橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程典型例題

1、典型例題一例1已知橢圓mx2 3y2 _6m =0的一個(gè)焦點(diǎn)為（0, 2）求m的值.分析：把橢圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，由 c = 2，根據(jù)關(guān)系a2=b2c2可求出m的值.2 2解：方程變形為-=1 .6 2m因?yàn)榻裹c(diǎn)在y軸上，所以2m 6，解得m3 .又 c =2，所以 2m -6 =22, m = 5適合.故 m = 5 .典型例題二例2已知橢圓的中心在原點(diǎn)，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)P 3,0 , a = 3b，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.分析：因橢圓的中心在原點(diǎn)， 故其標(biāo)準(zhǔn)方程有兩種情況.根據(jù)題設(shè)條件，運(yùn)用待定系數(shù)2 2法，求出參數(shù)a和b （或a和b ）的值，即可求得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.解：當(dāng)焦點(diǎn)在x軸上時(shí)，設(shè)其方程為9

2、022由橢圓過(guò)點(diǎn)P 3,0，知 =1 又a =3b，代入得b2 = 1，a2 = 9，故橢圓的方a b2 程為 y2 =1 .92 2當(dāng)焦點(diǎn)在y軸上時(shí)，設(shè)其方程為占_Xr=1a b 0 .a b9022由橢圓過(guò)點(diǎn)P 3，知一22二1 .又a = 3b，聯(lián)立解得a二81， b二9，故橢圓a b2 2的方程為 =1.819典型例題三例3厶ABC的底邊BC =16，AC和AB兩邊上中線長(zhǎng)之和為 30,求此三角形重心 G的軌跡和頂點(diǎn)A的軌跡.分析：（1）由已知可得 GC +GB =20，再利用橢圓定義求解.（2）由G的軌跡方程G、A坐標(biāo)的關(guān)系，利用代入法求 A的軌跡方程.解：（1）以BC所在的直線為x

3、軸，BC中點(diǎn)為原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系.設(shè) G點(diǎn)坐標(biāo)為（x, y ），由GC +GB =20，知G點(diǎn)的軌跡是以B、C為焦點(diǎn)的橢圓，且除去軸上兩點(diǎn).因a =10 , c=8，有b=6，故其方程為2 210036由題意有x3代入，得A的軌跡方程為_(kāi)y3（除例4已知P點(diǎn)在以坐標(biāo)軸為對(duì)稱軸的橢圓上，點(diǎn)P到兩焦點(diǎn)的距離分別為,22(2)設(shè) Ax, y , G x , y ，則- y 1 y =0 .100362 2丄丄900324去x軸上兩點(diǎn)）典型例題四2-53分析：討論橢圓方程的類型，根據(jù)題設(shè)求出方程.2 2a和b （或a和b ）的值從而求得橢圓，過(guò)P點(diǎn)作焦點(diǎn)所在軸的垂線，它恰好過(guò)橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)，求橢圓方程

4、.4&52/5解：設(shè)兩焦點(diǎn)為F1、F2，且PF1 =,PF2 =.3 3從橢圓定義知2a = PF1 + PF2 =2后.即a =從PR a PF2知PF2垂直焦點(diǎn)所在的對(duì)稱軸，PF21所以在 RbiPF2F1 中,sin =一PF126兀 2*； 5可求出.pf,f2所求橢圓方程為2 2x_ . .3y_1022=1或竺丄/.10522210PF1 cos ，從而 b =a c6 彳3典型例題五例5已知橢圓方程2 x 2 a2b2=1 a b 0，長(zhǎng)軸端點(diǎn)為A , A2，焦點(diǎn)為F1, F2, P是橢圓上一點(diǎn)， APA2 -v , F1PF : 求：.F1PF2的面積（用a、b、：表示

5、）.1分析：求面積要結(jié)合余弦定理及定義求角：的兩鄰邊，從而利用 S absinC求面心2積.解：如圖，設(shè)P x, y，由橢圓的對(duì)稱性，不妨設(shè) P x, y ,由橢圓的對(duì)稱性,不妨設(shè)P在第一象限由余弦定理知:由橢圓定義知:PF,2PF2 -2 PF, PF22cos： =4c .PR + PF2 =2a則2得PF1 PF22b21 cos故 S.FiPF2=丄 |PF1 PF2 si no2212b22 1 cos：sin :典型例題六2例6已知橢圓y2 = 1 ,2(1 1 (1) 求過(guò)點(diǎn)P -，丄且被P平分的弦所在直線的方程；<2 2丿(2) 求斜率為2的平行弦的中點(diǎn)軌跡方程；(3)

6、過(guò)A 2,引橢圓的割線，求截得的弦的中點(diǎn)的軌跡方程；1(4) 橢圓上有兩點(diǎn)P、Q，O為原點(diǎn)，且有直線 OP、OQ斜率滿足kOP kOQ二2求線段PQ中點(diǎn)M的軌跡方程.分析：此題中四問(wèn)都跟弦中點(diǎn)有關(guān)，因此可考慮設(shè)弦端坐標(biāo)的方法.解：設(shè)弦兩端點(diǎn)分別為 M x1, y1 , N x2, y2，線段MN的中點(diǎn)Rx, y，貝U% +2y2 =2,x； 2y； =2,% +x2 =2x,y+y2=2y,得XiX2Xi- X22yiy2% -y?= 0 .由題意知Xi =X2，則上式兩端同除以Xi - X2，有 XiX2 2 yiy2=0 ,捲_ X2將代入得x 2y yi 一兀=0 .捲一x2(i) 將x

7、 = , y =代入，得 止 =，故所求直線方程為22x -x222x 4y -3 = 0 .ii將代入橢圓方程 X2 2y2得6y2-6y 0 , =36-4 6 -0符合題意,4 4故2x 4y -3 =0即為所求.(2) 將建復(fù) =2代入得所求軌跡方程為:xx2x 40 .(橢圓內(nèi)部分)(3) 將 圧土二Li代入得所求軌跡方程為Xi _x2x22 2x 2y -2x-2y=0 .（橢圓內(nèi)部分）(4) 由+得將平方并整理得X2 x2 = 4x2 _ 2x-|X2, y2 y； "y2 -2y2,將代入得4x 2x1x2 4y2 _2y2 i=2 ,4再將YlY21X1X2代入式得

8、2點(diǎn)P的軌跡是以 A, B為兩焦點(diǎn)，半長(zhǎng)軸為4,半短2x2 _%必2+4y2 _2 _1x1x2=2 ,還可用其它方法解決.此即為所求軌跡方程當(dāng)然，此題除了設(shè)弦端坐標(biāo)的方法,典型例題七例7已知?jiǎng)訄AP過(guò)定點(diǎn)A -3,0，并且在定圓B: x -3 2 y2 = 64的內(nèi)部與其相內(nèi)切,求動(dòng)圓圓心P的軌跡方程.分析：關(guān)鍵是根據(jù)題意，列出點(diǎn) P滿足的關(guān)系式.解：如圖所示，設(shè)動(dòng)圓 P和定圓B內(nèi)切于點(diǎn)M 動(dòng)點(diǎn)P 到兩定點(diǎn)，即定點(diǎn)A -3,0和定圓圓心B 3,0距離之和恰好等于定圓半徑，即 PA +|PB = PM| + PB =|BM| =8.軸長(zhǎng)為b =42 32 =圧7的橢圓的方程：2 2x y 1 1

9、67說(shuō)明：本題是先根據(jù)橢圓的定義， 判定軌跡是橢圓，然后根據(jù)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，求軌跡 的方程這是求軌跡方程的一種重要思想方法.典型例題八例8已知橢圓4x2 y2 =1及直線y = x m (1) 當(dāng)m為何值時(shí)，直線與橢圓有公共點(diǎn)？(2) 若直線被橢圓截得的弦長(zhǎng)為 仝匹，求直線的方程.5因此，只須考慮方分析：直線與橢圓有公共點(diǎn)， 等價(jià)于它們的方程組成的方程組有解.程組消元后所得的一元二次方程的根的判別式已知弦長(zhǎng)，由弦長(zhǎng)公式就可求出m .八卜 ;解：（1）把直線方程y = x m代入橢圓方程4x2 y2 =1得4x2 +（x + m 2 =1，即 5x2 +2mx + m2 -1 = 0 .：=2m

10、 2 -4 5 m2 -1 = 16m2 20 _ 0 ,(2)設(shè)直線與橢圓的兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x1, x2，由(1 )得2mm2 -1X1 X2 二一 ,X1X2 ：5 5根據(jù)弦長(zhǎng)公式得； ( 2m¥m2 -1 2山0*1+1 J -一 ! _仆=K 5 )55解得m =0.因此，所求直線的方程為 y = x.采用的方法與處理直線和說(shuō)明：處理有關(guān)直線與橢圓的位置關(guān)系問(wèn)題及有關(guān)弦長(zhǎng)問(wèn)題,圓的有所區(qū)別.這里解決直線與橢圓的交點(diǎn)問(wèn)題，一般考慮判別式.:；解決弦長(zhǎng)問(wèn)題，一般應(yīng)用弦長(zhǎng)公式用弦長(zhǎng)公式，若能合理運(yùn)用韋達(dá)定理(即根與系數(shù)的關(guān)系)，可大大簡(jiǎn)化運(yùn)算過(guò)程.典型例題九2 2例9以橢圓 =1

11、的焦點(diǎn)為焦點(diǎn)，過(guò)直線l: x 一 y 9二0上一點(diǎn)M作橢圓，要123使所作橢圓的長(zhǎng)軸最短，點(diǎn) M應(yīng)在何處？并求出此時(shí)的橢圓 方程.分析：橢圓的焦點(diǎn)容易求出，按照橢圓的定義，本題實(shí)際 上就是要在已知直線上找一點(diǎn)，使該點(diǎn)到直線同側(cè)的兩已知點(diǎn) （即兩焦點(diǎn)）的距離之和最小， 而這種類型的問(wèn)題在初中就已 經(jīng)介紹過(guò)，只須利用對(duì)稱的知識(shí)就可解決.解：如圖所示，橢圓2 2-1的焦點(diǎn)為123F2 3,0 .Fi -3,0 ,點(diǎn)Fi關(guān)于直線l: x - y 9 =0的對(duì)稱點(diǎn)F的坐標(biāo)為（一9, 6）,直線FF2的方程為x+2y3=0 .解方程組丿x+2y3-0得交點(diǎn) 皿的坐標(biāo)為x _ y + 9 = 0(-5, 4

12、) 此時(shí) MF-|MF2最小.所求橢圓的長(zhǎng)軸2a 二 MF-|MF2 二 FF2 =6.5 , a =3.5，又 c = 3, b2=a2 _c2=(3T52 _32 =36.2 2因此，所求橢圓的方程為 11.4536說(shuō)明：解決本題的關(guān)鍵是利用橢圓的定義, 到直線同側(cè)兩已知點(diǎn)的距離之和最小.將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為在已知直線上求一點(diǎn)，使該點(diǎn)典型例題十2 2例10已知方程 y1表示橢圓，求k的取值范圍.k 53 k分析：根據(jù)橢圓方程的特征求解.k 5c0,解：由 3 k : 0, 得 3 k : 5，且 k - 4 k 一5 =3 -k,滿足條件的k的取值范圍是3 ： k ： 5,且k - 4 說(shuō)明：本題

13、易出現(xiàn)如下錯(cuò)解：由k 5<0,得3<k<5，故k的取值范圍是3<k<5 出3-0,錯(cuò)的原因是沒(méi)有注意橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程中a b 0這個(gè)條件，當(dāng)a = b時(shí)，并不表示橢圓.典型例題十一例11已知x2 sin y2cos=1 (0 _- ：)表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓，求:-的取值 范圍.分析：依據(jù)已知條件確定:的三角函數(shù)的大小關(guān)系.再根據(jù)三角函數(shù)的單調(diào)性，求出:的取值范圍.2 2解：方程可化為y1 11sin 二cos 二11因?yàn)榻裹c(diǎn)在y軸上，所以-0 .COS。si na1 3因此 sin < > 0且 tan，: -1 從而：；三(一，)2 4說(shuō)明：(1)由

14、橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程知sin1COS-0，這是容易忽視的地方.2由焦點(diǎn)在y軸上，知a丄buncos ：sin -求的取值范圍時(shí)，應(yīng)注意題目中的條件 0乞：:.典型例題十二例2 求中心在原點(diǎn)，對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸， 且經(jīng)過(guò)AC. 3 , -2)和B(-2,3,1)兩點(diǎn)的橢圓 方程.分析：由題設(shè)條件焦點(diǎn)在哪個(gè)軸上不明確，橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程有兩種情形，為了計(jì)算簡(jiǎn)便起_ 2 2見(jiàn)，可設(shè)其方程為 mx ny =1(m 0, n 0),且不必去考慮焦點(diǎn)在哪個(gè)坐標(biāo)軸上，直 接可求出方程.解：設(shè)所求橢圓方程為 mx2 ny2 = 1 ( m 0, n 0).由A( .3 -2)和B( 2 3,1)兩點(diǎn)在橢圓上可得廠 22_m

15、（品）+n （-2） =1,前（3m+4n=1,即丿m （-2嘉）2 +n 12 =1, J2m + n=1,所以m1n 二一.52 2故所求的橢圓方程為 =1.155說(shuō)明：此類題目中已存在直角坐標(biāo)系，所以就不用建立直角坐標(biāo)系了，但是這種題目一定要注意已知點(diǎn)和已知軌跡在坐標(biāo)系中的位置關(guān)系.求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程， 一般是先定位(焦點(diǎn)位置)，再定量(a , b的值)，若橢圓的焦點(diǎn)位置確定，橢圓方程唯一；若橢圓的焦點(diǎn)位 置不確定，既可能在x軸，又可能在y軸上，那么就分兩種情況進(jìn)行討論.方法是待定系數(shù)法求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程， 求解時(shí)是分為根據(jù)橢圓的焦點(diǎn)在x軸上或y軸上確定方程的形式、 根據(jù)題設(shè)條件列出關(guān)于待定

16、系數(shù) a , b的方程組、解方程組求出 a, b的值三個(gè)步驟，從而得 到橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.對(duì)此題而言，根據(jù)題目的要求不能判斷出所求的橢圓焦點(diǎn)所在的坐標(biāo)軸， 那么就分情況討論， 這種方法解此題較繁. 另一種方法直接設(shè)出橢圓的方程，而不強(qiáng)調(diào)焦點(diǎn)在哪一個(gè)坐標(biāo)軸上，即不強(qiáng)調(diào) x2和y2的系數(shù)哪一個(gè)大，通過(guò)解題，解得幾種情況就是幾種 情況.在求橢圓方程確定焦點(diǎn)在哪一坐標(biāo)軸上的時(shí)候，可以根據(jù)焦點(diǎn)坐標(biāo)，也可以根據(jù)準(zhǔn)線方程若不能確定焦點(diǎn)在哪一個(gè)坐標(biāo)軸上，就用上述兩種方法.典型例題十三例13已知長(zhǎng)軸為12,短軸長(zhǎng)為6,焦點(diǎn)在x軸上的橢圓，過(guò)它對(duì)的左焦點(diǎn) 卩舁乍傾斜解 為一的直線交橢圓于 A , B兩點(diǎn)，求弦 AB

17、的長(zhǎng).3分析：此類題目是求弦長(zhǎng)問(wèn)題，這種題目方法很多，可以利用弦長(zhǎng)公式 AB =山+k2|x1X2 = J(1+k2)(X1+x2)24x1X2求得，也可以利用橢圓定義及余弦定 理，還可以利用焦點(diǎn)半徑來(lái)求.解：(法1)利用直線與橢圓相交的弦長(zhǎng)公式求解.AB =訥 + k2 |xx2二.(1 k2)(X1 X2)2 -4x1X2.因?yàn)?a =6, b =3，所以 c =3、3 .又因?yàn)榻裹c(diǎn)在x軸上，2 2所以橢圓方程為 =1，左焦點(diǎn)F (-3、. 3 , 0)，從而直線方程為369y = 3x 9 .由直線方程與橢圓方程聯(lián)立得13x72 一 3x 36 8 =0 .設(shè)X! , X2為方程兩根,所

18、以X! X272,. 31336x8XyX2 :13j 2從而 AB =+ k % x2（廠k2）（xX2?4x1X2h4813（法2）利用橢圓的定義及余弦定理求解.2 2由題意可知橢圓方程為 + =1，設(shè)AF1 = m, BFj = n，則369AF2 =12m , BF2 =12-n .在 MF1F2 中，|AF22 = AFp +|F1F22AFjF1F2 cos才,22t 1即（12 - m）2 = m236 3 -2 m 6 一 3 -；6 . 、 6所以m.同理在LBF1F2中，用余弦定理得 n，所以4 - 34348AB =m + n =.13（法3）利用焦半徑求解.先根據(jù)直線與

19、橢圓聯(lián)立的方程13x2 7. 3x 36 8 =0求出方程的兩根 x1 , x2，它們分別是A , B的橫坐標(biāo).再根據(jù)焦半徑 AF=a+ex , BEjua+e%，從而求出 A|AF|BF1 .說(shuō)明：對(duì)于直線與橢圓的位置關(guān)系有相交、相切、相離，判斷直線與橢圓的位置關(guān)系， 可以利用直線方程與橢圓方程聯(lián)立，看聯(lián)立后方程解的個(gè)數(shù)：:0，無(wú)解則相離；厶=0,一解則相切；厶0，兩解則相交.直線與橢圓相交就有直線與橢圓相交弦問(wèn)題，直線與橢 圓的兩交點(diǎn)之間的線段叫做直線與橢圓相交弦.典型例題十四例14已知圓x2 - y2 =1，從這個(gè)圓上任意一點(diǎn) p向y軸作垂線段，求線段中點(diǎn)M的 軌跡.（相關(guān)點(diǎn)）求分析：本

20、題是已知一些軌跡，求動(dòng)點(diǎn)軌跡問(wèn)題.這種題目一般利用中間變量 軌跡方程或軌跡.解：設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（x, y），點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x0 , y0）,則 x =乞，y = y° 2因?yàn)镻（xo , yo）在圓x2 y1上，所以 Xo? y =1 -將Xo = 2x， yo = y代入方程x - yo =1得4x2 y2 =1 -所以點(diǎn)M的軌跡是一個(gè)橢圓4x2 y2 =1 說(shuō)明：此題是利用相關(guān)點(diǎn)法求軌跡方程的方法，這種方法具體做法如下：首先設(shè)動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)為（x , y）,設(shè)已知軌跡上的點(diǎn)的坐標(biāo)為 （xo , yo）,然后根據(jù)題目要求， 使x , y與xo , yo建立等式關(guān)系，從而由這些等式關(guān)系求

21、出 xo和yo代入已知的軌跡方程，就可以求出關(guān)于 x , y的方程，化簡(jiǎn)后即我們所求的方程這種方法是求軌跡方程的最基本的方法，必須掌 握.這種題目還要注意題目的問(wèn)法，是求“軌跡”還是求“軌跡方程”若求軌跡方程，只要求出關(guān)于x，y的關(guān)系化簡(jiǎn)即可；若求軌跡，當(dāng)求出軌跡方程后，還要說(shuō)明由這種方程所 確定的軌跡是什么.這在審題時(shí)要注意.典型例題十五2 2例15 橢圓 =1上的點(diǎn)M到焦點(diǎn)F1的距離為2, N為MF1的中點(diǎn)，貝y ON259（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）的值為（）3A . 4B . 2C. 8D .2解:如圖所示，設(shè)橢圓的另一個(gè)焦點(diǎn)為 F2,由橢圓第一定義得 MF1 MF2 =2a=10,所以MF2 =

22、1O-MF1 =1O-2=8 ,又因?yàn)镺N為MF1F2的中位線，所以1ON =MF2 =4，故答案為A.2說(shuō)明:(1)橢圓定義：平面內(nèi)與兩定點(diǎn)的距離之和等于常數(shù)(大于F1F2)的點(diǎn)的軌跡叫做橢圓.橢圓上的點(diǎn)必定適合橢圓的這一定義，即MF1MF2 =2a，利用這個(gè)等式可以解決橢圓上的點(diǎn)與焦點(diǎn)的有關(guān)距離.典型例題十六2 2x y例16已知橢圓C:1，試確定m的取值范圍，使得對(duì)于直線 I: y = 4x m ,43橢圓C上有不同的兩點(diǎn)關(guān)于該直線對(duì)稱.分析：若設(shè)橢圓上 A, B兩點(diǎn)關(guān)于直線I對(duì)稱，則已知條件等價(jià)于：(1)直線AB_I ;(2)弦AB的中點(diǎn)M在I上利用上述條件建立 m的不等式即可求得 m

23、的取值范圍.解:(法1)設(shè)橢圓上A(xi，yj , B(X2,y2)兩點(diǎn)關(guān)于直線l對(duì)稱，直線 AB與I交于M (xo , yo)點(diǎn). I的斜率« =4 ,1設(shè)直線AB的方程為y x n .41 + y = -一x 十n, 由方程組242消去43，8n- x X213為 X2于是x0 :213x2 -8nx 16n2 -48 =0112nn =-413，4n三，y04x04n 12n即點(diǎn)M的坐標(biāo)為( ).13 ' 130 .點(diǎn) M 在直線 y =4x m 上，二 n =4m .1313解得nm.4將式代入式得13x2亠26mx亠169m2 _ 48 = 0/ A , B 是橢圓

24、上的兩點(diǎn)，：沢=(26m)2_4 13(169m2-48)解得 2132J3解得m ： 131313413(法 2)同解法 1 得出 nm, Xo( m) - -m,41341 13113(-m , -3m).AB與I的交點(diǎn)M的y0x0m(-m)m - -3m，即 M 點(diǎn)坐標(biāo)為4444 A , B為橢圓上的兩點(diǎn)， M點(diǎn)在橢圓的內(nèi)部，2 2.皿 L3m_“43解得-.1313(法3)設(shè)A(x1 , y1) , B(x2 , y2)是橢圓上關(guān)于I對(duì)稱的兩點(diǎn)，直線坐標(biāo)為(xo , yo).2 2 2 2/ A , B在橢圓上，為-=1 ,竺宜=1 .4343兩式相減得 3(x1 x2)(x1 -x2

25、) 4( y1 y2)(yy2 0 ,即 3 2x°(x1 -X2)4 2y°(y1 - y2)= 0 .迪一也(X1*).X1 -X24y°又直線 AB _ I , kAB kl - -1，-強(qiáng) 4 = -1 ,4y°即y0 =3x0又M點(diǎn)在直線I上， y0 =4x0 - m 由，得M點(diǎn)的坐標(biāo)為（-m, -3m）.以下同解法2.說(shuō)明：涉及橢圓上兩點(diǎn) A, B關(guān)于直線I恒對(duì)稱，求有關(guān)參數(shù)的取值范圍問(wèn)題，可以采用以下方法列參數(shù)滿足的不等式：(1)利用直線AB與橢圓恒有兩個(gè)交點(diǎn)，通過(guò)直線方程與橢圓方程組成的方程組，消元 后得到的一元二次方程的判別式.：0，建

26、立參數(shù)方程.2 2利用弦AB的中點(diǎn)M (xo, yo)在橢圓內(nèi)部，xo, yo滿足不等式 互匹：1，將X。,a by0利用參數(shù)表示，建立參數(shù)不等式.典型例題十七1例17在面積為1的 PMN中，tanM , tanN - -2,建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，求出以M、N為焦點(diǎn)且過(guò)P點(diǎn)的橢圓方程.則說(shuō)Tcy =1.5 x = 3c分析：本題考查用待定系數(shù)法求橢圓方程及適當(dāng)坐標(biāo)系的建立.通過(guò)適當(dāng)坐標(biāo)系的建立,選擇相應(yīng)橢圓方程，再待定系數(shù).適當(dāng)坐標(biāo)系的建立能達(dá)到簡(jiǎn)化問(wèn)題的目的.解：以MN的中點(diǎn)為原點(diǎn)，MN所在直線為x軸建立直角坐標(biāo)系，設(shè) P(x , y).x c即 P(3, 23)，215a = 得4、b25十4 j12a2 3b2 ,2 3 = 3.所求橢圓方程為2 2153說(shuō)明：適當(dāng)坐標(biāo)系的建立是處理好橢圓應(yīng)用問(wèn)題的關(guān)鍵.建立適當(dāng)坐標(biāo)系， 需對(duì)題設(shè)所給圖形進(jìn)行觀察、分析，做好數(shù)與形的結(jié)合，本題也可以以MN的中點(diǎn)為原點(diǎn)， MN所在直線為y軸建立直角坐標(biāo)系，再求橢圓方程.典型例題十八2 2例18已知P(4, 2)是直線I被橢