隨機(jī)變量及其概率分布、超幾何分布

1、導(dǎo)學(xué)目標(biāo)：1. 理解取有限個值的離散型隨機(jī)變量及其分布列的概念，了解分布列對于刻畫隨機(jī)現(xiàn)象的重要性 .2. 理解超幾何分布及其導(dǎo)出過程，并能進(jìn)行簡單的應(yīng)用自主梳理1 離散型隨機(jī)變量的分布列(1) 隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果，可以用一個變量來表示，那么這樣的變量叫做(2) 假定隨機(jī)變量X有 n 個不同的取值，它們分別是x1， x2，xn，且P(X xi) pi， i 1,2 ，n，則稱為隨機(jī)變量X的概率分布列，簡稱為X的分布列也可以將用表Xx1x2xnPp1p2pn來表示，并將此表稱為隨機(jī)變量X的概率分布表它和都叫做隨機(jī)變量X的概率分布它們具有的性質(zhì)： pi0， i 1,2 ， n； p1p2pn .2如果

2、隨機(jī)變量X的分布表為X10Ppq其中0<p<1， q 1 p，則稱隨機(jī)變量X服從 或0 1 分布3超幾何分布列在含有M 件次品數(shù)的N 件產(chǎn)品中，任取n 件，其中恰有X 件次品，則事件X k 發(fā)生的概率為P(X k) ， (k 0,1,2 ，m)，其中mminM，n，且nN，MN，n、M、N N*. 隨機(jī)變量X的分布列具有以下表格的形式.X01mP0 n 0CMCN MCnNC1MCnN 1M CnNm n mCMCN M CnN則稱隨機(jī)變量X服從超幾何分布記為X H(n， M， N)自我檢測1 袋中有大小相同的紅球6 個、白球5 個，從袋中每次任意取出1 個球，直到取出的球是白球時

3、為止，所需要的取球次數(shù)為隨機(jī)變量 ，則 的所有可能值為2一批產(chǎn)品共50 件，其中5 件次品，45 件合格品，從這批產(chǎn)品中任意抽兩件，其中出現(xiàn)次品的概率是3已知隨機(jī)變量X的分布列為P(X i) 2ia(i 1,2,3) ，則P(X 2) .4 設(shè)某項(xiàng)試驗(yàn)的成功率是失敗率的2 倍， 用隨機(jī)變量 描述 1 次試驗(yàn)成功的次數(shù)，則 P( 0) 5 (2018 ·蘇州模擬 ) 從裝有 3 個紅球、2 個白球的袋中隨機(jī)取出2 個球，設(shè)其中有 個紅球，則隨機(jī)變量的概率分為.探究點(diǎn)一離散型隨機(jī)變量的概率分布例 1 一袋中裝有編號為1,2,3,4,5,6 的 6 個大小相同的球，現(xiàn)從中隨機(jī)取出3 個球，

4、以X表示取出的最大號碼求 X 的概率分布變式遷移1 將 3 個小球任意地放入4 個大玻璃杯中去，杯子中球的最大數(shù)記為 ，求 的概率分布探究點(diǎn)二超幾何分布例 2 某校高三年級某班的數(shù)學(xué)課外活動小組中有用 X表示其中的男生人數(shù)，求X的概率分布6 名男生，4 名女生，從中選出4 人參加數(shù)學(xué)競賽考試，變式遷移2 從 4 名男生和2 名女生中任選3 人參加演講比賽設(shè)隨機(jī)變量X表示所選3 人中女生的人數(shù)(1) 求X的概率分布；(2) 求“所選 3 人中女生人數(shù)X1”的概率探究點(diǎn)三離散型隨機(jī)變量分布列的應(yīng)用例 3 袋中裝著標(biāo)有數(shù)字1,2,3,4,5 的小球各2 個，從袋中任取3 個小球，按3 個小球上最大數(shù)

5、字的9 倍計(jì)分，每個小球被取出的可能性都相等，用X表示取出的3 個小球上的最大數(shù)字，求：(1) 取出的 3 個小球上的數(shù)字互不相同的概率；(2) 隨機(jī)變量X的概率分布；(3) 計(jì)分介于20 分到 40 分之間的概率變式遷移3 袋中有 4 個紅球，3 個黑球，從袋中隨機(jī)地抽取4 個球，設(shè)取到一個紅球得2 分，取到一個黑球得 1 分(1) 求得分 X的概率分布；(2) 求得分大于6 的概率1 隨機(jī)變量是把隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果數(shù)量化，變量的取值對應(yīng)于隨機(jī)試驗(yàn)的某一個隨機(jī)事件隨機(jī)變量和函數(shù)都是一種映射，隨機(jī)變量把試驗(yàn)結(jié)果映射為實(shí)數(shù)，函數(shù)把實(shí)數(shù)映射為實(shí)數(shù)，在這兩種映射之間，試驗(yàn)的結(jié)果相當(dāng)于函數(shù)的定義域，隨機(jī)變

6、量的取值相當(dāng)于函數(shù)的值域，我們把隨機(jī)變量的取值范圍稱為隨機(jī)變量的值域2求解分布列要注意以下幾點(diǎn)：搞清隨機(jī)變量每個取值對應(yīng)的隨機(jī)事件；計(jì)算必須準(zhǔn)確無誤；注意運(yùn)用概率分布的兩個性質(zhì)檢驗(yàn)所求的概率分布是否正確( 滿分： 90 分 )一、填空題( 每小題 6 分，共 48 分 )1 設(shè) X是一個離散型隨機(jī)變量，其概率分布為101P121 2q2 q則 q 的值為 2袋中有大小相同的5只鋼球，分別標(biāo)有1,2,3,4,5 五個號碼，任意抽取2 個球，設(shè)2個球號碼之和為X，則X的所有可能取值個數(shù)為a3已知隨機(jī)變量 的分布列為P( k) 2k， k1,2,3,4. 則 P(2< 4) .4已知隨機(jī)變量

7、的概率分布如下：12345678910222222222P33233343536373839m則 P( 10) .5在15 個村莊中有7 個村莊交通不方便，現(xiàn)從中任意選10 個村莊，用X表示這 10 個村莊中交通不方便C47C68P(X k) C10 ，則k .6若某一射手射擊所得環(huán)數(shù)X的概率分布如下：X45678910P0.020.040.060.090.280.290.22則此射手“射擊一次命中環(huán)數(shù)X 7”的概率是 317 某電子管正品率為， 次品率為， 現(xiàn)對該批電子管有放回地進(jìn)行測試，設(shè)第 次首次測到正品，則 P(443) .8 如圖所示，A、B 兩點(diǎn) 5 條連線并聯(lián)，它們在單位時間內(nèi)能

8、通過的最大信息量依次為2,3,4,3,2. 現(xiàn)記從 ，則 P( 8) .二、解答題( 共 42 分 )9 (12 分 ) 袋中有同樣的5 個球，其中3 個紅球，2 個黃球，現(xiàn)從中隨機(jī)且不放回地摸球，每次摸1 個，當(dāng)兩種顏色的球都被摸到時，即停止摸球，記隨機(jī)變量為此時已摸球的次數(shù)，求隨機(jī)變量 的概率分布10 (14 分 ) 設(shè)離散型隨機(jī)變量 的分布列P k ak， k 1,2 ， 3,4,5. 5(1) 求常數(shù) a 的值；(2) 求 P 35 ；(3) 求 P 110<11 (16 分 )某批產(chǎn)品成箱包裝，每箱5 件，一用戶在購進(jìn)該批產(chǎn)品前先取出3 箱，再從每箱中任意抽取2件產(chǎn)品進(jìn)行檢驗(yàn)，

9、設(shè)取出的第一、二、三箱中分別有0 件、 1 件、 2 件二等品，其余為一等品(1) 用 表示抽檢的6 件產(chǎn)品中二等品的件數(shù)，求 的概率分布；(2) 若抽檢的6 件產(chǎn)品中有2 件或 2 件以上二等品，用戶就拒絕購買這批產(chǎn)品，求這批產(chǎn)品被用戶拒絕購買的概率學(xué)案 63 隨機(jī)變量及其概率分布、超幾何分布CkMCnN kM1 (1) 隨機(jī)變量(2) 1 2. 兩點(diǎn)分布3.Cn自我檢測1 1,2，7解析 除了白球外，其他的還有6 個球，因此取到白球時取球次數(shù)最少為1 次，最多為7 次472 245解析 設(shè)抽到次品的件數(shù)為X，則X服從超幾何分布，其中N50，M5，n2. 于是出現(xiàn)次品的概率為P(X1)C15

10、C520 15 C52C250 25924747P(X1)P(X2)C250C52049245 245，即出現(xiàn)次品的概率為245.123解析 由分布列的性質(zhì)知 1 ，2a 2a 2a21 a 3，P(X 2) 2a 3.14. 3解析P(P( 0) P( 1)10) 2P( 0) 3P( 0) 1， P( 0).3012P133105105.11C12C136 3解析 P( 0) C25 10， P( 1) C25 10 5，C233P( 2) C52 10，012P13310510課堂活動區(qū)例 1 解題導(dǎo)引求離散型隨機(jī)變量的概率分布步驟是：(1) 找出隨機(jī)變量X 的所有可能取值xi (i 1

11、,2 ，)； (2) 求出取各值xi的概率P(X xi)； (3) 列表求出分布表后要注意應(yīng)用性質(zhì)檢驗(yàn)所求的結(jié)果是否準(zhǔn)確解 X的可能取值為3,4,5,6 ，C331C11 ·C 323從而有：P(X3) C320，P(X4) C320，C11 ·C 243C11 ·C 25 1P(X 5)C63 10， P(X 6)C36 2.故 X 的概率分布為X3456式遷移1 解 依題意可知，杯子中球的最大數(shù) 的所有可能值為1,2,3 ，當(dāng) 1 時，對應(yīng)于4 個杯子中恰有三個杯子各放一球的情形；當(dāng) 2 時，對應(yīng)于4 個杯子中恰有一個杯子放兩球的情形

12、；當(dāng) 3 時，A343對應(yīng)于 4 個杯子恰有一個杯子放三個球的情形從而有P( 1) 43 8；C32·C41 ·C139C411P( 2)4316；P( 3) 4316. 的概率分布為123P39181616例 2 解題導(dǎo)引對于服從某些特殊分布的隨機(jī)變量，其分布列可以直接應(yīng)用公式給出超幾何分布描述解 依題意，隨機(jī)變量X 服從超幾何分布，Ck6C44 k所以P(X k) 4 (k 0,1,2,3,4)C10C06C441C61C434P(X0) C4 210，P(X1) C4 35，C10210C1035C26C243C36C148P(X 2) C410 7， P(X 3)

13、C410 21 ，C46C041X01234P143812103572114P(X 4) C140 14， X的概率分布為所選的3人中女生隨機(jī)變量X 0,1,2 ，(3) 計(jì)分介于20 分到 40 分之間的概變式遷移2 解 (1) 從 4名男生和2名女生中任選3人參加演講比賽，其概率P(X k) Ck2CC343 k，k 0,1,2 ，故 X的概率分布為：X012P153515(2) 由 (1) 可得“所選 3 人中女生人數(shù)X 1”的概率為P(X 1) P(X 0) P(X 1) 1 3 4.555例 3 解題導(dǎo)引(1) 是古典概型；(2) 關(guān)鍵是確定X的所有可能取值；率等于X 3 與X 4

14、的概率之和C35C12C21C21 2解 (1) 方法一記“一次取出的 3 個小球上的數(shù)字互不相同”為事件A，則P(A) C3 3方法二記“一次取出的 3 個小球上的數(shù)字互不相同”為事件A，記“一次取出的 3 個小球上有兩個數(shù)字相B，則事件A和事件B 是對立事件P(B) 3C10C51C22C811所以 P(A) 1 P(B) 1 1 2.33(2) 隨機(jī)變量X的可能取值為2,3,4,5 ，取相應(yīng)值的概率分別為C341P(X 2)3C1030，C12C24C22C142P(X 3)3 C10C130 15，C12C26C22C163P(X 4)3 C10C130 10，C12C28C22C18

15、8P(X 5)C130 C130 15.X 的概率分布為X2345P123830151015(3) 由于按 3 個小球上最大數(shù)字的9 倍計(jì)分，所以當(dāng)計(jì)分介于20 分 40 分時， X的取值為3 或4， 所以所求概率為P P(X 3) P(X 4)2 3 13.15 10 30變式遷移3 解 (1) 得分 X的所有可能值為5,6,7,8.C14C334C24C2318P(X 5) C4 35P(X 6) 4 C735，C34C1312C44C031P(X 7) C4 35，P(X 8) 4 C735.X的概率分布為X5678P41812135353535(2) 得分大于6 的概率為：P(X 7)

16、 P(X 8) 121 13.35 35 35課后練習(xí)區(qū)1 122解析 由分布列的性質(zhì)，有1 2q 0，q2 0，1 1 2q q2 1，2解得q 122.27解析9.X 的可能取值為1 2 3,1 3 4,14 5 2 3,1 5 6 4 2,2 5 7 3 4,3 5 8,4 513.5a a a a16解析2 4 8 16 1， a 15.P(2< 4) P( 3) P( 4)16 1615 1521814. 3916 15 15解析23× 1P( 10) 111 31931 39.5 4解析CkC10 kX 服從超幾何分布P(X k) C7C810 ，故C15k4.6

17、0.88解析 環(huán)數(shù)X7的概率是：0 09 0.28 0.29 0.22 0.88.3764解析1133P( 3) × × 4 4 4 6448 5 解析方法一由已知， 的取值為7,8,9,10 ，C22C121C22C11 C22C123P( 7)C3 5， P( 8)C3C21C12C11210P( 9)C53 5，C22C111P( 10)C53 10， 的概率分布為78910P1321510510P( 8) P( 8) P( 9) P( 10) 3214 10 5 10 5.21C2C24方法二P( 8)1 P( 7) 1C3 5.9解 隨機(jī)變量 可取的值為2,3,4

18、 ，(2 分 )C21C13C21 3P( 2)C51C41 5；A22C31 A32C213P( 3)C51C41C13 10；A33C121(10 分 )P( 4) C51C41C31C21 10，所以隨機(jī)變量 的概率分布為234P33151010(12 分 )10 解 (1) 由離散型隨機(jī)變量的性質(zhì)，得a ·1 a ·2a ·3a ·4a ·51，(3 分 )解得a 1 .15k1(2) 由 (1) ，得 P 5 15k， k 1,2,3,4,5.方法一P 35P4 P 5 P( 1)(7 分 )3454.15 15 15 5方法二P 35 1 P <1P 51 P 12，5， 5，35，1241 15 15 5.(7 分 )17(3) 10< <10，17 P 10< <10P15 P 25 P1232 15 15 15 5.11解 (1) 的可能取值為0,1,2,3.C42 C2