高中物理競賽講座講稿：第十部分《電磁感應(yīng)》

1、第十部分 電磁感應(yīng)在第十部分,我們將對感應(yīng)電動勢進行更加深刻的分析,告訴大家什么是動生電動勢,什么是感生電動勢。在自感和互感的方面,也會分析得更全面。至于其它,如楞次定律、電磁感應(yīng)的能量實質(zhì)等等,則和高考考綱差別不大。第一講、基本定律一、楞次定律1、定律:感應(yīng)電流的磁場總是阻礙引起感應(yīng)電流的磁通量的變化。注意點:阻礙“變化”而非阻礙原磁場本身;兩個磁場的存在。2、能量實質(zhì):發(fā)電結(jié)果總是阻礙發(fā)電過程本身能量守恒決定了楞次定律的必然結(jié)果?！纠}1】在圖10-1所示的裝置中,令變阻器R 的觸頭向左移動,判斷移動過程中線圈的感應(yīng)電流的方向。 【解說】法一:按部就班應(yīng)用楞次定律; 法二:應(yīng)用“發(fā)電結(jié)果總

2、是阻礙發(fā)電過程本身”。由“反抗磁通增大”線圈必然逆時針轉(zhuǎn)動力矩方向反推感應(yīng)電流方向?！敬鸢浮可线叺碾娏鞣较虺鰜?下邊進去。學(xué)員思考如果穿過線圈的磁場是一對可以旋轉(zhuǎn)的永磁鐵造成的,當(dāng)永磁鐵逆時針旋轉(zhuǎn)時,線圈會怎樣轉(zhuǎn)動?解略。答逆時針。事實上,這就感應(yīng)電動機的基本模型,只不過感應(yīng)電動機的旋轉(zhuǎn)磁場是由三相交流電造就的。3、問題佯謬:在電磁感應(yīng)問題中,可能會遇到沿不同途徑時得出完全相悖結(jié)論的情形,這時,應(yīng)注意什么抓住什么是矛盾的主要方面。 學(xué)員思考如圖10-3所示,在平行、水平的金屬導(dǎo)軌上有兩根可以自由滾動的金屬棒,當(dāng)它們構(gòu)成閉合回路正上方有一根條形磁鐵向下運動時,兩根金屬棒會相互靠攏還是相互遠離?解

3、同上。答靠攏。二、法拉第電磁感應(yīng)定律1、定律:閉合線圈的感應(yīng)電動勢和穿過此線圈的磁通量的變化率成正比。即= Nt物理意義:N為線圈匝數(shù);t有瞬時變化率和平均變化率之分,在定律中的分別對應(yīng)瞬時電動勢和平均電動勢。圖象意義:在-t圖象中,瞬時變化率t對應(yīng)圖線切線的斜率?！纠}3】面積為S的圓形(或任何形線圈繞平行環(huán)面且垂直磁場的軸勻速轉(zhuǎn)動。已知勻強磁場的磁感應(yīng)強度為B ,線圈轉(zhuǎn)速為,試求:線圈轉(zhuǎn)至圖19-4所示位置的瞬時電動勢和從圖示位置開始轉(zhuǎn)過90°過程的平均電動勢?！窘庹f】本題是法拉第電磁感應(yīng)定律的基本應(yīng)用。求瞬時電動勢時用到極限x xsinlimx= 1 ;求平均電動勢比較容易?！?/p>

4、答案】BS;2BS。2、動生電動勢a、磁感應(yīng)強度不變而因閉合回路的整體或局部運動形成的電動勢成為動生電動勢。b、動生電動勢的計算在磁感應(yīng)強度為B的勻強磁場中,當(dāng)長為L的導(dǎo)體棒一速度v平動切割磁感線,且B、L、v兩兩垂直時,= BLv ,電勢的高低由“右手定則”判斷。這個結(jié)論的推導(dǎo)有兩種途徑設(shè)置輔助回路,應(yīng)用法拉第電磁感應(yīng)定律;導(dǎo)體內(nèi)部洛侖茲力與電場力平衡。導(dǎo)體兩端形成固定電勢差后,導(dǎo)體內(nèi)部將形成電場,且自由電子不在移動,此時,對于不在定向移動的電子而言,洛侖茲力f和電場力F平衡,即F = f 即qE = qvB而導(dǎo)體內(nèi)部可以看成勻強電場,即L= E所以= BLv當(dāng)導(dǎo)體有轉(zhuǎn)動,或B、L、v并不兩

5、兩垂直時,我們可以分以下四種情況討論(結(jié)論推導(dǎo)時建議使用法拉第電磁感應(yīng)定律直導(dǎo)體平動,LB ,Lv ,但v與B夾角(如圖10-5所示,則= BLvsin;直導(dǎo)體平動,vB ,LB ,但v與L夾角(如圖10-6所示,則= BLvsin;推論:彎曲導(dǎo)體平動,端點始末連線為L ,vB ,LB ,但v與L夾角(如圖10-7所示,則= BLvsin; 直導(dǎo)體轉(zhuǎn)動,轉(zhuǎn)軸平行B 、垂直L 、且過導(dǎo)體的端點,角速度為(如圖10-8所示,則=21B L 2;推論:直導(dǎo)體轉(zhuǎn)動,轉(zhuǎn)軸平行B 、垂直L 、但不過導(dǎo)體的端點(和導(dǎo)體一端相距s ,角速度為(如圖10-9所示,則1 = BL (s + 2L (軸在導(dǎo)體外部、

6、2 =21B (L 2-2s = B(L-2s (s +2s 2L (軸在導(dǎo)體內(nèi)部;這兩個結(jié)論由學(xué)員自己推導(dǎo) (教師配合草稿板圖 直導(dǎo)體轉(zhuǎn)動,轉(zhuǎn)軸平行B 、和L 成一般夾角、且過導(dǎo)體的端點,角速度為(如圖10-9所示,則=21B L 2sin 2 ; 推論:彎曲導(dǎo)體(始末端連線為L 轉(zhuǎn)動,轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)軸平行B 、和L 成一般夾角、且過導(dǎo)體的端點,角速度為(如圖10-10所示,則=21B L 2sin 2。 統(tǒng)一的結(jié)論:種種事實表明,動生電動勢可以這樣尋求即= BLv ,而B 、L 、v 應(yīng)彼此垂直的(分量?！纠}4】一根長為 L 的直導(dǎo)體,繞過端點的、垂直勻強磁場的轉(zhuǎn)軸勻角速轉(zhuǎn)動,而導(dǎo)體和轉(zhuǎn)軸夾角,

7、已知磁感應(yīng)強度B 和導(dǎo)體的角速度 ,試求導(dǎo)體在圖10-11所示瞬間的動生電動勢?！窘庹f】略。(這個導(dǎo)體產(chǎn)生的感應(yīng)電動勢不是恒定不變的,而是一個交變電動勢。【答案】=41B L 2sin2 。第二講 感生電動勢一、感生電動勢造成回路磁通量改變的情形有兩種:磁感應(yīng)強度B 不變回路面積S 改變(部分導(dǎo)體切割磁感線;回路面積S 不變而磁感應(yīng)強度B 改變。對于這兩種情形,法拉第電磁感應(yīng)定律都能夠求出(整個回路的感應(yīng)電動勢的大小(前一種情形甚至還可以從洛侖茲力的角度解釋。但是,在解決感應(yīng)電動勢的歸屬.問題上,法拉第電磁感應(yīng)定律面臨這前所未有的困難(而且洛侖茲力角度也不能解釋其大小。因此,我們還是將兩種情形

8、加以區(qū)別,前一種叫動生電動勢,后一種叫感生電動勢。感生電動勢的形成通常是用麥克斯韋的渦旋電磁理論解釋的。 1、概念與意義根據(jù)麥克斯韋電磁場的理論,變化的磁場激發(fā)(渦旋電場。渦旋電場力作用于單位電荷,使之運動一周所做的功,叫感生電動勢,即感=qW 渦*值得注意的是,這里的渦旋電場力是一種比較特殊的力,它和庫侖電場力、洛侖茲力并稱為驅(qū)動電荷運動的三大作用力,但是,它和庫侖電場力有重大的區(qū)別,特別是:庫侖電場力可以引入電位、電場線有始有終,而渦旋電場不能引入電位、電場線是閉合的(用數(shù)學(xué)語言講,前者是有源無旋場,后者是有旋無源場。 2、感生電動勢的求法感生電動勢的嚴(yán)謹求法是求法拉第電磁感應(yīng)定律的微分方

9、程(*即Lld E感= -SSd tB 。在一般的情形下,解這個方程有一定的難度。但是,tB 具有相對渦旋中心的軸對稱性,根據(jù)這種對稱性解體則可以是問題簡化?！纠}5】半徑為R 的無限長螺線管,其電流隨時間均勻增加時,其內(nèi)部的磁感應(yīng)強度也隨時間均勻增加,由于“無限長”的原因,其外部的有限空間內(nèi)可以認為磁感應(yīng)強度恒為零。設(shè)內(nèi)部tB = k ,試求解管內(nèi)、外部空間的感生電場?！窘庹f】將B 值變化等效為磁感線變密或變疏,并假定B 線不能憑空產(chǎn)生和消失。在將B 值增加等效為B 線向“中心”會聚(運動、B 值減小等效為B 線背離“中心”擴散(運動。 (1內(nèi)部情形求解。設(shè)想一個以“中心”為圓心且垂直B 線

10、的圓形回路,半徑為r ,根據(jù)運動的相對性,B 線的會聚運動和導(dǎo)體向外“切割”B 線是一樣的。而且,導(dǎo)體的每一段切割的“速度”都相同,因此,電動勢也相等。根據(jù)E = dU 知,回路上各處的電場強度應(yīng)相等(只不過電場線是曲線,而且是閉合的。由總 = r 2tB 和 E =r2總 得 而改變,即 =R 2B由總 = R 2tB 和 E =r2總 得E =r2kR 2(r >R 【答案】感生電場線是以螺線管軸心為圓心的同心圓,具體渦旋方向服從楞次定律。感生電場強度的大小規(guī)律可以用圖10-12表達。說明本題的解答中設(shè)置的是一個特殊的回路,才會有“在此回路上感生電場大小恒定”的結(jié)論,如果設(shè)置其它回路

11、,E =r2總關(guān)系不可用,用我們現(xiàn)有的數(shù)學(xué)工具將不可解。當(dāng)然,在啟用高等數(shù)學(xué)工具后,是可以的出結(jié)論的,而且得出的結(jié)論和“特殊回路”的結(jié)論相同。 學(xué)員思考如果在螺線管內(nèi)、外分別放置兩段導(dǎo)體CD 和EF ,它們都是以螺線管軸線為圓心、且圓心角為的弧形,試求這兩段導(dǎo)體兩端的電勢差。參考解答因為在弧線上的場強都是大小恒定的,故可用U = E l 弧長求解顯然,U CD =2k r 2,U EF =2k R 2。推論總結(jié)我們不難發(fā)現(xiàn),U CD = tB ×(扇形OCD 的面積, U EF =tB ×(扇形OGH 的面積。結(jié)論:感生電動勢的大小可以這樣計算,用磁感應(yīng)強度的變化率乘以自磁

12、場變化中心出發(fā)引向?qū)w兩端的曲邊形(在磁場中的“有效面積”。注意,針對(圓心在磁場變化中心的非弧形導(dǎo)體,用U = Ed 行不通(啟用= l d E數(shù)學(xué)工具又不到位,但上面的“推論”則是可以照樣使用的?！緫?yīng)用】半徑為R 螺線管內(nèi)充滿勻強磁場,磁感應(yīng)強度隨時間的變化率tB 已知。求長為L 的直導(dǎo)體在圖10-14中a 、b 、c 三個位置的感應(yīng)電動勢大小分別是多少?【解】在本題中,由于沒有考查(以渦旋中心為圓心的環(huán)形回路或弧形回路,所以需要用上面的“推論”解決問題。顯然,這里的“有效面積”分別為 S a = 0 S b = 21L 222L (R -S c =21R 2·arctgRl L

13、 +【答】a = 0 ;b = 22LR 4tB 4L - ;a =tB 2R 2arctgRl L + 。二、電勢、電流、能量和電量1、只要感應(yīng)電路閉合,將會形成感應(yīng)電流,進而導(dǎo)致能量的轉(zhuǎn)化。關(guān)于感應(yīng)電路的電流、能量和電量的計算,可以借助穩(wěn)恒電流一章中閉合電路歐姆定律的知識。但是,在處理什么是“外電路”、什么是“內(nèi)電路”的問題上,常常需要不同尋常的眼光。我們這里分兩種情形歸納如果發(fā)電是“動生”的,內(nèi)電路就是(切割運動部分; 如果發(fā)電是“感生”的,內(nèi)、外電路很難分清,需要具體問題具體分析,并適當(dāng)運用等效思想。(內(nèi)電路中的電動勢分布還可能不均勻。 【例題6】如圖10-15所示,均勻?qū)w做成的半徑

14、為R 的形環(huán),內(nèi)套半徑為R/2的無限長螺線管,其內(nèi)部的均勻磁場隨時間正比例地增大,B = kt ,試求導(dǎo)體環(huán)直徑兩端M 、N 的電勢差U MN ?！窘庹f】將圖10-15中的左、中、右三段導(dǎo)體分別標(biāo)示為1、2、3 ,它們均為電源,電動勢分別為1 =41kR 2(-arctg2,2 = 3 =41kR 2 arctg2設(shè)導(dǎo)體單位長度電阻為,三“電源”的內(nèi)阻分別為r 1 = r 3 =R ,r 2 = 2R應(yīng)用楞次定律判斷電動勢的方向后,不難得出它們的連接方式如圖10-16所示。 然后,我們用戴維南定理解圖10-16中的電流I , 最后 U MN = Ir 1 -1 =133221321133123

15、r r r r r r r r r r r r += 【答案】U MN =41kR 2(arctg2 -+24。2、受中學(xué)階段數(shù)學(xué)工具的制約,在精確解不可求的情況下,將物理過程近似處理,或在解題過程中做近似處理常常是必要的?！纠}7】在圖10-17所示的裝置中,重G = 0.50N 、寬L = 20cm 的型導(dǎo)體置于水銀槽中, (2如果回路外總電阻R = 0.10,則導(dǎo)體重回水銀槽瞬間,消耗在回路中的電功率是多少?【解說】解第(1問時,本來因為導(dǎo)體運動而形成的反電動勢(感應(yīng)電動勢是存在的,這里只能忽略;磁場又是僅僅覆蓋住導(dǎo)體的,這就意味著導(dǎo)體棒跳離水銀槽后可以認為是豎直上拋運動。對上拋過程,v

16、 0 =gh2對導(dǎo)體離開水銀槽過程,(F -G t = mv 0 綜合以上兩式,即 BLq - Gt = mgh2,由此可解q 。如果說第(1問的近似處理重在過程的話,第(2則在解題的規(guī)律運用上也不得不運用一些令人難以接受的“近似處理”P =R(2感+(起跳時不計感應(yīng)電動勢,進入水銀槽,又沒有忽略感其中 感= BLv 0則只有追尋到導(dǎo)體離開的過程,= I R =tq R (這里的問題就大了,I 是電流對時間的平均值,而在P =R(2感+中的應(yīng)該取方均根值.即交流電的“有效值”才是嚴(yán)謹?shù)?但是,在這里求有效值幾乎是不可能的,因此也就只能勉為其難了?！敬鸢浮?1電量為0.1125C ;(2瞬時電功

17、率為20.88W 。第三講 自感、互感及其它一、自感1、自感現(xiàn)象:電路中因自身電流變化而引起感應(yīng)電動勢的現(xiàn)象。2、自感電動勢:自感現(xiàn)象中產(chǎn)生的電動勢自= -LtI L 為自感系數(shù),簡稱自感或電感。對于N 匝閉合回路,L = N I ,*對長直螺線管,L =n 2V(其中V 為螺線管體積;若無鐵芯,減小為0。 值得注意的是,隨著L 、tI 的增大,自可以很大,但是自感電流卻不會隨之增大,定量的計算(解微分方程表明,自感電流只會在初始電流的基礎(chǔ)上呈指數(shù)函數(shù)減小.。 【例題8】在圖10-18所示的電路中,= 12V ,r = 1.0,R 1 = 2.0,R 2 = 9.0,R 3 = 15 勢為自的

18、電源,i =32R R +自i 取極大值I 時(K 接B 后的初始時刻,自極大。 【答案】24V 。二、互感與變壓器1、互感:兩線圈靠近放置,當(dāng)1中有變化電流時,2中會感應(yīng)出電流,若2中的感應(yīng)電流仍是變化的,則它又會激發(fā)磁場并在1中形成電磁感應(yīng),這種顯現(xiàn)稱為互感。 互感電動勢:12 =-MtI 1 ,21 = -MtI 2 ,其中M 為互感系數(shù)。2、變壓器:兩個(或多個有互感耦合的靜止線圈的組合叫變壓器。 接電源的線圈叫原線圈,接負載的叫副線圈。理想變壓器:無銅損(導(dǎo)線焦耳熱、鐵損(渦流能耗、磁損(漏磁通,空載電流無窮小的變壓器,即 P 入 = P 出 。 對于原、副線圈一對一的理想變壓器,有 u 1 = -1 = -(-n 1t1u 2 = 2 = -n 2t2即原、副線圈電壓瞬時值21u u