與三角形有關(guān)的角

1、第2講與三角形有關(guān)的角、知識(shí)重點(diǎn)1 三角形內(nèi)角和定理(1)定理：三角形三個(gè)內(nèi)角的和等于180 °證明方法：ZAArD zA H a8(3)理解與延伸：CDBc因?yàn)槿切蝺?nèi)角和為 180°所以延伸出三角形中很多的角的特定關(guān)系如：一個(gè)三角 形中最多只有一個(gè)鈍角或直角；一個(gè)三角形中最少有一個(gè)角不小于60°直角三角形兩銳角互余；等邊三角形每個(gè)角都是60°等.(4)作用：已知兩角求第三角或已知三角關(guān)系求角的度數(shù).談重點(diǎn) 三角形內(nèi)角和定理的理解三角形內(nèi)角和定理是最重要的定理之一，是求角的度數(shù)問題中最基礎(chǔ)的定理，應(yīng)用非常廣泛.【例1】填空:(1) 在厶 ABC 中，若

2、/ A= 80 ° / C= 20° 則/ B =若/ A = 80° / B=Z C,則/ C= °則/ B =已知 ABC的三個(gè)內(nèi)角的度數(shù)之比/ A： / B： / C = 2 : 3 : 5 , ° / C =(1)直角三角形的性質(zhì)：直角三角形的兩個(gè)銳角互余.【例2- 1】 將一個(gè)直角三角板和一把直尺如圖放置，如果/2 直角三角形的性質(zhì)與判定a= 43°則/ B的度數(shù)是( ).A. 43B. 47C. 30D. 60 °答案：B(2) 直角三角形的判定：有兩個(gè)角互余的三角形是直角三角形.如圖所示，在 ABC中，如果/

3、A+ / B=90 °，那么/ C=90 °，即 ABC是直角三角 形.【例2-2】如圖所示，線與/ DFE的平分線相交于點(diǎn)CD于點(diǎn)E, F，/ BEF的平分P,求證： EPF是直角三角形.3. 三角形的外角(1) 定義：三角形的一邊與另一邊的延長(zhǎng)線組成的角，叫做三角形的外角. 如圖，/ACD就是 ABC其中的一個(gè)外角.特點(diǎn)：三角形的一個(gè)外角和與它同頂點(diǎn)的內(nèi)角互為鄰補(bǔ)角，這是內(nèi)、外角聯(lián)系的 紐帶.破疑點(diǎn) 三角形外角的 理解 外角是相對(duì)于內(nèi)角而言的，也是三角形中重要的角，一個(gè)角對(duì)一個(gè)三角形來說是外角，而對(duì)于另一個(gè)三角形來說可能是內(nèi)角；三角形的角是指的三角形的內(nèi)角，這點(diǎn)要注意.

4、【例3】 在厶ABC中，/ A等于和它相鄰的外角的四分之一，這個(gè)外角等于/B的兩倍，那么/ A =, Z B =, Z C=.4. 三角形外角性質(zhì)(1)性質(zhì)：三角形的外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和.如圖所示：Z 1 = Z B +Z C(或/ B =Z 1-Z C,Z C=Z 1 -Z B)./CB 注意：三角形的外角和不是所有外角的和，是每個(gè)頂點(diǎn)處取一個(gè)外角，是一半數(shù)目外角的和.作用：求角的度數(shù)，在外角、不相鄰的兩內(nèi)角中知道兩角能求第三角，也能求出 相鄰內(nèi)角的度數(shù)；證明角相等，一般是把外角作為中間關(guān)系式證明角相等.析規(guī)律 三角形外角的性質(zhì)的理解三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩內(nèi)角和，是由

5、三角形內(nèi)角和是 180°和鄰補(bǔ)角關(guān)系推導(dǎo)出來的，是它們應(yīng)用的延伸，所以用這個(gè)性質(zhì) 能得出的結(jié)論，用三角形內(nèi)角和也能推出， 但走了彎路.因?yàn)槿切瓮饨鞘峭ㄟ^圖表現(xiàn)出 來的，具有隱蔽性，所以應(yīng)用時(shí)要注意觀察圖形.【例4】 如圖，一個(gè)直角三角形紙片，剪去直角后，得到一個(gè)四邊形，則Z1 + Z2 =BC5. 三角形外角和定義(規(guī)定)：如圖所示，在每一個(gè)頂點(diǎn)上取一個(gè)外角，如Z1,Z 2, Z 3,它們的和叫做三角形的外角和.三角形外角和定理：三角形的外角和等于360 °注意：三角形的外角和不是所有外角的和，是每個(gè)頂點(diǎn)處取一個(gè)外角，是一半數(shù)目外角的和.【例5】 如圖所示.用兩種方法說明

6、Z1 + Z 2 + Z 3= 360°點(diǎn)評(píng)：同一頂點(diǎn)上的內(nèi)、外角互為鄰補(bǔ)角是內(nèi)、外角關(guān)系轉(zhuǎn)換的最基礎(chǔ)的依據(jù).6三角形內(nèi)角和定理應(yīng)用三角形內(nèi)角和定理是三角形中最重要的定理之一，是三角形中關(guān)于角度計(jì)算的基礎(chǔ)，也是其他多邊形求角度數(shù)問題必備的基礎(chǔ)知識(shí)，目前它的應(yīng)用方式主要表現(xiàn)在以下幾個(gè)方面：(1) 已知兩角求第三角這是內(nèi)角和定理最簡(jiǎn)單、 直接的應(yīng)用，一般是直接或間接給出三個(gè)內(nèi)角中的兩角，求第三角，比較簡(jiǎn)單，直接用 180°減去兩角度數(shù)得出，往往與考查角的單位換算相聯(lián)系.(2) 已知三角的比例關(guān)系求各角這類題目一般給出三個(gè)角的比例關(guān)系，通過設(shè)未知數(shù)列方程的方法求解，一般是設(shè)每一份

7、為x度，用含未知數(shù)的式子分別表示出每一個(gè)角的度數(shù)，根據(jù)它們的和是180°列方程求解，然后再求出每一個(gè)角的度數(shù).有時(shí)是通過求角的度數(shù)判斷三角形的形狀，但熟練后從比例關(guān)系中可以直接確定三角形的形狀.（3）已知三角之間相互關(guān)系求未知角這類題目一般是已知各角之間的和、差、倍、分等的數(shù)量關(guān)系，通過等式變形，用一共 同的角表示其他兩角，然后根據(jù)內(nèi)角和是180。列出等式，求出其中一角，然后再根據(jù)它們之間的數(shù)量關(guān)系分別求出另兩角，有時(shí)也可以列方程（組）求角的度數(shù).解技巧利用三角形內(nèi)角和求三角形的內(nèi)角運(yùn)用三角形內(nèi)角和定理求角的度數(shù)題目形式多樣，方法也不同，要根據(jù)實(shí)際靈活運(yùn)用.7. 三角形外角性質(zhì)的應(yīng)用

8、外角性質(zhì)應(yīng)用：三角形外角性質(zhì)是三角形角度計(jì)算中的重要定理，也是求角度運(yùn)算中常用的定理.如圖所示，/ 1是厶ABC的一個(gè)外角，在/ 1，/ B，/ C三個(gè)角中，知道任意兩 個(gè)角就可以求出第三個(gè)角. / 1=Z B+Z C; / B=Z 1 Z C; Z C=Z 1 Z B.破疑點(diǎn) 利用三角形外角的性質(zhì)求一個(gè)角的方法因三角形外角的性質(zhì)是由三角形內(nèi)角和與鄰補(bǔ)角定義推出的，所以用外角性質(zhì)能進(jìn)行的運(yùn)算，用三角形內(nèi)角和也能進(jìn)行運(yùn)算， 但有外角時(shí)，應(yīng)用外角性質(zhì)更簡(jiǎn)便，所以要改變?cè)瓉砹?xí)慣用三角形內(nèi)角和定理的思維定式， 學(xué)會(huì)運(yùn)用外角性質(zhì)定理解決問題.8. 三角形內(nèi)角和定理、外角性質(zhì)、平行線性質(zhì)綜合運(yùn)用三角形內(nèi)角

9、和定理、外角性質(zhì)定理都反映了角之間的數(shù)量關(guān)系，在求角度數(shù)問題中占有重要地位同樣平行線中也蘊(yùn)含了大量的角之間的關(guān)系（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等、同位角相等、同旁內(nèi)角互補(bǔ)），因此它們常常結(jié)合在一起，綜合應(yīng)用，通過角的等量轉(zhuǎn)化，以求角 的度數(shù)或證明角相等.解技巧 三角形內(nèi)角和、外角性質(zhì)的綜合運(yùn)用因?yàn)槿切蔚膬?nèi)角、 外角以及形成的鄰補(bǔ)角、對(duì)頂角等都是通過圖形反映出來的，在已知中不提及，因此運(yùn)用時(shí)要注意觀察圖形， 善于發(fā)現(xiàn)各角之間的位置關(guān)系，進(jìn)而確定它們的大小關(guān)系.【例 6 1】 在厶ABC 中，Z A = 80°, Z B = 60°,則Z C=。.【例 6 2】 已知在 ABC 中，

10、Z A= 40° Z B Z C= 40° 則Z B=, Z C【例 6 3】 在厶 ABC 中，Z A : Z B : Z C = 5 : 3 : 2,那么 ABC 是（）.A 銳角三角形B 直角三角形C.鈍角三角形D 任意三角形【例6 4】 銳角三角形的三個(gè)內(nèi)角是ZA, Z B, Z C.如果Z a=Z A +Z B,Z 3=Z B+ Z C, Z尸Z C+Z A,那么Z a , Zp, z 丫這三個(gè)角中（）.A .沒有銳角B .有1個(gè)銳角C.有2個(gè)銳角D .有3個(gè)銳角【例7】填空：（1）如圖（1） , P ABC中BC邊的延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，Z A= 50° Z

11、B= 70° 貝UZ ACP =° .（2）如圖（2） 所示,已知Z ABE = 142 ° ° Z C = 72 ° 則Z A = ° Z ABC =如圖，Z 3= 120 °則Z 1 Z 2 =【例8- 1】A. 120 °C. 300 °【例8-2】A ./ a+/C./ 3+/圖圖如圖(1)，將一等邊三角形剪去一個(gè)角后，/1 + / 2等于(D. 360如圖，a/ b,).B+/ YB/ YD. / a/ 3+/ Y9. 運(yùn)用三角形內(nèi)角和定理判斷三角形形狀判斷三角形形狀是三角形問題中經(jīng)常遇到的題目

12、，而判定三角形形狀方法多樣，其中運(yùn)用三角形內(nèi)角和定理求角，進(jìn)而判斷三角形形狀是最常用的方法.因?yàn)槿切伟唇欠诸惪梢苑譃槿悾衡g角三角形、銳角三角形、直角三角形，此外根據(jù)角的度數(shù)還能判定等腰三角形、等邊三角形，因此根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出三角形某些角的度數(shù)，不僅可以按角分類判斷三角形的形狀，還可以按邊分類判斷三角形的形狀，進(jìn)而了解邊的大小關(guān)系.解技巧 利用三角形內(nèi)角和確定三角形的形狀運(yùn)用三角形內(nèi)角和定理求角判斷三角形形狀問題比求角度問題多一步判斷，但不同點(diǎn)是：判斷形狀不是求出所有角，而是根據(jù)所給三角形各內(nèi)角關(guān)系，求某些關(guān)鍵的角，一般是最大角，然后進(jìn)行判斷.【例9 1】一個(gè)三角形三個(gè)內(nèi)角的度數(shù)之比

13、為2 : 3 : 7,這個(gè)三角形一定是().A .直角三角形B.等腰三角形C.銳角三角形D.鈍角三角形【例9 2】 在厶ABC中，若/ A= 2 / B = 3/ C,試判斷這個(gè)三角形的形狀.1 1分析：根據(jù)/ A= 2/ B = 3/ C,可設(shè)/ A= x°,那么/ B= x°, / C =,根據(jù)三角形內(nèi)角和是180°列方程求出x,再求出最大角的大小，即可判斷出三角形的形狀.10. 角平分線的夾角與三角形內(nèi)角關(guān)系的探究根據(jù)三角形的內(nèi)角和， 三角形外角與內(nèi)角的關(guān)系及角平分線的意義，可以探究有關(guān)角平分線的夾角問題.(1)三角形的兩內(nèi)角平分線的夾角與內(nèi)角的關(guān)系如圖，在

14、 ABC中，/ ABC的平分線與/ ACB的平分線交于點(diǎn) O,求/ BOC與/ A之 間的關(guān)系.結(jié)論：三角形兩內(nèi)角的平分線所夾的鈍角等于90°加上第三角的一半，即/ BOC = 90°+2/ A.(2)三角形兩外角的平分線的夾角與內(nèi)角的關(guān)系如圖，在 ABC中，BP, CP分別是 ABC的外角/ DBC和/ ECB的平分線，試探究 / BPC與/ A的關(guān)系.結(jié)論：三角形的兩個(gè)外角的平分線所夾的銳角等于90°減去第三個(gè)角的一半，即/ BPC=90° 1 / A.2(3) 個(gè)內(nèi)角平分線與一個(gè)外角平分線的夾角與內(nèi)角的關(guān)系如圖，在厶ABC中，CE平分/ ACB,

15、BE是厶ABC的外角/ ABD的平分線，試探究/ BEC 與/ A的關(guān)系.結(jié)論：三角形的一個(gè)內(nèi)角平分線與外角平分線相交成的銳角等于第三個(gè)內(nèi)角的一半，即1 / BEC =丄/A.2【例10 1】如圖，已知 ABC,/ABC的平分線與/ ACB的平分線交于點(diǎn) O,求/ BOC與/ A之間的關(guān)系.分析：根據(jù)角平分線意義和三角形內(nèi)角和定理，采用整體代入方法，由/ BOC = 180°1 1 1(/ OBC + / OCB)，經(jīng)過代換得，/ BOC = 180° ?/ ABC ?/ ACB = 180° / ABC +1/ ACB)= 180。一 1(180 °

16、/ A),化簡(jiǎn)得出結(jié)論.【例10 2】 如圖，BO , CO分別是/ ABC, / ACB的兩條平分線，/ A = 100°，則/ BOC 的度數(shù)是().A. 80 °B. 90 °C. 120 °D. 140 °【例10 3】 如圖所示，/ ABC的平分線和 ABC的外角/ ACE的平分線交于點(diǎn) D,/ D = 30° / A的度數(shù)是;當(dāng)/ D =時(shí)，/ A的度數(shù)是90°D11與三角形有關(guān)的角的問題的一題多解由于用三角形外角性質(zhì)得到的結(jié)論都能用三角形內(nèi)角和定理和鄰補(bǔ)角定義推出，以及外角的多樣性和求角度的方法多樣性，因此這部

17、分內(nèi)容中的題目解法多樣，很多題目解法都不唯一，例如：如圖是由平面上五個(gè)點(diǎn) A, B, C, D , E連接而成，求/ A +Z B+Z C + Z D + Z E的度數(shù)是多少？由于每個(gè)角的度數(shù) 都不知道，所以需要將五個(gè)角轉(zhuǎn)化到同一個(gè)三角形中解決，解決此 問題有多種方法，如圖（2），連接BC,根據(jù)三角形內(nèi)角和定理和對(duì)頂角相等，可將ZA +Z B +Z C + Z D+Z E轉(zhuǎn)化到 ABC中求解；如圖（3），延長(zhǎng)BD，交AC于F，根據(jù)三角 形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和，可將ZA+Z B+Z C+Z D + Z E轉(zhuǎn)化到 COF中求解；如圖（4），也可以延長(zhǎng)CE交AB于G,運(yùn)用三角形的一

18、個(gè)外角等于和它不 相鄰的兩內(nèi)角和，將Z A+Z B+Z C + Z D + Z E轉(zhuǎn)化到 BOG中求解；向兩方延長(zhǎng) DE 也能構(gòu)造出三角形求解.【例11】 如圖所示是小亮的爸爸帶回家的一種零件示意圖，它要求Z BDC = 140 才合格，小明通過測(cè)量得Z A= 90° Z B= 19° Z C= 40。后就下結(jié)論說此零件不合格，于圖圖、綜合練習(xí)一、選擇題1三角形的三個(gè)外角之比為 2:3: 4，則與之相應(yīng)的三個(gè)內(nèi)角之比為（）A. 2:3: 4 B. 4:3: 2 C. 5:3:1D. 1:3:52.如圖4,工人師傅砌門時(shí)，常用木條EF固定矩形門框ABCD，使其不變形，這種做法

19、的根據(jù)是（）A.兩點(diǎn)之間直線段最短C.矩形四個(gè)角都是直角B.矩形的穩(wěn)定性D.三角形的穩(wěn)定性)3.如圖 5, Z1 , Z2 , / 3,A. Z1 - Z 2 =Z 3 Z4Z4恒滿足的關(guān)系式是（B. Z1 - Z 2 =Z4-Z3C. Z1 - Z 4 二/2 -z 3D. Z1 - Z 4 二Z2-Z34.如圖 6, Z1 -z2 - Z3 - Z4 - Z5 Z6等于()(:5.如圖7,在厶ABC中，D是AB上的一點(diǎn)，E是AC上一點(diǎn)，BE, CD相交于F ,Z A =70： , Z ACD =20： , Z ABE =28，則 Z CFE 的度數(shù)為()A. 62 B. 68 C. 78

20、D. 90cA,.2B.3C. 4D. 57.若三條線段中a - 3, b - 5 , c為奇數(shù):,那么由a, b, c為邊組成的三角形共有A,.1個(gè)B . 3個(gè)C.無數(shù)多個(gè)D.無法確定8 .如果線段ab, c能組成三角形，那么它們的長(zhǎng)度比可能是（）A,.1:2: 4B. 1:3: 4C .3: 4: 7D. 2:3: 49.不一定能構(gòu)成三角形的一組線段的長(zhǎng)度為( )A,.3 , 7 ,5B .3x, 4x, 5x x 0C ,-5 , 5,a 0 ： a:10D .2 .2 a , b ,6.如圖2,以BC為公共邊的三角形的個(gè)數(shù)是（)( )10.已知有長(zhǎng)為1, 2 , 3的線段若干條，任取其中3樣構(gòu)造三角形，則最多能構(gòu)成形狀或1大小不同的三角形的個(gè)數(shù)是()A. 5B. 7C. 8二、填空題D. 1011.如圖1, Z ABC的平分線交Z AC