第十四章整式的乘法與因式分解-題型

1、第十四章整式的乘法與因式分解14.1 整式的乘法題型一：整式乘法與整式加減的綜合例 1 ：計(jì)算： （ 1 ） （ a+b ） （ a-2b ） -（ a+2b ） （ a-b ）（ 2） 5x（ x2+2x+1 ） -（ 2x+3 ） （ x-5 ）變式訓(xùn)練：（ 1 ） （ x+3 ） （ x+4 ） -x（ x+2 ） -5（ 2） （ 3a-2b ） （ b-3a ） -（ 2a-b ） （ 3a+b ）題型二：整式乘法與方程的綜合例2：解方程（3x-2 ） （ 2x-3 ） =（ 6x+5 ） （ x-1 ）變式訓(xùn)練：解方程2x（ x-1 ） -（ x+1 ） （ 2x-5 ） =12題

2、型三：整式乘法與表達(dá)不等式的綜合例3：解不等式（3x+4 ） （ 3x-4 ）9（ x-2 ） （ x+3 ）變式訓(xùn)練：解不等式（2x-1 ）÷（2x-1 ）（2x+5 ） （ 2x-5 ） -2題型四：整式的化簡求值例4：先化簡，再求值（-2a4x2+4a 3x3 -a2x4）÷（-a2x3） ,其中 a= ， x=-4. 。變式訓(xùn)練：已知2x-y=10 ，求代數(shù)式（ x2+y 2） -（ x-y） 2+2y （ x-y） ÷ 4y 的值。題型五：整式乘法的實(shí)際應(yīng)用例5：西紅柿豐收了，為了方便運(yùn)輸，小紅的爸爸把一根長方形為a cm ，寬為a cm 的長方形鐵板做

3、成了一個(gè)有底無蓋的盒子。在長方形鐵板的四個(gè)角上各截去一個(gè)邊長為b cm 的小正方形（2b a） ，然后沿虛線折起即可，如圖14-1 所示，現(xiàn)在要將盒子的外部表面貼上彩色花紙，小花任務(wù)至少需要彩色紙花的面積實(shí)際就是小盒子外部的表面積，可以用以下兩種方法求得：直接法，小盒子外部表面的面積= 四個(gè)側(cè)面的面積+ 底面的面積 =2 （ a-2b ） b+ （ a-2b ） b +（ a-2b ） （ a-2b ） ；間接法，小盒子外部表面的面積= 原長方形的面積-四個(gè)小正方形的面積= a · a-4b 2 。請(qǐng)你就是一下這兩種方法的結(jié)果是否一樣。變式訓(xùn)練：如圖所示，有正方形卡片A 類、 B 類

4、和長方形卡片C 類各若干張，若干要拼一個(gè)長為（a+2b ） ，寬為（ a+b ）的大長方形，那么需要C 類卡片多少張？題型六：逆用冪的運(yùn)算法則例 6：已知2x=m ， 2y=n ， 2 z=mn ，求證 x+y=z變式訓(xùn)練：已知10m=5,10n=6 ，求10 2m+3n 的值。題型七：逆用積的乘方運(yùn)算法則簡化計(jì)算例7：計(jì)算：變式訓(xùn)練：計(jì)算：-8 2017 ×（ -.0125 ） 2016 +0.25 3× 26題型八：運(yùn)用冪的運(yùn)算法則比較大小例8：比較大?。海?1 ） 16 25 與 290（ 2） 2100 與 375變式訓(xùn)練：比較大?。?55,344 ,4 33題型九

5、：多小時(shí)整除問題例9：已知一個(gè)多項(xiàng)式初一多項(xiàng)式ax-5 ） （ x-2 ） = ） 觀察積中一次項(xiàng)系數(shù)、常數(shù)項(xiàng)與乘法算式中兩個(gè)常數(shù)之間的關(guān)系，得出規(guī)律，用式子表示為（ x+p ） （ x+q ）+4a-3 所得的商式是2a+1 ，余式是2a+8 ，求這個(gè)多項(xiàng)式。（ 3）變式訓(xùn)練：已知多項(xiàng)式x3 +ax 2+bx+c 能夠被 x2+3x-4 整式。 （ 1 ）求 4a+c 的值； （ 2）求 2a-2b-c若a， b ， c 均為整數(shù)，且c a> 1 ，試確定a， b， c的大小關(guān)系。題型十：利用整式乘法求字母的值例10 ：如果（x+q ） （ x+ ）的結(jié)果中不含x 的一次項(xiàng)，那么q=

6、變式訓(xùn)練：已知（-2x 2） ·（ 3x 2 -ax-6 ） -3 x 3+ x 2中含 x 的三次項(xiàng)，則a= 題型十一：利用整式的乘法探索規(guī)律例 11 ：先探索規(guī)律，再用所得規(guī)律計(jì)算。（ 1）根據(jù)多項(xiàng)式的乘法法則計(jì)算并填空：x-3 ） （ x+4 ） = x+2 ） （ x+3 ） = x+7 ） （ x-1 ） = （ 3 ）利用所得規(guī)律計(jì)算：（x+1 ） （ x-5 ） ；（x-3 ） （ x+7 ） ；（a-2 ） （ a-1 ）變式訓(xùn)練：觀察下列各式：（ x-1 ） （ x+1 ） =x 2-1 ；（ x-1 ） （ x2 +x+1 ） =x 3-1（ x-1 ） （ x3

7、+x 2 +x+1 ） =x 4-1 .（ 1 ）根據(jù)觀察以上規(guī)律，則（x-1 ） （ x6+x 5+x4+x3+x2+x+1 ） = （ 2 ）你能否由此歸納出一般性規(guī)律：（ x-1 ） （ xn+x n-1 + +x+1 ） = （ 3 ）根據(jù)求出：1+2+2 2+ +2 34 +2 35 的結(jié)果。題型十二：有關(guān)整式乘法的探索題例 12 ：新知識(shí)一般有兩類：第一類是不依賴于其他知識(shí)的新知識(shí)，如“數(shù)” “字母表示數(shù)”這樣的初始性的知識(shí)；第二類是在某些舊知識(shí)的基礎(chǔ)上通過聯(lián)系、拓廣等方式產(chǎn)生的知識(shí)，大多數(shù)知識(shí)是這樣的知識(shí)。（ 1 ）多項(xiàng)式成多項(xiàng)式的法則，是第幾類知識(shí)？（ 2 ）在學(xué)多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式

8、之前，你已擁有的有關(guān)知識(shí)是哪些？（寫出兩條即可）（ 3 ）請(qǐng)你用已擁有的有關(guān)知識(shí)，通過數(shù)和形兩個(gè)方面說明多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式的法則是如何獲得的。（用（ a+b ）（ c+d ）來說明）變式訓(xùn)練：我國古代數(shù)學(xué)的許多發(fā)現(xiàn)都曾位居世界前列，其中“楊輝三角”就是一例，如圖所示，這個(gè)三角形的構(gòu)造法則是：兩腰上的數(shù)都是1 ，其余每個(gè)數(shù)均為其上方左右兩書之和，他給出了（a+b ） n（ n 為整數(shù)）的展開式 （按 a 的次數(shù)由大到小的順序排列）的系數(shù)規(guī)律。例如， 在三角形中第三行的三個(gè)數(shù)1,2， 1 ， 恰好對(duì)應(yīng) （ a+b ）2=a 2+2ab+b 2 展開式中的系數(shù)；第四行的四個(gè)數(shù)1,3,3,1 ，恰好對(duì)應(yīng)（

9、a+b ） 3=a 3+3a 2 b+3ab 2+b 3展開式中的系數(shù)。（ 1 ） 根據(jù)上面的規(guī)律：寫出（a+b ） 5 展開式：（ 2） 利用上面的規(guī)律計(jì)算：25-5 × 24+10 × 23-10 × 22+5 × 2-1= 14.2 乘法公式題型一：平方差公式的重復(fù)運(yùn)用例 1 ： 計(jì)算： （ 1 ）變式訓(xùn)練：計(jì)算：（ 1 ） （ 2+1 ） （ 22+1 ） （ 24+1 ） ；題型二：運(yùn)用乘法公式簡算（ 2）（ 2x+1 ）（ 4x2+1 ）（ 2x-1 ）（ 16x4+1 ）2）例 2：運(yùn)用乘法公式簡算：（ 1 ） 102 × 98；

10、（ 2） 102 2；（ 3） 992變式訓(xùn)練：用簡便方法簡算：（ 1 ） 98 2；（ 2） 99 × 101題型三：乘法公式的靈活運(yùn)用例3：計(jì)算：（ 1 ） （ x+2y-3 ） （ x-2y+3 ） ；（ 2） （ a+b+c ） 2；（ 3） （ y+2 ） （ y-2） -（ y-1 ） （ y+5 ）變式訓(xùn)練：計(jì)算：（ 1 ） （ a+b+c ） （ a+b-1 ） ；（ 2） （ 2a-3b+1 ） （ 2a+3b-1 ）（ 3） （ x-2y+3z ） 2題型四：整式的混合運(yùn)算例4：計(jì)算：（1 ） （ 3m-4n ） （4n+3m） -（2m-n ） （2m+3n）

11、;（ 3） 3（ a+1）2-5（ a-1 ） （ a+1 ） 2（a-1 ） （ 4） 2x2-（x+y ） （ x-y） （2-x ） （2+x ）+ （ -y-2 ） （2-y ）（ 5） （2x+y ）2（ 2x-y ） 2+ （x2+y 2）2-2 （2x2+xy） （2x 2-xy）變式訓(xùn)練：計(jì)算：（ 1 ） （ x+2 ） 2+ （ 2x+1 ） （ 2x-1 ） -4x （ x+1 ）（ 6） （ x+y ） （ x-y ） + （ x-y ） 2-（ 6x 2 y-2xy 2）÷ 2y題型五：乘法公式變形的應(yīng)用例5: 已知（a+b ） 2=7, （ a-b ） 2=

12、4, 求a2 +b 2 和 ab 值。變式訓(xùn)練：（ 1 ）已知實(shí)數(shù)x 滿足=3 ，則的值為° （ 2 ）若 x+y=5 ， x-y=1 ，則 xy= 。題型六：整式的化簡求值例6：先化簡，再求值：（ x+1 ） （ x-1 ） +x （ 3-x ） ，其中 x=2.變式訓(xùn)練：求值：已知4x=3y ，求代數(shù)式（x-2y ） 2-（ x-y） （ x+y ） -2y 2題型七：乘法公式與方程結(jié)合例 7：解方程：2（ x-2 ） +x2=（ x+1 ） （ x-1 ） +3x變式訓(xùn)練：解方程：2（ x-2 ） +x2= （ x+1 ） （ x-1 ） +x題型八：乘法公式與不等式（組）結(jié)合

13、例 8：解不等式x（ x-3 ）（x+7 ） （ x-7 ）變式訓(xùn)練：解不等式組：（ x+3 ） （ x-3 ） -x（ x-2 ）1（ 2x-5 ） （ -2x-5 ） 4x（ 1-x ）題型九：完全平方公式的變形應(yīng)用例9：已知a+b=5 ， ab=7 ，求 a2+ b 2， a2-ab+b 2 的值。變式訓(xùn)練：（ x+y ） 2=9 ， （ x-y ） 2=5 ，求x2+y 2級(jí) xy 的值。題型十：應(yīng)用完全平方公式求字母的值例10 ：二次三項(xiàng)式x2-kx+9 是一個(gè)完全平方式，則k 的值是變式訓(xùn)練：若x2 + （ m-3 ） x+4 是完全平方式，求m 的值。題型十一：出發(fā)公式在復(fù)雜計(jì)算

14、中的應(yīng)用例 11 ：計(jì)算（2+1 ） （ 22+1 ） （ 24+1 ）.（ 2 2n+1 ）例 2：已知 a+b=2 ， ab=1 ，則a2b+ab 2 的值為變式訓(xùn)練：計(jì)算14.3 因式分解 題型一：提公因式法與公式法的綜合運(yùn)用例 1 ：分解因式：ax2-ay 2 = 變式訓(xùn)練：分解因式：a2 b-2ab+b= 題型二：利用因式分解整體代換求值變式訓(xùn)練：若a=2 ， a-2b=3 ，則 2a 2-4ab 的值為題型三：因式分解與三角形知識(shí)的結(jié)合例 3：若 a， b， c是三角形的三邊，且滿足關(guān)系式a2-2bc=c 2-2ab ，試判斷這個(gè)三角形的形狀。變式訓(xùn)練：已知三角形三邊長為a， b，

15、 c，且滿足a2+b 2+c2=ab+bc+ac ，試判斷三角形的形狀。題型四：在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)分解因式例 4：在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)分解因式：x2y-3y= 變式訓(xùn)練：在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)分解因式：x3-6x= 題型五：分解因式：（ 1 ） （ p-4 ） （ p+1 ） +3p（ 2） 64m 2n2-（ m2+16n 2） 2（ 7） a4-2a2b2+b4（ 4） 16（ a-b ） 2-9（ a+b ） 2變式訓(xùn)練：（ 1 ） （ x+y ） （ x-1 ） -xy-y 2（ 2） （ ax+by ） 2+（ bx-ay ） 2題型六：平方差公式的靈活運(yùn)用例 6：計(jì)算變式訓(xùn)練：若2 48 -1 能被 60

16、 與 70 直徑的兩個(gè)整數(shù)整除，求這兩個(gè)數(shù)。題型七：完全平方公式的靈活運(yùn)用例 7：已知a2+b 2-4a-6b+13=0，求 a+b 的值。變式訓(xùn)練：求證：當(dāng)x 表示整數(shù)時(shí)，（ x+1 ） （ x+2 ） （ x+3 ） （ x+4 ） +1 是一個(gè)整數(shù)的完全平方數(shù)。題型八：開放型問題例8：多項(xiàng)式9x2+1 加上一個(gè)單項(xiàng)式后，能成為一個(gè)完全平方式，那么加上的單項(xiàng)式可能是什么？（把符合要求的都寫出來）變式訓(xùn)練：給出三個(gè)多項(xiàng)式：2x 2 +4x-4 ； 2x 2+12x+4 ；2x2-4x，請(qǐng)你把其中任意兩個(gè)多項(xiàng)式進(jìn)行加法運(yùn)算（寫出所有可能的結(jié)果），并把每個(gè)結(jié)果因式分解。題型九：x2 + （ p+q ） x+pq 型式子的因式分解例 9：閱讀下列材料，你能得到什么結(jié)論？并利用（1 ）的酒類分解因式。1 ） 形如 x2 +（ p+q ） x+pq 型的二次三項(xiàng)式，有以下特點(diǎn)：二次項(xiàng)系數(shù)是1 ；常數(shù)項(xiàng)是兩個(gè)數(shù)之積；一次項(xiàng)系數(shù)是常數(shù)項(xiàng)的兩個(gè)因式之和，把這個(gè)二次三項(xiàng)式進(jìn)行分解因式，可以這樣來解：x2+ （ p+q ） x+pq=x 2+px+qx+pq= （ x2+px ） + （ qx+pq ） =x （ x+p ） +q（x+p）= （ x+p