直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系切線(xiàn)長(zhǎng)定理

1、在經(jīng)過(guò)圓外在經(jīng)過(guò)圓外一點(diǎn)的切線(xiàn)一點(diǎn)的切線(xiàn)上，這一點(diǎn)上，這一點(diǎn)和切點(diǎn)之間和切點(diǎn)之間的線(xiàn)段的長(zhǎng)的線(xiàn)段的長(zhǎng)叫做叫做這點(diǎn)到這點(diǎn)到圓的切線(xiàn)長(zhǎng)圓的切線(xiàn)長(zhǎng)OPAB切線(xiàn)與切線(xiàn)長(zhǎng)的區(qū)別與聯(lián)系：切線(xiàn)與切線(xiàn)長(zhǎng)的區(qū)別與聯(lián)系：（1 1）切線(xiàn)是一條與圓相切的直線(xiàn)；切線(xiàn)是一條與圓相切的直線(xiàn)；（2 2）切線(xiàn)長(zhǎng)是指切線(xiàn)長(zhǎng)是指切線(xiàn)上某一點(diǎn)切線(xiàn)上某一點(diǎn)與與切點(diǎn)切點(diǎn)間的線(xiàn)段的長(zhǎng)。間的線(xiàn)段的長(zhǎng)。 若從若從O O外的一點(diǎn)外的一點(diǎn)引兩條切線(xiàn)引兩條切線(xiàn)PAPA，PBPB，切，切點(diǎn)分別是點(diǎn)分別是A A、B B，連結(jié)，連結(jié)OAOA、OBOB、OPOP，你能發(fā)現(xiàn)什么，你能發(fā)現(xiàn)什么結(jié)論？并證明你所發(fā)現(xiàn)結(jié)論？并證明你所發(fā)現(xiàn)的結(jié)論。的結(jié)論。APO。BP

2、A = PBOPA=OPB證明：證明：PAPA，PBPB與與O O相切，點(diǎn)相切，點(diǎn)A A，B B是切點(diǎn)是切點(diǎn) OAPAOAPA，OBPB OBPB 即即OAP=OBP=90 OA=OB，OP=OP RtRtAOPRtAOPRtBOP(HL)BOP(HL) PA = PB OPA=OPB試用文字語(yǔ)言試用文字語(yǔ)言敘述你所發(fā)現(xiàn)敘述你所發(fā)現(xiàn)的結(jié)論的結(jié)論P(yáng)A、PB分別切分別切 O于于A、BPA = PBOPA=OPB 從圓外一點(diǎn)引圓的兩條從圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線(xiàn)，它們的切線(xiàn)長(zhǎng)相切線(xiàn)，它們的切線(xiàn)長(zhǎng)相等，圓心和這一點(diǎn)的連等，圓心和這一點(diǎn)的連線(xiàn)平分兩條切線(xiàn)的夾角。線(xiàn)平分兩條切線(xiàn)的夾角。 切線(xiàn)長(zhǎng)定理切線(xiàn)長(zhǎng)定理A

3、PO。B幾何語(yǔ)言幾何語(yǔ)言: :反思反思：切線(xiàn)長(zhǎng)定理為證明：切線(xiàn)長(zhǎng)定理為證明線(xiàn)段相等線(xiàn)段相等、角相角相等等提提 供了新的方法供了新的方法APO。BM 若連結(jié)兩切點(diǎn)若連結(jié)兩切點(diǎn)A A、B B，ABAB交交OPOP于點(diǎn)于點(diǎn)M.M.你你又能得出什么新的結(jié)又能得出什么新的結(jié)論論? ?并給出證明并給出證明. .OP垂直平分垂直平分AB證明：證明：PAPA，PBPB是是O O的切線(xiàn)的切線(xiàn), ,點(diǎn)點(diǎn)A A，B B是切點(diǎn)是切點(diǎn) PA = PB OPA=OPB PABPAB是等腰三角形，是等腰三角形，PMPM為頂角的平分線(xiàn)為頂角的平分線(xiàn) OP垂直平分垂直平分ABAPO。B 若延長(zhǎng)若延長(zhǎng)POPO交交O O于點(diǎn)于點(diǎn)C

4、 C，連結(jié)，連結(jié)CACA、CBCB，你又能得出什，你又能得出什么新的結(jié)論么新的結(jié)論? ?并給出并給出證明證明. .CA=CB證明：證明：PAPA，PBPB是是O O的切線(xiàn)的切線(xiàn), ,點(diǎn)點(diǎn)A A，B B是切點(diǎn)是切點(diǎn) PA = PB OPA=OPB PC=PCPC=PC PCA PCB AC=BCAC=BCC。PBAO（3 3）連結(jié)圓心和圓外一點(diǎn)）連結(jié)圓心和圓外一點(diǎn)（2 2）連結(jié)兩切點(diǎn)）連結(jié)兩切點(diǎn)（1 1）分別連結(jié)圓心和切點(diǎn)）分別連結(jié)圓心和切點(diǎn)反思：在解決有關(guān)圓的切線(xiàn)長(zhǎng)的問(wèn)題時(shí)，往往需要我們構(gòu)建基本圖形。反思：在解決有關(guān)反思：在解決有關(guān)圓的切線(xiàn)長(zhǎng)問(wèn)題時(shí)，圓的切線(xiàn)長(zhǎng)問(wèn)題時(shí)，往往需要我們構(gòu)建往往需要我

5、們構(gòu)建基本圖形。基本圖形。1.1.切線(xiàn)長(zhǎng)定理切線(xiàn)長(zhǎng)定理 從從圓外一點(diǎn)引圓的兩圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線(xiàn)，它們的切條切線(xiàn)，它們的切線(xiàn)長(zhǎng)相等，圓心和線(xiàn)長(zhǎng)相等，圓心和這一點(diǎn)的連線(xiàn)平分這一點(diǎn)的連線(xiàn)平分兩條切線(xiàn)的夾角。兩條切線(xiàn)的夾角。 小小 結(jié)：結(jié)：APO。BECDPA、PB分別切分別切 O于于A、BPA = PB ,OPA=OPBOP垂直平分垂直平分AB 切線(xiàn)長(zhǎng)定理為證明切線(xiàn)長(zhǎng)定理為證明線(xiàn)段相等，角線(xiàn)段相等，角相等，弧相等，垂直關(guān)系相等，弧相等，垂直關(guān)系提供了理論提供了理論依據(jù)。必須掌握并能靈活應(yīng)用。依據(jù)。必須掌握并能靈活應(yīng)用。2.2.圓的外切四邊形的兩組對(duì)邊的和相等圓的外切四邊形的兩組對(duì)邊的和相等ooo

6、o外切圓圓心：外切圓圓心：三角形三邊三角形三邊垂直平分線(xiàn)的交點(diǎn)垂直平分線(xiàn)的交點(diǎn)。外切圓的半徑：外切圓的半徑：交點(diǎn)到三交點(diǎn)到三角形任意一個(gè)定點(diǎn)的距離。角形任意一個(gè)定點(diǎn)的距離。三角形外接圓三角形外接圓三角形內(nèi)切圓三角形內(nèi)切圓o內(nèi)切圓圓心：內(nèi)切圓圓心：三角形三個(gè)三角形三個(gè)內(nèi)角平分線(xiàn)的交點(diǎn)。內(nèi)角平分線(xiàn)的交點(diǎn)。內(nèi)切圓的半徑：內(nèi)切圓的半徑：交點(diǎn)到三交點(diǎn)到三角形任意一邊的垂直距離。角形任意一邊的垂直距離。A AA AB BB BC CC C分析題目已知：如分析題目已知：如圖圖, , ABCABC的內(nèi)切圓的內(nèi)切圓O O與與BC BC 、CACA、 AB AB 分別相交于點(diǎn)分別相交于點(diǎn)D D 、 E E 、 F

7、 F ，且，且ABAB9 9厘米，厘米，BC BC 1414厘厘米米,CA ,CA 1313厘米厘米, ,求求AFAF、BDBD、CECE的長(zhǎng)的長(zhǎng)。AECDBFO 例例. .如圖所示如圖所示PAPA、PBPB分別切圓分別切圓O O于于A A、B B，并與圓并與圓O O的切線(xiàn)分別相交于的切線(xiàn)分別相交于C C、D D， 已知已知PA=7cmPA=7cm，(1)(1)求求PCDPCD的周長(zhǎng)的周長(zhǎng)(2) (2) 如果如果P=46P=46, ,求求CODCOD的度數(shù)的度數(shù)C OPBDAE過(guò)過(guò)O O外一點(diǎn)作外一點(diǎn)作O O的切線(xiàn)的切線(xiàn)OPABO 例例. .如圖，如圖，ABCABC中中,C =90,C =90

8、 , ,它的它的內(nèi)切圓內(nèi)切圓O O分別與邊分別與邊ABAB、BCBC、CACA相切相切于點(diǎn)于點(diǎn)D D、E E、F F，且，且BD=12BD=12，AD=8AD=8，求求O O的半徑的半徑r.r.OEBDCAF1.1.一個(gè)三角形有且只有一個(gè)內(nèi)切圓；一個(gè)三角形有且只有一個(gè)內(nèi)切圓；2.2.一個(gè)圓有無(wú)數(shù)個(gè)外切三角形；一個(gè)圓有無(wú)數(shù)個(gè)外切三角形；3.3.三角形的內(nèi)心就是三角形三條內(nèi)角平三角形的內(nèi)心就是三角形三條內(nèi)角平 分線(xiàn)的交點(diǎn)；分線(xiàn)的交點(diǎn)；4. 4. 三角形的內(nèi)心到三角形三邊的距離相等。三角形的內(nèi)心到三角形三邊的距離相等。分析分析 試說(shuō)明圓的試說(shuō)明圓的外切四邊形的兩組外切四邊形的兩組對(duì)邊的和相等對(duì)邊的和

9、相等 OABCDEF OABCDE選做題：如圖，選做題：如圖，ABAB是是O O的直徑，的直徑，ADAD、DCDC、BCBC是切線(xiàn)，點(diǎn)是切線(xiàn)，點(diǎn)A A、E E、B B為切點(diǎn)，若為切點(diǎn)，若BC=9BC=9，AD=4AD=4，求，求OEOE的長(zhǎng)的長(zhǎng). .BDEFOCA如圖，如圖，ABCABC的內(nèi)切圓的半徑為的內(nèi)切圓的半徑為r, r, ABCABC的周長(zhǎng)為的周長(zhǎng)為l,l,求求ABCABC的面積的面積S.S.解：解：設(shè)設(shè)ABC的內(nèi)切圓與三邊相切于的內(nèi)切圓與三邊相切于D、E、F，連結(jié)連結(jié)OA、OB、OC、OD、OE、OF，則則ODAB，OEBC，OFAC.SABCSAOBSBOC SAOC ABOD B

10、COE ACOF21212121 lr設(shè)設(shè)ABC的三邊為的三邊為a、b、c，面積為，面積為S，則則ABC的內(nèi)切圓的半徑的內(nèi)切圓的半徑 r2Sabc三角形的內(nèi)切圓的有關(guān)計(jì)算三角形的內(nèi)切圓的有關(guān)計(jì)算ABCEDFO如圖，如圖，RtABC中，中，C90,BCa,ACb, ABc, O為為RtABC的內(nèi)切圓的內(nèi)切圓. 求：求：RtABC的內(nèi)切圓的半徑的內(nèi)切圓的半徑 r. 解：解：設(shè)設(shè)RtABC的內(nèi)切圓與三邊相切于的內(nèi)切圓與三邊相切于D、E、F，連結(jié)連結(jié)OD、OE、OF則則OAAC，OEBC，OFAB。abc2設(shè)設(shè)RtABC的直角邊為的直角邊為a、b，斜邊為，斜邊為c，則，則RtABC的的內(nèi)切圓的半徑內(nèi)切

11、圓的半徑 r 或或rabc2ababcABCEDFO如圖，如圖，RtABC中，中，C90,BC3,AC4, O為為RtABC的內(nèi)切圓的內(nèi)切圓. （1）求）求RtABC的內(nèi)切圓的半徑的內(nèi)切圓的半徑 . （2）若移動(dòng)點(diǎn)）若移動(dòng)點(diǎn)O的位置，使的位置，使 O保持與保持與ABC的邊的邊AC、BC都相切，求都相切，求 O的半徑的半徑r的取值范圍。的取值范圍。 解：解：（1）設(shè)）設(shè)RtABC的內(nèi)切圓與三邊相的內(nèi)切圓與三邊相切于切于D、E、F，連結(jié)，連結(jié)OD、OE、OF則則OAAC，OEBC，OFAB。 RtABC的內(nèi)切圓的的內(nèi)切圓的半徑為半徑為1。（2 2）如圖所示，設(shè)與）如圖所示，設(shè)與BCBC、ACAC相切的最大圓與相切的最大圓與BCBC、ACAC的切的切點(diǎn)分別為點(diǎn)分別為B B