高等數(shù)學(xué)：D1_5極限運(yùn)算法則

1、二、二、 極限的四則運(yùn)算法則極限的四則運(yùn)算法則 三、三、 復(fù)合函數(shù)的極限運(yùn)算法則復(fù)合函數(shù)的極限運(yùn)算法則 一一 、無窮小運(yùn)算法則、無窮小運(yùn)算法則 第五節(jié)極限運(yùn)算法則時(shí), 有,min21一、一、 無窮小運(yùn)算法則無窮小運(yùn)算法則定理定理1. 有限個(gè)無窮小的和還是無窮小 .證證: 考慮兩個(gè)無窮小的和 .設(shè)0lim( )0,xxx0lim( )0,xxx,010,當(dāng)010 xx時(shí) , 有2( ) x20,當(dāng)020 xx時(shí) , 有2( ) x取則當(dāng)00 xx( )( )( )( )xxxx22因此0lim( ( )( )0.xxxx這說明當(dāng)0 xx 時(shí),為無窮小量 .說明: 無限個(gè)無窮小之和不一定是無窮小

2、!類似可證: 有限個(gè)有限個(gè)無窮小之和仍為無窮小 . 定理定理2 . 有界函數(shù)與無窮小的乘積是無窮小 . 證證: 設(shè)u在x0的領(lǐng)域內(nèi)有定義且有界，則10100,(,),Mxx 和使得( )u xM又設(shè)0lim(x)0,xx即,020,當(dāng)),(20 xx時(shí), 有( )Mx取,min21則當(dāng)),(0 xx時(shí) , 就有( ) ( )u xx( )( )u xxMM故0lim ( )( )0,xxu xx即u是0 xx 時(shí)的無窮小 .推論推論 1 . 常數(shù)與無窮小的乘積是無窮小 .推論推論 2 . 有限個(gè)無窮小的乘積是無窮小 .oyx例例1. 求.sinlimxxx解解: 1sinx01limxx利用定

3、理 2 可知.0sinlimxxxxxysin說明說明 : y = 0 是xxysin的漸近線 .二、二、 極限的四則運(yùn)算法則極限的四則運(yùn)算法則,)(lim,)(limBxgAxf則有)()(limxgxf)(lim)(limxgxf證證: 因,)(lim,)(limBxgAxf則有( )( ) ,( )( )f xAxg xBx(其中,為無窮小) 于是( )( )( )( )f xg xAxBx()( ( )( )ABxx由定理 1 可知也是無窮小, 再利用極限與無窮小BA的關(guān)系定理 , 知定理結(jié)論成立 .定理定理 3 . 若定理定理 4 . 若,)(lim,)(limBxgAxf則有)()

4、(limxgxf)(lim)(limxgxf提示提示: 利用極限與無窮小關(guān)系定理及本節(jié)定理2 證明 .說明說明: 定理 4 可推廣到有限個(gè)函數(shù)相乘的情形 .推論推論 1 .)(lim)(limxfCxfC( C 為常數(shù) )推論推論 2 .nnxfxf )(lim)(lim( n 為正整數(shù) )BA為無窮小B2B1)(1xg)(0 xx定理定理 5 . 若,)(lim,)(limBxgAxf且 B0 , 則有)()(limxgxf)(lim)(limxgxf證證: 因,)(lim,)(limBxgAxf有( )( ),( )( ),f xAxg xBx其中,設(shè)( )( )( )f xAxg xB(

5、 )( )AxABxB( )( )( )BxAxB BxBA因此由極限與無窮小關(guān)系定理 , 得BAxgxf)()(lim)(lim)(limxgxf( )( )( )f xAxg xB為無窮小,定理定理6 . 若,lim,limByAxnnnn則有)(lim) 1 (nnnyx nnnyxlim)2(,00)3(時(shí)且當(dāng)BynBAyxnnnlimBABA提示提示: 因?yàn)閿?shù)列是一種特殊的函數(shù) , 故此定理 可由定理3 , 4 , 5 直接得出結(jié)論 .定理定理7: 若,)(lim,)(limBxgAxf且),()(xgxf則.BA)()()(xgxfx利用保號性定理證明 .提示提示: 令例例2. 設(shè)

6、 n 次多項(xiàng)式,)(10nnnxaxaaxP試證).()(lim00 xPxPnnxx證證:)(lim0 xPnxx0axaxx0lim1nxxnxa0lim)(0 xPn x = 3 時(shí)分母為 0 !31lim3xxx例例3. 設(shè)有分式函數(shù),)()()(xQxPxR其中)(, )(xQxP都是多項(xiàng)式 ,0)(0 xQ試證: . )()(lim00 xRxRxx證證: )(lim0 xRxx)(lim)(lim00 xQxPxxxx)()(00 xQxP)(0 xR說明說明: 若,0)(0 xQ不能直接用商的運(yùn)算法則 .例例4.934lim223xxxx)3)(3() 1)(3(lim3xxx

7、xx6231 若例例5 . 求.4532lim21xxxx解解: x = 1 時(shí)3245lim21xxxx0312415124532lim21xxxx分母 = 0 , 分子0 ,因且在x=1的去心鄰域內(nèi)不等于0,例例6 . 求.125934lim22xxxxx解解: x時(shí),分子.22111125934limxxxxx分子分母同除以,2x則54分母原式一般有如下結(jié)果：一般有如下結(jié)果：為非負(fù)常數(shù) )nmba,0(00mn 當(dāng)( 如如P47 例例5 )( 如如P47 例例6 )( 如如P47 例例7 )mmmxaxaxa110limnnnbxbxb110,00ba,0,mn 當(dāng)mn 當(dāng)三、三、 復(fù)合

8、函數(shù)的極限運(yùn)算法則復(fù)合函數(shù)的極限運(yùn)算法則定理定理7. 設(shè),)(lim0axxx且 x 滿足100 xx時(shí),)(ax 又lim( ),uaf uA則有 )(lim0 xfxxlim( )uaf uA證證: lim( )uaf uA,0,0當(dāng)au0時(shí), 有 Auf)(axxx)(lim0,0,02當(dāng)200 xx時(shí), 有ax)(對上述取,min21則當(dāng)00 xx時(shí)ax )(au 故0Axf)(Auf)(,因此式成立.定理定理7. 設(shè),)(lim0axxx且 x 滿足100 xx時(shí),)(ax 又lim( ),uaf uA則有 )(lim0 xfxxlim( )uaf uA 說明: 若定理中,)(lim

9、0 xxx則類似可得 )(lim0 xfxxAufu)(limlim ( ),uf uA內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)1. 極限運(yùn)算法則(1) 無窮小運(yùn)算法則(2) 極限四則運(yùn)算法則(3) 復(fù)合函數(shù)極限運(yùn)算法則注意使用條件2. 求函數(shù)極限的方法(1) 分式函數(shù)極限求法0) 1xx 時(shí), 用代入法( 分母不為 0 )0)2xx 時(shí), 對00型 , 約去公因子x)3時(shí) , 分子分母同除最高次冪(2) 復(fù)合函數(shù)極限求法設(shè)中間變量作業(yè)作業(yè)P49 1 （5），（7），（12），（14） 2 （1），（3） 3 （1）思考及練習(xí)思考及練習(xí)1.,)(lim,)(lim不存在存在若xgxf)()(limxgxf是否存在 ? 為什么 ?答答: 不存在 . 否則由)()()()(xfxgxfxg利用極限四則運(yùn)算法則可知)(limxg存在 , 與已知條件矛盾.?321lim2222n