有限個(gè)矩陣多項(xiàng)式的恒等式及應(yīng)用畢業(yè)論文

1、本 科 生 畢 業(yè) 論 文 有限個(gè)矩陣多項(xiàng)式的恒等式及應(yīng)用 陳巧文院 系:數(shù) 學(xué) 系專 業(yè):數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)班 級: 072 學(xué) 號: 710401204 指導(dǎo)教師:楊忠鵬職稱(或?qū)W位 :教授2011年 5月原創(chuàng)性聲明本人鄭重聲明:所呈交的論文(設(shè)計(jì) ,是本人在導(dǎo)師的指 導(dǎo)下, 獨(dú)立進(jìn)行研究工作所取得的成果。 除文中已經(jīng)注明引用的 內(nèi)容外,本論文(設(shè)計(jì)不含任何其他個(gè)人或集體已經(jīng)發(fā)表或撰 寫過的作品成果。對本論文(設(shè)計(jì)的研究做出重要貢獻(xiàn)的個(gè)人 和集體, 均已在文中以明確方式標(biāo)明。 本人完全意識到本聲明的 法律結(jié)果由本人承擔(dān)。學(xué)生簽名:年 月 日指導(dǎo)聲明本人指導(dǎo)的 同學(xué)的畢業(yè)論文(設(shè)計(jì)題目 大小、

2、難度適當(dāng), 且符合該同學(xué)所學(xué)專業(yè)的培養(yǎng)目標(biāo)的要求。 本人在指導(dǎo)過程中,通過網(wǎng)上文獻(xiàn)搜索及文獻(xiàn)比對等方式, 對其畢業(yè)論文(設(shè)計(jì)內(nèi)容進(jìn)行了檢查,未發(fā)現(xiàn)抄襲現(xiàn)象, 特此聲明。指導(dǎo)教師簽名:年 月 日目錄4.2矩陣多項(xiàng)式在變換上的應(yīng)用 . 155結(jié)論 . . 17 致謝 . . 17 參考文獻(xiàn) . 18有限個(gè)矩陣多項(xiàng)式的恒等式及應(yīng)用陳巧文(數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)(師范 指導(dǎo)教師:楊忠鵬摘要:本文得到任意有限個(gè)矩陣多項(xiàng)式, 兩兩有相同的公因式 (, ( d x d A 且 可逆n nA P(時(shí) , 秩的恒等式。不但概括大部分已有文獻(xiàn),而且推廣了已有的結(jié)果。關(guān)鍵詞:矩陣乘積;矩陣多項(xiàng)式;秩的恒等式Abstract

3、: This paper has any limited matrix polynomial ,when Pairwise have the same common factor ( d x and d(A reversible (A belong to Square matrix,we got Matrix polynomial s rank identities .this results not only summary most existing literature results but also generalize the known resultsKeywords: Matr

4、ix product; Matrix polynomial; Rank identities0引言0.1符號說明設(shè) n nx PP, 分別為數(shù)學(xué) P 上 n n 階矩陣和一元多項(xiàng)式矩陣的集合, E 為單位矩陣,r (A 表 示 矩 陣 A 的 秩 , 12(, (, , ( t f x f x f x P x 的 最 小 公 倍 式 記 為12( ( ( ( t f x f x f x d x = , , 。0.2研究背景矩陣乘積的秩是一個(gè)歷史悠久的課題。 1884年與 1991年由 Sylvester 與 Frobenius 分別 給出矩陣乘積秩的不等式被稱為基本不等式 見 1-2。Sylv

5、ester 不等式( ( ( , , m n n l r r B r n A P B P + A ABFrobenius 不等式( ( ( (, , , m n n l l l r r BC r r B A P B P C P + AB ABC一個(gè)世紀(jì)多以來很多數(shù)學(xué)家研究了 Sylvester 不等式和 Frobenius 不等式成立的條件, 其中影響最大的是 1952年 Roth 3、 1974年 Marsaglia 和 Styan 1給出等式成立的充要條件。 2002年 Y Tian和 Styan 應(yīng)用 Frobenius 4不等式成立的充要條件, 得到冪等矩陣的很多秩等式。 此 后,不少

6、學(xué)者繼續(xù)研究矩陣秩的問題。一些學(xué)者將矩陣秩與多項(xiàng)式結(jié)合在一起,其中, 李書 超, 蔣君, 向世斌, 徐樹立在 2004年提出的猜想 5:設(shè) 12, , n nt A Pk k k P 當(dāng) 12, tk k k 滿足適當(dāng)?shù)臈l件 11( ( (1 ttiij i r E r E t n =-A+kA+k。激起人們研究這一問題的熱情,此后,得到不少好的結(jié)果 6-20。矩陣多項(xiàng)式秩的恒等式, 大大方便人們解決矩陣秩的問題。 因?yàn)橹暗膶W(xué)者們大多數(shù)是 經(jīng)過初等變換的方法得到矩陣秩的問題。 若根據(jù)矩陣多項(xiàng)式秩的恒等式, 則無需經(jīng)過繁瑣的 計(jì)算過程就可得到相應(yīng)的結(jié)果 6-10。下面給出一些典型的結(jié)果。設(shè) (

7、, (, ( , , (, ( 1. n nf x g x h x x f x h x PP=A 且 則( ( ( ( ( ( ( ( r f g r g h r f g h r g +=+ A A A A A A A A命題 1.2(見 6的,見 8的推論 2 , 推論 8, 10的推論 4, 11的推論 1設(shè) (, ( , , (, ( 1. n n f x h x x f x h x PP=A 且 則( ( ( ( r f h r f r h n =+- A A A A命題 1.3(見 7推論 2設(shè) 123( (, ( f x f x f x , 兩兩互素, n n A P ,則1232

8、13( ( ( ( ( ( r f A r f A f A r f A r f A f A +=+命題 1.4(見 6的, 8的推論 1 12A , n n t P k k k F 、 且兩兩互異。則11( ( (1 t ti i j i r E r E t n =-A+kA+k命題 1.5(見 8的定理 1, 10的推論 3設(shè) 12( ( ( ( n ni t f x x f x f x f x PPA , , i=1,2,t. 若 , ,121( ( ( ( (1 tt i i r f f f r f t n =-A A A A 兩兩互素,則命題 1.5(見 9設(shè) 12( , 1,2, ,

9、 (, (, , ( 1n ni t f x x i t f x f x f x P=P=A 若(,12( ( ( 0t f A f A f A = 若 則 1( (1 ti n r f A t n =-i命題 1.6(見 錯(cuò)誤!未找到引用源。 定理 1、定理 2,14推論 1、推論 2設(shè) 2A , , ( ( , m k n n m k P E r A E r A E n =+-=且 A 那么 其中 , 是任意自然數(shù)。2A , , ( ( , m k n n m k P A r A r A E n =+-=且 A 那么 其中 , 是任意自然數(shù)。命題 1.7(11定理 1(i A , ( (

10、, m k n nm k Pr A E r A E n +-=若 其中 , 是有一個(gè)是自然數(shù) 1,另一個(gè)是任意的自然數(shù), ( ( 0m k r A E A E +-=那么 (ii A , ( ( , m k n nm k Pr A r A E n +-=若 其中 , 是有一個(gè)是自然數(shù) 1,( ( 0m k r A A E -=另一個(gè)是任意的自然數(shù),那么 12( ( ( t f x f x f x P x , , ,且兩兩互素 12( ( ( ( t f x f x f x f x =(2 s 。 是數(shù)域 P 上的 n 維線性空間 V 的一個(gè)線性變換,則1 12ker ( ker ( ker (

11、 ker ( t f f f f = 2 ( 0, ker (=Vf f =若 有命題 2.2(見 12推論 1 :( ,(1,2, ; 2 i f x P x i t t = ,且 12( ( ( t f x f x f x P x , , 兩兩互素。令 12( ( ( (2 t f x f x f x f x s = ,是數(shù)域 P 上的 n 維線性空間 V 的一個(gè) 線性變換,則1 12dimker ( dimker ( dimker ( dimker ( t f f f f = 2 ( 0dimker (=nf f =若 的充要條件是:命題 2.3(見 12推論 2 :( ,(1,2, ;

12、 2 i f x P x i t t = ,且 12( ( ( t f x f x f x P x , , 兩兩互素。令 12( ( ( (2 t f x f x f x f x s = , 是數(shù)域 P 上的 n 維線性空間 V 的一個(gè) 線性變換,則 11dim(dim(1 tii imf imf s n =+-2 ( 0dimif (=0f m f =若 的充要條件是:命題 2.4(見 錯(cuò)誤! 未找到引用源。 引理 1 設(shè) (=1f x gx x f x gx P, ,(, , 是 數(shù) 域P上 維 線 性 空 間V上 的 一 個(gè) 線 性 變 換 , 則ker( (ker(ker(f g f

13、g =命題 2.5見 7定理 1設(shè) ( ( ( ( =1f x g x x f x g x P, ,(, , 是數(shù)域 P 上 n 維線性空間 V 上 的一個(gè)線性變換, 則( ( 0f A g A =的充要條件是 ( ( f r g +r(=n,這里 表示 V 上的恒等變換。命題 2.6(見 7定理 2設(shè) ( ( ( ( =1f x g x x f x g x P, ,(, , 是數(shù)域 P 上維線性空間 V 上的一個(gè)線性變換,則 ( ( ( (f r g f g +r(=n+r,命題 2.7(見 7定理 3設(shè) 123( (, ( f x f x f x , 兩兩互素, n n A P ,則123

14、213( ( ( ( ( ( r f r f f r f r f f +=+1引理下面給出本文需用到的一些定理 引理 1:(見文獻(xiàn) 10的引理 1.1,13的引理 1.2, 14四分快矩陣 1234M M M M M =經(jīng)過有限次分塊矩陣的初等變換而的 M -,則 ( ( r M r M -=。引理 2:( , 1,2, , , (, ( ( n ni i j f x x i t A i j f x f x d x P=P= ,若存在( d x ( (, 1,2, , i i f x d x i t = 使得 則(, ( 1(, 1, 2, , ijx x i j i j t =證明 : 因?yàn)?/p>

15、 (, ( ( i j f x f x d x =,則存在 (, i j x x i j 使得(i i j j x f x x f x d x +=,又因?yàn)?( (, 1,2, , i i f x d x i t = ,即 (i i j j x x d x x x d x d x +=,從而 (1i i j j x x x x +=,又因?yàn)?1(,1( i j x x ,所以 (, ( 1(, 1, 2, , i j x x i j i j t = ,證畢。引理 3內(nèi) 12:設(shè) , , ( n nA B P A B r A B +則 r( r(引理 4內(nèi) 12:設(shè) , , ( n nA B P

16、AB r A AB B 則 r( ,且 r( r(引理 5:(見 錯(cuò)誤!未找到引用源。 的引理 1 :( , 1,2, , n n i f x x i t i j P=PA 若存在 d(x使得 有1(, ( ( ( (1 ( ( ti j i i f x f x d x r f t r d A r g A =-+A (,則112( ( ( ( /t t g x f x f x f x -= 其中 d(x2例題例 1:20( 1, ( (1(2 03f x x h x x x -=-=A 設(shè) , 。 10(, ( . 1(, ( ( 02f x h x x f x h x A =-=A-E=則

17、d(x=,因此, 不互素且 d 可逆例 2:設(shè) 1234( 1, ( 12,( 3, ( 34f x x f x x x f x x f x x x =-=-=-=-,2002A =112234( ( =1, (, ( =3f x f x x d f x f x x -則 d (x=(, (x=( 因此 121010, 30101E d E -=-=-d (A=A可逆 (A=A可逆但 2300( ( =A200f A f A E -=( 不可逆 3主要定理定理 1:(, (, ( , , (, ( (. ( n nf x g x h x x f x h x d x A PP=A 且 且 d 可

18、逆。( ( ( ( ( ( ( ( r f g r g h r f g h r g +=+A A A A A A A A 則證明(方法一則 f(x=f(x(x=h(x且(f(x,h(x =1所以由命題 1.1得 r(f(Ag(A+r(h(Ag(A=r(f(Ah(Ag(A+r(g(A又因?yàn)?d(A可逆,因此r(f(Ad(Ag(A+r(h(Ad(Ag(A=r(f(Ad(Ah(Ad(Ag(A+r(g(A即 r(f(Ag(A+r(h(Ag(A=r(f(Ah(Ag(A+r(g(A證明(方法二(, ( ( (, ( , ( ( ( ( ( (A(A(A(A(Af x h x d x u x v x x f

19、 x u x g x v x d x f u g v d =P+=+=由 且 d(A可逆,故存在 使得 ,因此(A(A - - 0(A(A 0 0(A(A(A 0 (A(A(A 0 0 ( -f h f g d d u g h v f EEEEEEEEE=A (A -(A(A 0(A(A(A d(A (A(A0 0 (A(A(A0 -( (Ah f g d d g g h f g h d A g EEE=(A -(A (A (A(A0 (A(A(A0 -( (A(A 0h d d g h f g h d A g d EE=由引理 1得(A(A(A0 -(A(A 0(A0 (A(A(A(A 0f

20、 g h f g d r r g h g d = ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( (f g h r f g r g h r r g d A d A f g r g h r f g h r g +=-+=+A A A A A A A A A A A A A A A A 即 因?yàn)?可逆,所以兩個(gè)矩陣多項(xiàng)式的最大公因可逆,不一定是互素(由例一可知 。因此,定理 2的條件比命題 1.1的條件寬松。 定理 2:( , 1,2, , n ni f x x i t i j P=PA 若存在 d(x使得 有(, ( ( i j f x f x d x = (,且 d(A可逆。則11

21、( ( (1 ttii i i r fr f t n =-A A證明:由于 (, ( ( i j i j f x f x d x =有(,則由引理 2知,對 ( ( ( (, ( 1i i i j i f x x d x i j x x =有 且 ( 由引理 5可得1121( (1 ( ( ( ( / tt iti r t r d A r A A A A -=-+A d( 又因?yàn)?d(A可逆 ,所以11121( ( (1 ( ( ( ( ( ( / tt t iti r d A t n r d A A d A A d A A -=-+A d(Ad(A 從而11( ( (1 ttii i i r

22、 fr f t n =-A A由例一可知定理 2的條件比命題 1.5的條件要寬松,從而應(yīng)用的范圍也較廣泛。 定理 3:( , 1,2, , n n i f x x i t i j P=PA 若存在 d(x使得 有12(, ( ( , i j t f x f x d x l l l = (,且 d(A可逆。則 對任意正整數(shù)11( ( (1 ii i i ttl l i i r f r f t n =-A A 有證明:由于 (, ( ( i j i j f x f x d x =有(,則 ( ( (, 1,2, i i f x x d x i t = 有(, ( 1i j i j x x =且 (

23、,因此,對任意的正整數(shù) 12, t l l l 有(, ( 1( j i i j ll x x i j =(。由命題 1得12121( ( ( ( (1 tit itl l l l i r A r t n =-A A A因?yàn)?d(A可逆 ,所以1212121( ( ( ( ( ( ( ( (1 t t tiii l l l l l l tl l i r d A A d A d A r dA t n=-A A A11( ( (1 ii i i ttl l i i r f r f t n =-A A定理 3是定理 2的推廣。定理 4: 設(shè)n . n A P 對任意的多項(xiàng)式 1212(, (, ,

24、( (, (, , ( t t t t s f x f x f x f x f x f x + , 滿足下列兩個(gè)條件1 1211(, ( ( i j i j f x f x d x =存在 d (x、 d (x使得 有(,且 d (A可逆。 2( , ( ( 1, 2. t itjfx f x d x i j t t s +=+ =t+(, , 2且 d (A 可逆。2 1212( ( ( ( ( ( ( ( t t t t s f x f x f x f x f x f x d x d A +=, 且 可逆則11( ( (1 ii t st sj i r fr f t s n +=-A A

25、+證明:因?yàn)?11(, ( ( i j i j f x f x d x i j =有(,且 d (A可逆。 有22(, ( ( t it jfx fx d x +=(,且 d (A可逆。所以由定理 2得 11( ( (1 ii tti i r fr f t n =-A A (111( ( (1 t jt j ssj j r fr f s n +=-A A (2(1 +(2式得111( ( ( (2 itst sij j i j r f r fr f t s n +=+-A A A +設(shè) 11( (, ( ( ij tsi j H x fx G x f x =由于 11( (, , ( (0mi

26、nt,mt m t m f x f x f x f x m += 則 (, ( H A G A 的最大公因可逆。所以有定理 2知( ( ( ( r H A r G A r H A G A n +=+ 即1111( ( ( ( i t j i j t s t sli j i j r f r f r f f n +=+=-A A A A即 111( ( ( it j i ts t si j i r fr f r f n +=+=-A A A從而11( ( (1 ii t st sj i r fr f t s n +=-A A +定理 4的結(jié)論在形式上與定理 2的結(jié)論一樣。定理 4把一組多項(xiàng)式分成兩

27、組1212(, (, , ( (, (, , ( t t t t s f x f x f x f x f x f x + 與 , 每 組 兩 兩 具 有 相 同 的 公 因 式i d (x(i=1,2,n n i 且 d (A可逆, A p ,該條件比定理 2 的條件寬松。因?yàn)橛梢阎獥l件和引理 2可知 12( ( (, 1,2, , ( , ( (, 1,2, , i i t j t j f x d x x i t f x d x x j s += (注:( ( i t j x x +和 不一定互素 。當(dāng)把 1212(, (, , ( (, (, , t t t f x f x f x f x

28、 f x + 和( t s f x +再看成一組多項(xiàng)式時(shí),對 (, ( ( i j i j f x f x d x =不一定有(。=1,2.+si j t , , ,因此,定理 4是定理 2的進(jìn)一步推廣。定理 5: 設(shè)n . n A P 對任意的多項(xiàng)式 1212(, (, , ( (, (, , ( t t t t s f x f x f x f x f x f x + , 滿足下列兩個(gè)條件:1 1211(, ( ( i j i j f x f x d x =存在 d (x、 d (x使得 有(,且 d (A可逆。 2( , ( ( 1, 2. t itjfx f x d x i j t t

29、s +=+ =t+(, , 2且 d (A 可逆。2 11(, ( ii ij tsl l i j fx f x =x (d(且 d(A可逆則對任意正整數(shù) 12, t s l l l + 有11( ( (1 ii i i t st sl l j i r fr f t s n +=-A A +證明:因?yàn)?11(, ( ( i j i j f x f x d x i j =有(,且 d (A可逆。 有22(, ( ( t it jfx fx d x +=(,且 d (A可逆。所以由定理 3得 11( ( (1 A A ii ii ttl l i i r fr f t n =- (111( ( (1

30、 t jt jt jt jssl lj j r fr f s n +=-A A (2 (1 +(2式得111( ( ( (2 j iii i t st sll l j j i j r f r f r f t s n +=+-A A A +設(shè) 11( (, ( ( ii ij tsl l i j H x fx G x f x =由于 11( (, , ( (0mint,mt m t m f x f x f x f x m += 則 (, ( H A G A 的最大公因可逆。所以有定理 2知( ( ( ( r H A r G A r H A G A n +=+ 即1111( ( ( ( t jii

31、i i t j i j t st sl l l l i j i j r f r f r f f n +=+=+A A A A即 111( ( ( t jii i t j i tst sl l l i j i r fr f r f n +=+=+A A A從而11( ( (1 ii ii t st sl l j i r fr f t s n +=-+A A +定理 5是定理 4的推廣,同時(shí)定理 5進(jìn)一步推廣了定理 3。 定理 :6設(shè). m m A P 對任意的多項(xiàng)式n n n t t t s t t t s t t t s f x f x f x f x f x f x f x f x f x

32、+ , 滿足下列兩個(gè)條件:1 w 存在 d (x、 w=1,2,n i j 使得 有(, ( ( 1,2, 1,2, , w w t it jw w fx fx d x i j s w n += (, , w 且 d (A可逆。2對任意的 11(, (uwt it ju w u w s s l lt it j i j fx f x +=x u w, 有( d(且 d(A可逆 則對任意正整數(shù) 1111121, , , , , , n n n t t t s t t s l l l l l + 有111111( ( ( 1 wwit it iw w w ti w s s s n n n l l t

33、 i w w i w i w i r fr f t i n +=-+-A A證明:1 w 存在 d (x、 w=1,2,n i j 使得 有 ( , ( ( 1, 2, 1,2, w w t it jw w fx fx d x i j s w n +=(, , w 且 d (A 可逆。 所以由定理 3得11111111111( ( ( 1 t it it i s s s l l t i i i i r fr f t i m +=+-A A (122222222111( ( ( 1 t i t itis s s l l t i i i i r fr f t i m +=+-A A (222111

34、( ( ( 1 nnnt i t in n tis s s l l t i n i i i r fr f t i m +=+-A A (n (1 +(2 + +(n得111111( ( ( wwit i t iw w w ti w s s s nnnl l t i w w i w w i i r fr f t i n m +=+-A A設(shè) 1( ( wt i w w s lw t i i H x f x +=則, u w H =x u w, 有(H (x(x d(且 d(A可逆 ,由定理 2知11( ( (1 nnww w w r Hr H n m =+-A A 即1111( ( (1 wwt

35、 it iw ww w s s nnl lt i t i w i w i r fA r f A n m +=+-從而111111( ( ( 1 wwit i t i w w w w s s s nnnl l t i t i w w i w i w i r fr fA t i m +=+-A定理 6是定理 5的推廣。4應(yīng)用4.1矩陣多項(xiàng)式在秩上的應(yīng)用。f x h x x f x h x d x d A PP=A 且 可逆。( ( ( ( r f h r f r h n =+-A A A A 則證明:令 ( g A E =及定理 1可得。 推論 1,1,1推廣了命題 1.2的結(jié)果。(, ( d x

36、 d A 可逆 ,則 123213( ( ( ( ( ( r f A r f A f A r f A r f A f A +=+證明:因?yàn)?123( (, ( f x f x f x , 兩兩互素,則有定理 2得1313( ( ( ( r f f r f r f n =+-A A A A (1 2323( ( ( ( r f f r f r f n =+-A A A A (2(1 -(2得 132312( ( ( ( ( ( r f f r f f r f r f =-A A -A A A A即 123213( ( ( ( ( ( r f A r f A f A r f A r f A f A

37、 +=+12, t t t s k k k + 兩兩互異。 2 11( (, ( t j i t sll i t j i j d x d A +=(x+k(x+k , 可逆 12, t l l l , 則 對任意正整數(shù) 有 11( ( (1 ii t s t s l l i i i i r E r E t n +=-A+k(A+k( 證明:令 ( +(1,2 i i f A x k i t = ,若 1122, , min, t t m t m k k k k k k t t s += 則 111(, min, i t j i w t s m l l i t j i i i t j i j i

38、 w l l +=(x+k(x+k(x+k , , 又因?yàn)?1 iw m i i E =(A+k可逆,所以由定理 5可得證。推論 4,1.4:( , 1,2, , n n i f x x i t i j P=PA 若存在 d(x使得 有1(, ( ( (t-1n(Ati j i i f x f x d x r f tn =(,且d (A 可逆。則證明:由 10( t i i r fn =A 及定理 2可得。1212(, (, , ( ( ( ( ( 0t t f x f x f x d x f A f A f A = (,且 d(A可逆。若 則 1( (1 t i n r fA t n =-i

39、證明:因?yàn)?12(, (, , ( ( t f x f x f x d x = (,則存在 12(, (, , ( t u x u x u x x P 1122( ( ( ( ( ( (t t u x f x u x f x u x f x d x += 因此 , 1122( ( ( ( ( ( ( t t u A f A u A f A u A f A d A +=根據(jù)引理 3和引理 4得1122112212( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( (t t t t t n r d A r u A f A u A f A u A f A r u A f A r u A f A r

40、u A f A r f A r f A r f A =+現(xiàn)證不等式的另一部分當(dāng) t=2時(shí),由定理 2可得 12( ( r f A r f A n +=因?yàn)?0( 3,4i r f A ni t = ,于是 1( (2 ti r f A n t n =+-i 即 1( (1 t i r fA t n =-i綜上所述:1( (1 ti n r fA t n =-i(1 A , ( ( ( 0n n m k m k P r A E r A E n A E A E +-=+-=則 的充要條件是 ,其中, m 、 k 是任意的自然數(shù)。(2 A , ( ( ( ( 0n n m k m k P r A r

41、 A E n A A E +-=-=則 的充要條件是 ,其中, m 、 k 是任意的自然數(shù)。(3 2A , ( ( =n n m k P r A E r A E n A E +-=則 的充要條件是(4 2A , ( ( =An n m k P r A r A E n A +-=則 的充要條件是證明:(1 令 12( +1, ( (1 m k m k f x x f x x =-( 其中 , 是任意的自然數(shù) 則(+ ( ( ( +m k m k r A E r A E r A E A E n +-=+-(所以 ( ( m k r A r A E n +-=的充要條件是 ( ( =m kA E A

42、 E +-0, 其中, m 、 k 是任意的自然數(shù)。2A , ( ( =n n m k P r A E r A E n A E +-=則 的充要條件是 ,其中, m 、 k 是任意的自然數(shù)。同理可得(2與(4, n n k A P 設(shè) , s,t,s-t-1皆為自然數(shù),對任意 ,有1( t k s t k s t r +-+-r(Ar(AA A-A +-A = +r(特別 k=s=t=2時(shí),有 2223( r r(Ar(AA-A A -A + = -r(證明:令 1123( , ( , ( 1t k s t f x x f x x f x x +-=-. 其中 k,s,t,s-t-1是任意12

43、3213( ( ( ( ( ( r f A r f A f A r f A r f A f A +=+即 1( t k s t k s t r +-+-r(Ar(AA A-A +-A = +r( ( ( ( s t s t r E r E r E E n +=+A+kA+lA+kA+l證明:令 12( ( , ( ( s t f x x k f x x l =+=+其中 k,s,t 是任意的自然數(shù) ,k,l P ,則( ( ( ( s t s t r E r E r E E n +=+A+kA+lA+kA+l4.2矩陣多項(xiàng)式在變換上的應(yīng)用。對應(yīng)的矩陣。 ( , 1,2, , i f x x i t i j P= 若存在 d(x使得 有(, ( ( i j f x f x d x =(,且 d(A可逆。令 12( ( ( (2 t f x f x f x f x s = 則1 1dim(dim(1 tii imf imf s n =+- 2 ( 0dimif (=0f m f =若 的充要條件是:證明: 由于 dim( i i imf r f A =及定理 2