浙大第四版概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

1、第1章隨機(jī)事件及其概率(1)排列組合公式Pmnm!從m個(gè)人中挑出n個(gè)人進(jìn)行排列的可能數(shù)(m n)!Cmm從m個(gè)人中挑出n個(gè)人進(jìn)行組合的可能數(shù)n!(m n)!(2)加法和乘法原理加法原理(兩種方法均能完成此事)：m+n某件事由兩種方法來完成，第一種方法可由m種方法完成，第二種方法可由n種方法來無成，則這件事口由 m+n種方法來無成。乘法原理(兩個(gè)步驟分別不能完成這件事)：mx n某件事由兩個(gè)步驟來完成，第一個(gè)步驟可由m種方法完成，第二個(gè)步驟可由n種方法來無成，則這件事口由 mx n種方法來無成。(3) 一些常見排列重復(fù)排列和非重復(fù)排列(有序)對立事件(至少有一個(gè))順序問題(4)隨機(jī)試驗(yàn)和隨機(jī)事件

2、如果一個(gè)試驗(yàn)在相同條件下可以重復(fù)進(jìn)行，而每次試驗(yàn)的可能結(jié)果 不止一個(gè)，但在進(jìn)一次試驗(yàn)之前卻不能斷言它出現(xiàn)哪個(gè)結(jié)果，則 稱這種試驗(yàn)為隨機(jī)試驗(yàn)。試驗(yàn)的可能結(jié)果稱為隨機(jī)事件。(5)基本事件、樣本空間和事件在一個(gè)試驗(yàn)下，不管事件有多少個(gè)，總可以從其中找出這組事件，它具肩如下性質(zhì)：每進(jìn)行一次試驗(yàn)，必須發(fā)生且只能發(fā)生這一組中的一個(gè)事件；任何事件，都是由這一組中的部分事件組成的。這組事件中的每一個(gè)事件稱為基本事件，用來表示。基本事件的全體，稱為試驗(yàn)的樣本空間，用表示。一個(gè)事件就是由 中的部分點(diǎn)(基本事件 )組成的集合。通常用大寫字母A, B, C,表示事件，它們是 的子集。為必然事件，？為不可能事件。不可能

3、事件(？)的概率為零，而概率為零的事件不一定是不可能事 件；同理，必然事件(Q)的概率為1,而概率為1的事件也不一定 是必然事件。關(guān)系：如果事件A的組成部分也是事件B的組成部分，(A發(fā)生必有事件B發(fā)生)：A B如果同時(shí)有A B, B A,則稱事件A與事件B等價(jià)，或稱A等于B: A=BA、B中至少有一個(gè)發(fā)生的事件：A B,或者A+B。(6)事件的關(guān)系與運(yùn)算屬于A而不屬于B的部分所構(gòu)成的事件，稱為 A與B的差，記為 A-B,也可表示為A-AB或者AB ,它表示A發(fā)生而B不發(fā)生的事件。 A、B同時(shí)發(fā)生：A B,或者AB A B=?,則表示A與B不可能同 時(shí)發(fā)生，稱事件A與事件B互不相容或者互斥。基本

4、事件是互不 相容的。-A稱為事件A的逆事件，或稱A的對立事件，記為Ao它表示A不發(fā)生的事件?；コ馕幢貙α?。運(yùn)算：結(jié)合率：A(BC)=(AB)C A U (BU C)=(A U B) U C分配率：(AB) U C=(AU C) A (B U C) (A U B) A C=(AC)U (BC)AiAi _ _ _德摩根率：i 1i 1ABAB,ABAB(7)概率的公理化定義設(shè) 為樣本空間，A為事件，對每一個(gè)事件 A都有一個(gè)實(shí)數(shù) P(A),若滿足卜列三個(gè)條件：1° 0 < P(A) < 1,2 P( Q) =13° 對于兩兩互不相容的事件A1, A2,有P AiP(

5、Ai)i 1i 1常稱為可列(完全)可加性。則稱P(A)為事件A的概率。(8)古典概型1°1, 2n ,-12 P( 1) P( 2)P( n) Ln設(shè)任一事件A,它是由1, 2m組成的，則有P(A)= ( 1)( 2)( m) = P( 1) P( 2)P( m)m A所包含的基本事件數(shù)n基本事件總數(shù)(9)幾何概型若隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果為無限不可數(shù)并且每個(gè)結(jié)果出現(xiàn)的可能性均勻， 同時(shí)樣本空間中的每一個(gè)基本事件可以使用一個(gè)有界區(qū)域來描述， 則稱此隨機(jī)試驗(yàn)為幾何概型。對任一事件 A,P(A) LA。其中L為幾何度量(長度、面積、體積)。(10)加法公式P(A+B尸P(A)+P(B)-P(AB

6、)當(dāng) P(AB) = 0 時(shí)，P(A+B)=P(A)+P(B)(11)減法公式P(A-B)=P(A)-P(AB)當(dāng) B A時(shí)，P(A-B)=P(A)-P(B)當(dāng) A=Q 時(shí)，P(B)=1- P(B)(條定義 設(shè)A、B是兩個(gè)事件，且P(A)>0,則稱與組 為事件A發(fā)生條P(A)件概率件下，事件B發(fā)生的條件概率，記為P(B/A) £幽。P(A)條件概率是概率的一種，所后概率的性質(zhì)都適合于條件概率。例如 P(Q/B)=1P(B/A)=1-P(B/A)(13)乘法公式乘法公式：P(AB) P(A)P(B/A)更一般地，對事件 A, X,八,若P(A1A2 - A1-1)>0,則有

7、P(A1A2. An) P(A1)P(A2| A1)P(A3| A1A2) P(An | A1A2.An 1)0(14)獨(dú)立性兩個(gè)事件的獨(dú)立性設(shè)事件A、B滿足P(AB) P(A)P(B),則稱事件A、B是相互獨(dú) 立的。若事件A、B相互獨(dú)立，且P(A) °,則有P(AB)P(A)P(B) p(b)P(A)P(A)若事件A、B相互獨(dú)立，則可得到A與B、人與石、:與"B也都 相互獨(dú)立。必然事件和不可能事件？匕任何事件都相互獨(dú)立。?與任何事件都互斥。多個(gè)事件的獨(dú)立性設(shè)ABCg三個(gè)事件，如果滿足兩兩獨(dú)立的條件，P(AB)=P(A)P(B) ; P(BC)=P(B)P(C); P(CA

8、)=P(C)P(A)并且同時(shí)滿足 P(ABC)=P(A)P(B)P(C)那么A、B、C相互獨(dú)立。對于n個(gè)事件類似。(15)全概公式設(shè)事件B1,B2, 舊滿足1。B1,B2, iBng相容，P(Bi) 0(i 12 ,n), nABi2i 1,(分類討論的則有P(A) P(B1)P(A| B1) P(B2)P(A| B2)P(Bn)P(A| Bn)。(16)貝設(shè)事件B1, B2,，Bn及A滿足葉斯公式1° Bi, B2,，Bn 兩兩互/、相容，P(Bi)>0, 1 1, 2,， n, nABi2，P(A) 0,(已經(jīng)知道結(jié)果求原因則PB/AP(Bi)P(A/Bi)2 .nP(Bi

9、 / A)n? i1 5 2 ? n。P(Bj)P(A/Bj) j i此公式即為貝葉斯公式。P(Bi),(i 1,2,，n),通常叫先驗(yàn)概率。P(Bi/A),(i 1, 2,，n),通常稱為后驗(yàn)概率。貝葉斯公式反映了 “因果”的概 率規(guī)律，并作出了 “由果朔因”的推斷。(17)伯努利概型我們作了 n次試驗(yàn)，且滿足每次試驗(yàn)只啟兩種可能結(jié)果，A發(fā)生或A不發(fā)生；n次試驗(yàn)是重復(fù)進(jìn)行的，即A發(fā)生的概率每次均一樣；每次試驗(yàn)是獨(dú)立的，即每次試驗(yàn)A發(fā)生與否與其他次試驗(yàn)A 發(fā)生與否是立耳、影響的。這種試驗(yàn)稱為伯努利概型，或稱為 n重伯努利試驗(yàn)。用p表示每次試驗(yàn)a發(fā)生的概率，則 其發(fā)生的概率為1 p q,用Pn(

10、k)表示n重伯努利試驗(yàn)中A出現(xiàn)k(0 k n)次的概率，八、_kknk_Pn(k) CnP q , k 0,1,2, ,no第二章隨機(jī)變量及其分布(1 )離 散型隨 機(jī)變量 的分布 律設(shè)離散型隨機(jī)變量X的可能取值為 戈(k=1,2,)且取各個(gè)值的概率，即事件(X=X)的概率為P(X=x<)=pk, k=1,2,，則稱上式為離散型隨機(jī)變量X的概率分布或分布律。有時(shí)也用分 布列的形式給出：X| X1,X2, ,xk,P(X xk) p1, p2, , pk, o顯然分布律應(yīng)滿足卜列條件：pk 1(1) pk 0 , k 1,2,(2) k 1。(2)密度設(shè)F(x)是隨機(jī)變量X的分布函數(shù)，若存

11、在非負(fù)函數(shù)f(x),對任意實(shí) 數(shù)x,有xF(x) f(x)dx則稱X為連續(xù)型隨機(jī)變量。f (x)稱為X的概率密度函數(shù)或密度函數(shù)， 簡稱概率密度。密度函數(shù)具有下面4個(gè)性質(zhì)：1。 f(x) 0。f(x)dx 1o(3)的關(guān)系P(X x) P(x X x dx) f(x)dx積分元f(x)dx在連續(xù)型隨機(jī)變量理論中所起的作用與P(X 鄧)pk在離散型隨機(jī)變量理論中所起的作用相類似。(4)分設(shè)X為隨機(jī)變量，x是任意實(shí)數(shù)，則函數(shù)布函數(shù)F(x) P(X x)稱為隨機(jī)變量X的分布函數(shù)，本質(zhì)上是一個(gè)累積函數(shù)。P(a X b) F(b) F可以得到X落入?yún)^(qū)間(a,b的概率。分布函數(shù)F(x)表示隨機(jī)變量落入?yún)^(qū)間(

12、-oo, x內(nèi)的概率。分布函數(shù)具有如下性質(zhì)：1°0 F(x) 1,x;2F(x)是單調(diào)不減的函數(shù)，即xi x2時(shí)，有F(xi) F(x2)；3°F( ) lim F(x) 0,F( ) lim F(x) 1;xx4° F(x 0) F(x),即F(x)是右連續(xù)的；5° P(X x) F(x) F(x 0)。對于離散型隨機(jī)變量，F(xiàn) (x)Pk ;xk xx對于連續(xù)型隨機(jī)變量，F(xiàn) (x) f (x)dx o(5)八0-1分布P(X=1)=p, P(X=0)=q大分布二項(xiàng)分布在n重貝努里試驗(yàn)中,設(shè)事件A發(fā)生的概率為p。事件A 發(fā)生的次數(shù)是隨機(jī)變量，設(shè)為 X ,

13、則X可能取值為 0,1,2, ,n。P(X k) Pn(k) C：pkqnk,其 中q 1 p,0 p 1,k 0,1,2, ,n, 則稱隨機(jī)變量X服從參數(shù)為n , p的二項(xiàng)分布。記為 X B(n, p)。當(dāng) n 1 時(shí)，P(X k) pkq1k, k 0.1 ,這就是(0-1 ) 分布，所以(0-1)分布是二項(xiàng)分布的特例。泊松分布設(shè)隨機(jī)變量X的分布律為kP(X k) e ,0, k 0,1,2,k!則稱隨機(jī)變量X服從參數(shù)為的泊松分布，記為X ()或者 P()。泊松分布為二項(xiàng)分布的極限分布(np=X ,n-oo)0超幾何分布PcM ?cN k 0,1,2 ,lCN'l min(M ,

14、n)隨機(jī)變量 X服從參數(shù)為n,N,M的超幾何分布，記為H(n,N,M)。幾何分布P(X k) qk1p,k 1,2,3,其中 p>0, q=1-p。隨機(jī)變量X服從參數(shù)為p的幾何分布，記為G(p)。均勻分布設(shè)隨機(jī)變量X的值只落在a , b內(nèi)，其密度函數(shù)f(x)在 1一a , b上為吊數(shù)，即b a1_aw x< bf(X)b a,其他,則稱隨機(jī)變量X在a , b上服從均勻分布，記為XU(a, b)。分布函數(shù)為0,x<a,x a< b aa<x< bxF(x)f (x)dxL 1,x>b。當(dāng)a& xi<x2< b時(shí)，X落在區(qū)間(xi,x2

15、)內(nèi)的概率為_x2 x1P(x1X x2)1 ob a指數(shù)分布xe e ,x 0f(x) 1。0 0,x 0,其中 0,則稱隨機(jī)變量X服從參數(shù)為的指數(shù)分 布。X的分布函數(shù)為kAx1 e ,x 0, F(x) 1 0 L 0，x<0。記住積分公式：xne xdx n!0止態(tài)分布設(shè)隨機(jī)變量X的密度函數(shù)為1(X 2)2f(x) -e 2,x,戶其中、0為常數(shù)，則稱隨機(jī)變量X服從參數(shù)為、 的正態(tài)分布或高斯(Gauss)分布，記為 2X N( ,)of(x)具肩如下性質(zhì)：1 。f(x)的圖形是關(guān)于x 對稱的；12 當(dāng)x 時(shí)，f( )為最大值；2<2若XN(x,則型的分布函數(shù)為F(x) - e

16、 2 dt 2 20 0參數(shù) 0、1時(shí)的正態(tài)分布稱為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，記為X N(011),其密度函數(shù)記為(x) T2=e、2,x,分布函數(shù)為1 x 二(x)qe 2 dt °(x)是不可.求積函數(shù)，具函數(shù)值，已編制成表可供查用。 .、1(-x) = 1-(x)且(0)= 一。X 2 如果 XN( , 2),則N(0,1) oP(x1 X x2)。(6)分位數(shù)下分位表：P(X)=；上分位表：P(X)= 0(7)函數(shù)分布離散型已知X的分，X力列為x1, x2, xn,P(XY g(X)fYxi)gP1, P2, Pn,小布列(yig(xi)立/、相等)如下：(x1), g(x2), g(x

17、n),P(Y yi) 若由某些概率。g(妁相對：則應(yīng)將弁k的Pi相加作為g(xi)的連續(xù)型先利用X的概率密度fX(x)寫出Y的分布函數(shù)FY(y)=P(g(X) < y),再利用變上下限積分的求導(dǎo)公式求出f。第三章二維隨機(jī)變量及其分布(1)聯(lián)合分 布離散型如果二維隨機(jī)向量(X, Y)的所有可能取值為至多可列個(gè)啟序?qū)?x,y ),則稱為離散型隨機(jī)量。設(shè) =(X, Y)的所有可能取值為(Xi,yj)(i,j1,2,),且事件 =(Xi，yj)的概率為p ,稱P(X,Y) (x-j) Pj(i, j 1,2,)為 二(X, Y)的分布律或稱為 X和Y的聯(lián)合分布律。聯(lián)合分 布有時(shí)也用下面的概率分布

18、表來表示：y1y2yjX1pnp12p1jX2P21p22p2jXipi1pj這里Pij具有卜面兩個(gè)性質(zhì)：(1) pj >0 (i,j=1,2,)；(2) pj1.連續(xù)型對于二維隨機(jī)向量(X,Y),如果存在非負(fù)函數(shù)f (x, y)(x,y),使對任忠個(gè)其鄰邊分別平行丁坐標(biāo)軸的矩形區(qū)域 D,即D=(X,Y)|a<x<b,c<y<d 有P(X,Y) Df(x,y)dxdy,D則稱 為連續(xù)型隨機(jī)向量；并稱 f(x,y)為=(X, Y)的分布密度或稱為X和丫的聯(lián)合分布密度。分布密度f(x,y)具有卜面兩個(gè)性質(zhì)：(1) f(x,y) >0;(2) f (x, y)dx

19、dy 1.(2)二維隨 機(jī)變量的 本質(zhì)(X x,Y y) (X x Y y)(3)聯(lián)合分 布函數(shù)設(shè)(X, Y)為二維隨機(jī)變量，對于任意實(shí)數(shù)x,y,二元函數(shù)F(x,y) PX x,Y y稱為二維隨機(jī)向量(X, Y)的分布函數(shù)，或稱為隨機(jī)變量 X和Y的聯(lián)合分布函 數(shù)。分布函數(shù)是一個(gè)以全平面為其定義域，以事件( 1, 2)|X( 1) x,Y( 2) y的概率為函數(shù)值的一個(gè)實(shí)值函數(shù)。分布函數(shù)F(x,y)具有以下的基本性質(zhì)：(1) 0 F(x,y) 1;(2) F (x,y )分別對x和y是非減的，即當(dāng) x2>x1 時(shí)，有 F (x2,y) > F(x 1,y);當(dāng) y2>y1 時(shí)，

20、有 F(x,y 2) > F(x,y 1);(3) F (x,y )分別對x和y是右連續(xù)的，即F(x, y) F(x 0, y), F(x,y) F(x,y 0);(4) F( ,) F(, y) F(x, ) 0,F(,) 1.(5)對于 xx2, yy2,F(x2, y2)F(x2, y1) F(x1, y2) Fd, yj 0.(4)離散型 與連續(xù)型 的關(guān)系P(X x, Y y) P(x X x dx, y Y y dy) f(x, y)dxdy(5)邊緣分 布離散型X的邊緣分布為Pi?P(XXi)Pij(i, j1,2,)；Y的邊緣分布為P?jP(Yyj)Pij(i,j1,2,)

21、。連續(xù)型X的邊緣分布.密度為fx(x)f(x,y)dy;Y的邊緣分布密度為fy(y)f(x, y)dx.(6)條件分 布離散型在已知X=x的條件下，Y取值的條件分布為PijP(Y yj|X x。；Pi?在已知Y=y的條件下，X取值的條件分布為PijP(X x"Y yj)，P?j連續(xù)型在已知Y=y的條件下，X的條件分布密度為 、 f(x,y)f (x I y)fY(y)在已知X=x的條件下，Y的條件分布密度為f(y|x) fX(x)(7)獨(dú)立性一般型rF(X,Y尸F(xiàn) X(x)F Y(y)離散型Pij Pi?P?j后零不獨(dú)立連續(xù)型f(x,y)=f X(x)f Y(y)直接判斷，充要條件：

22、可分離交量正概率密度區(qū)間為矩形二維正態(tài)分 布221x _12_(x _1 )(y _ 2) y _212(12 )11 22f (x, y): e,21 2 V12=0隨機(jī)變量的函數(shù)若X1,X2，X叫Xm+1,X4目互獨(dú)立，h,g為連續(xù)函數(shù)，則:h (X1, X2,淘 和 g (Xm+1, -Xn)相互獨(dú)立。特例：若X與丫獨(dú)立，則：h (X)和g (Y)獨(dú)立。例如：若 X與Y獨(dú)立，則：3X+1和5Y-2獨(dú)立。(8)二維均 勻分布設(shè)隨機(jī)向量(X, 丫)的分布密度函數(shù)為1SD f(x,y)0,(x,y) D其他其中Sd為區(qū)域D的面積，則稱(U (D)。例如圖3.1、圖3.2和圖3.3 。X, Y)

23、服從D上的均勻分布，記為(X, Y)圖3.1D3圖3.3(9)二維正 態(tài)分布設(shè)隨機(jī)向量(X, Y)的分布密度函數(shù)為221x 12 (x i)(y2) y 212(12)11 22f(x, y) =re,212M2其中1，2, 10，20,11 1是5個(gè)參數(shù)，則稱(X, 口服從二維正態(tài)分布，22、記為(X, Y)N ( 1, 2, 1 , 2,).由邊緣密度的計(jì)算公式，可以推出二維正態(tài)分布的兩個(gè)邊緣分布仍為正態(tài)分布，即 XN( 1，2),YN( 2, 2).但是若XN( 1, 12),YN( 2, I) , (X, Y)未必是二維正態(tài)分布。(10)函數(shù) 分布Z=X+Y根據(jù)定義計(jì)算：Fz(z) P

24、(Z z) P(X Y z)對于連續(xù)型，fz(z) = f (x, z x)dx兩個(gè)獨(dú)立的正態(tài)分布的和仍為正態(tài)分布(12, 122)。n個(gè)相互獨(dú)立的正態(tài)分布的線性組合，仍服從正態(tài)分布。_2_ 22Ci i ,Ci iZ=max,min(X1,X2,-Xn)若Xi,X2 Xn相互獨(dú)立，其分布函數(shù)分別為Fx1 (x), Fx (x)Fxn (x),則 Z=max,min(X 1,X2, Xn)的分布曲數(shù)為：Fmax(x)八(x)?Fx2(x)Fxn(x)Fmin(x)1 1 Fxi(x)?1 Fx2(x)1 Fxn(x)2分布設(shè)n個(gè)隨機(jī)變量Xi, X 2, X n相互獨(dú)立，且服從標(biāo)準(zhǔn)止態(tài)分布，可以

25、證明它們的平方和n 2 WXii 1的分布密度為1n 1 u-u2 e 2 u 0,f(u) 22 n 2Qu 0.我們稱隨機(jī)變量 W3艮從自由度為n的2分布，記為 M 2(n), 其中nn in2 _ xx2 e dx.20所謂自由度是指獨(dú)立止態(tài)隨機(jī)變量的個(gè)數(shù)，它是隨機(jī)變量 分布中的一個(gè)重要參數(shù)。2分布滿足可加性：設(shè)Yi2(n)則k r、，2，、ZYi (ni n2nk).i 1t分布設(shè)X, Y是兩個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，且X N(0,1),Y 2(n),可以證明函數(shù)Jy/ n的概率密度為n 1n 12t2 丁f(t)21 t(t)./nn、n一2我們稱隨機(jī)變量 T服從自由度為n的t分布，記為

26、Tt(n)。L (n) t (n)F分布、一2 .、2.、設(shè)X (ni), Y (n2),且X與丫獨(dú)立，可以證明X /ni _ 、，F(xiàn) 的概率密度函數(shù)為丫/山ni n2nini n22小 2 31n12f(v)y iy，y 0f(y)nin2 n2n2220,y 0我們稱隨機(jī)變量F服從A個(gè)自由度為 ni,第二個(gè)自由度為 n2的F分布，記為 Ff(n i, n 2).L ，、iFi (ni,n2)F (n2, ni)第四章隨機(jī)變量的數(shù)字特征(i) 一維 隨機(jī) 變量 的數(shù) 字特 征離散型連續(xù)型期望期望就是平均值設(shè)X是離散型隨機(jī)變量，其分布律為 P( X xk ) = pk ,k=i,2,n ,nE

27、(X)XkPkk i(要求絕對收斂)設(shè)X是連續(xù)型隨機(jī)變量，其概率密度為f(x),E(X) xf(x)dx(要求絕對收斂)函數(shù)的期望Y=g(X)nE(Y)g(Xk)Pkk iY=g(X)E(Y) g(x)f(x)dx力差_2D(X)=EX-E(X),標(biāo)準(zhǔn)差(X) JD(X),D(X)Xk E(X)2pkk2D(X) x E(X)2 f (x)dx矩對于正整數(shù)k,稱隨機(jī)變量X 的k次哥的數(shù)學(xué)期望為 X的k 階原點(diǎn)矩，記為Vk,即*二E(Xk尸xk Pi ,k=1,2,對于正整數(shù)k,稱隨機(jī)變量X 與E (X)差的k次哥的數(shù)學(xué)期望為X的k階中心矩，記為k ,即kk E(XE(X).=(XiE(X)kP

28、i ,k=1,2,.對于正整數(shù)k,稱隨機(jī)變量X的 k次哥的數(shù)學(xué)期望為 X的k階原點(diǎn) 矩，記為Vk,即產(chǎn)E(Xk)=xkf(x)dx,k=1,2,對于正整數(shù)k,稱隨機(jī)變量X與 E (X)差的k次哥的數(shù)學(xué)期望為 X的k階中心矩，記為 k,即k E(X E(X)k .k=(x E(X) f(x)dx,k=1,2,.切比雪夫不等式設(shè)隨機(jī)變量X具有數(shù)學(xué)期望 E (X)=小方差D (X) =(2,則對于任 意正數(shù)£ ,后卜列切比雪夫不等式2P(|X)切比雪夫不等式給出了在未知X的分布的情況下，對概率P(|X|)的一種估計(jì)，它在理論上啟重要忌義。期望 的性 質(zhì)(1) E(C尸C(2) E(CX尸C

29、E(X) nn(3) E(X+Y尸E(X)+E(Y) , E( gXi)GE(Xj)i 1i 1(4) E(XY)=E(X) E(Y)，充分條件：X和 Y獨(dú)立；充要條件：X和Y不相關(guān)。(3) 方差 的性 質(zhì)(1) D(C)=0; E(C)=C(2) D(aX)=a 2D(X); E(aX)=aE(X)(3) D(aX+b)= a 2D(X) ; E(aX+b)=aE(X)+b(4) D(X)=E(X2)-E 2(X)(5) D(X± Y)=D(X)+D(Y),充分條件：X和 Y 獨(dú)立；充要條件：X和Y不相關(guān)。D(X±Y)=D(X)+D(Y) ± 2E(X-E(X)

30、(Y-E(Y),無條件成立。而E(X+Y)=E(X)+E(Y),無條件成立。(4) 常見 分布期望力差0-1 分布 B(1, p)PP(1 P)的期 望和 力差二項(xiàng)分布B(n, p)npnp(1 p)泊松分布P()幾何分布G(p)1P1 p2 p超幾何分布H(n,M,N)nMNnMMN n1 NNN 1均勻分布U (a,b)a b2(b a)212指數(shù)分布e()11-22正態(tài)分布N(,)22分布n2nt分布0n / c、(n>2)n 2(5) 二維 隨機(jī) 變量 的數(shù) 字特 征期望nE(X)XiPi?i 1nE(Y)yjP?jj 1E(X)xfX (x)dxE(Y)yfY(y)dy函數(shù)的期

31、望EG(X,Y) =G(Xi,yj)pjEG(X,Y) =G(x,y) f(x, y)dxdy力差_2D(X)XiE(X) pi?D(Y)Xj E(Y)2p?jD(X)x E(X)2fX(x)dx2D(Y)y E(Y)2fY(y)dy協(xié)力差對于隨機(jī)變量X與Y,稱它們的二階混合中心矩11為X與丫的協(xié)方差或相關(guān)矩，記為XY或COV(X,Y),即xy 11 E(X E(X)(Y E(Y).與記號(hào) xy相對應(yīng)，X與Y的方差D(X)與D( Y)也可分別記為xx與YY。相關(guān)系數(shù)對于隨機(jī)變量 X與Y,如果D (X) >0, D(Y)>0 ,則稱XY Jd(X)Jd(Y)為X與丫的相關(guān)系數(shù)，記作X

32、Y (有時(shí)可簡記為)。| 心1,當(dāng)|=1時(shí)，稱X與丫完全相關(guān)：P(X aY b) 1人工“ 正相關(guān)，當(dāng)1時(shí)(a 0),兀全相關(guān)負(fù)相關(guān)，當(dāng)1時(shí)(a 0),而當(dāng)0時(shí)，稱X與丫不相關(guān)。以卜五個(gè)命題是等價(jià)的： XY0 ； cov(X,Y)=0; E(XY)=E(X)E(Y); D(X+Y)=D(X)+D(Y); D(X-Y尸D(X)+D(Y).協(xié)方差矩陣XXXYYXYY混合矩 ,一一. k l .對于隨機(jī)變量 X與Y,如果有E(X Y )存在，則稱之為 X與丫的k+l階混合原點(diǎn)矩，記為 kl ； k+l階混合中心矩記為：klUki E(X E(X) (Y E(Y).(6) 協(xié)方 差的 性質(zhì)(i) co

33、v (X, 丫尸cov (Y, X);(ii) cov(aX,bY)=ab cov(X,Y);(iii) cov(X 1+X2, Y)=cov(X i,Y)+cov(X 2,Y);(iv) cov(X,丫/E(XY)-E(X)E(Y).獨(dú)立 和不(i )若隨機(jī)變量X與Y相互獨(dú)立，則2XY 0 ；反之小直。2相關(guān)(ii )若(X, Y) -N ( 1, 2, 1 ,則X與丫相互獨(dú)立的充要條件是2,)，X和Y不相關(guān)。第五章大數(shù)定律和中心極限定理(1)大數(shù)定律X切比雪 夫大數(shù) 定律設(shè)隨機(jī)變 常數(shù)CI特房 則上式力lim Pn;量 X1, X2,歷界：D(X)lim P - nn果情形：若X彷1 n、

34、， 一X i n i 1相互獨(dú)立，均具有有限方差，且被同一<C(i=1,2,)，則對于任意的正數(shù)e,有n1nXi E(Xi)1.i 1n i 1.1, Xa,具有相同的數(shù)學(xué)期望E (X)=j1.伯努利 大數(shù)定 律設(shè)科是n次獨(dú)立試驗(yàn)中事件 A發(fā)生的次數(shù)，p是事件A在每 次試驗(yàn)中發(fā)生的概率，則對于任意的正數(shù)£ ,有l(wèi)im P p1.nn伯努利大數(shù)定律說明，當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)n很大時(shí)，事件A發(fā)生的頻舉與概率后較大判別的可能性很小，即lim P p0.nn這就以嚴(yán)格的數(shù)學(xué)形式描述了頻率的穩(wěn)定性。辛欽大 數(shù)定律設(shè)X,(Xn)=lim Pn，Xn, ,則對于任一1 n1 Xi n i 1,是相互獨(dú)

35、立同分布的隨機(jī)變量序列，且E意的正數(shù)£有1.中心極限定列維設(shè)隨機(jī)變量Xi, X相互獨(dú)立，服從同一分布，且具有理林德伯相 同 的 數(shù) 學(xué) 期 望和 方 差：X2N(,) n格定理E(XQ ,D(Xk)2 0(k 1,2,nXk nYk 1n 而的分布函數(shù)Fn(X)對任意白實(shí)數(shù)X,有n Xk nlim Fn (x) lim P xnnJn),則隨機(jī)變量Xx t2xJe 2 dt.2 2此定理也稱為獨(dú)立同分布的中心極限定理。棣莫弗-拉普設(shè)隨機(jī)變重 Xn為具后參數(shù) n, p（0<p<1）的二項(xiàng)分布，則對于制定任意實(shí)數(shù)X,有理X n np1 X 一lim pxf et2?dt.nJ

36、np(1 p)V2(3)二項(xiàng)定理N時(shí),一p(n,k/、變),則NC k C n kCm CnMck k /An nk八！、nCnp (1p)(N).Cn超幾何分布的極限分布為二項(xiàng)分布。(4)泊松定理n時(shí)，np0,則kk k ” n kCn p (1 p)-ek!(n).其中k=0, 1, 2,，n,。二項(xiàng)分布的極限分布為泊松分布。第六章樣本及抽樣分布（1）數(shù)理統(tǒng)總體在數(shù)理統(tǒng)計(jì)中，常把被考察對象的某一個(gè)（或多個(gè)）指標(biāo)的全計(jì)的基本體稱為總體（或母體）。我們總是把總體看成一個(gè)具有分布的隨概念機(jī)變量（或隨機(jī)向量）。個(gè)體總體中的每一個(gè)單元稱為樣品（或個(gè)體）。樣本我們把從總體中抽取的部分樣品x1, x2,

37、 ,xn稱為樣本。樣本中所含的樣品數(shù)稱為樣本容量，一般用n表示。在一般情況下，總是把樣本看成是 n個(gè)相互獨(dú)立的且與總體有相同分布的隨機(jī) 變量，這樣的樣本稱為簡單隨機(jī)樣本。在泛指任一次抽取的結(jié)果時(shí)，Xi,X2, ,Xn表示n個(gè)隨機(jī)變量(樣本)；在具體的一次抽取之后，Xi,X2, ,Xn表示n個(gè)具體的數(shù)值(樣本值)。我們稱之為樣本的兩重性。樣本函數(shù)和 統(tǒng)計(jì)量設(shè)Xi, X2, Xn為總體的一個(gè)樣本，稱(Xi,X2, Xn)為樣本函數(shù)，其中為一個(gè)連續(xù)函數(shù)。如果中不包含任何未知參數(shù)，則稱(Xi,X2, ,Xn)為一個(gè)統(tǒng)計(jì)量。常見統(tǒng)計(jì)量 及其性質(zhì)1 n樣本均值X Xi.n i i樣本力差nn_S2-(Xi

38、X)2.n 1 i i / 1n- n樣本標(biāo)準(zhǔn)差S 1(Xi x)2.n n 1 i i樣本k階原點(diǎn)矩1 nMk xik,k 1,2,.n i 1樣本k階中心矩1 n- kMk 一 (xix) ,k 2,3,.n i 1一_2E(X) , D(X), nE(S2)2, E(S*2) n 1 2,n1 n其中S*2 一 (Xi X)2 ,為二階中心矩。n i 1(2)正態(tài)總 體下的四 大分布正態(tài)分布設(shè)Xi,X2, ,Xn為來自止態(tài)總體 N( , 2)的一個(gè)樣本，則樣 本函數(shù)def Xu-N(01)./ v'nt分布設(shè)Xi,X2, ,Xn為來自止態(tài)總體 N (,)的一個(gè)樣本，則樣 本函數(shù)d

39、ef xt l t(n 1), s/V n其中t(n-1)表示自由度為 n-1的t分布。2分布設(shè)Xi,X2, ,Xn為來自止態(tài)總體 N( , 2)的一個(gè)樣本，則樣 本函數(shù)def (n 1)S22w-2 (n 1),其中2(n 1)表示自由度為n-1的2分布。F分布設(shè)X1,X2, ,xn為來自止態(tài)總體N( , 1 )的一個(gè)樣本，而-.2 一 .y1，y2, ,yn為來自止態(tài)總體 N( , 2)的一個(gè)樣本，則樣本 函數(shù)def S2 / 2F-24F(n1 1，n2 1)，S3 2其中cnn1-Cc1n2一S12d(Xi X)2,S22(yi y)2;R 1 i 1n2 1 i 1F(n1 1, n

40、2 1)表示第一自由度為n1 1,第一自由度為n2 1的F分布。(3)正態(tài)總 體下分布 的性質(zhì)X與S2獨(dú)立。第七章參數(shù)估計(jì)(1)點(diǎn)矩倩計(jì)設(shè)總體X的分布中包含有未知數(shù)1, 2, , m，則其分布函數(shù)可以表成F(x； 1, 2, m).它的 k 階原點(diǎn)矩 VkE(Xk)(k 1,2, ,m)中也包含了未知參數(shù)1, 2 , m，即Vk Vk ( 1, 2, m)。又設(shè)Xi, X2 , ,Xn為總體X的n個(gè)樣本值，其樣本的 k階原點(diǎn)矩為1 nXik (k 1,2,m).n i 1這樣，我們按照“當(dāng)參數(shù)等于其估計(jì)量時(shí)，總體矩等于相應(yīng)的樣本矩” 的原則建立方程，即有1 nV 1( 1, 2, , m) -

41、Xi,n i 1,、1n2V 2 ( 1 , 2 , m) Xi ,n i 1、，/1 n vmV m( 1, 2 , , m)Xi .n i 1由上面的m個(gè)方程中，解出的 m個(gè)未知參數(shù)(1, 2, , m)即為參數(shù) (1 , 2 , m )的矩估計(jì)量。若 為 的矩估計(jì)，g(X)為連續(xù)函數(shù)，則g(?)為g()的矩估計(jì)。極大似 然倩計(jì)當(dāng)總體 X為連續(xù)型隨機(jī)變量時(shí)，設(shè)其分布密度為f(X； 1 , 2 , m),其中1,2, m為未知參數(shù)。又設(shè)Xi , X2 , ,Xn為總體的一個(gè)樣本，稱nL( 1 , 2, m)f(Xi； 1, 2, m)i 1為樣本的似然函數(shù)，簡記為Ln.當(dāng)總體 X為離型隨機(jī)變

42、量時(shí)，設(shè)其分布律為PX X P(X； 1 , 2, m),則稱nL(x1 , X2 , ,Xn； 1, 2 , , m)p(Xi ； 1 , 2 , , m)i 1為樣本的似然函數(shù)。若似然函數(shù) L(X1,X2, Xn； 1, 2, m)在 1, 2, m 處取到最大值，則稱 1, 2, m分別為1, 2, m的最大似然估計(jì)值，相應(yīng)的統(tǒng)計(jì)量稱為最大似然估計(jì)量。ln Lnn0,i1,2, ,mii i若 為 的極大似然估計(jì)，g(x)為單調(diào)函數(shù)，則g(?)為g()的極大 似然情計(jì)。估 計(jì)量的 評選標(biāo) 準(zhǔn)無偏性設(shè)(X1，X2, ,Xn)為未知參數(shù)的估計(jì)量。若E ()=,則稱為的無偏估計(jì)量。E ( X

43、) =E (X), E (S2) =D (X)后效性設(shè) 11(X1, X,2 , ,Xn)和 22(X1, X,2 , ,Xn)>TH®參數(shù)的兩個(gè)無偏估計(jì)量。若 D( 1) D( 2),則稱1比2有效。一性設(shè)n是 的一串估計(jì)量，如果對于任意的正數(shù)，都有l(wèi)im P(| n |) 0,則稱n為的一致估計(jì)量(或相合估計(jì)量)。若為的無偏估計(jì)，且D( ?)0(n，則為的一致估計(jì)。只要總體的E(X)和D(X)存在，一切樣本矩和樣本矩的連續(xù)函數(shù)都是相 應(yīng)總體的一致估計(jì)量。(3)區(qū) 間情計(jì)置信區(qū) 間和置 信度設(shè)總體X含有一個(gè)待估的未知參數(shù)。如果我們從樣本x1,x,2 , ,xn出發(fā)，找出兩個(gè)統(tǒng)計(jì)量 1i(xi,X,2 , ,Xn)與22(x1, x,2 , xn) ( 12),使得區(qū)間1, 2以1(01)的概率包含這個(gè)待估參數(shù)，即P 12 1,那么稱區(qū)間1, 2為 的置信區(qū)間，1為該區(qū)間的置