高考求函數(shù)值域及最值得方法及例題訓(xùn)練題

1、函數(shù)專題之值域與最值問題一觀察法 通過對函數(shù)定義域、性質(zhì)的觀察，結(jié)合函數(shù)的解析式，求得函數(shù)的值域。 例1求函數(shù)y=3+(23x) 的值域。 點(diǎn)撥：根據(jù)算術(shù)平方根的性質(zhì)，先求出(23x) 的值域。 解：由算術(shù)平方根的性質(zhì)，知(23x)0， 故3+(23x)3。函數(shù)的知域?yàn)?. 點(diǎn)評：算術(shù)平方根具有雙重非負(fù)性，即：（1）被開方數(shù)的非負(fù)性，（2）值的非負(fù)性。 本題通過直接觀察算術(shù)平方根的性質(zhì)而獲解，這種方法對于一類函數(shù)的值域的求法，簡捷明了，不失為一種巧法。 練習(xí)：求函數(shù)y=x(0x5)的值域。（答案：值域?yàn)椋?，1，2，3，4，5） 二反函數(shù)法 當(dāng)函數(shù)的反函數(shù)存在時，則其反函數(shù)的定義域就是原函數(shù)的

2、值域。 例2求函數(shù)y=(x+1)/(x+2)的值域。 點(diǎn)撥：先求出原函數(shù)的反函數(shù)，再求出其定義域。 解：顯然函數(shù)y=(x+1)/(x+2)的反函數(shù)為:x=(12y)/（y1）,其定義域?yàn)閥1的實(shí)數(shù),故函數(shù)y的值域?yàn)閥y1,yR。 點(diǎn)評：利用反函數(shù)法求原函數(shù)的定義域的前提條件是原函數(shù)存在反函數(shù)。這種方法體現(xiàn)逆向思維的思想，是數(shù)學(xué)解題的重要方法之一。 練習(xí)：求函數(shù)y=(10x+10-x)/(10x10-x)的值域。（答案：函數(shù)的值域?yàn)閥y<1或y>1） 三配方法 當(dāng)所給函數(shù)是二次函數(shù)或可化為二次函數(shù)的復(fù)合函數(shù)時,可以利用配方法求函數(shù)值域 例3：求函數(shù)y=(x2+x+2)的值域。 點(diǎn)撥：

3、將被開方數(shù)配方成完全平方數(shù)，利用二次函數(shù)的最值求。 解：由x2+x+20,可知函數(shù)的定義域?yàn)閤1，2。此時x2+x+2=（x1/2）29/40，9/40x2+x+23/2,函數(shù)的值域是0,3/2 點(diǎn)評：求函數(shù)的值域不但要重視對應(yīng)關(guān)系的應(yīng)用,而且要特別注意定義域?qū)χ涤虻闹萍s作用。配方法是數(shù)學(xué)的一種重要的思想方法。 練習(xí)：求函數(shù)y=2x5154x的值域.(答案:值域?yàn)閥y3) 四判別式法 若可化為關(guān)于某變量的二次方程的分式函數(shù)或無理函數(shù),可用判別式法求函數(shù)的值域。 例4求函數(shù)y=(2x22x+3)/(x2x+1)的值域。 點(diǎn)撥：將原函數(shù)轉(zhuǎn)化為自變量的二次方程，應(yīng)用二次方程根的判別式，從而確定出原函

4、數(shù)的值域。 解：將上式化為（y2）x2(y2)x+(y-3)=0 （） 當(dāng)y2時,由=(y2)24（y2）x+(y3)0，解得：2x10/3 當(dāng)y=2時,方程()無解。函數(shù)的值域?yàn)?y10/3。 點(diǎn)評：把函數(shù)關(guān)系化為二次方程F(x,y)=0，由于方程有實(shí)數(shù)解，故其判別式為非負(fù)數(shù)，可求得函數(shù)的值域。常適應(yīng)于形如y=(ax2+bx+c)/(dx2+ex+f)及y=ax+b±(cx2+dx+e)的函數(shù)。 練習(xí)：求函數(shù)y=1/(2x23x+1)的值域。（答案：值域?yàn)閥8或y>0）。 五最值法 對于閉區(qū)間a,b上的連續(xù)函數(shù)y=f(x),可求出y=f(x)在區(qū)間a,b內(nèi)的極值,并與邊界值f

5、(a).f(b)作比較,求出函數(shù)的最值,可得到函數(shù)y的值域。 例5已知(2x2-x-3)/(3x2+x+1)0,且滿足x+y=1,求函數(shù)z=xy+3x的值域。 點(diǎn)撥：根據(jù)已知條件求出自變量x的取值范圍，將目標(biāo)函數(shù)消元、配方，可求出函數(shù)的值域。 解：3x2+x+10，上述分式不等式與不等式2x2-x-30同解，解之得1x3/2，又x+y=1，將y=1-x代入z=xy+3x中，得z=-x2+4x(-1x3/2),z=-(x-2)2+4且x-1,3/2,函數(shù)z在區(qū)間-1,3/2上連續(xù)，故只需比較邊界的大小。 當(dāng)x=-1時，z=5；當(dāng)x=3/2時，z=15/4。函數(shù)z的值域?yàn)閦5z15/4。 點(diǎn)評：本

6、題是將函數(shù)的值域問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值。對開區(qū)間，若存在最值，也可通過求出最值而獲得函數(shù)的值域。 練習(xí)：若x為實(shí)數(shù)，則函數(shù)y=x2+3x-5的值域?yàn)?（ ） A（，） B7， C0，） D5，） （答案：D）。 六圖象法 通過觀察函數(shù)的圖象，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的方法得到函數(shù)的值域。 例6求函數(shù)y=x+1+(x-2)2 的值域。 點(diǎn)撥：根據(jù)絕對值的意義，去掉符號后轉(zhuǎn)化為分段函數(shù)，作出其圖象。 解：原函數(shù)化為 2x+1 (x1) y= 3 (-1<x2) 2x-1(x>2) 它的圖象如圖所示。 顯然函數(shù)值y3,所以，函數(shù)值域3，。 點(diǎn)評：分段函數(shù)應(yīng)注意函數(shù)的端點(diǎn)。利用函數(shù)的圖象求函數(shù)的值域，體

7、現(xiàn)數(shù)形結(jié)合的思想。是解決問題的重要方法。 求函數(shù)值域的方法較多，還適應(yīng)通過不等式法、函數(shù)的單調(diào)性、換元法等方法求函數(shù)的值域。 七單調(diào)法 利用函數(shù)在給定的區(qū)間上的單調(diào)遞增或單調(diào)遞減求值域。 例1求函數(shù)y=4x1-3x(x1/3)的值域。 點(diǎn)撥：由已知的函數(shù)是復(fù)合函數(shù)，即g(x)= 1-3x,y=f(x)+g(x)，其定義域?yàn)閤1/3，在此區(qū)間內(nèi)分別討論函數(shù)的增減性，從而確定函數(shù)的值域。 解：設(shè)f(x)=4x,g(x)= 1-3x ,(x1/3),易知它們在定義域內(nèi)為增函數(shù)，從而y=f(x)+g(x)= 4x1-3x 在定義域?yàn)閤1/3上也為增函數(shù)，而且yf(1/3)+g(1/3)=4/3,因此，

8、所求的函數(shù)值域?yàn)閥|y4/3。 點(diǎn)評：利用單調(diào)性求函數(shù)的值域，是在函數(shù)給定的區(qū)間上，或求出函數(shù)隱含的區(qū)間，結(jié)合函數(shù)的增減性，求出其函數(shù)在區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值，進(jìn)而可確定函數(shù)的值域。 練習(xí)：求函數(shù)y=3+4-x 的值域。(答案：y|y3) 八換元法 以新變量代替函數(shù)式中的某些量，使函數(shù)轉(zhuǎn)化為以新變量為自變量的函數(shù)形式，進(jìn)而求出值域。 例2求函數(shù)y=x-3+2x+1 的值域。 點(diǎn)撥：通過換元將原函數(shù)轉(zhuǎn)化為某個變量的二次函數(shù)，利用二次函數(shù)的最值，確定原函數(shù)的值域。 解：設(shè)t=2x+1 （t0）,則 x=1/2(t2-1)。 于是 y=1/2(t2-1)-3+t=1/2(t+1)2-41/2-4=-7/2

9、. 所以，原函數(shù)的值域?yàn)閥|y7/2。 點(diǎn)評：將無理函數(shù)或二次型的函數(shù)轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)，通過求出二次函數(shù)的最值，從而確定出原函數(shù)的值域。這種解題的方法體現(xiàn)換元、化歸的思想方法。它的應(yīng)用十分廣泛。 練習(xí)：求函數(shù)y=x-1 x的值域。（答案：y|y3/4 九構(gòu)造法 根據(jù)函數(shù)的結(jié)構(gòu)特征，賦予幾何圖形，數(shù)形結(jié)合。 例3求函數(shù)y=x2+4x+5+x2-4x+8 的值域。 點(diǎn)撥：將原函數(shù)變形，構(gòu)造平面圖形，由幾何知識，確定出函數(shù)的值域。 解：原函數(shù)變形為f(x)=(x+2)2+1+(2-x)2+22 作一個長為4、寬為3的矩形ABCD，再切割成12個單位正方形。設(shè)HK=x,則ek=2-x,KF=2+x,AK

10、=(2-x)2+22 ,KC=(x+2)2+1 。 由三角形三邊關(guān)系知，AK+KCAC=5。當(dāng)A、K、C三點(diǎn)共線時取等號。原函數(shù)的知域?yàn)閥|y5。 點(diǎn)評：對于形如函數(shù)y=x2+a ±(c-x)2+b(a,b,c均為正數(shù))，均可通過構(gòu)造幾何圖形，由幾何的性質(zhì)，直觀明了、方便簡捷。這是數(shù)形結(jié)合思想的體現(xiàn)。 練習(xí)：求函數(shù)y=x2+9 +(5-x)2+4的值域。（答案：y|y52） 十比例法 對于一類含條件的函數(shù)的值域的求法，可將條件轉(zhuǎn)化為比例式，代入目標(biāo)函數(shù)，進(jìn)而求出原函數(shù)的值域。 例4已知x,yR，且3x-4y-5=0,求函數(shù)z=x2+y2的值域。 點(diǎn)撥：將條件方程3x-4y-5=0轉(zhuǎn)化

11、為比例式，設(shè)置參數(shù)，代入原函數(shù)。 解：由3x-4y-5=0變形得，(x3)/4=(y-1)/3=k(k為參數(shù))x=3+4k,y=1+3k,z=x2+y2=(3+4k)2+(14+3k)2=(5k+3)2+1。 當(dāng)k=3/5時，x=3/5,y=4/5時，zmin=1。 函數(shù)的值域?yàn)閦|z1. 點(diǎn)評：本題是多元函數(shù)關(guān)系，一般含有約束條件，將條件轉(zhuǎn)化為比例式，通過設(shè)參數(shù)，可將原函數(shù)轉(zhuǎn)化為單函數(shù)的形式，這種解題方法體現(xiàn)諸多思想方法，具有一定的創(chuàng)新意識。 練習(xí)：已知x,yR，且滿足4x-y=0,求函數(shù)f(x,y)=2x2-y的值域。（答案：f(x,y)|f(x,y)1） 十一利用多項(xiàng)式的除法 例5求函數(shù)

12、y=(3x+2)/(x+1)的值域。 點(diǎn)撥：將原分式函數(shù)，利用長除法轉(zhuǎn)化為一個整式與一個分式之和。 解：y=(3x+2)/(x+1)=31/(x+1)。1/(x+1)0，故y3。函數(shù)y的值域?yàn)閥3的一切實(shí)數(shù)。 點(diǎn)評：對于形如y=(ax+b)/(cx+d)的形式的函數(shù)均可利用這種方法。 練習(xí)：求函數(shù)y=(x2-1)/(x-1)(x1)的值域。（答案：y2） 十二不等式法 例6求函數(shù)Y=3x/(3x+1)的值域。 點(diǎn)撥：先求出原函數(shù)的反函數(shù)，根據(jù)自變量的取值范圍，構(gòu)造不等式。 解：易求得原函數(shù)的反函數(shù)為y=log3x/(1-x), 由對數(shù)函數(shù)的定義知 x/(1-x)0 1-x0 解得，0x<

13、1。函數(shù)的值域（0，1）。 點(diǎn)評：考查函數(shù)自變量的取值范圍構(gòu)造不等式（組）或構(gòu)造重要不等式，求出函數(shù)定義域，進(jìn)而求值域。不等式法是重要的解題工具，它的應(yīng)用非常廣泛。是數(shù)學(xué)解題的方法之一。以下供練習(xí)選用：求下列函數(shù)的值域1Y=(154x)+2x-5；（y|y3）2 Y=2x/(2x1)。 （y>1或y<0） 訓(xùn)練例題例1求下列函數(shù)的值域（1）（2）（3）（4） 例2已知，求的最值。例3求下列函數(shù)的值域（1）（2）（3）例4.如何求函數(shù)的最值？呢？例5求下列函數(shù)的值域（1）（2）（3）（4）課后練習(xí)題一、 選擇題題號12345678910111213答案1. 已知函數(shù)=，則（）的值是A

14、.9 B.C.-9 D. -2. 若集合,，則等于A0 BCS DT3. 下列函數(shù)中值域是（0，+）的函數(shù)是A.B. C.D.4. 定義在R上的函數(shù)的值域?yàn)椋琤,則的值域?yàn)锳.,bB.+1,b+1C.1,b1D.無法確定5. 函數(shù)y=的定義域是(-，1)2,5，則其值域是A.(-,0),2B.(-,2) C.(-,)2,+ D.(0,+)6. 函數(shù)的值域?yàn)镽，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是AB或CD或7. 已知函數(shù)的最小值是A2BCD8. 函數(shù)A.最小值為0，最大值為4 B.最小值為-4，最大值為0C.最小值為-4，最大值為4 D.沒有最大值，也沒有最小值9. 已知的最大值為2，的最大值為，則的取值范圍

15、是A B C D以上三種均有可能10.已知、b的等差中項(xiàng)是的最小值是 A3B4C5D611. 已知,則(=A15 B1 C3 D3012. 設(shè)函數(shù)，則的值為A.B. bC.、b中較小的數(shù) D.、b中較大的數(shù)13函數(shù)的最小值為A190 B171 C90 D45二、填空題：14. 定義在R上的函數(shù)滿足關(guān)系式:,則的值等于_15. 已知函數(shù)對一切實(shí)數(shù),均滿足，且則16. 設(shè)（>0）的值域?yàn)?1，4，則,b的值為_17 函數(shù) 的最大值是18已知a,b為常數(shù)，若則三、解答題：19. 求下列函數(shù)的值域（1）； （2）； （3）20 已知函數(shù)的值域?yàn)?，3，求實(shí)數(shù)b、c的值。21設(shè)函數(shù)，（1）若定義域

16、為0，3，求的值域；（2）若定義域?yàn)闀r，的值域?yàn)?，求的?22. 已知函數(shù)： （1）證明：對定義域內(nèi)的所有都成立. （2）當(dāng)?shù)亩x域?yàn)?時，求證：的值域?yàn)椋?*（3）設(shè)函數(shù), 求的最小值 .函數(shù)的值域與最值參考答案（三）例題講評例1例2，最大值18；最小值例3；例4，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號；即時，y的最小值是2。沒有最大值。另外方法同上，即時，y的最大值是。沒有最小值。說明：本題不能用判別式法。因?yàn)?。若用判別式法得，當(dāng)時，求得，不合。例5；（以上各小題考慮了各種方法的順序，有的方法給出2個小題，有的題目可以多種方法導(dǎo)數(shù)法暫不考慮。）（四）練習(xí)題一、 選擇題題號12345678910111213答案B

17、CBAABDCCCACC9.提示：令，實(shí)際是將原函數(shù)圖象的點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短變?yōu)樵瓉淼亩种?，縱坐標(biāo)不變。故最值不變。10. 提示：由，二、填空題14.7； 15.4012； 16.=4, b=3； 17. 4； 18.2。15.提示：用賦值法或令三、解答題19 解析先確定函數(shù)的定義域，正確選擇方法，并作出相應(yīng)的數(shù)式變換.（1）函數(shù)的定義域?yàn)?，令，即或，函?shù)的值域?yàn)?；（注）這里運(yùn)用了不等式性質(zhì)：；解法二原函數(shù)等價(jià)于，當(dāng)時，得4=0，矛盾，解得函數(shù)的值域?yàn)?（2）函數(shù)的定義域?yàn)?作換元，令，上為增函數(shù)，函數(shù)的值域?yàn)?；解法二令，原函?shù)，在定義域內(nèi)都是減函數(shù)，原函數(shù)在定義域是減函數(shù)，而當(dāng)時，函數(shù)的值域?yàn)?（3）函數(shù)的定義域?yàn)椋啥魏瘮?shù)性質(zhì)知函數(shù)的值域?yàn)?，1；解法二令， ，即函數(shù)的值域?yàn)?，120由y= 得 (2y)x2+bx+cy=0,(*)當(dāng)y20,由xR,有=b24(2y)·(cy)0即4y