概率的定義及其運(yùn)算精

1、2.概率的定義及其運(yùn)算除必然事件與不可能事件外，任一隨機(jī)事件在一次試驗(yàn)中都有發(fā)生 的可能性，人們常常通過實(shí)際觀察來確定某個(gè)事件發(fā)生的可能性的 大小。例如遇到某種天氣，人們常會說“今天十之八九要下雨”， 這個(gè)“十之八九”就是表示“今天下雨”這一事件發(fā)生的可能性的 大小。這是人們通過大量實(shí)踐所得出得一種統(tǒng)計(jì)規(guī)律，即已經(jīng)歷_89過：；次這種天氣，下雨的天數(shù)在這幾天中所占比例大約是 川至一般地，人們希望用一個(gè)適當(dāng)?shù)臄?shù)字來表示事件在一次試驗(yàn)中發(fā)生 的可能性的大小。這是就下雨所討論的隨機(jī)事件發(fā)生的頻率與概 率。3. 頻率定義1.1設(shè)在相同的條件下，進(jìn)行了 ：次試驗(yàn)。若隨機(jī)事件匸在這'：次試驗(yàn)中發(fā)生

2、了 "次，貝吐匕值“稱為事件"發(fā)生的頻率，記為二11。頻率具有如下性質(zhì)：1. 對任一事件丁，有1 ；2. 對必然事件二，有_3. 若事件互不相容，則 二匕二一般地,若事件' -d ;人 丄兩兩互不相容,則i-lJI事件人發(fā)生的頻率表示A發(fā)生的頻繁程度，頻率越大，事件A發(fā)生的越頻繁，即 A在一次試驗(yàn)中發(fā)生的可能性越大。但是，頻率具有隨機(jī)波動性，即使同樣進(jìn)行 了 .次試驗(yàn)，卻會不同。但這種波動不是雜亂無章，在第五章的大數(shù)定律中， 我們將看到若增加試驗(yàn)次數(shù)，則隨機(jī)波動性將會減小。隨著:逐漸增大，二逐漸穩(wěn)定于某個(gè)常數(shù)' ：-J|o這樣常數(shù)P（A）客觀上反映了事件A發(fā)

3、生的可能性的 大小。歷史上著名的統(tǒng)計(jì)學(xué)家浦豐和皮爾遜曾進(jìn)行過大量值硬幣的試驗(yàn)，所的結(jié)果如下：實(shí)驗(yàn)者擲硬幣次數(shù)出現(xiàn)正面的次 數(shù)出現(xiàn)正面的頻率浦豐404020480.5069皮爾遜1200060190.5016皮爾遜24000120120.5005可見出現(xiàn)正面的頻率總在0.5附近波動。隨著試驗(yàn)次數(shù)的增加，它逐漸穩(wěn)定于0.5。這個(gè)0.5就能反映正面出現(xiàn)的可能性的大小。每個(gè)事件都由這樣一個(gè)常數(shù)與之對應(yīng)。 這就是說頻率具有 穩(wěn)定性。因而可將事件 A的頻率二"在無限增大時(shí)所逐漸趨向穩(wěn)定的那個(gè)常數(shù) P（A）定義為事件A發(fā) 生的概率。這就是概率的統(tǒng)計(jì)定義。1.2.2概率的統(tǒng)計(jì)定義定義1.2設(shè)隨機(jī)事件

4、A在；次重復(fù)試驗(yàn)匯總發(fā)生的次數(shù)為若當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)很大時(shí)，頻率穩(wěn)定地在某一數(shù)值的附近擺動，且隨著試驗(yàn)次數(shù):的增加，其擺動的幅度越來越小，則稱數(shù)為隨機(jī)事件A的概率，記為£'。由定義，顯然有0 蘭 p（A）蘭 i ，p（o）=i，p（*）=o。概率的統(tǒng)計(jì)定義本身存在著很大的缺陷，既定義中的“穩(wěn)定地在某一數(shù)值p的附 近擺動”含義不清，如何理解”擺動的幅度”？或多或少地帶有人為地主觀性。頻率概率的意義在于（1）它提供了估計(jì)概率的方法；（2）它提供了一種 檢驗(yàn)理論正確與否的準(zhǔn)則123概率的公理化定義定義1.3設(shè)隨機(jī)試驗(yàn)的樣本空間為二。若按照某種方法,對的每一事件A 賦于一個(gè)實(shí)數(shù)P(A),且滿

5、足以下公理：1. 非負(fù)性:3. 可列(完全)可加性：對于兩兩互不相容的可列無窮多個(gè)事件A Y A2 YA YA YA) =+ P(托)十 A 十 P(An) +A則稱實(shí)數(shù)為事件丁的概率。由概率的定義可以推得概率的如下一些性質(zhì)。性質(zhì)1不可能事件的概率為零，即0證令,且"一'則,于是尸3 = (YA)=主尸(4)= 士尸(詢忌科!兩!從而由-;得八j。性質(zhì)2概率具有有限可加性，即若事件-1兩兩互不相容，則YA Y) = F(4)+)+A 十證因?yàn)镵i Y為 YA YA = YYA YA YY4>YA所以由概率得可列可加性及性質(zhì)1,得YA Y) = F(4) + A 十 P(

6、&).性質(zhì)3對任何事件丁 ,有證因?yàn)镴YZ-Q, Al A-所以由?即得 U 一J，同時(shí)由二山-,可推得：對任一事件',有P(_A) i 1性質(zhì)4對事件占、百，若/匚月，則有-尸(力)*尸3)-尸)證：由-圖1 1可知丄，二丄，且亠二/因此由性質(zhì)2 ,得P=F(£) + P(B - A) 即 P(E - A) = P(B) - P(A).再由'一'，得P(_B) > P(A).性質(zhì)5對任意兩事件匸、,有宀二小-m證由圖12可知AYB = AY(B-A)tB = ABYB-A),且啟I (-4) = <P,ABX B-A) = 4>5故

7、得P(AYB)=尸()+P(B -A) 及 P=F(AE) + PJE - A),將以上兩式相減，并將：'移至等號右端，即得P(AYB = F(& + P(R) - F(K占)性質(zhì)5還可推廣到n個(gè)事件的情況.。當(dāng)n=3時(shí)，有pg U耳 7島）=P（4）+ 汛&）十尸（九）-m）-（4A）-只局地）-+0OM沁）般地，設(shè)A, A, , ,An為n個(gè)事件，則有(YA)=Xm)-工PAA)+A +(-1嚴(yán) 工HAAA %)" (-Dm A) JIX-l吧舟£屁4Z1. 某人外出旅游兩天。拒天氣預(yù)報(bào)，第一天下雨的概率為0.6，第二天下雨的概率為0.3，兩天都

8、下雨的概率為0.1。試求:1. 第一下雨而第二天不下雨的概率;2. 第一天不下雨而第二天下雨的概率；3. 至少有一天下雨的概率；4. 兩天都不下雨的概率；5. 至少有一天不下雨的。解設(shè)A表示第i天下雨的事件，i =1， 2。由題意，有P(A)=0.6 , P(A)=0.3 , P(A)=0.1 （1）設(shè)B表示第一天下雨而第二天不下雨的事件，則由B * 九-坷A _P（5）-尸（刈 _- P（舄）-P（召為）- 0.6-0 1 - 052. 設(shè)C表示第一天不下雨而第二天下雨的事件，則同 （1）的解法，有呻=玖& - 4A）=玖迪）-P（AA） =03-01-0.23. 設(shè)D表示至少有一天

9、下雨的事件，則由D =得尸刀）=p（a, ya） = p（a）+ 尸4）-o4. 設(shè)E為兩天都不下雨的事件，則由E =月= 4 匕 &得P（£） =F（LvJ1；） = l-?（4u） = 1-0.8 = 0.25. 設(shè)F表示至少有一天不下雨的事件，則P（F） = P（A） = A-P（A1A2'）例2某地發(fā)行A,B,C三種報(bào)紙.已知在市民中訂閱A報(bào)的有45%訂閱B報(bào)的有 35%訂閱C報(bào)的有30%同時(shí)訂閱A,及B報(bào)的有10%同時(shí)訂閱A報(bào)及C報(bào)的有8%, 同時(shí)訂閱B報(bào)及C報(bào)的有5%.同時(shí)訂閱A,B,C報(bào)的有3%試求下列事件的概率：1. 只訂A報(bào),2. 只訂A及B報(bào)；3.

10、 至少訂一種報(bào)紙；4. 不訂任何報(bào)紙；5. 恰好訂兩種報(bào)紙；6. 恰好訂一種報(bào)紙；7. 至少訂一種報(bào)紙.解 設(shè)A,B,C分布表示訂A報(bào)、訂B報(bào)、訂C報(bào)的事件，則由題設(shè)，有P(A)=0.45,P(B)=0.35,P(C)=0.30,P(AB)=0.10,P(AC)=0.08,P(BC)=0.05,P(ABC) =0.03. 巴出二=P(A-B-C)=P(A-AB-AC)-P(A - A(BYC) AC)=P(A)-P(AB)-P(AC)+P(ABC)=0.30.(2) '' ' | =P(AB-C)=P(AB-ABC)=P(AB)-P(ABC)=0.07(3) =P(A)

11、+P(B)+P(C)-P(AB)-P(AC)-P(BC)+P(ABC)=0.90.由(2)可知'：，：1=P(AC)-P(ABC)=0.05,P(ABC) - P(眈)-P(ABC) - 0.02,故所求概率為''肚' .1沐：二H IP(ABC +ABC + ABC) = 1 - P(ABC) - PABC + 曲U + ABC) - P(ABC) = 0.73(7)由(4)與(6),得PABC + X5C + ZSC) = 0. S3.1.2.4古典概率定義1.4設(shè)隨機(jī)試驗(yàn)E滿足下列條件：1. 試驗(yàn)的樣本空間只有有限個(gè)樣本點(diǎn),即W = P 1, P 2, P

12、 n；2. 每個(gè)樣本的發(fā)生是的可能的，即P(P 1)= P( P 2) = , = P( P n),則稱此試驗(yàn)為古典概型，也稱為等可能概型.由于每個(gè)樣本點(diǎn)所表示的基本事件是互不相容的，因此有1= P(W ) = P( P 1) ( P 2),( P n)=P( P 1)+ P(P 2)+ , + P( P n),再有2.,即得P(P i)=1/n ,i=1,2,n.設(shè)事件A包含k 了個(gè)基本事件p i1, p i2, p ik,即A=(p 1) ( p 2),( p n)(1<=i 1<,<i k<=n).則有P(A) = P(Pi1) (Pi2)(p ik)=P( p

13、i1)+P(p i2)+,+P( p ik)=k/n=(A所包含的基本事件數(shù))/( W種基本事件總數(shù))古典概型中事件的概型稱為 古典概率，即如上述的P(A).古典概率的計(jì)算關(guān)鍵在 于計(jì)算機(jī)本事件總數(shù)和所求包含的基本事件數(shù).由于樣本空間的設(shè)計(jì)可有各種不 同的方法，因此古典概率的計(jì)算就變得五花八門、紛繁多樣了。一般地，當(dāng)基本事件總數(shù)相當(dāng)大的時(shí)候，可利用排列、組合及乘法原理、加法原 理的知識計(jì)算基本事件數(shù)，進(jìn)而求得相應(yīng)的概率。例3 一只口袋中裝有5只乒乓球，其中3只是白色的，2只是黃色的?，F(xiàn)從袋中 取球兩次，每次1只，取出后不在放回。試求：1. 兩只球都是白色的概率；2. 兩只球顏色不同的概率；3.

14、 至少有一只白球的概率。解設(shè)A表示“兩只球都是白色”的事件，B表示“兩只球顏色不同”的 事件，C表示“至少有一只白球”的事件，則由基本事件總數(shù)n=P52=5*4=20,A所包含的基本事件數(shù)kA=P32=3*2=6;B所包含的基本事件數(shù)kB=p31P21+R1R1=3*2+2*3=12;C所包含的基本事件數(shù)得K=P31P21+P>1Pb1+P32=12+6=18.在（3）中，若利用P（"）來求C則更為簡單。因?yàn)?quot;表示兩只球均為黃色的事 件，所以P(C)=1- P( =)=1-P22/20=1-2/20=9/10.本例也可另外設(shè)計(jì)樣本空間。若對于取出的兩只球不考慮其先后次

15、序，則有2 2n=G=5*4/2!=10,k a=G =3,kB=C31C21=6,k c=C22=1于是P(A)=k"n=3/10, P(B)=k B/n=3/5, P(C)=1- P( ' )=1-1/10=9/10.應(yīng)特別注意的是，為了便于問題的解決。樣本空間可以作不同的設(shè)計(jì)。但必須滿 足等可能性的要求。本例若視白球間是無區(qū)別的，黃球間也是無區(qū)別的話，則得W =（白，白）,（白，黃）,（黃，白）,（黃，黃）, 在這個(gè)樣本空間中， 基本事件的發(fā)生不是等可能的， 因此不能用古典概率的方法 來計(jì)算事件的概率。例4袋中有a只白球、b只紅球，依次將球一只只摸出，取出后不放回。求第

16、k次摸出白球的概率 (1<=k<=a+b)解 設(shè)想球是編號的，一只只摸取直至第 k 次取球?yàn)橹?，則基本事件總數(shù)就是從 a+b個(gè)編號的球中選出k個(gè)球進(jìn)行排列的排列個(gè)數(shù)，即n=Pa+bk設(shè)A第k摸出白球的事件，則A生相當(dāng)于從a球中選出一只放在第k位置上，從a+b-1 只球放在前面 k-1 上，于是由乘法原理，可得1k-1kA=Pa Pa+b-1從而1k-1 kP(A)=Pa1Pa+b-1k-1/P a+bk=a(a+b-1)(a+b- 2),(a+b -k+1)/(a+b)(a+b-1)(a+b-2),(a+b-k+1)=a/(a+b).本題也有另一種解法。設(shè)每次試驗(yàn)為將摸出的a+b只

17、編號的球依次排列在a+b個(gè)位置上，則有n=(a+b)!,k A=(a+b-1)!a,于是P(A)=(a+b-1)!a/(a+b)!=a/(a+b).本題是求第 k 次摸道白球的的概率， 然而結(jié)果卻與 k 無關(guān)，即與摸球的次序無關(guān)， 摸到白球的概率總是 a/(a+b) ，這一結(jié)果表明，在進(jìn)行與此類似的抽簽活動時(shí)， 中簽的概率與抽簽的先后次序無關(guān)，機(jī)會是均等的。若將本題改為放回抽樣， 即每次取出一球記錄下顏色后， 再將其放回袋中。 如此 接連摸取，求第 k 次摸出白球的概率。設(shè)抽取k只球的結(jié)果為一基本事件，則基本事件總數(shù)為(a+b)K,于是P(A)=a(a+b) k-1/(a+b) k=a/(a+

18、b).例5某批產(chǎn)品有a件正品，b件次品。從中用放回和不放回兩種抽取方式抽取n件產(chǎn)品，問其中恰有 k(k<=n) 件次品的概率是多少？ 解 (1)放回抽樣從a+b件產(chǎn)品中有放回地抽取n件產(chǎn)品,所有可能的取法有(a+b) k種.取出的n件 產(chǎn)品中有k件次品,它們可以出現(xiàn)在不同的位置，所有可能的取法有Cnk種.對于取 定的一種位置，由于取正品有a種可能，取次品有b種可能，即有an-kbk種可能.于 是取出的n件產(chǎn)品中恰有k件次品的可能取法共有Cnkan-kbk種,故所求概率為P1=Cnkan-kbk/(a+b) n=Cnk(a/(a+b)n-k(b/(a+b) k(2) 不放回抽樣從a+b減產(chǎn)

19、品種抽取n件(不記次序)的所有可能的取法有Ca+bn種.在a件正品中 取n-k件的所有可能的取法有Can-k種,在b件次品種取k件的所有可能的取法有 Ck種，于是取出的n件產(chǎn)品中恰有k件次品的所有可能的取法有 Gn-kGk種.故所求 概率為P2=Can-kCbk/Cna+b這個(gè)公式成為超幾何分布的概率公式 .例6設(shè)有n個(gè)顏色互不相同的球，每個(gè)球都以概率1/N落在N(nv=N)個(gè)盒子中的 每一個(gè)盒子里 , 且每個(gè)盒子能容納的球數(shù)是沒有限制的 . 試求下例事件的概率 :A=某指定的一個(gè)盒子中沒有球,B=某指定的n個(gè)盒子中各有一個(gè)球;C=恰有n個(gè)盒子中各有一個(gè)球D=某指定的一個(gè)盒子中恰有m個(gè)球.解

20、因?yàn)槊總€(gè)求落在N個(gè)盒子中的可能均有N種,所以基本事件總數(shù)相當(dāng)于從 N 元素中選取n個(gè)元素中選取n個(gè)的重復(fù)排列數(shù)，即為N.事件所包含的基本事件數(shù) 分別為kA=(N-1) n,k B=n!,k C=CNnn!,kD=Cnm(N-1) n-m上述問題稱為球在盒中的分布問題 . 有好些實(shí)際問題可以歸結(jié)為球在盒中的分布 問題, 但必須分清問題中的 "球"與"盒", 不可弄錯 .例如, 有 n(n<365) 個(gè)人, 設(shè)每人的生日在一年 365天中任一天的可能性是相等的 試求下例事件的概率 :A=n 個(gè)人的生日均不相同 B=至少有兩個(gè)人生日相同在上述問題中可視為

21、 " 球",365 天為 365只" 盒子", 歸結(jié)為球在盒中的分布問題 . 得P(A)=P365n/(365) nP(B)=1-P(A)=1-P 365n/(365) n當(dāng)n=64時(shí),P(B)0.997"至少有兩人生日相同"的事件的概率非常接近于1,幾乎 是一個(gè)必然事件了 .例7從12000中任意取一整數(shù) ,求取到的整數(shù)能被 6或8整除的概率.解 設(shè)A為"取到的整數(shù)能被6整除"的事件,B為"取到的整數(shù)能被8整除"的事件, 則由300<2000/6<334,2000/8=250,得k

22、A=333,k B=250由83<2000/24<84,的"同時(shí)能被6和8整除"的數(shù)kAB=83,基本事件總數(shù)n=2000，于是所求的概率為P(AB)=P(A)+P(B)-P(AB)=333/2000+250/2000-83/2000=1/4.8. 從0,1,2,9 共十個(gè)數(shù)字中隨機(jī)有放回地接連取四個(gè)數(shù)字 ,并按其出現(xiàn) 的先后排成一列 . 試求下列各事件的概率 .1 3 4P(A2)=C91103/10 4=0.9若使0恰好出現(xiàn)兩次，則只需某兩次取數(shù)為0,另兩次不為0即可，于是A3共含有 C4292- 基本事件 , 從而P(A3)=C4292/10 4=0.04

23、86(4) 若使取出的四個(gè)數(shù)字中不包含 0,則共有 94種不同取法 , 于是這一事件的概率 為 94/10 4, 從而4 4 4P(A4)=1-9 4/10 4=1-(0.9) 4=0.34398. 從 n 雙不同的鞋子中任取 2k(2k<n) 只 , 求沒有成雙的鞋子的概率 .解 樣本空間含C2n2k個(gè)基本事件.設(shè)A為"沒有成雙的鞋子"的事件，則實(shí)現(xiàn)這一事 件可從n雙中任取2k雙,共有C2k中取法,在從每一雙取出的鞋子中,任取其中一 只，有C21中取發(fā),于是A共含G2k(C2)2k個(gè)基本事件,從而P(A)=Cn2k(C 21) 2k/C 2n2k=Cn2k22k/C

24、 2n2k例10 將 12名工人隨機(jī)地平均分配到三個(gè)班組中去 ,其中有 3名熟練工.試問:1. 每一般組各分配到一名熟練工的概率是多少 ?2. 3 名熟練工分配在同一班組的概率是多少 ?解 12 名工人平均分配到三個(gè)班組中的取的可能的分法總數(shù) , 即基本事件 總數(shù)為C124C84C44=12!/4!4!4!(1) 每一班各分配到一名熟練工的分發(fā)有 3!種.對于這樣的每一種分法 . 其余 9名工人平均分配到三個(gè)班組的分法共有 9!/3!3!3! 種, 于是, 每一班 組各分配到一名熟練工的分法共有 3!9!/3!3!3! 種, 從而P1=(3!9!/3!3!3!)/(12!/4!4!4!)=16

25、/550.29093. 將 3名熟練工分配在同一班組的分法有3 種.對于這樣的每一種分法 ,其余 9名工人的分法總數(shù)為C91 C84C44=9!/1!4!4!于是 3 名熟練工分配在同一班組的分法共有 3*9!/1!4!4! 種, 從而所求概率為P2=(3*9!/1!4!4!)/(12!/1!4!4!)=3/550.0545 1.2.5 幾何概率 定義1.5設(shè)樣本空間有一個(gè)有限區(qū)域 W .若樣本點(diǎn)落在 W內(nèi)的任何區(qū)域G中 的事件A的概率與區(qū)域G的測度（或長度和面積或體積等）成正比，則區(qū)域W內(nèi) 任意地點(diǎn)落在區(qū)域G內(nèi)的概率為區(qū)域#的測度與區(qū)域 W的測度的比值,即P（A）=G的測度/W的測度設(shè)一類概

26、率通常稱為幾何概率 .因?yàn)閹缀胃怕实亩x及計(jì)算與幾何圖形的測度密切相關(guān) , 所以, 我們所考慮的事 件應(yīng)是某種可定義測度的集合 , 且這類集合的并、交也是事件 .常見的幾何概率有以下三種情況 .1. 設(shè)線段I是線段L的一部分，向線段L上任投一點(diǎn).若落在線段I上的點(diǎn)數(shù) 與線段L的長度成正比，而與線段I在線段I上的相對位置無關(guān)，則點(diǎn)落在 線段 I 上的概率為P=l的長度/L的長度.2. 設(shè)平面區(qū)域 g 是平面區(qū)域 G 的一部分 ,向區(qū)域 G 上任投一點(diǎn) ,若落在區(qū)域 g 上的點(diǎn)數(shù) 與區(qū)域 g 的面積成正比 ,而與區(qū)域 g 在區(qū)域 G 上的相對位置無關(guān) ,則點(diǎn)落在區(qū)域 g 上 概率為P=g的面積/G的面積3. 設(shè)空間區(qū)域上 v 是空間區(qū)域 V 的一部分 ,向區(qū)域 V 上任投一點(diǎn) .若落在區(qū)域 v 上的點(diǎn) 數(shù)與區(qū)域 v 的體積成正比 ,而與區(qū)域 v 在區(qū)域 v 上