高等數(shù)學(xué)考研題(11)

1、微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用考研題數(shù)三：1（1997）三（6分）、在經(jīng)濟(jì)學(xué)中，稱函數(shù)Q（x） A K x （1 ）Lx“ 為固定替代彈性生產(chǎn)函數(shù)，而稱函數(shù)Q AK l1為Cobb-douglas生產(chǎn)函數(shù)（簡(jiǎn)稱C-D生產(chǎn)函數(shù)）.試證明：當(dāng)x 0時(shí)，固定替代彈性生產(chǎn)函數(shù)變?yōu)镃-D生產(chǎn)函數(shù)，即有l(wèi)im Q（x） Q. x 0（ 1997）五（6分）、一商家銷售某種商品的價(jià)格滿足關(guān)系P 7 0.2x（萬(wàn)元/噸），x為銷售量（單位：噸），商品的成本函數(shù)是C 3x 1 （萬(wàn)元）（1）若每銷售一頓商品，政府要征稅 t （萬(wàn)元），求該商家獲最大利潤(rùn)時(shí)的銷售量；（2） t為何值時(shí)，政府稅收總額最大.（1998）五（

2、6分）、設(shè)某酒廠有一批新釀的好酒，如果現(xiàn)在（假定t 0）就售出，總收入為Ro （元）.如果窖藏起來(lái)待來(lái)日2 t .、，按陳酒價(jià)格出售，t年末總收入為R Roe5 o假定銀行的年利率為r ,弁以連續(xù)復(fù)利計(jì)息，試求窖藏多少年售出可使總收入的現(xiàn)值最大.弁求r 0.06時(shí)的t值.（1998）六（6分）、設(shè)函數(shù)f（x）在a, b上連續(xù)，在（a,b）內(nèi)可導(dǎo)，且f （x） 0 .試證存在，（a,b）,使得 b af （ ） e e 0(1999)八(7分)、設(shè)函數(shù)f(x)在0,1上連續(xù)，在(0,1)內(nèi)可導(dǎo),且 f f(i) 0, f(l)i.試證： 2(1)存在(2，1),使 f ()；(2)對(duì)任意實(shí)數(shù)，必

3、存在(0,),使得f()f( ) 1.arctan x(2000)六(7分)、求函數(shù)y (x 1)e2的單調(diào)區(qū)間和極值，弁求該函數(shù)圖形的漸近線(2001 )二(1 ) ( 3分)、設(shè)f(x)的導(dǎo)數(shù)在x a處連續(xù)，又limS) x a x a(A) x a是f(x)的極小值點(diǎn)(B) x a是f(x)的極大值點(diǎn)(C) (a, f(a)是曲線y f(x)的拐點(diǎn)(D) x a不是f(x)的極值點(diǎn)，(a,f)也不是曲線y f(x)的拐點(diǎn)(2001)四(6分)、已知“均在(，)內(nèi)可導(dǎo)，且x c vlim f (x) e,lim ()x lim f (x) f (x 1),xx x c x求c的值.(200

4、2)二(1) (3分)、設(shè)函數(shù)f(x)在a,b上有定義，在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，則()(A)當(dāng) f(a)f(b) 0 時(shí)，存在 (a,b)使 f( ) 0(B)對(duì)任何(a,b),有!imf(x) f( ) 0. x(C)當(dāng)f f (b)時(shí)，存在 (a,b)使f ( ) 0(D)存在(a,b)使 f(b) f (a) f ( )(b a)(2003)三(8分)、設(shè)函數(shù)f(x)11x sin x2 ；/)、1八一試補(bǔ)充定義f(1)使得在2,1)上連續(xù)。(2003)八(8分)設(shè)函數(shù)f(x)在0,3上連續(xù),在(0,3)內(nèi)可導(dǎo), 且 f(0) f(1) f(2) 3,f(3) 1.則存在 (0,3),使得

5、f ( ) 0.(2004)二(9) (3 分)、設(shè) f (x)x(1 x),則()(A) x 0是f(x)的極值點(diǎn)，但(Q0)不是曲線y f(x)的拐點(diǎn)(B) x 0不是f(x)的極值點(diǎn)，但(0,0)是曲線y f(x)的拐點(diǎn)(C) x 0是f(x)的極值點(diǎn)，且(0,0)是曲線y f(x)的拐點(diǎn)(D) x 0不是f(x)的極值點(diǎn)，(0,0)也不是曲線y f(x)的拐點(diǎn)(2004)二(11) (3分)、設(shè)函數(shù)f (x)在a,b上連續(xù)，且f (a) 0, f (b) 0 ,則下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是()(A)至少存在一點(diǎn)x0 (a,b)，使f(x0)f(a)(B)至少存在一點(diǎn)x0(a,b),使 f (x

6、。)f(b)(C)至少存在一點(diǎn)x0(a,b),使 f (x0) 05(D)至少存在一點(diǎn)x0 (a,b),使f(x0) 0(2004)三(15)(8 分)、求(sin2x2cos x2 ) x(2004)三(18) (9分)、設(shè)某商品的需求函數(shù) Q 100 5P, 其中價(jià)格P (0,20), Q為需求量,(I)求需求量對(duì)價(jià)格的彈性函數(shù) Ed (Ed 0);(II)推導(dǎo)dR Q(1 Ed) (其中收益)，弁用彈性&說(shuō)明價(jià)格在何范圍內(nèi)變化時(shí)，降低價(jià)格反而收益增加( 2005)二(7) (4分)、當(dāng)取下列哪個(gè)值時(shí)，函數(shù)f(x) 2x3 9x2 12x a ,恰有兩個(gè)不同的零點(diǎn)()(A) 2(B

7、) 4(C) 6(D) 8(2005)二(10) (4 分)、設(shè) f (x) xsinx cosx ,下列命題中 正確的是()(A) f(0)是極大值，(B) f(0)是極小值，(C) f(0)是極大值，(D) f(0)是極小值，f(-)是極小值f(-)是極大值2f ()也是極大值2f(-)也是極小值2(2005)二(11) (4 分)、以下四個(gè)命題中，正確的是(A)若f (x)在(0,1)內(nèi)連續(xù)，則f (x)在(0,1)內(nèi)有界(B)若f(x)在(0,1)內(nèi)連續(xù)，則f (x)在(0,1)內(nèi)有界(C)若f (x)在(0,1)內(nèi)有界，則f (x)在(0,1)內(nèi)有界(D)若f(x)在(0,1)內(nèi)有界

8、，則f (x)在(0,1)內(nèi)有界/ 1x1、(2005)三(15) (8 分)、求(；T -) x 0 1 ex(2006)二(1)設(shè)函數(shù) f(x)具有二階導(dǎo)數(shù)，且 f (x) 0, f (x) 0 ,x為自變量x在點(diǎn)x。處的增量，y與dy分別為f(x)在點(diǎn)x。處對(duì)應(yīng)的增量和微分，若 x 0,則()(A) 0 dy y(B) 0 y dy(C) y dy 0(D) dy y 0三(17) (10分)、證明：當(dāng)0 a b 時(shí),bsinb 2cosb b asina 2cosa a1(2007) (6) (4分)、曲線y ln(1 6)漸近線的條數(shù)為 x()(A) 0(B) 1(C) 2(D) 3

9、(2007)二(11) (4 分)、limxx3 x2 12x x3(sin xcos x)=(2007)三(17) (10 分)、設(shè)函數(shù) y y(x)由方程 ylny x y 0 確定，試判斷曲線y y(x)在點(diǎn)(i,i)附近的凹凸性(2007)三(19)(11 分)、設(shè)函數(shù) f(x),g(x)在a,b上連續(xù)，在(a,b)內(nèi)二階可導(dǎo)且存在相等的最大值，又f(a) g(a), f(b) g(b),證明：存在 (a,b)使f ( ) g()；(II )存在(a,b)使 f ( ) g ().(2008)三(15) (9 分)、求lim7 x 0x2,sinx ln. x x3(2009) (1)

10、 (4分)、函數(shù)f(x) 的可去間斷點(diǎn)的個(gè)數(shù)sin x為()(A) 1(B) 2(C) 3(D)無(wú)窮多個(gè)(2009) ( 2) (4 分)、當(dāng) x 0 時(shí)，f (x) x sin ax 與g(x) x2 ln(1 bx)是等價(jià)無(wú)窮小量，則()(A) a 1,b1/6(B) a 1,b 1/6(C) a 1,b1/6(D) a 1,b 1/6(2009)三(18) (11 分)、(I)證明拉格朗日中值定理：若函數(shù) f(x)在a,b上連續(xù)，在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，則存在 (a,b),使得 f(b) f(a) f ( )(b a).(II)證明：若函數(shù)f(x)在x 0處連續(xù)，在(0, )(0)內(nèi)可導(dǎo)，且

11、 lim f (x) A,則 f (0)存在,且 f (0) A.ox 0(2010) (3)若函數(shù) f (x),g(x)具有二階導(dǎo)數(shù),g (x) 0,若 g(x0) a是g(x)的極值。則f (g(x)在x0取極大值的充分條件是()(A) f (a) 0 (B) f (a) 0 (C) f (a) 0 (D) f 0x(4)設(shè) f (x) ln 10 x, f (x) x, f(x) e10,則當(dāng) x 充分大時(shí)(A) g(x) h(x) f (x)(B) h(x) g(x) f (x)(C) f (x) g(x) h(x)(D) g(x) f (x) h(x)121_j_三(15)求極限 l

12、im (xx 1)lnxx(2011)三(15)求極限lim x 0、1 2sin x xxln(1 x)三(18)證明4arctanx x V3 0恰有2實(shí)根.32x x .(2012) (1)曲線y的漸近線的條數(shù)為()x 1(A) 0(B) 1(C) 2(D) 32 2cosx e2ex(15)2.(1 x 1)2計(jì)算一 X1 X(18)證明 x In cosx 11 x數(shù)一：11 、1999 13分、l'm( ) .x 0 xxtanx(1999)六(6 分)、試證：當(dāng) x 0 時(shí)，(x2 1)lnx (x 1)2.(2000)二(1) (3分)、設(shè)f(x)、g(x)是恒大于零的

13、可導(dǎo)函數(shù)，且 f(x)g(x) f(x)g(x) 0,則當(dāng) a x b時(shí)，有()(A) f(x)g(b) f (b)g(x)(B) f(x)g(a) f(a)g(x)(C) f(x)g(x) f(b)g(b)(D) f(x)g(x) f(a)g(a)(2001)二(1) (3分)、設(shè)函數(shù)f(x)在定義域內(nèi)可導(dǎo)，y f(x)的圖形如右圖所示，則導(dǎo)函數(shù) y f(x)的圖形為( )(B)(2001)七(7分)、設(shè)y他刈在(1,1)內(nèi)具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)且f (x) 0,試證：(1 )對(duì)于(1,1)內(nèi)的任一 x 0 ,存在唯一的(x) (0,1),使f(x) f(0) xf(x)x)成立；, 、1(2)呵

14、(x)-.x 02(2002)二(3) (3分)、設(shè)函數(shù)y "乂)在(0,)內(nèi)有界且可導(dǎo)，則()(A)當(dāng) lim f (x) 0 必有 lim f (x) 0 xx(B)當(dāng)防f (x)存在時(shí)，必有 xlim f (x) 0(C)當(dāng) lim f (x) 0,必有 lim f (x) 0 x 0x 0(D)當(dāng) 呵f (x)存在時(shí)，必有 Hm0 f (x) 0(2002)三(6分)、設(shè)函數(shù)f(x)在x 0的某鄰域內(nèi)具有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且 f(0) 0, f (0) 0,若 af(h) bf (2h) f(0)在 h 0 時(shí)是比 h 高階的無(wú)窮小，試確定a,b的值。(2003)二(1) (4分

15、)設(shè)函數(shù)yM乂)在(，)內(nèi)連續(xù)，其導(dǎo)函數(shù)的 圖形如圖所示，則“刈有()(A) 一個(gè)極小值點(diǎn)和兩個(gè)極大值點(diǎn)(B)兩個(gè)極小值點(diǎn)和一個(gè)極大值點(diǎn)(C)兩個(gè)極小值點(diǎn)和兩個(gè)極大值點(diǎn)(D)三個(gè)極小值點(diǎn)和一個(gè)極大值點(diǎn)(2004)二(8) (4分)設(shè)函數(shù)f(x)連續(xù)，且f (0) 0,則存在 0,使得()(A) f(x)在(0,)內(nèi)單調(diào)增加(B) “*)在(，0)內(nèi)單調(diào)減少(C)對(duì)任意的 x (0,),有 f(x) f(0)(D)對(duì)任意的 x ( ,0),有 f(x) f (0)(2004)三(15) (12 分)設(shè) e a b e2 ,證明 ln2b ln2 a -42 (b a)。 e2 x 一、一.(20

16、05) 一(1) (4分)、曲線y -的斜漸近線萬(wàn)程為 2x 1(2005)三(18) (12分)、已知函數(shù)f(0) 0, f (1) 1.證明:f (x)在0,1連續(xù)，在(0,1)可導(dǎo)，且(I)存在 (0,1)使得f() 1(II)存在兩個(gè)不同的點(diǎn),(0,1)，使得f ( )f ( ) 1.( 2006)二(7) (4分)設(shè)函數(shù) y f(x)具有二階導(dǎo)數(shù)，且f (x) 0, f (x) 0, x為自變量x在點(diǎn)X0處的增量，y與dy分別為f(x)在點(diǎn)X0處對(duì)應(yīng)的增量與微分，若 x>0,則()(A)0 dy y (B) 0 y dy(C) y dy 0(D) dy y 0( 2006 )三(16) (12分)設(shè)數(shù)列xn滿足0 xi xn 1 sin xn(n 1,2,).(I)證明nim Xn存在，并求該極限；1n 1 x 之口(II)計(jì)算 nim(-x)x n1x、(2007) (2) (4分)、曲線y ln(1 e兀斬近線的條數(shù)為()x(A) 0 (B)1(C)2(D) 3一(5)設(shè)函數(shù)y f(x)在(0,)上具有二階導(dǎo)數(shù)，且f (x) 0,令Unf (n),n 1,2,則下列結(jié)論正確的是()(A)若U1U2 ,則xn必收斂(B)若U1U2 ,則xn必發(fā)散sin x sin(sin x)sin x(C)若U1 U