雙曲線知識點總結(jié)整理版

1、雙曲線知識點指導教師：鄭軍雙曲線的定義：1. 第一定義：到兩個定點Fi與F2的距離之差的絕對值等于定長（V |FiF2| ）的點的軌跡 （引|PF2| 2a FiFJ （ a為常數(shù)）.這兩個定點叫雙曲線的焦點.要注意兩點：（1）距離之差的絕對值（ 2） 2av | FiF2|.當|MF| |MF|=2a時，曲線僅表示焦點F?所對應的一支；當|MF| |MF|= 2a時，曲線僅表示焦點Fi所對應的一支；當2a=| F1F2I時，軌跡是一直線上以Fi、F2為端點向外的兩條射線；當2a>| FiF2|時，動點軌跡不存在.斶1)闿2)2. 第二定義：動點到一定點F的距離與它到一條定直線I的距離之

2、比是常數(shù)e（e> 1）時，這個動點 的軌跡是雙曲線這定點叫做雙曲線的焦點，定直線I叫做雙曲線的準線*圖 818雙曲線的標準方程:2 2話冷1(a>0, b>°)(焦點在X軸上)；2 y 2 ab21 (a>0, b>0)(焦點在y軸上);1.如果x2項的系數(shù)是正數(shù)，則焦點在x軸上；如果y2項的系數(shù)是正數(shù)，則焦點在y2.軸上.a不一定大于b.2 2與雙曲線冷 為1共焦點的雙曲線系方程是a ba23.2雙曲線方程也可設為：-m2y1(m n 0)n2例題：已知雙曲線C和橢圓162七1有相同的焦點,且過P(3, 4)點，求雙曲線C的軌跡方程。點與雙曲線的位置關(guān)

3、系，直線與雙曲線的位置關(guān)系:1點與雙曲線：點Pgy。)在雙曲線2 x 22y .21(a0,b0)的內(nèi)部2x022y01.2 1abab2222點Pgy。)在雙曲線x2y_.21(a0,b0)的外部X。2y0 1.2abab2222點P( x0, y°)在雙曲線x2y_.21(a0,b0)上智址=1'.2 =labab2直線與雙曲線：(代數(shù)法)設直線l: y kx m，雙曲線2x22y1( a 0,b0)聯(lián)立解得ab 2 2 2 2 24a b (m b a k )(b2 a2k2 )x2 2a2mkxa2m2a2b201) m 0時，-k -直線與雙曲線交于兩點(左支一個點

4、右支一個點)；a ak -，k-，或k不存在時直線與雙曲線沒有交點；aa2) m 0 時，k存在時，若b2 a2k20k b，直線與雙曲線漸近線平行，直線與雙曲線相交于一點；a22. 2 2 2 2 2, 2 2 2 2.2.若 b a k 0，( 2a mk) 4(b a k )( a m a b )0時，m2 b2 a2k20，直線與雙曲線相交于兩點；0時，m2 b2 a2k20 ,直線與雙曲線相離，沒有交點；2 .20時m2 b2 a2k20， k2 m2直線與雙曲線有一個交點；a若k不存在，a m a時，直線與雙曲線沒有交點；m a或ma直線與雙曲線相交于兩點；3. 過定點的直線與雙曲

5、線的位置關(guān)系：2 2設直線 1 ： y kx m 過定點 P(x0, y0)，雙曲線一21(a 0,b 0)a b1).當點P(X0,y°)在雙曲線內(nèi)部時：-k -，直線與雙曲線兩支各有一個交點；a ak-，直線與雙曲線漸近線平行，直線與雙曲線相交于一點；ak -或k-或k不存在時直線與雙曲線的一支有兩個交點；aa2).當點P(X0,y°)在雙曲線上時：k b或k 2X°，直線與雙曲線只交于點P(X0,y°)；aay。b k -直線與雙曲線交于兩點(左支一個點右支一個點)；a ak警(y。0 )或b k學(y。0 )或kb或k不存在,a y°a

6、a y°a直線與雙曲線在一支上有兩個交點；當y°0時，Kk一或k不存在，直線與雙曲線只交于點 P(X0,y°)；ak b或kb時直線與雙曲線的一支有兩個交點；aab k -直線與雙曲線交于兩點(左支一個點右支一個點)；a a3) .當點P(X0,y°)在雙曲線外部時：當P 0,0時，-k b，直線與雙曲線兩支各有一個交點;a ak -或k b或k不存在，直線與雙曲線沒有交點; a a當點m 0時，k時，過點P(X0,y°)的直線與雙曲線相切k b時，直線與雙曲線只交于一點;a幾何法：直線與漸近線的位置關(guān)系2例:過點P(0,3)的直線I和雙曲線C

7、 : x2 乂 1，僅有一個公共點，求直線I的方4四、程。雙曲線與漸近線的關(guān)系:1.若雙曲線方程為2.3.2 ab2 x2y2 ab22yx22 ab22y2 x2 ab2ybx a2 x2y2 ab2漸近線方程:0若雙曲線方程為1漸近線方程:x若漸近線方程為a雙曲線可設為2 x2y0y1(a0,b0)(a>0, b>0)0.24. 若雙曲線與篤a2 y b21有公共漸近線五、1.則雙曲線的方程可設為上)雙曲線與切線方程:2雙曲線右a2 X2 a2b (0,焦點在x軸上,0，焦點在y軸27 1(a 0, b 0)上一點P(x0, y0)處的切線方程是0_bay0y 1孑1.2.3.

8、X0X2aycy 1 b2 1.x2雙曲線孑b吿1(a 0,b 0)與直線Ax By C 0相切的條件是A2a2 B2b2 c2.雙曲線標準方程(焦點在x軸)2 2xy21(a0,b 0)ab標準方程(焦點在y軸)雙曲線的性質(zhì):六、2 2m(a °,b0)2第一定義：平面內(nèi)與兩個定點Fl，F(xiàn)2的距離的差的絕對值是常數(shù)(小于IF1F2I)的 點的軌跡叫雙曲線。這兩個定點叫做雙曲線的焦點，兩焦點的距離叫焦距。M MF1 MF22a 2a定義P、 yyF2/x/F1 第二定義：平面內(nèi)與一個定點 F和一條定直線I的距離的比是常數(shù)e，當e 1時, 動點的軌跡是雙曲線。定點F叫做雙曲線的焦點，定

9、直線叫做雙曲線的準線，常數(shù) e(e 1)叫做雙曲線的離心率。范圍對稱軸對稱中心焦占坐八 、八、一I-標頂點坐 標離心率準線方 程頂點到 準線的 距離pyP IKJF2x軸,y軸；實軸長為2a,虛軸長為2b原點0(0,0)£( c,0) F2(c,0)F1(0, c)F2(0, c)焦點在實軸上，c Ja2 b2 ;焦距：IF1F2I 2c(a,0) ( a,0)(0, a,) (0，a)e C(e 1)，c22 b2，e越大則雙曲線開口的開闊度越大a2 準線垂直于實軸且在兩頂點的內(nèi)側(cè)；兩準線間的距離：絲C頂點A ( A )到準線l1 ( I2 )的距離為aC_t 2頂點Ai ( A

10、)到準線12 ( li)的距離為L ac焦占至U 八、八、亠J準線的 距離22焦點Fi（ F2）到準線ii（ 12）的距離為c a_丄c c2焦點Fi （ F2）到準線l2 （ li ）的距離為丄cc漸近線方程b /虛） y-x （片）a實b(虛)x -y (=) a實共漸近 線的雙 曲線系 方程2 2k (k 0)ab2 2-T 2k ( k 0)ab直線和 雙曲線 的位置2 2雙曲線篤與i與直線y kx b的位置關(guān)系：ab22x y i利用a2 b2'轉(zhuǎn)化為一元二次方程用判別式確定。y kx b二次方程二次項系數(shù)為零直線與漸近線平行。相父弦 AB的弦長 |AB| Ji k2J（Xi

11、 x2）2 4Xi«通徑：AB| y2 yi|過雙曲 線上一 點的切 線弩呼i或利用導數(shù)abay ；02x i或利用導數(shù)七、弦長公式：若直線y kx b與圓錐曲線相交于兩點A B,且Xi,X2分別為A、B的橫坐標，則AB 応X2p(ylABVk21 x-!x224x1x2 1 k2 ，若yi, y2分別為A、B的縱 |a|坐標，則ABX224y2。通徑的定義：過焦點且垂直于實軸的直線與雙曲線相交于2b2A B兩點，則弦長| AB|竺。ay2若弦AB所在直線方程設為x ky b，則AB = Ji k2|y y2特別地，焦點弦的弦長的計算是將焦點弦轉(zhuǎn)化為兩條焦半徑之和后，利用第二定義求解

12、,例：直線y x八、焦半徑公式:21與雙曲線21相交于A, B兩點，貝U AB =2雙曲線篤ab21 (a>0, b>0)上有一動點 M(x0,y0)當 M(xo,y。)在左支上時MFj exo a,|MF2| exo a當 M(xo,y。)在右支上時 | MF! | exo a, IMF2I exo a注：焦半徑公式是關(guān)于X。的一次函數(shù)，具有單調(diào)性，當 M(Xo,y。)在左支端點時IMFj c a ,IMF2I c a，當 M(xo,y。)在左支端點時 | MF! | c a , | MF2 | c a九、等軸雙曲線:2x2 a貝U:2y21 (a>0, b>0)當a

13、 b時稱雙曲線為等軸雙曲線;b21. a b ；2. 離心率e 2 ；3. 兩漸近線互相垂直，分別為y= x ；4. 等軸雙曲線的方程x2 y2,0 ；5. 等軸雙曲線上任意一點到中心的距離是它到兩個焦點的距離的比例中項。 十、共軛雙曲線：1. 定義：以已知雙曲線的虛軸為實軸，實軸為虛軸的雙曲線叫做原雙曲線的共 軛雙曲線，通常稱它們互為共軛雙曲線.2. 方程：3. 性質(zhì)：共軛雙曲線有共同的漸近線；共軛雙曲線的四個焦點共圓.2 2x - y_TT -2a b它們的離心率的倒數(shù)的平方和等于1。1 (a>0;b>0)的焦點為F1與F2，且p為曲線上任意一點,則PF1F2的面積Sb2cot

14、焦點三角形面積公式： S f,pf2 b2 cot ,(F1PF2)1 2 2雙曲線1. 點P處的切線PT平分 PFF2在點P處的內(nèi)角.2. PT平分 PFF2在點P處的內(nèi)角，則焦點在直線PT上的射影H點的軌跡是以長軸為直 徑的圓，除去長軸的兩個端點.3. 以焦點弦PQ為直徑的圓必與對應準線相交.4. 以焦點半徑PF1為直徑的圓必與以實軸為直徑的圓 相切.(內(nèi)切：P在右支；外切：P 在左支)2 25. 若P0(xo, yo)在雙曲線 令 占1 (a>0,b > 0) 上,則過P。的雙曲線的切線方程是a bx)x yoy 12 .2a b2若P0(xo, y0)在雙曲線2ab21 (

15、a> 0,b >0)夕卜，則過Po作雙曲線的兩條切線切點為P1、P2,則切點弦P1P2的直線方程是轡1.a b2 2雙曲線 冷 吿1( a> 0,b >0)的左右焦點分別為F1, F 2，點P為雙曲線上任意一 a b點F1PF2，則雙曲線的焦點角形的面積為 S F1pf2 b2cot.1 2 2設過雙曲線焦點F作直線與雙曲線相交P、Q兩點，A為雙曲線長軸上一個頂點，連 結(jié)AP和AQ分別交相應于焦點F的雙曲線準線于 M N兩點，貝U MFL NF.過雙曲線一個焦點F的直線與雙曲線交于兩點P、Q, A1、A為雙曲線實軸上的頂點,AP和AQ交于點M, AP和AQ交于點N,貝U

16、 MFLNF.6.7.8.9.10.11.12.14.15.16.17.18.19.20.21.22.23.24.25.26.27.28.29.30.31.32.2AB是雙曲線務a則 KoM K AB2ybb2Xg1 (a>0,b >0)的不平行于對稱軸的弦，M(xo,y。)為AB的中點,2a y。，即K ABb2Xga2y。°x2若P0(X0,y0)在雙曲線-2 a2y。b2 .2 y_ b21 (a> 0,b > 0)內(nèi)，則被Po所平分的中點弦的方程是2X0Xy°y X0aa2b213.目錄雙曲線知識點1雙曲線定義:錯誤!未定義書簽。錯誤!未定義書簽。2. 雙曲線的標準方程： 錯誤!未定義書簽3. 雙曲線的標準方程判別方法是： 錯誤!未定義書簽4. 求雙曲線的標準