一元一次不等式競賽題

1、元一次不等式一元一次不等式的解法及其應(yīng)用在初中代數(shù)中冇比較重要的地位.它是繼一元一次方 程、二元次方稈后乂 次數(shù)學(xué)建校思想的學(xué)習(xí)是培養(yǎng)學(xué)生分析問題和解決問題能力的重 要內(nèi)容正因為不等式在初中數(shù)學(xué)中的這一重要地位，在初中數(shù)學(xué)各種競賽中頻繁出現(xiàn)就 妥求學(xué)牛.對不等式有深刻的珅解.首先我們來了解此概念：不等式:）1不等號V, 2WH連接起來的式子叫做不等式例如:2 >3, X2C9. 十+，2尊一兀次不等式：含有個末知數(shù)并肚未知數(shù)的系數(shù)不等于0尺高次數(shù)是1的不等 式稱為一元一次不等式.兀次我們也要了解一元一次不等式解的特點:不爭式的解通常是某個范圍內(nèi)的切數(shù)，這是根本不同于方程的地方.例I關(guān)L的

2、不等式專7>罟的解能分析本題是含分惟的不等式第i步是去分母不等丈去分毋需要考慮是否變號，而 此處去分母所要乘的/足大于零約，所以不需要變號所以兩邊i司乘a?可得+1 於> u（1-3t）.整理可新（1+3“）文>/+“一1此吋要求/的值，就必須兩邊同除以l + 3a,此 時就要考慮1 + 3“的符號可以分三種情況（1）當l+3a> 0時，可解得x>.1 t 3a（2）當l+3a = 0時即a=4-時=£<（）滿足題目意思即（1+3小 l成立.（3）當l+3a V 0時，可解得丁七.1 3a解 因為“為分傍，所以a豐0,«2 > 0.

3、不等式兩邊同乘以a?,得工+ 1>a（ 1 3#） 移項合并同類項得（1 + 3a）x > a2 + a 1.因此，當1 +3“> 0時可解得>1 -r oa當1 + 3u = 0時9即a =_*時皿+ 1 =_¥ V0,滿足題目意思.BP(1 + 3a U >小+“ - 1成立當1十3u V 0時何解得x < 點評 本題考慮了兩邊同乘以鼓同涂以一個敎時的條件：必須保證是不等于窯的并 且當這個數(shù)大于舉的時侯不等號不變號當這個教小于冬的葉條不茅號冬變號同時深化了數(shù)學(xué)分類思想.例2（1987年全國初中聯(lián)賽題）設(shè)”，是自然數(shù)且満足小十工十兒+” *工5

4、=孫丁Z/"心求工；的最大值分析 從4 5“"小 都是自然數(shù)我們可以設(shè)r GS S s 以簡化題意.于是由 X +文？ +r + + x； = jrj：2xsx 可知 1 =1-I1H!H1 ' b ' +丄 -°二、'“ m .第工3工“54&不6厶心丹比丁 門才門門斗 匚4 +衛(wèi) + 3即（如一1）（工，一1）£ 4若二=1 9剛由題設(shè)育J =工2 = -T.J = ”！故等犬變?yōu)?十A ： = .這是不可能協(xié) 若4 2 2，從力一 1 a 1可知駐一 1 M 1 所以 W 3.而且當血=5時找到滿足條件的數(shù)組孫=Xi

5、 = jrj =】.r = 2.r： = 5.即-= 5足 可能的，所以心的最大值是5.解 由于4 工（；都是自然數(shù)不妨設(shè)T < l2 << 廠 < 門于是1 =1 1X2X3J4.C Z|1W丄 +丄 + 丄=3±亠寸 G 所以7 . H; 九即（°： - ）（ <1）4.工】才2勸才4竝兀 H 才：不若4 = 1，則由題設(shè)有JLi xz =工3 = JC 故等式變?yōu)? + .1 .=丄；這是不可能的.若R $ 2 ,從亠一 1 $ 1可知r ： *14 所以.讓冬5.而且當心=5時.找到滿足條件的數(shù)紹心二口 =亠=li = 2-.I =焉即

6、"-3 可能的所以上的最大值是5.點評札題滲透了化繁為簡的數(shù)學(xué)思想及分類討論思想、£殛噸1. 若不等式（a十l">a+ 1的解集為x< b則a必須滿足A. a V 0UC. a < 1I） a > 12. 如果不等式3才一加£ 0的正整數(shù)解是123那么以的取值范閘是 （）A. 9<m< 12B. 9</h< 12C. m < 12D m > 9B. x V 3D.才 V 33. 已知為常數(shù)若ar+/> 0的解集是.r<* 則心一“V0的解集是（）A. x > 3C工>34

7、. (17屆-希望杯T試賽題 >設(shè)加=柱£* =空2丿=壬若aV-3則()a + 3 a + 2 a -F 1A./nVxVpB. n < p <Z thC.p<”<mD. p <Z m <Z n5. (17屆“常望杯T試賽題)有如下四個敘述：(1) 當 0 Vh V 1 時丄一 V 1-T-rx2；1十JT(2) 當 0 V 才 V 1 時 J > 1 一 工 + #；1 x(3) 當一1 VhV 0 時.T-y V I 才 + F $1 -T x(4) 當一 1 Vxv 0 時.1-x + x2；'1十工其中正確的敘述是()

8、A. <1) (3)B.(2)(4)C. (1) (4)D.(2)(3)6. (】7脇“#望杯”竟賽題)若a<b<Q<c<d.則以下四個結(jié)論中正確的是()A. “+ + c + d定是正數(shù)B./十c-a-buj能是負數(shù)C. d c b u一定是正數(shù)D.c db a 定是止數(shù)7. 已知不等式3x-aC 0只有三個正整數(shù)解那么正數(shù)“的取值范圍是.8. 已<x<2.fc簡|工一 2|+ J25十一 80"頸的結(jié)果是_9. 化Sf/T匚萬的結(jié)果是10. (17屆“希望杯"初二2試賽題)設(shè)刃>0, v<FT3 -= /n,則代數(shù)式

9、/FT3+J工_ 的值J£(用m表示).11. (18屆“希望杯"初一 2試賽題)設(shè)0 Va V 12<6<1則丄.和a a b a 十 Q77四個式子中值帰大的是侑最小的是a b 12. 關(guān)于！的不等式|才一3|+ |x-5|<3的所有整數(shù)解的和是13. (】8總“蠟望杯”培調(diào)題設(shè)s札左是ZSABC的三條邊滿足 一V <a -f o c b 亠 c a,b則三邊中最長的邊是c a b02000 1 1少 281 1 114. 已知“=紹；;，N =務(wù)礦；，那么MN的大小關(guān)系是(填“>”或“V”)15. 不等式a(x a)> x 1的解集

10、為.16. 不等式些二1 = 巴土I的所有整數(shù)解之和為 .17. (10居初一培訓(xùn)均)不等式(|x| + x)(2-x)< 0的解是1& （16屆初一培訓(xùn)題）如果工$0,歹鼻0,且3工+ 4?= 12.求|2丁 一3川的最大值和 最小值.19. （江蘇省競賽題）已知三個非負數(shù)s X c滿足3o + 2 + c = 5和2a + "_3c = 1, 若/w 3“ + “ 一 7c求m的最大值和最小值.20. 已知關(guān)于x的方程壬滬 一 1 = 3丁 + 4的無是不等式5x4-7>0的一個解求“的 取值范圍.21. 已知ab, c是ABC的三條邊，試說明冷 + *+気

11、<2.一元一次不等式組在客觀世界中相等的關(guān)系是相對的局部的而不等的關(guān)系是絕對的，普遍的所以我 們經(jīng)常需要比較的大小或者對某個址進行估計列出不等式組運用這些相關(guān)的知識 就可以求鯉.首先了解一韭御念：幾個角右相同未知數(shù)的不辱式聯(lián)立起來叫做不等式紐.解不等式組】以光把其中的不暮式逐條算岀齊n的解集然后分別在數(shù)軸上表示出來.以兩牛不等式組成的不等式組為例： 若網(wǎng)個未知數(shù)的解菓在數(shù)軸上表示同向左就取在左邊的未知數(shù)的解集為不等式組 的解集此乃“同小取小“ 若兩個木知數(shù)的解集住數(shù)軸I：去示同向右就取在右邊的未知數(shù)的解集為不等式組 的解集此乃“同大取大” 若兩卜未知數(shù)的解集在數(shù)軸上相交.就取它們之間的值

12、為不等式組的解集若工表示 不等式的解集此時一般表示為“ < .r<幾或“ < 才< b.此乃“相交取中”.若兩個未知數(shù)的解集化數(shù)軸上向背那么不等式組的解集就是空集不籌式組無解. 此乃“向背取空”.不等式組的應(yīng)用主要表現(xiàn)在:作差或作商比較數(shù)的大小:求代數(shù)式的取值范國；求代數(shù) 式的卬值列不等式組解應(yīng)用題.例1滿足"-】i£3的帑數(shù)解的和是.分析I用數(shù)形結(jié)合的思想|.- I丨表示故輕上的數(shù)r對應(yīng)的點到數(shù)1對應(yīng)的點之間 的距#w|xi|<3表示這卜拒離不；：:3（小于等于3） 結(jié)合圖可知-2H 所以 “一 1丨0 3的所有滬數(shù)岸的柯為（一？）+ （ 1

13、 ）+0十1 + 2 + 3 + 4 = 7.分析2用“零點分段"法由一1二0得=1.所以當才>1時.|才一|冬3即丁一1 £ 3解得./ < 4.蘭丿二I時；.一 |£3即一.十1冬3解得疋上一2.綜上可知一2£工£4所以 Lr HC3的所有整數(shù)群的和為（一 2）十（一 1） + 0 +1+2+ 3 +4 = 7.棍據(jù)分析2解題如下:由丄廠1 = 0得才=1.運用“零點分段法"可得2 £ 3 (.T > 1 ) 一工 + 1 <3 (X 1)解這個不等式組的解為 2< I 所以I"

14、一】|冬3的所仃鶴數(shù)餅的和為（2）十（1）亠 0+1+ 2 + 3+ 4 = 7.點評教形結(jié)合、零點分找法榔曼不等式中經(jīng)常運用到的敦學(xué)思擔.-it用結(jié)合把夏條抽 象的不等式在數(shù)軸上體現(xiàn)得更為形象克現(xiàn).而窣點分段笑財杞復(fù)雜問逖分段芳慮使間題忠 考趨于簡單分析2即解法過程體現(xiàn)了不等式與不等式組之間的繳另關(guān)系例2 x滿足不等式上尹冬丄尹 < 違二i 則x可能取到的偵中最大的整數(shù)是分析（* ）不等式是由兩個連續(xù)不等號連接的比類不第式"<，、；-.'I 1 X 一 3 + H T一 電r_ 1次不等式組本題可將（餐）不琴式化為彳由能得X孑一 1由娜得I 3" &l

15、t; 士N e|4752工£寺所以一 1 G V * 得出.r可盪取的峨大整冬佶為0.I 才一3 + 丁 金解不等式（*、可轉(zhuǎn)化為不等式組<山解得.<1 >由斛得I 3十” 1» 金x< + 所以一 y Y 寺.得岀丫可能取的最人整數(shù)（ft為o.點評 此題是一個連續(xù)不等氏化為不等式組的轅唯解帶分母的不爭式組先去分垃. 做題要注意觀察題中的細帶比如此題中的關(guān)鍵詞：最大整牝能力測試* 1-（ 18屆瘩蟄杯初二決賽）實數(shù)“幾皿"滿足" <皿若M =片號N =沖也，則M與N的大小關(guān)系是（>A. M > VB. M = V

16、C. M < ND.尤法確定2. （2005年"CASIO杯”金國初中教學(xué)競坯題）設(shè)“6是正整數(shù)且滿足 九+ X59, 0.9 <學(xué)冬0.91則夕一/毎;<>bA. 171B. 177C. 180D. 1823. （2008江蘇南通中考試題）設(shè) w：是關(guān)于才的一元二次方鼻十十.r十一2 = mi的 兩個實數(shù)根<0. .r:-3.r> <0.則（）加> 1 j 加 > 1 f /;/ < hi m < J B.( /IX I、n> 2«< 2hi > 2in <Z 21T CL/2二2“

17、嚴解是則M值是（A. 2B. £C. 4D.-/4（3r a 05.（江蘇省19屆初二試題）已知關(guān)于n的不等式組一 f b的整數(shù)解有且僅有41 J|<T個：一10. 1. 2那么適合這個不等式組的所有可能的整數(shù)對（a, b）的個數(shù)有 （）A. 1B. 2C. 4D. 66一共有（個幣數(shù)a適伶不等式丨二一 2000 | + |£ 9999A. 10000B. 2000C. 9999D. 87. （17屆“希望杯”初二2試賽題）要使代數(shù)式傘三丄三Z有意義.那么實數(shù)的取值 .r' 一 4j十 3范圍是（）A. 1 V .r w 5B. 1 或才 M 5 C.才 w

18、1 或 2 $ 5 D. x< 1 或.r > 5& 設(shè) j* 00 2x 丄.y=6則“ =4, + 3.ry t y' 6.r 3.y 的最大值是（）27A. yB. 18C. 20D.不存在（9jt 一 a 工 09. 關(guān)于j的不等式仁z 的整數(shù)解僅為1.2.3.則適合不等式組的榕數(shù)s 的丨8工一/> V 0有序數(shù)對有（）A. 17 對B. 64 對C. 72 對I）. 81 對10. 能使4加+ 52加一 120加這3個數(shù)作為三角形3邊的整數(shù)加共有 （）A. 2 個B. 6 個C. 12 個D. 18 個11. （第十八屆“希望杯"全國救學(xué)邀請孫初二第一試）小楊在商店購買r a件甲種商品"件乙種商品共用213元，已期甲種商品毎件7元，乙種商品毎件19元，那么u A b的最 大值是2z a V 112. （18屆希望杯初二決賽）若不等式組I中