指數(shù)方程和對數(shù)方程的討論二0001

1、高三復(fù)習(xí)第27課：指數(shù)方程和對數(shù)方程的討論（2）【教學(xué)目標(biāo)】 掌握含參數(shù)的指數(shù)、對數(shù)方程的解題方法【教學(xué)重點】掌握含參數(shù)的指數(shù)、對數(shù)方程的解題方法【教學(xué)難點】學(xué)會分類討論、轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想【知識整理】指數(shù)方程與對數(shù)方程的類型及其解法類 型指數(shù)方程的解法對數(shù)方程的解法最簡型ax=b(a >0,aH1)(1) b a0時,x = log a b(2) b M0時,無解loga x = b(a> 0,a1) 解為x = ab同 底 型f (x)g (x)a =a (a0,aH1) 等價于f (x) = g(x)loga f(x) = logag(x)(aA0,a1) 等價于 f (x) =

2、 g(x) a0換元型f (ax) =0,設(shè)y=ax,解方程f (y) =0 再解方程ax = yf (loga x) =0,設(shè)y = loga x,解方程 f (y) = 0 再解方程loga x = y【例題解析】【屬性】高三，函數(shù)，指數(shù)和對數(shù)方程，填空題，易，邏輯能力【題目】函數(shù)y =ax（aO,a式1）在1,2】上最大值比最小值大 旦，則a =2【解答】31解： 或2 2【屬性】高三，函數(shù)，指數(shù)和對數(shù)方程，填空題，易，邏輯能力 【題目】函數(shù)f （x） = log a x（2蘭x蘭巧的最大值比最小值大，貝U a e【解答】解: 2,_2【屬性】高三，函數(shù)，指數(shù)和對數(shù)方程，解答題，易，計算

3、能力【題目】解指數(shù)方程4x 1 -9片2 80 =0【解答】令 y =2x，得 4Ly2 -36_y 80 = 0 y =4 或 5二 x =2或x = log2 5【屬性】高三，函數(shù)，指數(shù)和對數(shù)方程，解答題，易，計算能力【題目】解對數(shù)方程(log4 x)2 log2 x 一3 =0【解答】1令og?x =y，得 x = 64或x =【屬性】高三，函數(shù)，指數(shù)和對數(shù)方程，解答題，易，計算能力【題目】解對數(shù)方程 log(x 1)(2x2 3x -5) =2【解答】得 2x2 3x-5 = (x 1)20x 二 2【屬性】高三，函數(shù)，指數(shù)和對數(shù)方程，解答題，中，分析問題解決問題能力【題目】已知函數(shù)

4、f(x) =ax 口 (a 1)，x+1求證：方程f(x)=0沒有負(fù)數(shù)根.【解答】證明：假設(shè)是方程f(x)=0的負(fù)數(shù)根，且xo=_1，則ax0，X°+1即玄勺=0° =士£_1!1，冷 +1X。+1X。+133當(dāng) 一1 ： x0 : 0時，0 ：怡 1 ： 1,3 , -1 2 ,而由 a 1 知 ax0 < 1 .二x+1x°+1式不成立；33當(dāng) x -1 時，x0 V： 0，二0，二1 ” T，而 ax0 0.x° +1x° +1式不成立.綜上所述，方程f(x)=0沒有負(fù)數(shù)根【課堂反饋】【屬性】高三，函數(shù)，指數(shù)和對數(shù)方程，解

5、答題，易，計算能力【題目】解指數(shù)方程92 2x -4 32 2x 3 = 0【解答】令 32<2x=y，得 x = 0或X=18【屬性】高三，函數(shù)，指數(shù)和對數(shù)方程，解答題，易，計算能力【題目】解對數(shù)方程2也25 3log25 x =1【解答】3令 logx25 = y，得 2y 1yx 1 或 25325【屬性】高三，函數(shù)，指數(shù)和對數(shù)方程，解答題，中，探究能力【題目】若關(guān)于x的方程25-|xT 4 5"+11 m=0有實根，求m的取值范圍.【解答】解法一：設(shè)y=5-x+11，則0vy< 1，問題轉(zhuǎn)化為方程y2 4y n=0在(0, 1內(nèi)有實根.設(shè) f (y) =y24ym

6、 其對稱軸 y=2，. f(0)> 0且 f( 1)<0, 得一3< m< 0.( 0, 1,二 m= (y 2) 2-4 3,解法二： n=y2 4y,其中 y=5|x+110).【課堂小結(jié)】1、指對數(shù)方程的解法2、含參方程的求解，常依具體條件，確定參數(shù)的取值范圍【作業(yè)布置】【屬性】高三，函數(shù)，指數(shù)和對數(shù)方程，解答題，中，探究能力【題目】若關(guān)于x的方程9-1 x-21 4 3-1 x-21 a=0有實根，求a的取值范圍.【解答】解法一：設(shè)y=3Ty，則0vy< 1,問題轉(zhuǎn)化為方程y2 4ya=0在(0, 1內(nèi)有實根.設(shè) f (y) =y2 4y a,其對稱軸 y

7、=2,. f (0)> 0且 f (1)<0, 得一3w a v 0.解法二：t a二y2 4y,其中 丫二宀 (0, 1,二 a= (y 2) 2 4 3,0).【屬性】高三，函數(shù)，指數(shù)和對數(shù)方程，解答題，難，分析問題解決問題能力【題目】 為何值時，方程4x -k2x k 0有兩解？ 一解？無解?【解答】 令2t,r(0, ：)，則原方程化為2t -kt k 3 =0，進(jìn)一步整理得t2 3 =k(t -1),t 0嚴(yán)2y =t + 3 t A 0y1的交點情況即為解的情況 y=k(t-1)先求掄-0得k - -2或6由圖像知：k .6時兩解k =6或k ： -3時一解一3蘭k v

8、 6時無解【屬性】高三，函數(shù)，指數(shù)和對數(shù)方程，解答題，中，邏輯能力【題目】 若關(guān)于的方程lg(x 一1) lg(3x) =lg(ax)有實數(shù)解，求實數(shù)的范圍【解答】 方程整理得（x 1）（3 x）二 a x, x -1 . 0,3 x . 0考慮(x_1)(x),x_1 d 0圖像有交點1y = a - x由圖像知：131 ： a乞13時有解4【屬性】高哥三，函數(shù)，指數(shù)和對數(shù)方程，填空題，中，計算能力【題目】方程xlgx x2=1000的解集為 【解答】解：原方程變形為xlgx+2=1000，取對數(shù)得 lgxlgx+2=3，即（lgx） 2+2lgx-3=0，解得 lgx=1 或 lgx=-3

9、，于是x=10 或 x=11000即應(yīng)填Jx x亠 1=10或 x =1000點撥：af(x) =ag(x)型方程可變形為 f(x)=g(x) ； af(x)=bg(x)型方程可變形為 f(x)lga=g(x)lgb ; af(x) =b 型方程可變形為f(x)=log abo【屬性】高三，函數(shù)，指數(shù)方程，解答題，中，計算能力【題目】求方程C.4 -15廣(,4 .、15)x =8的解集【解答】解：對原方程變形為 V-,4 J5)2x -8(、.4 .、15)x 1=0，設(shè)y= (.4<15)x，原方程可化為:2 y -8y+1=0，解得 y=4+15 或 y=4-、15。亦即（一415

10、）x =4 J5，或（. 4,15）x =4-.,15 ,于是 x=2 或 x=-2。即應(yīng)填、xx =2或x = _2。點撥：對于f（ax）=o型方程，只須設(shè)y=ax，原方程就變形為f（y）=O。【屬性】高三，函數(shù)，指數(shù)方程，解答題，中，計算能力【題目】方程 Iog3（3x-1）log3（3x-1-； ）=2 的解集為 ?！窘獯稹拷猓涸匠套冃螢镮og3（3x-1）log3 1 *（3x -1） =2，3即Iog3（3x-1）2-Iog3（3x-1）-2=0，設(shè) y=|og 3（3x-1），原方程可化為:y2-y-2=0，解得 y=-1 或 y=2，亦即 Iog3（3x-1）=-1，或 Iog

11、 3（3x-1）=2。于是 3x=，或 3x=10。3解得 x=Iog 34-1 或 x=log310。即應(yīng)填 x x Iog 3 4 -1或x =log3 10f。點撥：把一個代數(shù)式當(dāng)作一個整體進(jìn)行換元，以達(dá)到減少運算量的目的。【屬性】高三，函數(shù)，指數(shù)方程，解答題，中，分析問題解決問題能力【題目】方程lgx=sinx的根的個數(shù)是（）A. 1個B. 2個C. 3個D. 4個【解答】解：設(shè)y1=lgx，y2=sinx，在同一坐標(biāo)系作出它們的圖象;這兩條曲線只有3個交點，易知方程lgx=sinx的根的個數(shù)是3個。即應(yīng)選C?！緦傩浴扛呷瘮?shù)，指數(shù)方程，選擇題，中能力，邏輯【題目】設(shè)方程lgx=10

12、-x的根是a，方程10x=10-x的根是B，則a + 3的值是()A. 100B. 10C. 5 D.4【解答】設(shè)yi=lgx， y2=10x， y3=10-x在同一坐標(biāo)系作出它們的圖象：于是a = OA，3 = OB，由于函數(shù)設(shè)yTgx與y2=10x關(guān)于直線y=x對稱，因而OA|=|BC，口+P =0A +|0B = BC +0A =0C =10。即應(yīng)選B。點撥：利用數(shù)形結(jié)合的方法來解決代數(shù)問題，具有直觀形象，生動新穎的特點，此法在 高中數(shù)學(xué)中具有廣泛的應(yīng)用。ia5 2 _【屬性】高三，函數(shù)，指數(shù)方程，解答題，中，計算能力【題目】已知關(guān)于x的方程2a2x-2 7ax-1+3=0有一個根是2,

13、求a的值和方程其余的根?！窘獯稹拷猓?x=2是關(guān)于x的方程2a2x-2 7ax-1+3=0的一個根，2 1 2a2 7a+3=0，解得 a= 或 a=32(1)當(dāng)a=±時，對原方程變形為21、2x1 . x8 *(一)-14 ()3=0，解得 x=2 或 x=1 Iog23。(2)當(dāng) a=3 時，對原方程變形為2 32(x-1) 14 3x-1+3=0，于是 3x-1 = 1 或 3x-1 =3，2解得 x=1-log 32 或 x=2。綜上所述，a的值為丄或3。21當(dāng)a=時，方程的另一根是 x=1 log23;2當(dāng)a=3時，方程的另一根是x=1 Iog23?！緦傩浴扛呷瘮?shù)，指數(shù)

14、方程，解答題，中，計算能力探究能力【題目】設(shè)對數(shù)方程Ig(ax)=2Ig(x-1)，討論當(dāng)a在什么范圍內(nèi)取值時，該方程有解，并求出它的解。【解答】解：T ax>0 且 x> 1，二當(dāng) a> 0, x > 1 時，原方程可化為ax=(x-1)X h 點撥：主元與非主元是相對的，是可以互相轉(zhuǎn)變的。在解題過程中，可根據(jù)需要，進(jìn)行 不斷的調(diào)整?！緦傩浴扛呷?，函數(shù)，指數(shù)和對數(shù)方程，解答題，中，分析問題解決問題能力【題目】關(guān)于的方程9x (4 a) 3x 4=0有實數(shù)解，求實數(shù)的范圍。【解答】令3x 二t,t 0。變換主元，求出原方程有解的條件，即求當(dāng)x> 1時，a'

15、x")的值域。x-a=(x -1)2> 0 (x > 1)。當(dāng)a>0時，原方程有解，解方程 x2-(2+a)x+1=0 ,得 X = 2 a -' a2 4a。而 2 a" 4a V1 ,2 22 +a + Ja2 +4ax 2因而當(dāng)a>0時，原方程有解為2 +a 十 JaMa方程整理得t2 (4 a) t 0, t 04轉(zhuǎn)化得 a =-( t 4),t0t所以a乞一8時原方程有實數(shù)解?！緦傩浴扛呷?，函數(shù)，指數(shù)和對數(shù)方程，解答題，難，探究能力【題目】設(shè) s 1, t 1,m R, x = logst logt s， y = log： t lo

16、g： s m(log：t log： s)。(1) 將表示為的函數(shù)y = f(x)，并求出f(x)的定義域；(2) 若關(guān)于的方程f(x)=0有實數(shù)根，求的取值范圍?！窘獯稹?1(1)令 a = logst,(a 0)，則 logt s ， x = a 2，aa211 2241212因為 a 2= (a )-2=x-2,a: =(a 2) -2，aaaa(2)因為所以 y = f (x) = (x2 -2)2 -2 m(x2 -2) = x4 (m -4)x2 2(1 - m), x 2,：)y = f (x) = (x2 -2)2 -2 m(x2 -2) = 0在 x 2,：)有實根。 xa=0

17、 時，2=1 , x=0;令x2-2二z,z 一2則原方程轉(zhuǎn)化為,2 m 0在z 2, ：)有實根2 參變分離得m - -z z2因為-z1z所以m匕1?！緦傩浴扛呷?，函數(shù)，指數(shù)和對數(shù)方程，解答題，中，計算探究能力【題目】解關(guān)于x的方程：【解答】(考慮單調(diào)性)lg(x2-2ax)-lg(6 a-3)=0.化原方程為:產(chǎn) 2x 2ax>0Pa -3>02x 2ax=6a31a -2(xa)2 二 a2 6a 72112 22二 a +6a-3>+6x -3>0，故由(x-a )=a+6a-3 得：x-a= ±、a 6a3 即 x=a42± “a2 6a

18、 -3(a> 1 ).2【屬性】高三，函數(shù)，指數(shù)和對數(shù)方程，解答題，中，計算探究能力【題目】 解關(guān)于x的方程：a2 4x+(2a-1) 2x+仁0.【解答】令t=2x，則關(guān)于t的一元方程至少有一個正根，a是否為0,決定了方程的“次數(shù)”.當(dāng)1 a> ，21當(dāng) a 豐 0 時， =(2a-1)2-4a2=1-4a ;若40 則 aw (a 工 0).4,、， , ” f . ” 、2 2 1且關(guān)于t的一元二次方程 a t +(2a-1)t+1=0至少有一個正根， 而兩根之積為 >0，故兩a根之和為正數(shù)，即匕$>0a<1,故 a w 1 （a 豐 0）時，2二a24（12a）_.14a 故2a2苗0）時，x=log2_2a 一1"2a2為原方程之根.歸納：方程經(jīng)“換元”之后，如何保持“等價性”是關(guān)鍵所在，應(yīng)確定“新元”和“舊元” 的對應(yīng)關(guān)系以及“新元”的取值范圍【屬性】高三，函數(shù)，指數(shù)和對數(shù)方程，解答題，中，計算探究能力【題目】當(dāng)a為何值時，關(guān)于x的方程4x-(2a+1) 2x+a2+2=0的根一個比另一個大1.【解答】令y=