平穩(wěn)時(shí)間序列模型預(yù)測(cè)（ X頁(yè)）

1、 第七章 平穩(wěn)時(shí)間序列模型預(yù)測(cè)時(shí)間序列預(yù)測(cè)n定義：根據(jù)時(shí)間序列過(guò)去時(shí)刻的觀測(cè)值，對(duì)序列在未來(lái)某個(gè)時(shí)刻的取值進(jìn)行估計(jì)。n設(shè)平穩(wěn)時(shí)間序列Xt 是一個(gè)ARMA(p,q)過(guò)程，即 設(shè)當(dāng)前時(shí)刻為t，已知時(shí)刻t和以前時(shí)刻的觀測(cè)值xt-1, xt-2, ，對(duì)觀測(cè)值xt+l進(jìn)行預(yù)測(cè)，用 表示時(shí)間序列Xt的第l步預(yù)測(cè)值(l0)。11112,0, , 0ttptpttqt qtstXXXWNst E X tx l最小均方誤差預(yù)測(cè)n用et(l)衡量預(yù)測(cè)誤差： n顯然，預(yù)測(cè)誤差越小，預(yù)測(cè)精度就越高。 n最小均方誤差預(yù)測(cè)原則： 1,tt lttx lE XXX tt lte lXx l 22mintttx lEelE

2、el2222011( )0,var ( )ttlE e le lGGG說(shuō)明n在預(yù)測(cè)方差最小原則下得到的估計(jì)值 是序列值Xt+1在Xt ,Xt-1,已知的情況下得到的條件無(wú)偏最小方差估計(jì)值。n預(yù)測(cè)方差只與預(yù)測(cè)步長(zhǎng) l 有關(guān)，而與預(yù)測(cè)起始點(diǎn)t無(wú)關(guān)。n預(yù)測(cè)步長(zhǎng)越大，預(yù)測(cè)值的方差也越大；因而為了保證預(yù)測(cè)的精度，時(shí)間序列數(shù)據(jù)通常只合適做短期預(yù)測(cè)。 12222011,( )0, var ( )tt lttttlx lE XXXE e le lGGG tx lAR(p)序列的預(yù)測(cè)n在AR(p)序列場(chǎng)合有：n預(yù)測(cè)值1122tttptptXXXX -11122-112,12tt lttt lt lpt lptt

3、tttptXlE XXXEXXXXXXlXlXlp ，AR(p)序列的預(yù)測(cè)n預(yù)測(cè)方差n95置信區(qū)間 -假設(shè)總體服從正態(tài)分布 111122211( )var ( )(1)tt lt llttle lGGe lGG 12221112( )1tlX lzGG例7.2n已知某超市月銷售額近似服從AR(2)模型 (單位：萬(wàn)元/每月) 今年第一季度該超市月銷售額分別為：101，96，97.2萬(wàn)元 請(qǐng)確定該超市第二季度每月銷售額的95的置信區(qū)間 12100.60.3,(0,36)tttttXXXN解: (1) 預(yù)測(cè)值計(jì)算n四月份:n五月份:n六月份:12.973 . 06 . 010) 1 (233xxx4

4、32.973 . 0) 1 (6 . 010)2(333xxx5952.97) 1 (3 . 0)2(6 . 010)3(333xxx12123100.60.3,(0,36)101,96,97.2tttttXXXNxxx解: (2)預(yù)測(cè)方差的計(jì)算n計(jì)算Green函數(shù): 根據(jù)遞推公式n方差01102112010.60.360.30.66GGGGGG223022230122223012var (1)36var (2)()48.96var (3)()64.6416eGeGGeGGG解: (3)置信區(qū)間n 步預(yù)測(cè)銷售額的95%置信區(qū)間為： n估計(jì)結(jié)果3333( ) 1.96 var ( ) ,( )

5、1.96 var ( )x le lx le l預(yù)測(cè)時(shí)期95置信區(qū)間預(yù)測(cè)值四月份（85.36，108.88） 97.12五月份（83.72，111.15） 97.432六月份（81.84，113.35） 97.5952l例:北京市城鄉(xiāng)居民定期儲(chǔ)蓄比例序列擬合與預(yù)測(cè)圖(預(yù)測(cè)1999-2003) MA(q)序列的預(yù)測(cè)n當(dāng)預(yù)測(cè)步長(zhǎng)l小于等于MA模型的階數(shù)q即lq時(shí)，Xt+l可以分解為：n特別當(dāng) l=1時(shí)有 ，即 11221111 t lt lt lt lqt l qt lltltltqt l qttXe lx l 11 1tttXx預(yù)測(cè)誤差預(yù)測(cè)誤差預(yù)測(cè)值預(yù)測(cè)值 11 1tttXx1122ttttqt

6、 qX MA(q)序列的預(yù)測(cè)n當(dāng)預(yù)測(cè)步長(zhǎng)l大于等于MA模型的階數(shù)q，即l q時(shí)，Xt+l可以分解為： 112211220 t lt lt lt lqt l qt lt lt lqt l qttXe lXl 預(yù)測(cè)值預(yù)測(cè)值預(yù)測(cè)誤差預(yù)測(cè)誤差MA(q)序列的預(yù)測(cè)nl步的預(yù)測(cè)：n說(shuō)明MA(q)序列理論上只能預(yù)測(cè)q步之內(nèi)的序列走勢(shì)，超過(guò)q步預(yù)測(cè)值恒等于序列均值。這是由MA(q)序列自相關(guān)q步截尾的性質(zhì)決定的。n預(yù)測(cè)方差：, ( )0,qit l ii ltlqx llq 222112221(1),var ( )(1),ltqlqe llq 例7.3n已知某地區(qū)每年常駐人口數(shù)量近似服從MA(3)模型（單位：

7、萬(wàn)人）： 最近3年的常駐人口數(shù)量及一步預(yù)測(cè)數(shù)量如下： 預(yù)測(cè)未來(lái)5年該地區(qū)常住人口的95置信區(qū)間21231000.80.60.2,25tttttX 年份統(tǒng)計(jì)人數(shù)預(yù)測(cè)人數(shù)200210411020031081002004105109解:年份統(tǒng)計(jì)人數(shù)預(yù)測(cè)人數(shù)200210411020031081002004105109100)5(100)4(8 .1002 . 0100) 3(962 . 06 . 0100)2(2 .1092 . 06 . 08 . 0100) 1 (121tttttttttttxxxxx22002200112003200220042003(1)104 1106(1)108 1008(

8、1)105 1094tttxxxxxx 21231000.80.60.2,25tttttX解：置信區(qū)間的計(jì)算2221222122222123var (1)25,var (2)(1)41var (3)(1)50var (4)var (5)(1)51ttttteeeee預(yù)測(cè)年份95置信區(qū)間預(yù)測(cè)人數(shù) 2005（99，119） 109.22006（83，109） 962007（87，115） 100.82008（86，114） 1002009（86，114） 100n95%置信區(qū)間的計(jì)算：n估計(jì)結(jié)果： 1.96 varttx le lARMA(p,q)序列預(yù)測(cè)nARMA(p,q)序列場(chǎng)合 :n預(yù)測(cè)11

9、11ttptpttqt qXXX -11111-11212,12,12, tt lttt lpt lpt lt lqt l qttqttptit l ii lttptx lE XXXEXXXXXlXlXlplqXlXlXlplq ，例7.4 已知ARMA(1,1)模型為： 且x100=0.3,100=0.01，預(yù)測(cè)未來(lái)3期序列值的95的置信區(qū)間。 2110.80.6,0.0025ttttXX nx100=0.3,100=0.01n計(jì)算Green函數(shù)：n預(yù)測(cè)方差：解: 10010010010010010010010.80.60.23420.810.1872,30.820.14976xXxxxx2

10、110.80.6,0.0025ttttXX 0110121110.20.16GGGGG221000222100012222100012var(1)0.0025var(2)()0.0026var(3)()0.002664eGeGGeGGG解: 置信區(qū)間的計(jì)算時(shí)期95置信區(qū)間預(yù)測(cè)值101（0.136，0.332） 0.234102（0.087，0.287） 0.1872103（0.049，0.251） 0.14976n95%置信區(qū)間：n估計(jì)結(jié)果： 1001001001001.96 var,1.96 varxlelxlel修正預(yù)測(cè)n定義n所謂的修正預(yù)測(cè)就是研究如何利用新的信息去獲得精度更高的預(yù)測(cè)值

11、n方法n在新的信息量比較大時(shí)把新信息加入到舊的信息中，重新擬合模型； n在新的信息量很小時(shí)不重新擬合模型，只是將新的信息加入以修正預(yù)測(cè)值，提高預(yù)測(cè)精度。修正預(yù)測(cè)原理n在舊信息的基礎(chǔ)上，Xt+l的預(yù)測(cè)值為n假設(shè)新獲得一個(gè)觀察值Xt+1 ，則nXt+1的修正預(yù)測(cè)值為其中 是Xt+1的一步預(yù)測(cè)誤差。 n修正預(yù)測(cè)誤差為110 ( )tl it iltltix lGGG1111111(1)( )tltltltlttxlGGGGx l2201) 1(tllttGGle +11=1tttXX修正預(yù)測(cè)原理n預(yù)測(cè)方差為 即一期修正后第 步預(yù)測(cè)方差就等于修正前第 步預(yù)測(cè)方差。它比修正前的同期預(yù)測(cè)方差減少了 ，提高

12、了預(yù)測(cè)精度。222102var(1)()var1tltelGGe ll1l 221lG一般情況n假設(shè)獲得k個(gè)新的觀察值 ，則 n 的修正預(yù)測(cè)值為n修正預(yù)測(cè)誤差為n預(yù)測(cè)方差為1,1tt kXXklt lX -+1+111-+1+1()t kl kt kltltltl kt klttXlkGGGGGGx l011()t kt ll kt kelkGG 22201var()()vartpl ktelpGGe lp 例7.2續(xù)n已知某超市月銷售額近似服從AR(2)模型(單位：萬(wàn)元/每月) 今年第一季度該超市月銷售額分別為：101，96，97.2萬(wàn)元。 （1）請(qǐng)確定該超市第二季度每月銷售額的95的置信區(qū)

13、間。 （2）假如一個(gè)月后知道4月份的真實(shí)銷售額為100萬(wàn)元，求第二季度后兩個(gè)月銷售額的修正預(yù)測(cè)值。 12100.60.3,(0,36)tttttXXXN預(yù)測(cè)時(shí)期95置信區(qū)間預(yù)測(cè)值四月份（85.36，108.88） 97.12 100五月份（83.72，111.15） 97.432六月份（81.84，113.35） 97.5952例7.2續(xù)：假如四月份的真實(shí)銷售額為100萬(wàn)元，求二季度后兩個(gè)月銷售額的修正預(yù)測(cè)值 n計(jì)算四月份的一步預(yù)測(cè)誤差n計(jì)算修正預(yù)測(cè)值443 (1)10097.122.88Xx 41431299.16XGx 42432399.50XGx月份 預(yù)測(cè)值新獲得觀察值 修正預(yù)測(cè)值 497.12100597.432697.5952 3Xl41Xl 例7.2續(xù):n計(jì)算修正方差：n