數(shù)列求和方法歸納

1、數(shù)列求和方法歸納總結(jié)已知數(shù)列an通項公式an(2n 1) 3n,求其前n項的和&、基礎類型：設 an是以d為公差的等差；bn是以q為公比的等比形式實例方法an bn求(kn b) qn的和求2n 13n的和分組求和法an ? bn求(kn b)qn的和求2n 13n的和錯位相減法包 an?- bnbn求kn一b的和 nnq求2n_1的和 3n錯位相減法1_anan 1少1求 (kn b)(k(n 1) b)的和,1，一求的和2n 1 2n 1裂項相消法11 . 11 .()anan 1 d anan 1例1 (分組求和法)分析：該數(shù)列通項是由一次式 2n 1與指數(shù)3n相加即“等差 等比

2、”型，所以采用分組求和法。解：_一一_2_3_nSn(1 3)(332)5 332n13n1 3 52n 13 32 333nn(1 2 n 1) 3(1 3n)21 3n2 3(3n 1) 2練習：已知數(shù)列 an通項公式an n 2n,求其前n項的和Sn例2 (錯位相減法)(1)已知數(shù)列an通項公式an (2n 1)?3n,求其前n項的和Sn 一，一2n 1(2)已知數(shù)列 an通項公式an ,求其前n項的和Sn 3分析：(1)該數(shù)列通項是由一次式 2n 1與指數(shù)3n相乘即“等差 等比”型，所以采用錯位相減法。(3)該數(shù)列通項是由一次式 2n1與指數(shù)3n相除即“ - 等比型，所以采用錯位相減法

3、。解:2_ 3.Sn 1?3 3?35?3n 1n2n 3 3(2n 1)33Sn 1?32 3?33 5?342n 3 3n (2n 1)3n 12Sn 3 2 32 333n (2n 1)3n 1(注意變號哦！)3 2?32(1 3n1) (2n 1)3n 1(注意構(gòu)成等比的項數(shù)哦！)1 3(2 2n)3n 1 6所以,Sn(n1)3n 1(如何檢驗結(jié)果呢？)(2)Sn3Sn|Sn131321 3332333 33n 12n 33n()2n 13n2n 1 一一 *(注意乘的是啥？)2n 1V7r(1232313n2n2n11nT312n 13n 13n 12(此

4、處提出高次比較好哦)所以,Snn 13n練習:(1)已知數(shù)列 an通項公式an n?2n,求其前n項的和Sn(2)已知數(shù)列an通項公式an 二，求其前n項的和Sn2n例3 (裂項相消法一)(1)已知數(shù)列cn通項公式cn(2n 1)(2n 1),求其前n項的和Sn(2)已知數(shù)列cn通項公式cn(3n 1)(3n 2),求其前n項的和Sn分析：(1)若設an2n 1,則am 2(n 1) 1 2n 1 ,故g的分母是等差數(shù)列相鄰兩項乘積，故可以采用裂項相消法;(2)若設an3n 1,則 an 13(n 1) 1 3n 2故5的分母是等差數(shù)列相鄰兩項乘積，故可以采用裂項相消法;解：(1)因為，cn

5、1 -(- )(牢記分解公式哦！)(2n 1)(2n 1)2 2n 1 2n 1所以，Sn1三_) (一 3315)1(2n 1)(2n 1)112n 1 2n 112(112n 1)n2n 1(3)因為，cn 一)(牢記分解公式哦！)(3n 1)(3n 2) 3 3n 1 3n 2所以,1(3n 1)(3n 2)113n 1 3n 21/11一(一3 2 3nn6n 4一一 一，一一1練習：(1)已知數(shù)列cn通項公式cn ,求其前n項的和Snn(n 1)(2)已知數(shù)列 cn通項公式cn ,求其前n項的和Sn(6n 5)(6n 1)二.特別類型(裂項相消法二)：1,_,11 111. 1一 型

6、(k 1)：牢記公式 一1一 1(1n(n k)n(n k) k n n k一 一一，一.1例4.已知數(shù)列 cn通項公式cn ,求其刖n項的和Snn(n 2)分析：此題分母不是等差相鄰兩項，故與上面例3是有區(qū)別的，尤其是相消后剩下的項不是一頭一尾了!解：因為,cn1n(n 2)1 11一(-2 n n 2所以,卻 扣 2(1 2(23)1 212)(2134)(n 1)(n11)1 n(n1,1(T12n 3n1n-25-) n(32)1n 11n 1(1nn1-2三）（你觀察剩下哪幾項？）（這樣是不是容易觀察點呢？）(n 1)(n 2)練習：已知數(shù)列 cn通項公式cn(n 1)(n 3)n項的和Sn12.n k* 一. .,k N 型(k1）：牢記公式n k . n例5.已知數(shù)列cn通項公式cn,求其前n項的和 nSn解：因為Inn)所以,1,3 .1 13 1 21( .3 一 41.421 n 1 n 2 12練習：已知數(shù)列 cn通項公式cn三.綜合練習(-n 1 n 1)(-n 2n)Sn1.等差數(shù)列an的前n項的和為Sn ,若S22§10,則S6,S10分別為2.數(shù)列an的通項公式為an,若前n項和為10,則n3.等差數(shù)列an的前n項的和為Sn , S3 0, S55(1)求通項公式；1(2)求數(shù)列