù)的最大值為（）A4B11C12D149（07天津理）設(shè)均為正數(shù)，且，則（）ABCD10（07浙江理）“”是“”的（A）充分而不必要條件 （B）必要而不充分條件（C）充分必要條件 （D）既不充分也不必要條件11（07浙江理）不等式的解集是_。12（07浙江理科）設(shè)為實(shí)數(shù)，若，則的取值范圍是_。13（07湖北理）3.設(shè)P和Q是兩個(gè)集合，定義集合P-Q=，如果P=x|log2x<1,Q=x|x-2|<1,那么P-Q等于（）Ax|0<x<1 B.x|0<x1 C.x|1x<2 D.x|2x<314（07福建）“”是“”的什么條件（ ）A充分而不必要 B必要而

18、不充分 C充要 D既不充分也不必要15（07福建）已知是R上的減函數(shù)，則滿足的實(shí)數(shù)x的取值范圍是（ ）A B C D16（07廣東）已知集合M=x|1+x>0，N=x|>0，則MN=（ ） Ax|-1x1 Bx|x>1 Cx|-1x1 Dx|x-1實(shí)戰(zhàn)訓(xùn)練B1（07湖南理）不等式的解集是（ ）ABCD2（07湖南理）設(shè)集合，（1）的取值范圍是 ；（2）若，且的最大值為9，則的值是 3（07福建理）已知集合A，B，且，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A B a<1 C Da>24（07福建理）已知為R上的減函數(shù)，則滿足的實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）A（1，1） B（0，1） C（1，0）（0，1） D（，1）（1，）5（07福建理）已知實(shí)數(shù)x、y滿足 ，則的取值范圍是_；6（07重慶理）命題“若，則”的逆否命題是（ ）A若，則或 B.若，則C.若或，則 D.若或，則7（07重慶理）若函數(shù)f(x) = 的定義域?yàn)镽，則a的取值范圍為_(kāi).8（07山東理）已知集合，則（）(A) (B) (C) (D) 9（07天津）（1）已知集合，則 ABCD10(07山東理)函數(shù)y=loga(x+3)-1(a>0,a1)的圖象恒過(guò)定點(diǎn)A，若點(diǎn)A在直線mx+ny+1=0上，其中mn>0,則的最小值為 .11(07安徽理)若對(duì)任意R,不等式ax恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是