小學四年級奧數(shù)下冊教案：行程問題

1、小學四年級奧數(shù)下冊教案：行程問題例 1 下午放學時， 弟弟以每分鐘 40 米的速度步行回家.5 分鐘后， 哥哥以每分鐘 60 米的速度也從學校步行回家，哥哥出發(fā)后，經(jīng)過幾分鐘可以追上弟弟？（假定從學校到家有足夠遠，即哥哥追上弟弟時，仍沒有回到家） . 分析 若經(jīng)過 5 分鐘，弟弟已到了A 地，此時弟弟已走了 40X 5=200 （米）；哥哥每分鐘比弟弟多走20米，幾分鐘可以追上這 200米呢？解：40X 5+ （60-40）=200+ 20=10（分鐘）答： 哥哥 10分鐘可以追上弟弟 . 我們把類似例 1 這樣的題， 稱之為追及問題 . 如果我們把開始時刻前后兩物體（或人）的距離稱為路程差（

2、如例 1 中的 200 米） ，從開始時刻到后者追上前者路程差這一段路程所用的時間稱為追及時間， 則從例 1 容易看出： 追及問題存在這樣的基本關系：路程差=8度差X追及時間.如果已知其中的兩個量，那么根據(jù)上式就很容易求出第三個量. 例 2 甲、乙二人練習跑步，若甲讓乙先跑10 米，則甲跑5 秒鐘可追上乙；若甲讓乙先跑 2 秒鐘，則甲跑4 秒鐘就能追上乙 . 問：甲、乙二人的速度各是多少？分析 若甲讓乙先跑10 米，則 10 米就是甲、乙二人的路程差，5秒就是追及時間，據(jù)此可求出他們的速度差為10+ 5=2 （米/秒）；若甲讓乙先跑2 秒，則甲跑4 秒可追上乙，在這個過程中，追及時間為4秒，因

3、此路程差就等于2X 4=8（米），也即乙在2秒內(nèi)跑了 8米，所以可求出乙的速度，也可求出甲的速度. 綜合列式計算如下：解：乙的速度為：10+ 5X4 + 2=4 （米/秒）甲的速度為：10+ 5+4=6（米 /秒） 答： 甲的速度為6米/秒， 乙的速度為4米/秒. 例 3 某1/ 5人沿著一條與鐵路平行的筆直的小路由西向東行走，這時有一列長520 米的火車從背后開來，此人在行進中測出整列火車通過的時間為42 秒， 而在這段時間內(nèi)， 他行走了 68 米， 則這列火車的速度是多少？分析 整列火車通過的時間是42 秒， 這句話的意思是： 從火車的車頭追上行人時開始計時，直到車尾超過行人為止共用 42

4、 秒，因此，如果我們把火車的運動看作是車尾的運動的話， 則本題實際上就是一個車尾與人的追及問題， 開始時刻， 它們的路程差就等于這列火車的車長，追及時間就等于 42 秒，因此可以求出它們的速度差，從而求出火車的車速.解：520+ 42+68+ 42=（520+68） +42=588+ 42=14（米 /秒） 答：火車的車速為14米/秒. 例4 幸福村小學有一條 200 米長的環(huán)形跑道， 冬冬和晶晶同時從起跑線起跑， 冬冬每秒鐘跑 6 米， 晶晶每秒鐘跑4 米， 問冬冬第一次追上晶晶時兩人各跑了多少米，第 2 次追上晶晶時兩人各跑了多少圈？分析這是一道封閉路線上的追及問題，冬冬與晶晶兩人同時同地

5、起跑，方向一致. 因此，當冬冬第一次追上晶晶時， 他比晶晶多跑的路程恰是環(huán)形跑道的一個周長 （ 200米） ， 又知道了冬冬和晶晶的速度， 于是， 根據(jù)追及問題的基本關系就可求出追及時間以及他們各自所走的路程. 解： 冬冬第一次追上晶晶所需要的時間：200+ （6-4） =100 （秒） 冬冬第一次追上晶晶時他所跑的路程應為：6X 100=600 （米） 晶晶第一次被追上時所跑的路程： 4X 100=400 （米）冬冬第二次追上晶晶時所跑的圈數(shù)：（600X 2） +200=6 （圈） 晶晶第2次被追上時所跑的圈數(shù)：（400X 2） +200=4（圈）答：略 .解答封閉路線上的追及問題，關鍵是要

6、掌握從并行到下次追及的路程差恰是一圈的長度. 例 5 軍事演習中，“我”海軍英雄艦追擊“敵”軍艦，追到A島時，“敵”艦已在10分鐘前逃離，“敵”艦每分鐘行駛1000米， “我”海軍英雄艦每分鐘行駛1470米， 在距離“敵”艦600 米處可開炮射擊， 問“我”海軍英雄艦從A 島出發(fā)經(jīng)過多少分鐘可射擊敵艦？分析 “我”艦追到 A 島時，“敵”艦已逃離10分鐘了，因此，在A島時，“我”艦與“敵”艦的距離為10000米（ = 1000X 10）.又因為“我”艦在距離“敵”艦 600米處即可開炮射擊，即“我”艦只要追上“敵”艦9400（ =10000米-600 米）即可開炮射擊 . 所以，在這個問題中，

7、不妨把9400 當作路程差，根據(jù)公式求得追及時間.解：（1000X 10-600） + （1470-1000）= （10000600） +470=9400+ 470=20 （分鐘）答： 經(jīng)過 20 分鐘可開炮射擊“敵”艦. 例 6 在一條直的公路上， 甲、乙兩個地點相距600 米，張明每小時行4 公里，李強每小時行5 公里 .8 點整，張李二人分別從甲、乙兩地同時出發(fā)相向而行，1 分鐘后他們都調(diào)頭反向而行，再經(jīng)過3 分鐘，他們又調(diào)頭相向而行，依次按照1, 3, 5,（連續(xù)奇數(shù)）分鐘數(shù)調(diào)頭行走，那么張、李二人相遇時是 8 點幾分？分析無論相向還是反向，張李二人每分鐘都共走4000+ 60+500

8、060=150 （米）.如果兩人一直相向而行，那么從出發(fā)經(jīng)過600+ 150=4 （分鐘）兩人相遇.顯然，按現(xiàn)在的走法，在16分鐘（=1+3+5+7）之內(nèi)兩人不會相遇.在這 16分鐘之內(nèi)，他們相向走了 6分鐘（=1+5）,反向走了 10分鐘（=3+7）,此時兩人相距600+150X（3+7-1-5）尸1200米，因此，再相向行走，經(jīng)過1200+150=8 （分鐘）就可以相遇.解：600+150X （3+7-1-5 ） =1200 （米）1200+（4000+ 60+5000 60） =8（分鐘）1+3+5+7+8=2 4 分鐘） 答：兩人相遇時是8 點 24 分 . 例 7 自行車隊出發(fā) 12

9、 分鐘后，通信員騎摩托車去追他們， 在距出發(fā)點 9 千米處追上了自行車隊， 然后通信員立即返回出發(fā)點； 隨后又返回去追自行車隊， 再追上時恰好離出發(fā)點 18千米， 求自行車隊和摩托車的速度. 分析 在第一次追上自行車隊與第二次追上自行車隊之間，摩托車所走的路程為（18+9）千米，而自行車所走的路程為（18-9 ）千米，所以，摩托車的速度是自行車速度的3倍（=（18+9） + （18-9）;摩托車與自行車的速度差是自行車速度的 2 倍，再根據(jù)第一次摩托車開始追自行車隊時，車隊已出發(fā)了 12分鐘， 也即第一次追及的路程差等于自行車在12 分鐘內(nèi)所走的路程，所以追及時間等于12+2=6 （分鐘）；聯(lián)

10、系摩托車在距出發(fā)點9千米的地方追上自行車隊可知： 摩托車在 6 分鐘內(nèi)走了 9 千米的路程， 于是摩托車和自行車的速度都可求出了.解：（18+9） + （18-9） =3（倍）12+ （3-1） =6 （分鐘） 9 + 6=1.5 （千米/分鐘） 1.5+3=0.5（千米 /分鐘） 答： 摩托車與自行車的速度依次為 1.5 千米 /分鐘，0.5千米/分鐘.例8 A、B兩地間有條公路，甲從 A地出發(fā)，步行到B地，乙騎摩托車從B地出發(fā)，不停地往返于 A、B兩地之間，他們同時出發(fā)， 80 分鐘后兩人第一次相遇， 100 分鐘后乙第一次追上甲， 問：當甲到達 B 地時，乙追上甲幾次？分析 由上圖容易看出：在第一次相遇與第一次追上之間，乙在100-80=20（分鐘）內(nèi)所走的路程恰等于線段FA的長度再加上線段AE的長度，即等于甲在（80+100）分鐘 內(nèi)所走的路程，因此，乙的速度是甲的 9倍（=180+ 20）,則BF的長 為AF的9倍，所以，甲從A到B,共需走80X （ 1+9） =800 （分鐘） 乙第一次追上甲時， 所用的時