矩陣的行(列)秩

1、第三章第三章 線性方程組線性方程組 4 4 矩陣的秩矩陣的秩一、矩陣的行一、矩陣的行(列列)秩秩的秩稱為矩陣的秩稱為矩陣 A 的的行秩行秩；則矩陣則矩陣 A 的行向量組的行向量組12(,),1,2,iiinaaais 的秩的秩稱為稱為矩陣矩陣 A 的的列秩列秩.矩陣矩陣 A 的列向量組的列向量組12,1,2,jjsjaajna 定義定義111212122212,nnsssnaaaaaaAaaa 設(shè)設(shè)第三章第三章 線性方程組線性方程組 4 4 矩陣的秩矩陣的秩引理引理 如果齊次線性方程組如果齊次線性方程組1111221211222211220000nnnnsssnna xa xa xa xa x

2、axa xa xa x （1）的系數(shù)矩陣的系數(shù)矩陣111212122212nnsssnaaaaaaAaaa 的行秩的行秩 ，那么它有非零解，那么它有非零解rn （若（若(1)只有零解，則只有零解，則 ）.rn 第三章第三章 線性方程組線性方程組 4 4 矩陣的秩矩陣的秩證：證：的秩為的秩為r，設(shè)矩陣設(shè)矩陣 A 的行向量組的行向量組12(,),1,2,iiiinaaais 且不妨設(shè)為其一個(gè)極大無關(guān)組且不妨設(shè)為其一個(gè)極大無關(guān)組.12,r 于是方程組于是方程組(1)與方程組與方程組(1)是同解的是同解的.由于向量組與向量組等價(jià)，由于向量組與向量組等價(jià)，22,sk k 12,r 11112212112

3、22211220000nnnnrrrnna xa xa xa xa xaxa xa xa x （1）所以所以(1)有非零解，從而有非零解，從而(1)有非零解有非零解.在在(1)中中,rn 第三章第三章 線性方程組線性方程組 4 4 矩陣的秩矩陣的秩定理定理4 矩陣的行秩矩陣的列秩矩陣的行秩矩陣的列秩 證明：設(shè)證明：設(shè) ，A的行秩的行秩r，A的列秩的列秩r1， ()ijs nAa 下證下證 1rr 先證先證 1rr 則向量組則向量組 的秩為的秩為r， 12,s 不妨設(shè)不妨設(shè) 是它的一個(gè)極大無關(guān)組，是它的一個(gè)極大無關(guān)組，12,r 于是于是 線性無關(guān)，線性無關(guān)，12,r 設(shè)設(shè)A的行向量組為的行向量組

4、為12(,),1,2,iiiinaaais 第三章第三章 線性方程組線性方程組 4 4 矩陣的秩矩陣的秩即即111212112122221122000rrrrnnrnra xa xa xa xa xa xa xaxa x （2）只有零解只有零解. .11220rrxxx 只有零解只有零解. .所以方程組所以方程組由引理，方程組由引理，方程組（2）的系數(shù)矩陣的系數(shù)矩陣 1121112222112rrnnrnaaaaaaAaaa （未知量的個(gè)數(shù)）（未知量的個(gè)數(shù)）. .的行秩的行秩r 第三章第三章 線性方程組線性方程組 4 4 矩陣的秩矩陣的秩112111222212(,),(,),(,)rrrrr

5、raaaaaaaaa是是r個(gè)線性無關(guān)的行向量，個(gè)線性無關(guān)的行向量，中一定可以找到中一定可以找到 r 個(gè)線性無關(guān)的向量個(gè)線性無關(guān)的向量.從而在矩陣從而在矩陣 的行向量組的行向量組1A1121112222122(,),(,),(,)rrnrnaaaaaaaaa不妨設(shè)不妨設(shè)則該向量組的延伸組則該向量組的延伸組112111,11121,(,),(,)rrnrrrrrrnraaaaaaaaaa 于是矩陣于是矩陣A的列秩的列秩 1rr 同理可證同理可證 .1rr 所以所以 1rr 也線性無關(guān)也線性無關(guān)第三章第三章 線性方程組線性方程組 4 4 矩陣的秩矩陣的秩矩陣的行秩與矩陣的列秩統(tǒng)稱為矩陣的行秩與矩陣的

6、列秩統(tǒng)稱為矩陣的秩矩陣的秩，記作記作秩秩A 或或 、()rank A( ).R A定義定義注注 設(shè)，則設(shè)，則 ijs nAa ( )min( , ).R As n 若則稱若則稱A為為行満秩的行満秩的；(),R As 若則稱若則稱A為為列満秩的列満秩的.( ),R An 若，則若，則0A ( )0.R A 第三章第三章 線性方程組線性方程組 4 4 矩陣的秩矩陣的秩二、矩陣秩的性質(zhì)二、矩陣秩的性質(zhì)定理定理5 設(shè)設(shè) ， 則則()ijn nAa 0( );AR An 0( )AR An 第三章第三章 線性方程組線性方程組 4 4 矩陣的秩矩陣的秩證：證：若若 n 1， 則則A只有一個(gè)一維行向量只有一

7、個(gè)一維行向量0，(),R An A的的 n 個(gè)行向量線性相關(guān)個(gè)行向量線性相關(guān).從而從而A0，00.A 若若 n 1， 則則A的行向量中至少有一個(gè)能由其余的行向量中至少有一個(gè)能由其余行向量線性表出，行向量線性表出，依次減去其余行的相應(yīng)倍數(shù)，這一行就全變成了依次減去其余行的相應(yīng)倍數(shù)，這一行就全變成了0.從而在行列式從而在行列式 中，用這一行中，用這一行A0.A第三章第三章 線性方程組線性方程組 4 4 矩陣的秩矩陣的秩若若 n 1，由知，由知，0A 對(duì)對(duì) n 作數(shù)學(xué)歸納法作數(shù)學(xué)歸納法.A0，從而從而()01.R A 假若對(duì)假若對(duì) n1 級(jí)矩陣結(jié)論成立，下證級(jí)矩陣結(jié)論成立，下證 n 級(jí)的情形級(jí)的情形

8、.設(shè)設(shè) ，()ijn nAa 為為A的行向量的行向量.12,n 考察考察A的第一列元素的第一列元素:11211,naaa若它們?nèi)珵榱悖瑒t若它們?nèi)珵榱?，則( )1;R Ann若它們有一個(gè)元素不為零，若它們有一個(gè)元素不為零，110,a 不妨設(shè)不妨設(shè)則則 的第的第2至至 n 行減去第行減去第1行的適當(dāng)倍數(shù)后可為行的適當(dāng)倍數(shù)后可為A第三章第三章 線性方程組線性方程組 4 4 矩陣的秩矩陣的秩11121222200nnnnnaaaaaAaa 222112nnnnaaaaa 12111(0,),2,iiiniaaaina 其中其中由知，由知，0A 22220,nnnnaaaa 由歸納假設(shè)，矩陣的秩由歸納假

9、設(shè)，矩陣的秩n1，2222nnnnaaaa 第三章第三章 線性方程組線性方程組 4 4 矩陣的秩矩陣的秩121212211110,nnnnaakkkkaa 1212111111,nnaaaa 從而向量組從而向量組線性相關(guān)，線性相關(guān)， 故在不全為零的數(shù)使故在不全為零的數(shù)使2,nkk121221111110,nnnaakkaa改寫一下，有改寫一下，有線性相關(guān)線性相關(guān)12,n ( ).R An不全為零的不全為零的n個(gè)數(shù)個(gè)數(shù)第三章第三章 線性方程組線性方程組 4 4 矩陣的秩矩陣的秩推論推論1齊次線性方程組齊次線性方程組().R An ( ).R An111122121122221122000nnnn

10、nnnnna xa xa xa xa xaxa xaxax ( ) 有非零解有非零解 系數(shù)矩陣系數(shù)矩陣 的行列式的行列式 =0() ijn nAa A( ) 只有零解只有零解 0 A( ) 第三章第三章 線性方程組線性方程組 4 4 矩陣的秩矩陣的秩線性相關(guān)線性相關(guān)1112121222120.nnnnnnaaaaaaaaa 行列式行列式線性無關(guān)線性無關(guān)1112121222120.nnnnnnaaaaaaaaa 行列式行列式n 個(gè)個(gè) n 維向量維向量12(,),1,2,iiiinaaain 推論推論2第三章第三章 線性方程組線性方程組 4 4 矩陣的秩矩陣的秩定義定義k 級(jí)子式級(jí)子式在一個(gè)在一個(gè)

11、 sn 矩陣矩陣 A 中任意選定中任意選定 k 行行 k 列列個(gè)元素按原來次序個(gè)元素按原來次序所所組成的組成的 k 級(jí)行列式，稱為矩陣級(jí)行列式，稱為矩陣位于這些行和列的交點(diǎn)上的位于這些行和列的交點(diǎn)上的2k 1min( , ) ,ks nA的一個(gè)的一個(gè)k級(jí)子式級(jí)子式 注注矩陣矩陣 A 的的 k 級(jí)子式共有個(gè)級(jí)子式共有個(gè). .sn kksnC C第三章第三章 線性方程組線性方程組 4 4 矩陣的秩矩陣的秩 R ArA r有一個(gè)有一個(gè) 級(jí)子式不為級(jí)子式不為0.個(gè)個(gè) 級(jí)子式級(jí)子式r1r 不等于不等于0，且所有，且所有 級(jí)子式等于級(jí)子式等于0定理定理6 矩陣矩陣 的秩為的秩為 的充要條件是中有一的充要條

12、件是中有一rAA注注 的所有的所有 級(jí)子式等于級(jí)子式等于0； R ArA 1r 若若 則則 的不為的不為0的級(jí)子式所在行的級(jí)子式所在行(列列) R ArA r就是就是A行行(列列)向量組的一個(gè)極大無關(guān)組向量組的一個(gè)極大無關(guān)組.第三章第三章 線性方程組線性方程組 4 4 矩陣的秩矩陣的秩則則A的任意個(gè)行向量的任意個(gè)行向量1r 11121112nrrrnaaaAaaa 由定理由定理5的推論的推論2，證：證： ,R Ar 設(shè)設(shè)都線性相關(guān)，都線性相關(guān)，從而從而A的任意級(jí)子式的行向量也的任意級(jí)子式的行向量也1r 線性相關(guān)線性相關(guān).A的級(jí)子式全為的級(jí)子式全為0.1r 下證下證A至少有一個(gè)級(jí)子式不為至少有一

13、個(gè)級(jí)子式不為0.r ,ijs nAa 設(shè)設(shè) ,R Ar 因?yàn)橐驗(yàn)樗运訟有個(gè)行向量線性無關(guān)，有個(gè)行向量線性無關(guān)，r不妨設(shè)不妨設(shè)A的前個(gè)行向量線性無關(guān)，的前個(gè)行向量線性無關(guān)，r作矩陣作矩陣第三章第三章 線性方程組線性方程組 4 4 矩陣的秩矩陣的秩.tr 則行列式則行列式顯然顯然 的行秩為，的行秩為，1Ar從而從而 的列秩也為，的列秩也為，1Ar不妨設(shè)在不妨設(shè)在 中前列線性無關(guān)，中前列線性無關(guān)，1Ar11121120.rrrrraaaaaa 此即此即 A 的一個(gè)的一個(gè) 級(jí)非零子式級(jí)非零子式. . r若若 A 的所有的所有 級(jí)子式全為級(jí)子式全為 0，1r 所有級(jí)數(shù)大于的子式全為所有級(jí)數(shù)大于的子式

14、全為 0.r則則 A 的的().R At 設(shè)設(shè)由必要性由必要性, ,不可能有不可能有.tr 否則否則A的的 級(jí)子式全為級(jí)子式全為0.r同樣同樣, ,不可能有不可能有.tr 否則否則A有有 級(jí)子式不為級(jí)子式不為0.(1)tr第三章第三章 線性方程組線性方程組 4 4 矩陣的秩矩陣的秩三、秩的計(jì)算三、秩的計(jì)算方法一方法一按定義求出按定義求出A的行的行( (列列) )向量組的秩向量組的秩. 級(jí)數(shù)級(jí)數(shù). .方法二方法二利用定理利用定理6， 等于等于 中非零子式的最大中非零子式的最大( )R AA例例1求下列矩陣的秩求下列矩陣的秩21 03203 12500 04300 000A 3R A 第三章第三章 線性方程組線性方程組 4 4 矩陣的秩矩陣的秩方法三方法三用初等變換化用初等變換化 A 為階梯陣為階梯陣 J， 等于等于( )R AJ中非零行的行數(shù)中非零行的行數(shù). .原理：原理： 初等變換不改變矩陣的秩；初等變換不改變矩陣的秩；階梯陣的秩等于其中非零行的行數(shù)階梯陣的秩等于其中非零行的行數(shù) 3205032361201531641 4A 例例2求矩陣求矩陣A的秩的秩第三章第三章 線性方程組線性方程組 4 4 矩陣的秩矩陣的