高中數(shù)學(xué)求函數(shù)值域解題方法大全

1、一、觀察法： 從自變量x的范圍出發(fā)，推出y f (x) 的取值范圍?！纠?1】 求函數(shù) y x 1的值域。【解析】x 0 ， x 1 1 ， 函數(shù) y x 1的值域?yàn)?,) 。1 y 【例2】 求函數(shù)x 的值域。10【解析】x 0 x 顯然函數(shù)的值域是：(,0) (0,)【例3】 已知函數(shù)y x 1 2 1 ， x 1,0,1,2 ，求函數(shù)的值域。【解析】因?yàn)閤 1,0,1,2 ，而 f 1 f 33， f 0 f 20， f 11 所以： y 1,0,3注意：求函數(shù)的值域時(shí)，不能忽視定義域，如果該題的定義域?yàn)閤R，則函數(shù)的值域?yàn)?y|y 1 。 配 方 法 ： 配 方 法 式 求 “二 次

2、函 數(shù) 類(lèi) ”值 域 的 基 本 方 法 。 形 如 F(x) af 2(x) bf (x) c的函數(shù)的值域問(wèn)題，均可使用配方法。21】求函數(shù) y x2x 5,x 1,2 的值域。將函數(shù)配方得：由二次函數(shù)的性質(zhì)可知：當(dāng) x=1 -1,2時(shí)，當(dāng)時(shí)，【變式】已知，求函數(shù)【解析】由已知，可得函 數(shù) 。 將 二 次 函 數(shù) 配 方得故函數(shù)的值域是：4 ， 8的最值。是定義在區(qū)間上的二次，其對(duì)稱(chēng)軸方程，頂點(diǎn)坐標(biāo)2 所示。函，最大值為【例2】若函數(shù) f(x)x2 2x 2,當(dāng) x t,t 1時(shí)的最小值為g(t)，(1)求函數(shù)g(t)( 2)當(dāng) t -3,-2時(shí)，求g(t)的最值。(說(shuō)明：二次函數(shù)在閉區(qū)間上

3、的值域二點(diǎn)二分法，三點(diǎn)三分法)【解析】(1)函數(shù)，其對(duì)稱(chēng)軸方程為，頂點(diǎn)坐標(biāo)為(1， 1)，圖象第 37 頁(yè) 共 25 頁(yè)取得最小值如圖 2 所示， 若頂點(diǎn)橫坐標(biāo)在區(qū)間上時(shí)， 有時(shí)，函數(shù)取得最小值如圖 3 所示，若頂點(diǎn)橫坐標(biāo)在區(qū)間右側(cè)時(shí)，有，即時(shí)，函數(shù)取得最小值(t1)21,t1綜上討論，g(t)= f(x)min 1, 0 t 1t21t0t2 1(t 0)(2)g(t) 1(0 t 1)t(,0時(shí)， g(t)t21 為減函數(shù)2t2 2t 2(t 1)在 3, 2 上， g(t) t2 1 也為減函數(shù)g(t)min g( 2) 5， g (t)max g( 3) 103】已知 f (x) x2

4、 2x 2，當(dāng) x t， t 1(t R)時(shí)，求 f (x) 的最大值【解析】由已知可求對(duì)稱(chēng)軸為x 1 2f (x)minf( (t1)當(dāng)t t 2t1 時(shí)， 3， f(x)maxf (t 1) t2 2( 2)當(dāng)t 1 t 1 ，即0t 1 時(shí)，0t1根據(jù)對(duì)稱(chēng)性， 若 t t 11 即2 時(shí)， f (x)maxf (t) t 2t 322tt1 11若 22 即 2 時(shí)， f (x)max f (t 1) t 22( 3)當(dāng)t 1 1即 t 0 時(shí)，f (x)max f (t) t 2t 3綜上， f (x)maxt 22,t1221 t22t3,t2觀察前兩題的解法，為什么最值有時(shí)候分兩種

5、情況討論，而有時(shí)候又分三種情況討論呢？這些問(wèn)題其實(shí)仔細(xì)思考就很容易解決。不難觀察：二次函數(shù)在閉區(qū)第一個(gè)例題中，這個(gè)二次函數(shù)是開(kāi)口向上的，在閉區(qū)間上，它的最小值在區(qū)間的兩個(gè)端點(diǎn)或二次函數(shù)有三種可能，所以分三種情況討論；而它的最大值不可能是二次函數(shù)的頂點(diǎn)，只可能是閉區(qū)間的兩個(gè)端點(diǎn)，哪個(gè)端點(diǎn)距離對(duì)稱(chēng)軸遠(yuǎn)就在哪個(gè)端點(diǎn)取到，當(dāng)然也就根據(jù)區(qū)間中點(diǎn)與左右端點(diǎn)的遠(yuǎn)近分兩種情況討論。根據(jù)這個(gè)理解， 不難解釋第二個(gè)例題為什么這樣討論。對(duì)二次函數(shù)的區(qū)間最值結(jié)合函數(shù)圖象總結(jié)如下：b1f (m)，(m n)(如圖1)時(shí) f (x) maxb2a 12f (n)，(m n)(如圖2)2a 2bf (n)，n(如圖3)2a

6、bbf (x)min f ()， mn(如圖4)2a 2abf (m)，m(如圖5)2af (n)，bn(如圖6)2abbf (x) max f ()， mn(如圖7)2a 2af (m)，bm(如圖8)b1f (m)，(m n)(如圖9)2a 2f (x) minb1f (n)，(m n)(如圖10)2a 2(1)二次函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸方程為x a ，11當(dāng) a 即 a 時(shí)， f (x )max f ( 2 ) 4a 5 ；21a即212a 2,a2 f( x)max14a 5,a22a2 aaaaa(2)函數(shù) y (x ) 圖象的對(duì)稱(chēng)軸方程為x ，應(yīng)分 11 ，1 ，1242222即 2 a 2

7、， a 2和 a 2這三種情形討論，下列三圖分別為( 1) a 2；由圖可知f(x)max f ( 1)a2) 2 a 2；由圖可知f (x)max f (a)max 23) a 2時(shí)；由圖可知f(x)maxf (1)f( 1),a2ay最大f(a) , 2 a 2；即2f (1) , a 2(a 1),a22ay最大, 2 a 24a 1,a 25】 已知二次函數(shù)f( x) ax( 2)令f( 2) 3 ，得 a 1 1此時(shí)拋物線開(kāi)口向上，閉區(qū)間的右端點(diǎn)距離對(duì)稱(chēng)軸較遠(yuǎn)，故a 1 符合題意；2 (2a 1)x 1 在區(qū)間3 ,2 上的最大值為3，求實(shí)數(shù) a 的值。【分析】這是一個(gè)逆向最值問(wèn)題，

8、若從求最值入手，需分a 0 與 a 0 兩大類(lèi)五種情形討論，過(guò)程繁瑣不堪。若注意到最大值總是在閉區(qū)間的端點(diǎn)或拋物線的頂點(diǎn)處取到，因此先計(jì)算這些點(diǎn)的函數(shù)值，再檢驗(yàn)其真假，過(guò)程就簡(jiǎn)明多了。具體解法為：2a 11( 1 )令f() 3 ，得 a2a2此時(shí)拋物線開(kāi)口向下，對(duì)稱(chēng)軸方程為x 2 ，且 23 ,2 ，故 1 不合題意；2232( 3)若 f( ) 3，得 a232此時(shí)拋物線開(kāi)口向下，閉區(qū)間的右端點(diǎn)距離對(duì)稱(chēng)軸較遠(yuǎn)，故a 2 符合題意。312綜上， a 或 a解后反思：若函數(shù)圖象的開(kāi)口方向、對(duì)稱(chēng)軸均不確定，且動(dòng)區(qū)間所含參數(shù)與確定函數(shù)的參數(shù)一致，可采用先斬后奏的方法，利用二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值只

9、可能在區(qū)間端點(diǎn)、頂點(diǎn)處取得，不妨令之為最值，驗(yàn)證參數(shù)的資格，進(jìn)行取舍，從而避開(kāi)繁難的分類(lèi)討論，使解題過(guò)程簡(jiǎn)潔、明了?！咀兪健恳阎瘮?shù)f (x)ax2 2ax 1在區(qū)間 3,2 上的最大值為4，求實(shí)數(shù)a的值。2【解析】f (x) a(x 1)2 1 a,x 3,2( 1)若a 0, f (x) 1, ，不符合題意。( 2)若a 0,則 f(x)maxf (2) 8a 13由 8a 1 4，得 a8( 3)若a 0 時(shí)，則 f (x) max f ( 1) 1 a由 1 a 4 ，得 a 3綜上知 a 或 a 382x【例 6】 已知函數(shù)f (x)x在區(qū)間 m, n 上的最小值是3m 最大值是3

10、n ， 求 m， n 的值?！窘夥?1 】討論對(duì)稱(chēng)軸中 1 與 m, m n , n 的位置關(guān)系。2f (x) f (n) 3n若，則maxf(x)minf(m) 3m解得m nf (x) f (1) 3n若 m n 1 n ，則(x)max() n ，無(wú)解2f (x)min f(m) 3mm n f (x)maxf (1) 3n若 m 1 m n ，則max，無(wú)解2f(x)min f (n) 3mf (x)maxf (m) 3n若，則max，無(wú)解f (x)minf (n) 3m綜上，m4,n 01 2111【解法2】由f (x) (x 1) ，知 3n , n , ，則 m, n (,1 ，

11、2 226f ( x)m a x f ( n) 3n又 在 m ,n 上 當(dāng) x 增 大 時(shí) f(x) 也 增 大 所 以解 得f(x)m i n f( m) 3mm 4,n 0評(píng)注：解法2 利用閉區(qū)間上的最值不超過(guò)整個(gè)定義域上的最值，縮小了m ， n 的取值范圍，避開(kāi)了繁難的分類(lèi)討論，解題過(guò)程簡(jiǎn)潔、明了?！纠?】求函數(shù) y x 35 x 的值域 .【解法 1 】 y x 3 5 x 2 (x 3)(5 x) 2 2 1 (x 4)顯然y22 2 1 (x 4)2 2,4故函數(shù)的值域是：y 2,222解 法 2 】 顯 然 3 2 x 1 5, x 3 2sin 2 (0, )5 x 2cos

12、 2y x 35 x 2(sin cos ) 2sin( ) 2,24三、分離常數(shù)法：分子、分母是一次函數(shù)得有理函數(shù)，可用分離常數(shù)法(分母少，分子多)，通過(guò)該方法可將原函數(shù)轉(zhuǎn)化為為y k f (x) ( k為 常數(shù))的形式此類(lèi)問(wèn)題一般也可以利用反函數(shù)法。x2【例 1 】 求函數(shù) y 的值域x11【解析】利用恒等變形，得到：y 1 ，容易觀察知x - 1,y 1 ，得函數(shù)的值域?yàn)閥x1 (- ,1) (1, + )。注意到分?jǐn)?shù)的分子、分母的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，分離出一個(gè)常數(shù)后，再通過(guò)觀察或配方等其他方法易得函數(shù)值域。2xxx2x 項(xiàng)，可利用部分分式法；則有2 xx y2x x1x2 x 1 1x2 x 1

13、11不妨令：123(x )241 f(x) (x 2)234,g(x)13( f (x) 0) 從而 f (x), 注意：在本題中應(yīng)排f(x)4除 f (x) 0，因?yàn)閒 (x) 作為分母。所以g(x)0,3413,12】求函數(shù) y x x 的值域。答案：()值域求下列函數(shù)的值域：(1) y3xx12(2) yx2 1x21y (, 13)( 31 ,)()值域y -1,11】 求函數(shù)1 2x1 2x 的值域。1 2x1 2xy 1 2x 解得2x1 2x1 y ， 2x 0 ，1 y 0，1y1y1 y 1 函數(shù)I 2xII 22x的值域?yàn)閥 ( 1,1)。3x 42】 求函數(shù) y 3x 4

14、 值域。5x 6則其反函數(shù)為：，其定義域?yàn)椋?3故所求函數(shù)的值域?yàn)椋?, ) ( , )55ex 13】求函數(shù) yex 的值域。ex 1解答：先證明yex 1有反函數(shù)，為此，設(shè)x1 x2且 x1,x2 R，y1y2ex11ex1 1ex21ex21x1x22 e1 e2(ex11)(ex2 1)0。y 1 ln 11 xx 。此函數(shù)的定義域?yàn)樗?y 為減函數(shù)，存在反函數(shù)?？梢郧蟮闷浞春瘮?shù)為：x ( 1, 1) ，故原函數(shù)的值域?yàn)閥 ( 1, 1)。4】求函數(shù) y a bx(a 0,b 0,a b,x 1,1)的值域。a bx1 】 -1 x 1a-b a-bx a+b2a2a2aa b a

15、bx a b2aab1y 12aa bx2aabababababa 2aa 2a2】(反函數(shù)法)：x a a ,由 -1 x 1 得： 1 x a a 1 ，b b(y 1)b b(y 1)abababab五、 判別式法：把函數(shù)轉(zhuǎn)化成關(guān)于x的二次方程F（x,y） 0； 通過(guò)方程有實(shí)數(shù)根，判別式0 ，從而求得原函數(shù)的值域，形如為零）的函數(shù)的值域，常用此方法求解。ya1x22b1x c1 （a1、a2不同時(shí)a2xb2xc2（解析式中含有分式和根式。）1 x x21 】 求函數(shù) y的值域。1 x2【解析】原函數(shù)化為關(guān)于x 的一元二次方程, 由于 x 取一切實(shí)數(shù)，有1 ）當(dāng)時(shí)，解得：2）當(dāng)y=1 時(shí)，

16、而故函數(shù)的值域?yàn)?】 求函數(shù) y x x（2 x） 的值域?！窘馕觥?jī)蛇吰椒秸淼茫海?1）解得：但此時(shí)的函數(shù)的定義域由，得由 ，僅保證關(guān)于x 的方程：在實(shí)數(shù)集R 有實(shí)根，而不能確保其實(shí)根在區(qū)間0 ， 2 上，即不能確保方程(1 )有實(shí)根，由求出的范圍可能比y 的實(shí)際范圍大，故不能確定此函數(shù)的值域?yàn)椤？梢圆扇∪缦路椒ㄟM(jìn)一步確定原函數(shù)的值域。代入方程(1 ) 解得：即當(dāng)時(shí)， 原函數(shù)的值域?yàn)椋鹤ⅲ?由判別式法來(lái)判斷函數(shù)的值域時(shí)，若原函數(shù)的定義域不是實(shí)數(shù)集時(shí)，應(yīng)綜合函數(shù)的定義域，將擴(kuò)大的部分剔除。解法二：y x x(2 x) x 1 (x 1)sin( ) 1原函數(shù)的值域?yàn)椋?，令 x 1 sin

17、, y 1 sin cos 12 sin( )3】 已知函數(shù)f (x)22x ax bx2 11 ， 3，求a, b 的值。22x ax by2x2 122(y 2)x ax y b 0 a 4(y 2)(y b) 04y2 4(2 b)y 8b a2 0。f (x)22x ax bx2 11 ， 3，故上式不等式的解集為 y|1 y 34y1 y22 b 1 32a28b ay1 y23 b 244】求函數(shù) yx2 x2x1 2 的值域。1 】先將此函數(shù)化成隱函數(shù)的形式得：yx2 (2y 1)x 2y 1 0， (1)這是一個(gè)關(guān)于x 的一元二次方程，原函數(shù)有定義，等價(jià)于此方程有解，即方程(1

18、) 的判別式故原函數(shù)的值域?yàn)椋?(2y 1)2 4y(2y 1) 0，解得：y 2。2】當(dāng) x -1x+1<y 21 , 21 。時(shí)yx2x2x1 211(x 1)x10 時(shí)， (x 1)112 ，即 y 12 ,0)x11x+1 >0 時(shí)， (x 1)2 ，即x1y (0, 12考慮到 x=-1 時(shí) y=0故原函數(shù)的值域?yàn)椋簓 21 , 21 5】mx n4，最小值為 1 ，則 m =n=mx ny2x2 122y x mx n y 0 m 4y(y n) 0224y 4ny m 0f (x)22x ax bx2 1 1 ， 4，故不等式1 的解集 為 y| 1 y 4y1y2y

19、1 y2n32 m4m4m3m 4n36】求函數(shù)x2x2 2x 3【解析】y x2 (y 1)x 3y 2 01 y=0 得 x=-2, 從而 y=0 是值域中的一個(gè)點(diǎn)；2 y 0 (y 1)2 4y(3y 2) 02y y ) y R ，由 1 2 得函數(shù)的值域?yàn)镽.y 48 0六、換元法：運(yùn)用代數(shù)代換，獎(jiǎng)所給函數(shù)化成值域容易確定的另一函數(shù)，從而求得原函數(shù)的值域，形如 y ax b cx d( a、 b、 c、 d 均為常數(shù)，且 a 0)的函數(shù)常用此法求解。對(duì)于解析式中含有根式或者函數(shù)解析式較復(fù)雜的這類(lèi)函數(shù)，可以考慮通過(guò)換元的方法將原函數(shù)轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單的熟悉的基本函數(shù)。當(dāng)根式里是一次式時(shí)，用代數(shù)

20、換元；當(dāng)根式里是二次式時(shí)，用三角換元?！纠?1】 求函數(shù) y 2x 1 2x的值域。1 t2【解析】令t 1 2x( t 0)，則 x 1 t ，215135 y t t 1 (t ) 當(dāng) t ，即 x 時(shí)，ymax，無(wú)最小值。242845 函數(shù) y 2x 1 2x的值域?yàn)?, 。4【例 2】 求函數(shù) y 2x 5 log3 x 1(2 x 10) 的值域。【解析】令 y1 2x 5,y2 log3 x 1 則 y1,y2在 2， 10上都是增函數(shù)所以 y y1 y2 在 2， 10上是增函數(shù)31ymin 2 log3 2 1當(dāng) x=2 時(shí)，8當(dāng) x=10 時(shí)， y max 2 log 3 9

21、331 ,33故所求函數(shù)的值域?yàn)椋?【例 3】 求函數(shù) y x 1 x 1 的值域。y2原函數(shù)可化為：x1 x1令 y1 x 1,y2 x 1 ，顯然 y1,y2在 1,上為無(wú)上界的增函數(shù)所以 y y1 ， y2在 1,上也為無(wú)上界的增函數(shù)所以當(dāng) x=1 時(shí)，y y1y2有最小值2 ，原函數(shù)有最大值顯然 y 0 ，故原函數(shù)的值域?yàn)?0, 24】 求函數(shù) y x 21 (x1)2 的值域?！窘馕觥恳?1 (x 1)2 0 即 (x 1)2 1 故可令 x 1 cos ,0, y cos 11 cos2sin cos 12 sin( ) 140,05442sin( ) 12402 sin( ) 1

22、 124故所求函數(shù)的值域?yàn)?,123 xx y5】 求函數(shù)x 2x 1 的值域。y 1 2x 1 x2【解析】原函數(shù)可變形為：2 1 x2 1 x22x可令 x tg ，則有1 x2sin 2 , xcos21 x2k28 時(shí)，y maxk28 時(shí)，y min而此時(shí) tan 有意義。11,故所求函數(shù)的值域?yàn)? 42 的值域。6】 求函數(shù) y (sin x 1)(cos x 1) ，12y (sin x 1)(cos x 1)sin xcosx sin x cosx 112sin xcosx (t 1)令 sin x cosx t ，則21212y 2(t2 * 4 1) t 1 2(t 1)2

23、故所求函數(shù)的值域?yàn)閠 sin x cosx 2 sin( x / 4)ymax2t 2 時(shí)，2 ，當(dāng)t22 時(shí)，232,223412 2可得： 22 t 232 y42令 t x2 5x 425x2999 ，則 t 9 。y t t 821 t2 8t 21 t 4 2 5，9t 9 時(shí)，49211ymin45 8 ，值域?yàn)閥 | y 8416169】 求函數(shù) y x 2 1 x 的值域。令 t 1 x ，則 x 1 t 2 ， t 0 ， y 1 t 2 2t t 1 2 2t 0 時(shí)， tmax 1 02 2 0 1所以值域?yàn)?,1 ?！纠?0】 求函數(shù)y x 10x x2 23的值域?！?/p>

24、解析】由 y x 10x x2 23 = x 2 x 5 2 ，令 x 5 2cos ，因?yàn)?2 x 5 2 02 2 cos201 cos 1 ，0, ，則 2 x 5 2 = 2sin ，5于是： y 2 sin 2 cos 5 2sin5 ， , ，44442sin1，所以： 52 y 7 。24七、 函數(shù)有界性法：直接求函數(shù)的值域困難時(shí)，可以利用已學(xué)過(guò)函數(shù)的有界性，反客為主來(lái)確定函數(shù)的值域。x1【例 1 】 求函數(shù) y x2 1 的值域。x1【解析】 由函數(shù)的解析式可以知道，函數(shù)的定義域?yàn)镽 ， 對(duì)函數(shù)進(jìn)行變形可得22 y1(y 1)x (y 1)， y 1 ， x( x R，y 1

25、)，y1y 1x2 10 ，1 y 1 ， 函數(shù) y 2 的值域?yàn)?y | 1 y 1y 1x2 1xe1yx2】 求函數(shù)ex 1 的值域。x y1 e【解析】由原函數(shù)式可得：y 1y10ex0 y 1 解得：1 y 1 故所求函數(shù)的值域?yàn)? 1,1)cosxy3】 求函數(shù)sin x 3 的值域。【解析】由原函數(shù)式可得：ysin x cosx 3y ，可化為：y2 1 sinx(x ) 3y3y sin x(x )即y2 11122 x R sin x(x ) 1,1 即y2 1 解得：4 y 4224,4故函數(shù)的值域?yàn)?44】3 sin x y3 4y1 4y21，4 2cosx1 】 si

26、n( x) y ， sin(x )1 4y23333解得 1y 1即函數(shù)值域?yàn)椋簓 1,133332】 y 看作是兩點(diǎn)(4,3) 和 (2cos x,sin x) 連線的斜率即過(guò)點(diǎn)(4,3) 且與橢圓有交點(diǎn)3 sinx y其斜率取值范圍就是4 2cosx 聚會(huì)取值范圍設(shè) y=k(x-4)+3 代入橢圓方程2x2y14222得 (4k2 1)x2 8(3 4k)kx 4(16k2 24k 8) 0，由 0得答案【例5】已知a>0， x1,x2是方程ax2+bx-a2=0 的二個(gè)實(shí)根，并且|x 1|+|x 2|=2, 求 a的取值范圍以及 b 的最大值?！窘馕觥坑身f達(dá)定理知：x1x2=-a&

27、lt;0, 故兩根必一正一負(fù)， x1|+|x2| =2從而|x1 -x2|=2由韋達(dá)定理知：4=|x 1-x 2|2=(b 2+4a 3)/a 2從而4a 2-4a 3=b2 0即 4a2(1-a) 0即a 1,注意到a>0，從而a 的取值范圍是0< a 1從而 b2 4a2(1 a) 2 a a (2 2a) 2 (a a 2 2a)316327即 b 的最大值為4 3 ，當(dāng)且僅當(dāng)a=2/3 時(shí)“”成立。9八、 函數(shù)的單調(diào)性法：確定函數(shù)在定義域(或某個(gè)定義域的子集)上的單調(diào)性，求出函數(shù)的值域?！纠?】 求函數(shù) y x 1 2x的值域?！窘馕觥慨?dāng)x增大時(shí)，1 2x隨 x的增大而減少

28、，1 2x隨 x的增大而增大，函數(shù) y x 1 2x在定義域(, 1 上是增函數(shù)。21 111 y 1 2 ，函數(shù)y x 1 2x 的值域?yàn)?, 。1【例2】 求函數(shù) y x 在區(qū)間 x 0, 上的值域。x【解析】任取x1 ,x20, ，且x1x2，則x x xx 1f x1 f x2，因?yàn)?0 x1x2 ，所以：x1x20, x1 x20 ，x1 x21x1x2時(shí)，x1x210，則 f x1f x2 ；0x1x21 時(shí)，x1 x21 0 ，則 fx1fx2；而當(dāng) x 1 時(shí)，ymin21y x 在區(qū)間 x 0, 上的值域?yàn)?,)。x構(gòu)造相關(guān)函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性求值域?！纠?】 求函數(shù) f

29、x 1 x 1 x 的值域。1x0【解析】因?yàn)? x 1 ，而 1 x 與 1 x 在定義域內(nèi)的單調(diào)性不一1x0致 。 現(xiàn) 構(gòu) 造 相 關(guān) 函 數(shù) g x 1 x 1 x ， 易 知 g(x) 在 定 義 域 內(nèi) 單 調(diào) 增 。gmax g 12， gmin g 12， g x 2， 0 g2 x 2，又 f 2 x g 2 x 4 ，所以：2 f 2 x 4 ，2 f x 2 ?！纠?】 求函數(shù) y 3x 68 x 的值域?！窘馕觥看祟}可以看作y u v和 u 3x 6 ， v 8 x 的復(fù)合函數(shù)，顯然函數(shù)u 3x 6 為 單 調(diào) 遞 增 函 數(shù) ， 易 驗(yàn) 證 v 8 x 亦 是 單 調(diào)

30、遞 增 函 數(shù) ， 故 函 數(shù)y 3x 68 x 也是單調(diào)遞增函數(shù)。而此函數(shù)的定義域?yàn)?2, 8 。當(dāng) x 2 時(shí)， y 取得最小值10 。當(dāng) x 8 時(shí)， y 取得最大值30 。故而原函數(shù)的值域?yàn)?0, 30 。九 . 圖像法(數(shù)型結(jié)合法)：函數(shù)圖像是掌握函數(shù)的重要手段，利用數(shù)形結(jié)合的方法，根據(jù)函數(shù)圖像求得函數(shù)值域，是一種求值域的重要方法。當(dāng)函數(shù)解析式具有某種明顯的幾何意義(如兩點(diǎn)間距離，直線的斜率、截距等)或當(dāng)一個(gè)函數(shù)的圖象易于作出時(shí)，借助幾何圖形的直觀性可求出其值域。1】 求函數(shù) y | x 3| | x 5 |的值域。y2x 2 (x 3)8y |x 3| |x 5|8( 3 x 5)

31、，82x 2 (x 5)-3 o 5 x y | x 3| | x 5 |的圖像如圖所示，由圖像知：函數(shù)y | x 3| | x 5 |的值域?yàn)?,)2】 求函數(shù) y (x 2)2 (x 8)2 的值域。y |x 2| |x 8|上式可以看成數(shù)軸上點(diǎn)P( x)到定點(diǎn)A( 2)，B( 8) 間的距離之和。P 在線段 AB 上時(shí)， y |x 2| |x 8| |AB | 10P 在線段AB 的延長(zhǎng)線或反向延長(zhǎng)線上時(shí)，y | x 2 | |x 8 | |AB | 10故所求函數(shù)的值域?yàn)椋?0,3】 求函數(shù) y x2 6x 13 x2 4x 5 的值域。【解析】原函數(shù)可變形為：y (x 3)2 (0

32、2)2 (x 2)2 (0 1)2上式可看成x 軸上的點(diǎn)P(x,0)到兩定點(diǎn)A(3,2), B( 2, 1) 的距離之和，22由圖可知當(dāng)點(diǎn)P為線段與x軸的交點(diǎn)時(shí)，ymin |AB |(3 2)(2 1)43 ，故所求函數(shù)的值域?yàn)?43,十、 基本不等式法：利用基本不等式，求函數(shù)的最值，其題型特征解析式是和式時(shí)要求積為定值，解析式是積時(shí)要求和為定值，不過(guò)有時(shí)需要用到拆項(xiàng)、添項(xiàng)和兩邊平方等技巧。kx221】 求下列函數(shù)的值域：(1) y x 3 (k>0);(2) y。xx21(1)若 x>0 時(shí)，則 y x k 3 2 x k 3 3 2 k ,等號(hào)僅當(dāng)x=k/x，xxx k 時(shí)成立

33、；kk若 x<0 時(shí)，則 y x 32 x () 3 3 2 k ,等號(hào)僅當(dāng)-x=-k/x ，即xxx k 時(shí)成立；故， y (,3 2 k 3 2 k ,)2(2) 解法一：y x 2 = x2 12，故 y 2,)x2 1x2 11解法二：令tx2 1 ,則y t 1 (t 1) 即方程f (t) t2 ty 1 0 在 1,+ )上有解所以t1t21從而 f(x)=0 在區(qū)間 1,+ )只能有一根，另一根在(0,1)內(nèi)，從而f(1) 0,即y 2.22】 若 4 x 1 ，求x 2x 2的最小值2x 2x2 2x 21 (x 1)2 12x 22 x 1112(x 1) x 111

34、 (x 1)2(x 1)4x10 (x 1) 311(x 1)31從而 (x 1) 2(x 1)12 (x 1)11(x 1)1(x 1)1 ，即 x=-2 時(shí) ”=”成立(x 1)2x2 2x 22x 2min33】 求函數(shù) y 2x23,(x 0)的最小值xy 2x2 32x233332x2 3333 93336x2x2x2x 2x 222x23 即 x 3 62xymin 3 3 3624】 求 y= 14 (x (0, ) )的最小值。cosx sin x 2y>0,y2=(sec x+4csc x)2= sec2 x+16csc2 x+ 8sec xcsc x=(tan2x+1

35、)+16(cot2x+1)+822cos x sin xcosxsinx=17+(tan x+4cot x+4cot x)+ (16cot x+ 4tan x+4tan x)1 (3 16)3 33 tan2 x 4cotx 4cotx 33 16cot2 x 4tanx 4tan x=1 31632tan x 4 cot x 4cot x 即216cot x 4tanx 4tan xtan3 x 4 an x （這是兩個(gè)相同的方程）4cot3 x 1即當(dāng) x=arctan 3 4(0, ) 時(shí)，“= ”成立（達(dá)到最小值）。5】 若函數(shù) y=f（X） 的值域?yàn)?110 ,3 ,則函數(shù)F(x)

36、f (x) 的值域是2, 2f (x)3解析： f(x)>0, F (x) f (x)1112 ,并且當(dāng)f(x)=1 時(shí)等號(hào)成立。而g(t) t 在 t 1 時(shí)f(x)t 2,111單 調(diào) 遞 減 , g(t) t 在 t 1 ， 3時(shí) 單 調(diào) 遞 增 。 從 而 g(t) t 在 區(qū) 間 ,1 上 的 值 域 為151g(1), g( )2, ; g(t) t 在 區(qū)間 1,3 上的 值域 為 g(1),g(3)=2,10/3. 綜合 知 F(x) 的 值域 為22t2,130x26】 求函數(shù) y x 2 的值域。x3，則綜上所述，函數(shù)的值域?yàn)椋?）當(dāng)時(shí)，2）當(dāng)t=0 時(shí)，y=0。注：先換元，后用不等式法性質(zhì) 1 若當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等式成立性質(zhì) 2平行時(shí)左邊等式成立。性質(zhì) 3