相似矩陣(課后微改)

1、 12.19(本周六本周六) 下午下午2:00到到3:30五樓一到四號機房五樓一到四號機房題目本周四上傳至課程中心題目本周四上傳至課程中心 設(shè)設(shè)A是是n階方陣階方陣, 若若 A = , 則稱則稱為為A的的, 稱稱 為為A的對應(yīng)于的對應(yīng)于 的的.求方陣求方陣A的特征值和特征向量的一般步驟：的特征值和特征向量的一般步驟：求解特征方程求解特征方程| EA|=0的根的根求解求解(EA)x = ( 或或(A-E)x = )的的非零解非零解 (只需求出它的一個基礎(chǔ)只需求出它的一個基礎(chǔ)解系解系1 , 2 , , s)1 , 2 , , s 即為即為A對應(yīng)于特征值對應(yīng)于特征值的特征向量的特征向量一個一個上上(

2、下下)三角矩陣三角矩陣的特征值就是其的特征值就是其主對主對角元素角元素。特別地，一個特別地，一個對角矩陣對角矩陣的特征值就是其的特征值就是其主主對角元素對角元素。 k是是A的一個特征值的一個特征值 |kE-A|=0 kE-A不可逆不可逆二二. 性質(zhì)性質(zhì) 稱稱 為矩陣為矩陣A的的,記為記為, 或或. . 設(shè)矩陣設(shè)矩陣 的特征值是的特征值是 , 則則,例例 5 5 設(shè)設(shè)A是是3 階方陣，階方陣，E A , E+A , 2E-A不可逆不可逆. A* 是是A的伴隨矩陣的伴隨矩陣. f(x)=x2 +x +3.試求試求 f(A*)的跡和行列式的跡和行列式.第一步第一步 求出求出A*的特征值；的特征值；第

3、二步第二步 求出求出f(A*)的特征值的特征值.(與課本例與課本例5.5步驟稍有不同步驟稍有不同)解：解： AP(i, j) AP(i, j) A P(i, j)=B注意：注意： P(i, j)-1 = P(i, j) 上述反例也告訴我們，已知兩個矩陣上述反例也告訴我們，已知兩個矩陣的特征值相同，或跡相同，或行列式的特征值相同，或跡相同，或行列式相同，并不能得到它們是相似的相同，并不能得到它們是相似的.從定理從定理5.3的證明中可看出，如果的證明中可看出，如果A相似于對相似于對角矩陣角矩陣那么任意調(diào)整那么任意調(diào)整 的主對角元素，所得新的主對角元素，所得新的對角矩陣與的對角矩陣與A也是相似的也是

4、相似的. 1 0 00 2 0 0 0 n =n階方陣階方陣A有有n個互不相個互不相同的特征值同的特征值, 則則A與對角矩陣相似與對角矩陣相似.：推論：推論5.4的逆命題不成立！的逆命題不成立！titst2t1：對于特征值：對于特征值 i ，其對應(yīng)的，其對應(yīng)的特征特征向量的最大個數(shù)是向量的最大個數(shù)是ti . 稱之為稱之為 i的的幾何重數(shù)幾何重數(shù).代數(shù)重數(shù)代數(shù)重數(shù)n階方陣階方陣A, 求可逆矩陣求可逆矩陣P, 使使步驟如下：步驟如下：. 求求A100 . , 的二重特征值的二重特征值,若若A相似于相似于對角矩陣，求相似于相似于對角矩陣，求 x, y 及可逆及可逆矩陣矩陣P，使得，使得P-1 AP是對角矩陣是對角矩陣.作作 業(yè)業(yè)習題五（習題五（B） 10, 13, 14, 15(1,3,5), 16, 19, 24 ： 2系系-12月月22日（周二）日（周二） 4系和系和